Theorem lhpex2leN 40341

Description: There exist at least two different atoms under a co-atom. This allows to create a line under the co-atom. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhp2at.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhp2at.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2at.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpex2leN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐻,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   ≤ ,𝑝,𝑞   𝑊,𝑝,𝑞

Proof of Theorem lhpex2leN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 773	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → 𝑝 ≤ 𝑊)
2		lhp2at.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		lhp2at.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		lhp2at.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	2, 3, 4	lhpexle1 40336	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝))
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝))
7	1, 6	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)))
8		necom 2986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ≠ 𝑞 ↔ 𝑞 ≠ 𝑝)
9	8	3anbi3i 1160	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝))
10		3anass 1095	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)))
11	9, 10	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)))
12	11	rexbii 3084	. . . 4 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)))
13		r19.42v 3169	. . . 4 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)))
14	12, 13	bitr2i 276	. . 3 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞))
15	7, 14	sylib 218	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞))
16	2, 3, 4	lhpexle 40333	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑊)
17	15, 16	reximddv 3153	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  lecple 17188  Atomscatm 39591  HLchlt 39678  LHypclh 40312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-proset 18221  df-poset 18240  df-plt 18255  df-lub 18271  df-glb 18272  df-join 18273  df-meet 18274  df-p0 18350  df-p1 18351  df-lat 18359  df-clat 18426  df-oposet 39504  df-ol 39506  df-oml 39507  df-covers 39594  df-ats 39595  df-atl 39626  df-cvlat 39650  df-hlat 39679  df-lhyp 40316

This theorem is referenced by: (None)