Theorem lhpex2leN 40037

Description: There exist at least two different atoms under a co-atom. This allows to create a line under the co-atom. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhp2at.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhp2at.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2at.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpex2leN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐻,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   ≤ ,𝑝,𝑞   𝑊,𝑝,𝑞

Proof of Theorem lhpex2leN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → 𝑝 ≤ 𝑊)
2		lhp2at.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		lhp2at.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		lhp2at.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	2, 3, 4	lhpexle1 40032	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝))
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝))
7	1, 6	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)))
8		necom 2986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ≠ 𝑞 ↔ 𝑞 ≠ 𝑝)
9	8	3anbi3i 1159	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝))
10		3anass 1094	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)))
11	9, 10	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)))
12	11	rexbii 3084	. . . 4 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)))
13		r19.42v 3177	. . . 4 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)))
14	12, 13	bitr2i 276	. . 3 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞))
15	7, 14	sylib 218	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞))
16	2, 3, 4	lhpexle 40029	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑊)
17	15, 16	reximddv 3157	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  lecple 17283  Atomscatm 39286  HLchlt 39373  LHypclh 40008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-proset 18311  df-poset 18330  df-plt 18345  df-lub 18361  df-glb 18362  df-join 18363  df-meet 18364  df-p0 18440  df-p1 18441  df-lat 18447  df-clat 18514  df-oposet 39199  df-ol 39201  df-oml 39202  df-covers 39289  df-ats 39290  df-atl 39321  df-cvlat 39345  df-hlat 39374  df-lhyp 40012

This theorem is referenced by: (None)