Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpex2leN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpex2leN 37141
Description: There exist at least two different atoms under a co-atom. This allows us to create a line under the co-atom. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2at.l = (le‘𝐾)
lhp2at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2at.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpex2leN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑝𝑞))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐻,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   ,𝑝,𝑞   𝑊,𝑝,𝑞

Proof of Theorem lhpex2leN
StepHypRef Expression
1 simprr 771 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑝 𝑊)) → 𝑝 𝑊)
2 lhp2at.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
3 lhp2at.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 lhp2at.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
52, 3, 4lhpexle1 37136 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑞𝐴 (𝑞 𝑊𝑞𝑝))
65adantr 483 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑝 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞 𝑊𝑞𝑝))
71, 6jca 514 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑝 𝑊)) → (𝑝 𝑊 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑞 𝑊𝑞𝑝)))
8 necom 3067 . . . . . . 7 (𝑝𝑞𝑞𝑝)
983anbi3i 1153 . . . . . 6 ((𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑝𝑞) ↔ (𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑞𝑝))
10 3anass 1089 . . . . . 6 ((𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑞𝑝) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑞 𝑊𝑞𝑝)))
119, 10bitri 277 . . . . 5 ((𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑝𝑞) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑞 𝑊𝑞𝑝)))
1211rexbii 3245 . . . 4 (∃𝑞𝐴 (𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑝𝑞) ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑞 𝑊𝑞𝑝)))
13 r19.42v 3348 . . . 4 (∃𝑞𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑞 𝑊𝑞𝑝)) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑞 𝑊𝑞𝑝)))
1412, 13bitr2i 278 . . 3 ((𝑝 𝑊 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑞 𝑊𝑞𝑝)) ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑝𝑞))
157, 14sylib 220 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑝 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 (𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑝𝑞))
162, 3, 4lhpexle 37133 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 𝑝 𝑊)
1715, 16reximddv 3273 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑝𝑞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  wrex 3137   class class class wbr 5057  cfv 6348  lecple 16564  Atomscatm 36391  HLchlt 36478  LHypclh 37112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36304  df-ol 36306  df-oml 36307  df-covers 36394  df-ats 36395  df-atl 36426  df-cvlat 36450  df-hlat 36479  df-lhyp 37116
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator