Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lbioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbioc 41992
 Description: A left-open right-closed interval does not contain its left endpoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
lbioc ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵)

Proof of Theorem lbioc
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioc 12729 . . . . 5 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
21elixx3g 12737 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐴𝐴𝐵)))
32biimpi 219 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐴𝐴𝐵)))
43simprld 771 . 2 (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 < 𝐴)
51elmpocl1 7371 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 xrltnr 12500 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
75, 6syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
84, 7pm2.65i 197 1 ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,]𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2115  {crab 3136   class class class wbr 5047  (class class class)co 7138  ℝ*cxr 10659   < clt 10660   ≤ cle 10661  (,]cioc 12725 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-po 5455  df-so 5456  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-ioc 12729 This theorem is referenced by:  fouriersw  42715
 Copyright terms: Public domain W3C validator