Theorem dimpropd 32688

Description: If two structures have the same components (properties), they have the same dimension. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dimpropd.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
dimpropd.b2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
dimpropd.w	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑊)
dimpropd.p	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
dimpropd.s1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
dimpropd.s2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))
dimpropd.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐾)
dimpropd.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝐿)
dimpropd.p1	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐹))
dimpropd.p2	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐺))
dimpropd.a	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
dimpropd.v1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ LVec)
dimpropd.v2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
dimpropd	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐾) = (dim‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem dimpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dimpropd.v1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ LVec)
2		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝐾) = (LBasis‘𝐾)
3	2	lbsex 20777	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ LVec → (LBasis‘𝐾) ≠ ∅)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LBasis‘𝐾) ≠ ∅)
5		n0 4346	. . 3 ⊢ ((LBasis‘𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾))
6	4, 5	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾))
7	2	dimval 32681	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ LVec ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → (dim‘𝐾) = (♯‘𝑥))
8	1, 7	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → (dim‘𝐾) = (♯‘𝑥))
9		dimpropd.v2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ LVec)
10		dimpropd.b1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
11		dimpropd.b2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
12		dimpropd.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑊)
13		dimpropd.p	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
14		dimpropd.s1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
15		dimpropd.s2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))
16		dimpropd.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐾)
17		dimpropd.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝐿)
18		dimpropd.p1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐹))
19		dimpropd.p2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐺))
20		dimpropd.a	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
21	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 1, 9	lbspropd 20709	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (LBasis‘𝐾) = (LBasis‘𝐿))
22	21	eleq2d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾) ↔ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐿)))
23	22	biimpa 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐿))
24		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝐿) = (LBasis‘𝐿)
25	24	dimval 32681	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ LVec ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐿)) → (dim‘𝐿) = (♯‘𝑥))
26	9, 23, 25	syl2an2r 683	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → (dim‘𝐿) = (♯‘𝑥))
27	8, 26	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → (dim‘𝐾) = (dim‘𝐿))
28	6, 27	exlimddv 1938	1 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐾) = (dim‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ♯chash 14289  Basecbs 17143  +_gcplusg 17196  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  LBasisclbs 20684  LVecclvec 20712  dimcldim 32679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-reg 9586  ax-inf2 9635  ax-ac2 10457  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-rpss 7712  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-oi 9504  df-r1 9758  df-rank 9759  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-ac 10110  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ocomp 17217  df-0g 17386  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-mri 17531  df-acs 17532  df-proset 18247  df-drs 18248  df-poset 18265  df-ipo 18480  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lbs 20685  df-lvec 20713  df-dim 32680

This theorem is referenced by:  tngdim  32693  matdim  32695