Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpocat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpocat 35824
Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom. (Contributed by NM, 9-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpocat.o = (oc‘𝐾)
lhpocat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpocat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpocat ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( 𝑊) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lhpocat
StepHypRef Expression
1 simpr 471 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊𝐻)
2 eqid 2771 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 lhpocat.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
42, 3lhpbase 35805 . . 3 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5 lhpocat.o . . . 4 = (oc‘𝐾)
6 lhpocat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
72, 5, 6, 3lhpoc 35821 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊𝐻 ↔ ( 𝑊) ∈ 𝐴))
84, 7sylan2 580 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑊𝐻 ↔ ( 𝑊) ∈ 𝐴))
91, 8mpbid 222 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( 𝑊) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6030  Basecbs 16064  occoc 16157  Atomscatm 35070  HLchlt 35157  LHypclh 35791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-p0 17247  df-p1 17248  df-oposet 34983  df-ol 34985  df-oml 34986  df-covers 35073  df-ats 35074  df-hlat 35158  df-lhyp 35795
This theorem is referenced by:  lhpocnel  35825  lhpmod2i2  35845  lhpmod6i1  35846  dihat  37143
  Copyright terms: Public domain W3C validator