Theorem lhpocat 40893

Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom. (Contributed by NM, 9-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpocat.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
lhpocat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpocat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpocat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lhpocat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ 𝐻)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		lhpocat.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	2, 3	lhpbase 40874	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5		lhpocat.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
6		lhpocat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	2, 5, 6, 3	lhpoc 40890	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴))
8	4, 7	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴))
9	1, 8	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  Basecbs 17304  occoc 17353  Atomscatm 40139  HLchlt 40226  LHypclh 40860

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-proset 18385  df-poset 18404  df-plt 18419  df-lub 18435  df-glb 18436  df-p0 18514  df-p1 18515  df-oposet 40052  df-ol 40054  df-oml 40055  df-covers 40142  df-ats 40143  df-hlat 40227  df-lhyp 40864

This theorem is used by:  lhpocnel  40894  lhpmod2i2  40914  lhpmod6i1  40915  dihat  42211