Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lbioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbioc 44771
Description: A left-open right-closed interval does not contain its left endpoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
lbioc ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵)

Proof of Theorem lbioc
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioc 13330 . . . . 5 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
21elixx3g 13338 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐴𝐴𝐵)))
32biimpi 215 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐴𝐴𝐵)))
43simprld 769 . 2 (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 < 𝐴)
51elmpocl1 7643 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 xrltnr 13100 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
75, 6syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
84, 7pm2.65i 193 1 ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395  w3a 1084  wcel 2098  {crab 3424   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402  *cxr 11246   < clt 11247  cle 11248  (,]cioc 13326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-ioc 13330
This theorem is referenced by:  fouriersw  45492
  Copyright terms: Public domain W3C validator