MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnaddabloOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnaddabloOLD 30365
Description: Obsolete version of cnaddabl 19808. Complex number addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnaddabloOLD + ∈ AbelOp

Proof of Theorem cnaddabloOLD
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 11205 . . 3 β„‚ ∈ V
2 ax-addf 11203 . . 3 + :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
3 addass 11211 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) + 𝑧) = (π‘₯ + (𝑦 + 𝑧)))
4 0cn 11222 . . 3 0 ∈ β„‚
5 addlid 11413 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0 + π‘₯) = π‘₯)
6 negcl 11476 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ -π‘₯ ∈ β„‚)
7 addcom 11416 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ -π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + -π‘₯) = (-π‘₯ + π‘₯))
86, 7mpdan 686 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ + -π‘₯) = (-π‘₯ + π‘₯))
9 negid 11523 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ + -π‘₯) = 0)
108, 9eqtr3d 2769 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (-π‘₯ + π‘₯) = 0)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10isgrpoi 30282 . 2 + ∈ GrpOp
122fdmi 6728 . 2 dom + = (β„‚ Γ— β„‚)
13 addcom 11416 . 2 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + 𝑦) = (𝑦 + π‘₯))
1411, 12, 13isabloi 30335 1 + ∈ AbelOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   Γ— cxp 5670  (class class class)co 7414  β„‚cc 11122  0cc0 11124   + caddc 11127  -cneg 11461  AbelOpcablo 30328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-addf 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-ltxr 11269  df-sub 11462  df-neg 11463  df-grpo 30277  df-ablo 30329
This theorem is referenced by:  cnidOLD  30366  cncvcOLD  30367  cnnv  30461  cnnvba  30463  cncph  30603
  Copyright terms: Public domain W3C validator