Theorem lhpocat 40000

Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom. (Contributed by NM, 9-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpocat.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
lhpocat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpocat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpocat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lhpocat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ 𝐻)
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		lhpocat.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	2, 3	lhpbase 39981	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5		lhpocat.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
6		lhpocat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	2, 5, 6, 3	lhpoc 39997	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴))
8	4, 7	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴))
9	1, 8	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  occoc 17306  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  LHypclh 39967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-p0 18483  df-p1 18484  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-hlat 39333  df-lhyp 39971

This theorem is referenced by:  lhpocnel  40001  lhpmod2i2  40021  lhpmod6i1  40022  dihat  41318