Theorem lhpocat 38010

Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom. (Contributed by NM, 9-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpocat.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
lhpocat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpocat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpocat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lhpocat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ 𝐻)
2		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		lhpocat.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	2, 3	lhpbase 37991	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5		lhpocat.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
6		lhpocat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	2, 5, 6, 3	lhpoc 38007	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴))
8	4, 7	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴))
9	1, 8	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6430  Basecbs 16893  occoc 16951  Atomscatm 37256  HLchlt 37343  LHypclh 37977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-proset 17994  df-poset 18012  df-plt 18029  df-lub 18045  df-glb 18046  df-p0 18124  df-p1 18125  df-oposet 37169  df-ol 37171  df-oml 37172  df-covers 37259  df-ats 37260  df-hlat 37344  df-lhyp 37981

This theorem is referenced by:  lhpocnel  38011  lhpmod2i2  38031  lhpmod6i1  38032  dihat  39328