Theorem cnaddabloOLD 30568

Description: Obsolete version of cnaddabl 19787. Complex number addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnaddabloOLD	⊢ + ∈ AbelOp

Proof of Theorem cnaddabloOLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11093	. . 3 ⊢ ℂ ∈ V
2		ax-addf 11091	. . 3 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
3		addass 11099	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
4		0cn 11110	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
5		addlid 11302	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
6		negcl 11366	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
7		addcom 11305	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
8	6, 7	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
9		negid 11414	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
10	8, 9	eqtr3d 2768	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	isgrpoi 30485	. 2 ⊢ + ∈ GrpOp
12	2	fdmi 6668	. 2 ⊢ dom + = (ℂ × ℂ)
13		addcom 11305	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
14	11, 12, 13	isabloi 30538	1 ⊢ + ∈ AbelOp

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   × cxp 5617  (class class class)co 7352  ℂcc 11010  0cc0 11012   + caddc 11015  -cneg 11351  AbelOpcablo 30531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-addf 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-ltxr 11157  df-sub 11352  df-neg 11353  df-grpo 30480  df-ablo 30532

This theorem is referenced by:  cnidOLD  30569  cncvcOLD  30570  cnnv  30664  cnnvba  30666  cncph  30806