Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpex2leN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpex2leN 36025
Description: There exist at least two different atoms under a co-atom. This allows us to create a line under the co-atom. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2at.l = (le‘𝐾)
lhp2at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2at.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpex2leN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑝𝑞))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐻,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   ,𝑝,𝑞   𝑊,𝑝,𝑞

Proof of Theorem lhpex2leN
StepHypRef Expression
1 simprr 790 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑝 𝑊)) → 𝑝 𝑊)
2 lhp2at.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
3 lhp2at.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 lhp2at.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
52, 3, 4lhpexle1 36020 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑞𝐴 (𝑞 𝑊𝑞𝑝))
65adantr 473 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑝 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞 𝑊𝑞𝑝))
71, 6jca 508 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑝 𝑊)) → (𝑝 𝑊 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑞 𝑊𝑞𝑝)))
8 necom 3022 . . . . . . 7 (𝑝𝑞𝑞𝑝)
983anbi3i 1199 . . . . . 6 ((𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑝𝑞) ↔ (𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑞𝑝))
10 3anass 1117 . . . . . 6 ((𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑞𝑝) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑞 𝑊𝑞𝑝)))
119, 10bitri 267 . . . . 5 ((𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑝𝑞) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑞 𝑊𝑞𝑝)))
1211rexbii 3220 . . . 4 (∃𝑞𝐴 (𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑝𝑞) ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑞 𝑊𝑞𝑝)))
13 r19.42v 3271 . . . 4 (∃𝑞𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑞 𝑊𝑞𝑝)) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑞 𝑊𝑞𝑝)))
1412, 13bitr2i 268 . . 3 ((𝑝 𝑊 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑞 𝑊𝑞𝑝)) ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑝𝑞))
157, 14sylib 210 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑝 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 (𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑝𝑞))
162, 3, 4lhpexle 36017 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 𝑝 𝑊)
1715, 16reximddv 3196 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑝𝑞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2969  wrex 3088   class class class wbr 4841  cfv 6099  lecple 16270  Atomscatm 35275  HLchlt 35362  LHypclh 35996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2375  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-proset 17239  df-poset 17257  df-plt 17269  df-lub 17285  df-glb 17286  df-join 17287  df-meet 17288  df-p0 17350  df-p1 17351  df-lat 17357  df-clat 17419  df-oposet 35188  df-ol 35190  df-oml 35191  df-covers 35278  df-ats 35279  df-atl 35310  df-cvlat 35334  df-hlat 35363  df-lhyp 36000
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator