Theorem dimpropd 33599

Description: If two structures have the same components (properties), they have the same dimension. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dimpropd.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
dimpropd.b2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
dimpropd.w	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑊)
dimpropd.p	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
dimpropd.s1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
dimpropd.s2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))
dimpropd.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐾)
dimpropd.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝐿)
dimpropd.p1	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐹))
dimpropd.p2	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐺))
dimpropd.a	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
dimpropd.v1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ LVec)
dimpropd.v2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
dimpropd	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐾) = (dim‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem dimpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dimpropd.v1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ LVec)
2		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝐾) = (LBasis‘𝐾)
3	2	lbsex 21166	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ LVec → (LBasis‘𝐾) ≠ ∅)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LBasis‘𝐾) ≠ ∅)
5		n0 4359	. . 3 ⊢ ((LBasis‘𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾))
6	4, 5	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾))
7	2	dimval 33591	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ LVec ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → (dim‘𝐾) = (♯‘𝑥))
8	1, 7	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → (dim‘𝐾) = (♯‘𝑥))
9		dimpropd.v2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ LVec)
10		dimpropd.b1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
11		dimpropd.b2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
12		dimpropd.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑊)
13		dimpropd.p	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
14		dimpropd.s1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
15		dimpropd.s2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))
16		dimpropd.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐾)
17		dimpropd.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝐿)
18		dimpropd.p1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐹))
19		dimpropd.p2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐺))
20		dimpropd.a	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
21	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 1, 9	lbspropd 21097	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (LBasis‘𝐾) = (LBasis‘𝐿))
22	21	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾) ↔ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐿)))
23	22	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐿))
24		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝐿) = (LBasis‘𝐿)
25	24	dimval 33591	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ LVec ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐿)) → (dim‘𝐿) = (♯‘𝑥))
26	9, 23, 25	syl2an2r 684	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → (dim‘𝐿) = (♯‘𝑥))
27	8, 26	eqtr4d 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → (dim‘𝐾) = (dim‘𝐿))
28	6, 27	exlimddv 1931	1 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐾) = (dim‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1535  ∃wex 1774   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2936   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  ‘cfv 6558  (class class class)co 7425  ♯chash 14355  Basecbs 17234  +_gcplusg 17287  Scalarcsca 17290   ·_𝑠 cvsca 17291  LBasisclbs 21072  LVecclvec 21100  dimcldim 33589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-reg 9623  ax-inf2 9672  ax-ac2 10494  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-int 4954  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-rpss 7735  df-om 7881  df-1st 8007  df-2nd 8008  df-tpos 8244  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8499  df-2o 8500  df-oadd 8503  df-er 8738  df-map 8861  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-oi 9541  df-r1 9795  df-rank 9796  df-dju 9932  df-card 9970  df-acn 9973  df-ac 10147  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12518  df-xnn0 12591  df-z 12605  df-dec 12725  df-uz 12870  df-fz 13538  df-hash 14356  df-struct 17170  df-sets 17187  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-ress 17264  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ocomp 17308  df-0g 17477  df-mre 17620  df-mrc 17621  df-mri 17622  df-acs 17623  df-proset 18341  df-drs 18342  df-poset 18359  df-ipo 18574  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18795  df-grp 18952  df-minusg 18953  df-sbg 18954  df-subg 19139  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20156  df-ur 20185  df-ring 20238  df-oppr 20336  df-dvdsr 20359  df-unit 20360  df-invr 20390  df-drng 20729  df-lmod 20858  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-lbs 21073  df-lvec 21101  df-dim 33590

This theorem is referenced by:  tngdim  33604  matdim  33606  algextdeglem8  33693