Theorem lhpex2leN 40873

Description: There exist at least two different atoms under a co-atom. This allows to create a line under the co-atom. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhp2at.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhp2at.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2at.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpex2leN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐻,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   ≤ ,𝑝,𝑞   𝑊,𝑝,𝑞

Proof of Theorem lhpex2leN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 785	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → 𝑝 ≤ 𝑊)
2		lhp2at.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		lhp2at.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		lhp2at.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	2, 3, 4	lhpexle1 40868	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝))
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝))
7	1, 6	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)))
8		necom 3010	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ≠ 𝑞 ↔ 𝑞 ≠ 𝑝)
9	8	3anbi3i 1177	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝))
10		3anass 1111	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)))
11	9, 10	bitri 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)))
12	11	rexbii 3111	. . . 4 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)))
13		r19.42v 3196	. . . 4 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)))
14	12, 13	bitr2i 279	. . 3 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞))
15	7, 14	sylib 221	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞))
16	2, 3, 4	lhpexle 40865	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑊)
17	15, 16	reximddv 3180	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  lecple 17353  Atomscatm 40123  HLchlt 40210  LHypclh 40844

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-proset 18386  df-poset 18405  df-plt 18420  df-lub 18436  df-glb 18437  df-join 18438  df-meet 18439  df-p0 18515  df-p1 18516  df-lat 18524  df-clat 18591  df-oposet 40036  df-ol 40038  df-oml 40039  df-covers 40126  df-ats 40127  df-atl 40158  df-cvlat 40182  df-hlat 40211  df-lhyp 40848

This theorem is used by: (None)