Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincext2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lincext2 47411
Description: Property 2 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincext.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
lincext.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lincext.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
lincext.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
lincext.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
lincext.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
lincext.f 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§)))
Assertion
Ref Expression
lincext2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝑧,𝐡   𝑧,𝐸   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑆   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝑁(𝑧)   0 (𝑧)   𝑍(𝑧)
Proof of Theorem lincext2
StepHypRef Expression
1 fvex 6898 . . . . . 6 (π‘β€˜π‘Œ) ∈ V
2 fvex 6898 . . . . . 6 (πΊβ€˜π‘§) ∈ V
31, 2ifex 4573 . . . . 5 if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§)) ∈ V
4 lincext.f . . . . 5 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§)))
53, 4dmmpti 6688 . . . 4 dom 𝐹 = 𝑆
65difeq1i 4113 . . 3 (dom 𝐹 βˆ– (𝑆 βˆ– {𝑋})) = (𝑆 βˆ– (𝑆 βˆ– {𝑋}))
7 snssi 4806 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑆 β†’ {𝑋} βŠ† 𝑆)
873ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ {𝑋} βŠ† 𝑆)
983ad2ant2 1131 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ {𝑋} βŠ† 𝑆)
10 dfss4 4253 . . . . 5 ({𝑋} βŠ† 𝑆 ↔ (𝑆 βˆ– (𝑆 βˆ– {𝑋})) = {𝑋})
119, 10sylib 217 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ (𝑆 βˆ– (𝑆 βˆ– {𝑋})) = {𝑋})
12 snfi 9046 . . . 4 {𝑋} ∈ Fin
1311, 12eqeltrdi 2835 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ (𝑆 βˆ– (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∈ Fin)
146, 13eqeltrid 2831 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ (dom 𝐹 βˆ– (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∈ Fin)
15 lincext.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
16 lincext.r . . . 4 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
17 lincext.e . . . 4 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
18 lincext.0 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
19 lincext.z . . . 4 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
20 lincext.n . . . 4 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
2115, 16, 17, 18, 19, 20, 4lincext1 47410 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
22213adant3 1129 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
23 elmapfun 8862 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) β†’ Fun 𝐹)
2422, 23syl 17 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ Fun 𝐹)
25 elmapi 8845 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸)
264fdmdifeqresdif 47293 . . . . 5 (𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸 β†’ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})))
2725, 26syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})))
28273ad2ant3 1132 . . 3 ((π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})))
29283ad2ant2 1131 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})))
30 simp3 1135 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ 𝐺 finSupp 0 )
3118fvexi 6899 . . 3 0 ∈ V
3231a1i 11 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ 0 ∈ V)
3314, 22, 24, 29, 30, 32resfsupp 9393 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  ifcif 4523  π’« cpw 4597  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671  Fun wfun 6531  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209  0gc0g 17394  invgcminusg 18864  LModclmod 20706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-1o 8467  df-map 8824  df-en 8942  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-ring 20140  df-lmod 20708
This theorem is referenced by:  lincext3  47412  lindslinindsimp1  47413  islindeps2  47439
  Copyright terms: Public domain W3C validator