Theorem lhpocat 38278

Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom. (Contributed by NM, 9-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpocat.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
lhpocat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpocat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpocat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lhpocat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ 𝐻)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		lhpocat.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	2, 3	lhpbase 38259	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5		lhpocat.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
6		lhpocat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	2, 5, 6, 3	lhpoc 38275	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴))
8	4, 7	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴))
9	1, 8	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6473  Basecbs 17001  occoc 17059  Atomscatm 37523  HLchlt 37610  LHypclh 38245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-id 5512  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-proset 18102  df-poset 18120  df-plt 18137  df-lub 18153  df-glb 18154  df-p0 18232  df-p1 18233  df-oposet 37436  df-ol 37438  df-oml 37439  df-covers 37526  df-ats 37527  df-hlat 37611  df-lhyp 38249

This theorem is referenced by:  lhpocnel  38279  lhpmod2i2  38299  lhpmod6i1  38300  dihat  39596