Theorem cnaddabloOLD 29230

Description: Obsolete version of cnaddabl 19565. Complex number addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnaddabloOLD	⊢ + ∈ AbelOp

Proof of Theorem cnaddabloOLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11057	. . 3 ⊢ ℂ ∈ V
2		ax-addf 11055	. . 3 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
3		addass 11063	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
4		0cn 11072	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addid2 11263	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
6		negcl 11326	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
7		addcom 11266	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
8	6, 7	mpdan 685	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
9		negid 11373	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
10	8, 9	eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	isgrpoi 29147	. 2 ⊢ + ∈ GrpOp
12	2	fdmi 6667	. 2 ⊢ dom + = (ℂ × ℂ)
13		addcom 11266	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
14	11, 12, 13	isabloi 29200	1 ⊢ + ∈ AbelOp

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   × cxp 5622  (class class class)co 7341  ℂcc 10974  0cc0 10976   + caddc 10979  -cneg 11311  AbelOpcablo 29193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-addf 11055

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-id 5522  df-po 5536  df-so 5537  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-ltxr 11119  df-sub 11312  df-neg 11313  df-grpo 29142  df-ablo 29194

This theorem is referenced by:  cnidOLD  29231  cncvcOLD  29232  cnnv  29326  cnnvba  29328  cncph  29468