Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dimpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dimpropd 31064
 Description: If two structures have the same components (properties), they have the same dimension. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dimpropd.b1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
dimpropd.b2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
dimpropd.w (𝜑𝐵𝑊)
dimpropd.p ((𝜑 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
dimpropd.s1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
dimpropd.s2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝐿)𝑦))
dimpropd.f 𝐹 = (Scalar‘𝐾)
dimpropd.g 𝐺 = (Scalar‘𝐿)
dimpropd.p1 (𝜑𝑃 = (Base‘𝐹))
dimpropd.p2 (𝜑𝑃 = (Base‘𝐺))
dimpropd.a ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → (𝑥(+g𝐹)𝑦) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
dimpropd.v1 (𝜑𝐾 ∈ LVec)
dimpropd.v2 (𝜑𝐿 ∈ LVec)
Assertion
Ref Expression
dimpropd (𝜑 → (dim‘𝐾) = (dim‘𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem dimpropd
StepHypRef Expression
1 dimpropd.v1 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ LVec)
2 eqid 2822 . . . . 5 (LBasis‘𝐾) = (LBasis‘𝐾)
32lbsex 19928 . . . 4 (𝐾 ∈ LVec → (LBasis‘𝐾) ≠ ∅)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → (LBasis‘𝐾) ≠ ∅)
5 n0 4282 . . 3 ((LBasis‘𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾))
64, 5sylib 221 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾))
72dimval 31058 . . . 4 ((𝐾 ∈ LVec ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → (dim‘𝐾) = (♯‘𝑥))
81, 7sylan 583 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → (dim‘𝐾) = (♯‘𝑥))
9 dimpropd.v2 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ LVec)
10 dimpropd.b1 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
11 dimpropd.b2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
12 dimpropd.w . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑊)
13 dimpropd.p . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
14 dimpropd.s1 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
15 dimpropd.s2 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝐿)𝑦))
16 dimpropd.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝐾)
17 dimpropd.g . . . . . . 7 𝐺 = (Scalar‘𝐿)
18 dimpropd.p1 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 = (Base‘𝐹))
19 dimpropd.p2 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 = (Base‘𝐺))
20 dimpropd.a . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → (𝑥(+g𝐹)𝑦) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
2110, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 1, 9lbspropd 19862 . . . . . 6 (𝜑 → (LBasis‘𝐾) = (LBasis‘𝐿))
2221eleq2d 2899 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾) ↔ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐿)))
2322biimpa 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐿))
24 eqid 2822 . . . . 5 (LBasis‘𝐿) = (LBasis‘𝐿)
2524dimval 31058 . . . 4 ((𝐿 ∈ LVec ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐿)) → (dim‘𝐿) = (♯‘𝑥))
269, 23, 25syl2an2r 684 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → (dim‘𝐿) = (♯‘𝑥))
278, 26eqtr4d 2860 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → (dim‘𝐾) = (dim‘𝐿))
286, 27exlimddv 1936 1 (𝜑 → (dim‘𝐾) = (dim‘𝐿))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011   ⊆ wss 3908  ∅c0 4265  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ♯chash 13686  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  Scalarcsca 16559   ·𝑠 cvsca 16560  LBasisclbs 19837  LVecclvec 19865  dimcldim 31056 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-reg 9044  ax-inf2 9092  ax-ac2 9874  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-rpss 7434  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-oi 8962  df-r1 9181  df-rank 9182  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9531  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ocomp 16577  df-0g 16706  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-mri 16850  df-acs 16851  df-proset 17529  df-drs 17530  df-poset 17547  df-ipo 17753  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-drng 19495  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-lsp 19735  df-lbs 19838  df-lvec 19866  df-dim 31057 This theorem is referenced by:  tngdim  31068  matdim  31070
 Copyright terms: Public domain W3C validator