Theorem lbioc 44212

Description: A left-open right-closed interval does not contain its left endpoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lbioc	⊢ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵)

Proof of Theorem lbioc

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioc 13325	. . . . 5 ⊢ (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
2	1	elixx3g 13333	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
3	2	biimpi 215	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
4	3	simprld 770	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 < 𝐴)
5	1	elmpocl1 7645	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		xrltnr 13095	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
8	4, 7	pm2.65i 193	1 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106  {crab 3432   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  (,]cioc 13321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-ioc 13325

This theorem is referenced by:  fouriersw  44933