Theorem lbioc 45552

Description: A left-open right-closed interval does not contain its left endpoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lbioc	⊢ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵)

Proof of Theorem lbioc

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioc 13247	. . . . 5 ⊢ (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
2	1	elixx3g 13255	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
3	2	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
4	3	simprld 771	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 < 𝐴)
5	1	elmpocl1 7588	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		xrltnr 13015	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
8	4, 7	pm2.65i 194	1 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111  {crab 3395   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  ℝ^*cxr 11142   < clt 11143   ≤ cle 11144  (,]cioc 13243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-ioc 13247

This theorem is referenced by:  fouriersw  46268