MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnaddabloOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnaddabloOLD 29572
Description: Obsolete version of cnaddabl 19655. Complex number addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnaddabloOLD + ∈ AbelOp

Proof of Theorem cnaddabloOLD
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 11140 . . 3 β„‚ ∈ V
2 ax-addf 11138 . . 3 + :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
3 addass 11146 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) + 𝑧) = (π‘₯ + (𝑦 + 𝑧)))
4 0cn 11155 . . 3 0 ∈ β„‚
5 addid2 11346 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0 + π‘₯) = π‘₯)
6 negcl 11409 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ -π‘₯ ∈ β„‚)
7 addcom 11349 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ -π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + -π‘₯) = (-π‘₯ + π‘₯))
86, 7mpdan 686 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ + -π‘₯) = (-π‘₯ + π‘₯))
9 negid 11456 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ + -π‘₯) = 0)
108, 9eqtr3d 2775 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (-π‘₯ + π‘₯) = 0)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10isgrpoi 29489 . 2 + ∈ GrpOp
122fdmi 6684 . 2 dom + = (β„‚ Γ— β„‚)
13 addcom 11349 . 2 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + 𝑦) = (𝑦 + π‘₯))
1411, 12, 13isabloi 29542 1 + ∈ AbelOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   Γ— cxp 5635  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  0cc0 11059   + caddc 11062  -cneg 11394  AbelOpcablo 29535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-addf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-ltxr 11202  df-sub 11395  df-neg 11396  df-grpo 29484  df-ablo 29536
This theorem is referenced by:  cnidOLD  29573  cncvcOLD  29574  cnnv  29668  cnnvba  29670  cncph  29810
  Copyright terms: Public domain W3C validator