Theorem dimpropd 33753

Description: If two structures have the same components (properties), they have the same dimension. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dimpropd.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
dimpropd.b2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
dimpropd.w	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑊)
dimpropd.p	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
dimpropd.s1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
dimpropd.s2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))
dimpropd.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐾)
dimpropd.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝐿)
dimpropd.p1	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐹))
dimpropd.p2	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐺))
dimpropd.a	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
dimpropd.v1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ LVec)
dimpropd.v2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
dimpropd	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐾) = (dim‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem dimpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dimpropd.v1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ LVec)
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝐾) = (LBasis‘𝐾)
3	2	lbsex 21163	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ LVec → (LBasis‘𝐾) ≠ ∅)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LBasis‘𝐾) ≠ ∅)
5		n0 4293	. . 3 ⊢ ((LBasis‘𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾))
6	4, 5	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾))
7	2	dimval 33745	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ LVec ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → (dim‘𝐾) = (♯‘𝑥))
8	1, 7	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → (dim‘𝐾) = (♯‘𝑥))
9		dimpropd.v2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ LVec)
10		dimpropd.b1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
11		dimpropd.b2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
12		dimpropd.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑊)
13		dimpropd.p	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
14		dimpropd.s1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
15		dimpropd.s2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))
16		dimpropd.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐾)
17		dimpropd.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝐿)
18		dimpropd.p1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐹))
19		dimpropd.p2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐺))
20		dimpropd.a	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
21	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 1, 9	lbspropd 21094	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (LBasis‘𝐾) = (LBasis‘𝐿))
22	21	eleq2d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾) ↔ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐿)))
23	22	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐿))
24		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝐿) = (LBasis‘𝐿)
25	24	dimval 33745	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ LVec ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐿)) → (dim‘𝐿) = (♯‘𝑥))
26	9, 23, 25	syl2an2r 686	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → (dim‘𝐿) = (♯‘𝑥))
27	8, 26	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → (dim‘𝐾) = (dim‘𝐿))
28	6, 27	exlimddv 1937	1 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐾) = (dim‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ♯chash 14292  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  LBasisclbs 21069  LVecclvec 21097  dimcldim 33743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-reg 9507  ax-inf2 9562  ax-ac2 10385  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-rpss 7677  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-oi 9425  df-r1 9688  df-rank 9689  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-ac 10038  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ocomp 17241  df-0g 17404  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-mri 17550  df-acs 17551  df-proset 18260  df-drs 18261  df-poset 18279  df-ipo 18494  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lbs 21070  df-lvec 21098  df-dim 33744

This theorem is referenced by:  tngdim  33757  matdim  33759  algextdeglem8  33868