Theorem lhpex2leN 40111

Description: There exist at least two different atoms under a co-atom. This allows to create a line under the co-atom. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhp2at.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhp2at.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2at.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpex2leN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐻,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   ≤ ,𝑝,𝑞   𝑊,𝑝,𝑞

Proof of Theorem lhpex2leN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → 𝑝 ≤ 𝑊)
2		lhp2at.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		lhp2at.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		lhp2at.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	2, 3, 4	lhpexle1 40106	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝))
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝))
7	1, 6	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)))
8		necom 2981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ≠ 𝑞 ↔ 𝑞 ≠ 𝑝)
9	8	3anbi3i 1159	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝))
10		3anass 1094	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)))
11	9, 10	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)))
12	11	rexbii 3079	. . . 4 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)))
13		r19.42v 3164	. . . 4 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)))
14	12, 13	bitr2i 276	. . 3 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞))
15	7, 14	sylib 218	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞))
16	2, 3, 4	lhpexle 40103	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑊)
17	15, 16	reximddv 3148	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  lecple 17168  Atomscatm 39361  HLchlt 39448  LHypclh 40082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-oposet 39274  df-ol 39276  df-oml 39277  df-covers 39364  df-ats 39365  df-atl 39396  df-cvlat 39420  df-hlat 39449  df-lhyp 40086

This theorem is referenced by: (None)