Theorem dimpropd 33800

Description: If two structures have the same components (properties), they have the same dimension. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dimpropd.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
dimpropd.b2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
dimpropd.w	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑊)
dimpropd.p	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
dimpropd.s1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
dimpropd.s2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))
dimpropd.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐾)
dimpropd.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝐿)
dimpropd.p1	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐹))
dimpropd.p2	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐺))
dimpropd.a	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
dimpropd.v1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ LVec)
dimpropd.v2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
dimpropd	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐾) = (dim‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem dimpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dimpropd.v1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ LVec)
2		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝐾) = (LBasis‘𝐾)
3	2	lbsex 21165	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ LVec → (LBasis‘𝐾) ≠ ∅)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LBasis‘𝐾) ≠ ∅)
5		n0 4288	. . 3 ⊢ ((LBasis‘𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾))
6	4, 5	sylib 219	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾))
7	2	dimval 33792	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ LVec ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → (dim‘𝐾) = (♯‘𝑥))
8	1, 7	sylan 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → (dim‘𝐾) = (♯‘𝑥))
9		dimpropd.v2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ LVec)
10		dimpropd.b1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
11		dimpropd.b2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
12		dimpropd.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑊)
13		dimpropd.p	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
14		dimpropd.s1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
15		dimpropd.s2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))
16		dimpropd.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐾)
17		dimpropd.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝐿)
18		dimpropd.p1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐹))
19		dimpropd.p2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘𝐺))
20		dimpropd.a	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
21	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 1, 9	lbspropd 21096	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (LBasis‘𝐾) = (LBasis‘𝐿))
22	21	eleq2d 2826	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾) ↔ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐿)))
23	22	biimpa 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐿))
24		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝐿) = (LBasis‘𝐿)
25	24	dimval 33792	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ LVec ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐿)) → (dim‘𝐿) = (♯‘𝑥))
26	9, 23, 25	syl2an2r 691	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → (dim‘𝐿) = (♯‘𝑥))
27	8, 26	eqtr4d 2778	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝐾)) → (dim‘𝐾) = (dim‘𝐿))
28	6, 27	exlimddv 1942	1 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐾) = (dim‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ♯chash 14290  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  Scalarcsca 17221   ·_𝑠 cvsca 17222  LBasisclbs 21071  LVecclvec 21099  dimcldim 33790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-reg 9504  ax-inf2 9560  ax-ac2 10383  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-rpss 7673  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-oi 9422  df-r1 9686  df-rank 9687  df-dju 9823  df-card 9861  df-acn 9864  df-ac 10036  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ocomp 17239  df-0g 17402  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-mri 17548  df-acs 17549  df-proset 18258  df-drs 18259  df-poset 18277  df-ipo 18492  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-subg 19097  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-drng 20710  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-lbs 21072  df-lvec 21100  df-dim 33791

This theorem is referenced by:  tngdim  33804  matdim  33806  algextdeglem8  33915