Theorem lbioc 41809

Description: A left-open right-closed interval does not contain its left endpoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lbioc	⊢ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵)

Proof of Theorem lbioc

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioc 12744	. . . . 5 ⊢ (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
2	1	elixx3g 12752	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
3	2	biimpi 218	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
4	3	simprld 770	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 < 𝐴)
5	1	elmpocl1 7388	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		xrltnr 12515	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
8	4, 7	pm2.65i 196	1 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114  {crab 3142   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  ℝ^*cxr 10674   < clt 10675   ≤ cle 10676  (,]cioc 12740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-ioc 12744

This theorem is referenced by:  fouriersw  42536