Theorem lhpocat 39984

Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom. (Contributed by NM, 9-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpocat.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
lhpocat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpocat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpocat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lhpocat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ 𝐻)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		lhpocat.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	2, 3	lhpbase 39965	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5		lhpocat.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
6		lhpocat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	2, 5, 6, 3	lhpoc 39981	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴))
8	4, 7	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴))
9	1, 8	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  occoc 17204  Atomscatm 39229  HLchlt 39316  LHypclh 39951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-proset 18231  df-poset 18250  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-p0 18360  df-p1 18361  df-oposet 39142  df-ol 39144  df-oml 39145  df-covers 39232  df-ats 39233  df-hlat 39317  df-lhyp 39955

This theorem is referenced by:  lhpocnel  39985  lhpmod2i2  40005  lhpmod6i1  40006  dihat  41302