Theorem dimpropd 33940

Description: If two structures have the same components (properties), they have the same dimension. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dimpropd.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
dimpropd.b2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
dimpropd.w	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑊)
dimpropd.p	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
dimpropd.s1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
dimpropd.s2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))
dimpropd.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐾)
dimpropd.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝐿)
dimpropd.p1	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐹))
dimpropd.p2	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐺))
dimpropd.a	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
dimpropd.v1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ LVec)
dimpropd.v2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
dimpropd	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐾) = (dim‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem dimpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dimpropd.v1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ LVec)
2		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝐾) = (LBasis‘𝐾)
3	2	lbsex 21263	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ LVec → (LBasis‘𝐾) ≠ ∅)
4	1, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LBasis‘𝐾) ≠ ∅)
5		n0 4314	. . 3 ⊢ ((LBasis‘𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾))
6	4, 5	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾))
7	2	dimval 33932	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ LVec ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → (dim‘𝐾) = (♯‘𝑥))
8	1, 7	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → (dim‘𝐾) = (♯‘𝑥))
9		dimpropd.v2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ LVec)
10		dimpropd.b1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
11		dimpropd.b2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
12		dimpropd.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑊)
13		dimpropd.p	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
14		dimpropd.s1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
15		dimpropd.s2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))
16		dimpropd.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐾)
17		dimpropd.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝐿)
18		dimpropd.p1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐹))
19		dimpropd.p2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐺))
20		dimpropd.a	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
21	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 1, 9	lbspropd 21194	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (LBasis‘𝐾) = (LBasis‘𝐿))
22	21	eleq2d 2855	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾) ↔ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐿)))
23	22	biimpa 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐿))
24		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝐿) = (LBasis‘𝐿)
25	24	dimval 33932	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ LVec ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐿)) → (dim‘𝐿) = (♯‘𝑥))
26	9, 23, 25	syl2an2r 697	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → (dim‘𝐿) = (♯‘𝑥))
27	8, 26	eqtr4d 2807	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → (dim‘𝐾) = (dim‘𝐿))
28	6, 27	exlimddv 1962	1 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐾) = (dim‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ♯chash 14362  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  Scalarcsca 17309   ·_𝑠 cvsca 17310  LBasisclbs 21169  LVecclvec 21197  dimcldim 33930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-reg 9550  ax-inf2 9606  ax-ac2 10443  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-rpss 7718  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-oi 9468  df-r1 9732  df-rank 9733  df-dju 9883  df-card 9921  df-acn 9924  df-ac 10096  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-xnn0 12574  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-hash 14363  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ocomp 17327  df-0g 17490  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-mri 17636  df-acs 17637  df-proset 18346  df-drs 18347  df-poset 18365  df-ipo 18580  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-subg 19185  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-drng 20811  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-lsp 21067  df-lbs 21170  df-lvec 21198  df-dim 33931

This theorem is referenced by:  tngdim  33944  matdim  33946  algextdeglem8  34055