Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpocat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpocat 38336
Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom. (Contributed by NM, 9-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpocat.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
lhpocat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhpocat.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhpocat ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Š) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lhpocat
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
2 eqid 2736 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 lhpocat.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
42, 3lhpbase 38317 . . 3 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5 lhpocat.o . . . 4 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
6 lhpocat.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
72, 5, 6, 3lhpoc 38333 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘Š ∈ 𝐻 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘Š) ∈ 𝐴))
84, 7sylan2 593 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (π‘Š ∈ 𝐻 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘Š) ∈ 𝐴))
91, 8mpbid 231 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘Š) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  β€˜cfv 6480  Basecbs 17010  occoc 17068  Atomscatm 37581  HLchlt 37668  LHypclh 38303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-id 5519  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-proset 18111  df-poset 18129  df-plt 18146  df-lub 18162  df-glb 18163  df-p0 18241  df-p1 18242  df-oposet 37494  df-ol 37496  df-oml 37497  df-covers 37584  df-ats 37585  df-hlat 37669  df-lhyp 38307
This theorem is referenced by:  lhpocnel  38337  lhpmod2i2  38357  lhpmod6i1  38358  dihat  39654
  Copyright terms: Public domain W3C validator