Theorem lhpex2leN 40000

Description: There exist at least two different atoms under a co-atom. This allows to create a line under the co-atom. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhp2at.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhp2at.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2at.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpex2leN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐻,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   ≤ ,𝑝,𝑞   𝑊,𝑝,𝑞

Proof of Theorem lhpex2leN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → 𝑝 ≤ 𝑊)
2		lhp2at.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		lhp2at.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		lhp2at.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	2, 3, 4	lhpexle1 39995	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝))
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝))
7	1, 6	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)))
8		necom 2978	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ≠ 𝑞 ↔ 𝑞 ≠ 𝑝)
9	8	3anbi3i 1159	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝))
10		3anass 1094	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)))
11	9, 10	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)))
12	11	rexbii 3076	. . . 4 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)))
13		r19.42v 3167	. . . 4 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)) ↔ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)))
14	12, 13	bitr2i 276	. . 3 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≠ 𝑝)) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞))
15	7, 14	sylib 218	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞))
16	2, 3, 4	lhpexle 39992	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑊)
17	15, 16	reximddv 3149	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  lecple 17203  Atomscatm 39249  HLchlt 39336  LHypclh 39971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-proset 18235  df-poset 18254  df-plt 18269  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-p0 18364  df-p1 18365  df-lat 18373  df-clat 18440  df-oposet 39162  df-ol 39164  df-oml 39165  df-covers 39252  df-ats 39253  df-atl 39284  df-cvlat 39308  df-hlat 39337  df-lhyp 39975

This theorem is referenced by: (None)