Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lbioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbioc 43758
Description: A left-open right-closed interval does not contain its left endpoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
lbioc ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵)

Proof of Theorem lbioc
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioc 13270 . . . . 5 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
21elixx3g 13278 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐴𝐴𝐵)))
32biimpi 215 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐴𝐴𝐵)))
43simprld 771 . 2 (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 < 𝐴)
51elmpocl1 7597 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 xrltnr 13041 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
75, 6syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
84, 7pm2.65i 193 1 ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 397  w3a 1088  wcel 2107  {crab 3408   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  *cxr 11189   < clt 11190  cle 11191  (,]cioc 13266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-ioc 13270
This theorem is referenced by:  fouriersw  44479
  Copyright terms: Public domain W3C validator