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Theorem lbspropd 20575
Description: If two structures have the same components (properties), they have the same set of bases. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 24-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lbspropd.b1 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
lbspropd.b2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
lbspropd.w (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† π‘Š)
lbspropd.p ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Š ∧ 𝑦 ∈ π‘Š)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
lbspropd.s1 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ π‘Š)
lbspropd.s2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑦))
lbspropd.f 𝐹 = (Scalarβ€˜πΎ)
lbspropd.g 𝐺 = (Scalarβ€˜πΏ)
lbspropd.p1 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΉ))
lbspropd.p2 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ))
lbspropd.a ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΉ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦))
lbspropd.v1 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑋)
lbspropd.v2 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
lbspropd (πœ‘ β†’ (LBasisβ€˜πΎ) = (LBasisβ€˜πΏ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯,𝑃,𝑦   π‘₯,π‘Š,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑋(π‘₯,𝑦)   π‘Œ(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem lbspropd
Dummy variables 𝑣 𝑒 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑃 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)})) β†’ πœ‘)
2 eldifi 4087 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ (𝑃 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}) β†’ 𝑣 ∈ 𝑃)
32adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑃 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)})) β†’ 𝑣 ∈ 𝑃)
4 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑧 βŠ† 𝐡)
54sselda 3945 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑧) β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
65adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑃 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)})) β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
7 lbspropd.s2 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑦))
87oveqrspc2v 7385 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝑃 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑒) = (𝑣( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑒))
91, 3, 6, 8syl12anc 836 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑃 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)})) β†’ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑒) = (𝑣( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑒))
10 lbspropd.b1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
11 lbspropd.b2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
12 lbspropd.w . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† π‘Š)
13 lbspropd.p . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Š ∧ 𝑦 ∈ π‘Š)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
14 lbspropd.s1 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) ∈ π‘Š)
15 lbspropd.p1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΉ))
16 lbspropd.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐹 = (Scalarβ€˜πΎ)
1716fveq2i 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ))
1815, 17eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΎ)))
19 lbspropd.p2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ))
20 lbspropd.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐺 = (Scalarβ€˜πΏ)
2120fveq2i 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ))
2219, 21eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΏ)))
23 lbspropd.v1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑋)
24 lbspropd.v2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ π‘Œ)
2510, 11, 12, 13, 14, 7, 18, 22, 23, 24lsppropd 20494 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (LSpanβ€˜πΎ) = (LSpanβ€˜πΏ))
261, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑃 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)})) β†’ (LSpanβ€˜πΎ) = (LSpanβ€˜πΏ))
2726fveq1d 6845 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑃 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)})) β†’ ((LSpanβ€˜πΎ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒})) = ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒})))
289, 27eleq12d 2828 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑃 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)})) β†’ ((𝑣( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΎ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒})) ↔ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒}))))
2928notbid 318 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑧) ∧ 𝑣 ∈ (𝑃 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)})) β†’ (Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΎ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒})) ↔ Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒}))))
3029ralbidva 3169 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑧) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (𝑃 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΎ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒})) ↔ βˆ€π‘£ ∈ (𝑃 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒}))))
3115ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑧) β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΉ))
3231difeq1d 4082 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑧) β†’ (𝑃 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}) = ((Baseβ€˜πΉ) βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}))
3332raleqdv 3312 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑧) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (𝑃 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΎ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒})) ↔ βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΎ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒}))))
3419ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑧) β†’ 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ))
35 lbspropd.a . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΉ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦))
3615, 19, 35grpidpropd 18522 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΊ))
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑧) β†’ (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΊ))
3837sneqd 4599 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑧) β†’ {(0gβ€˜πΉ)} = {(0gβ€˜πΊ)})
3934, 38difeq12d 4084 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑧) β†’ (𝑃 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}) = ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– {(0gβ€˜πΊ)}))
4039raleqdv 3312 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑧) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (𝑃 βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒})) ↔ βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– {(0gβ€˜πΊ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒}))))
4130, 33, 403bitr3d 309 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑧) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΎ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒})) ↔ βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– {(0gβ€˜πΊ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒}))))
4241ralbidva 3169 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑧 βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΎ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒})) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝑧 βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– {(0gβ€˜πΊ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒}))))
4342anbi2d 630 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ ((((LSpanβ€˜πΎ)β€˜π‘§) = (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑧 βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΎ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒}))) ↔ (((LSpanβ€˜πΎ)β€˜π‘§) = (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑧 βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– {(0gβ€˜πΊ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒})))))
4443pm5.32da 580 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ (((LSpanβ€˜πΎ)β€˜π‘§) = (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑧 βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΎ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒})))) ↔ (𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ (((LSpanβ€˜πΎ)β€˜π‘§) = (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑧 βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– {(0gβ€˜πΊ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒}))))))
4510sseq2d 3977 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑧 βŠ† 𝐡 ↔ 𝑧 βŠ† (Baseβ€˜πΎ)))
4645anbi1d 631 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ (((LSpanβ€˜πΎ)β€˜π‘§) = (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑧 βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΎ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒})))) ↔ (𝑧 βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ (((LSpanβ€˜πΎ)β€˜π‘§) = (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑧 βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΎ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒}))))))
4711sseq2d 3977 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑧 βŠ† 𝐡 ↔ 𝑧 βŠ† (Baseβ€˜πΏ)))
4825fveq1d 6845 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((LSpanβ€˜πΎ)β€˜π‘§) = ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜π‘§))
4910, 11eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΏ))
5048, 49eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((LSpanβ€˜πΎ)β€˜π‘§) = (Baseβ€˜πΎ) ↔ ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜π‘§) = (Baseβ€˜πΏ)))
5150anbi1d 631 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((LSpanβ€˜πΎ)β€˜π‘§) = (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑧 βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– {(0gβ€˜πΊ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒}))) ↔ (((LSpanβ€˜πΏ)β€˜π‘§) = (Baseβ€˜πΏ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑧 βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– {(0gβ€˜πΊ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒})))))
5247, 51anbi12d 632 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ (((LSpanβ€˜πΎ)β€˜π‘§) = (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑧 βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– {(0gβ€˜πΊ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒})))) ↔ (𝑧 βŠ† (Baseβ€˜πΏ) ∧ (((LSpanβ€˜πΏ)β€˜π‘§) = (Baseβ€˜πΏ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑧 βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– {(0gβ€˜πΊ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒}))))))
5344, 46, 523bitr3d 309 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑧 βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ (((LSpanβ€˜πΎ)β€˜π‘§) = (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑧 βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΎ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒})))) ↔ (𝑧 βŠ† (Baseβ€˜πΏ) ∧ (((LSpanβ€˜πΏ)β€˜π‘§) = (Baseβ€˜πΏ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑧 βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– {(0gβ€˜πΊ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒}))))))
54 3anass 1096 . . . 4 ((𝑧 βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((LSpanβ€˜πΎ)β€˜π‘§) = (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑧 βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΎ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒}))) ↔ (𝑧 βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ (((LSpanβ€˜πΎ)β€˜π‘§) = (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑧 βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΎ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒})))))
55 3anass 1096 . . . 4 ((𝑧 βŠ† (Baseβ€˜πΏ) ∧ ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜π‘§) = (Baseβ€˜πΏ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑧 βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– {(0gβ€˜πΊ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒}))) ↔ (𝑧 βŠ† (Baseβ€˜πΏ) ∧ (((LSpanβ€˜πΏ)β€˜π‘§) = (Baseβ€˜πΏ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑧 βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– {(0gβ€˜πΊ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒})))))
5653, 54, 553bitr4g 314 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑧 βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((LSpanβ€˜πΎ)β€˜π‘§) = (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑧 βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΎ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒}))) ↔ (𝑧 βŠ† (Baseβ€˜πΏ) ∧ ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜π‘§) = (Baseβ€˜πΏ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑧 βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– {(0gβ€˜πΊ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒})))))
57 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
58 eqid 2733 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜πΎ) = ( ·𝑠 β€˜πΎ)
59 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
60 eqid 2733 . . . . 5 (LBasisβ€˜πΎ) = (LBasisβ€˜πΎ)
61 eqid 2733 . . . . 5 (LSpanβ€˜πΎ) = (LSpanβ€˜πΎ)
62 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
6357, 16, 58, 59, 60, 61, 62islbs 20552 . . . 4 (𝐾 ∈ 𝑋 β†’ (𝑧 ∈ (LBasisβ€˜πΎ) ↔ (𝑧 βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((LSpanβ€˜πΎ)β€˜π‘§) = (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑧 βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΎ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒})))))
6423, 63syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (LBasisβ€˜πΎ) ↔ (𝑧 βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((LSpanβ€˜πΎ)β€˜π‘§) = (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑧 βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) βˆ– {(0gβ€˜πΉ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΎ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒})))))
65 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜πΏ) = (Baseβ€˜πΏ)
66 eqid 2733 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜πΏ) = ( ·𝑠 β€˜πΏ)
67 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
68 eqid 2733 . . . . 5 (LBasisβ€˜πΏ) = (LBasisβ€˜πΏ)
69 eqid 2733 . . . . 5 (LSpanβ€˜πΏ) = (LSpanβ€˜πΏ)
70 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
7165, 20, 66, 67, 68, 69, 70islbs 20552 . . . 4 (𝐿 ∈ π‘Œ β†’ (𝑧 ∈ (LBasisβ€˜πΏ) ↔ (𝑧 βŠ† (Baseβ€˜πΏ) ∧ ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜π‘§) = (Baseβ€˜πΏ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑧 βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– {(0gβ€˜πΊ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒})))))
7224, 71syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (LBasisβ€˜πΏ) ↔ (𝑧 βŠ† (Baseβ€˜πΏ) ∧ ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜π‘§) = (Baseβ€˜πΏ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑧 βˆ€π‘£ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) βˆ– {(0gβ€˜πΊ)}) Β¬ (𝑣( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑒) ∈ ((LSpanβ€˜πΏ)β€˜(𝑧 βˆ– {𝑒})))))
7356, 64, 723bitr4d 311 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (LBasisβ€˜πΎ) ↔ 𝑧 ∈ (LBasisβ€˜πΏ)))
7473eqrdv 2731 1 (πœ‘ β†’ (LBasisβ€˜πΎ) = (LBasisβ€˜πΏ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  {csn 4587  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  0gc0g 17326  LSpanclspn 20447  LBasisclbs 20550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-0g 17328  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lbs 20551
This theorem is referenced by:  dimpropd  32361
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