Theorem lincext2 49235

Description: Property 2 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincext.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincext.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincext.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincext.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lincext.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincext.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincext.f	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)))

Assertion

Ref	Expression
lincext2	⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐸   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑆   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝑁(𝑧)   0 (𝑧)   𝑍(𝑧)

Proof of Theorem lincext2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝑁‘𝑌) ∈ V
2		fvex 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝐺‘𝑧) ∈ V
3	1, 2	ifex 4538	. . . . 5 ⊢ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)) ∈ V
4		lincext.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)))
5	3, 4	dmmpti 6679	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = 𝑆
6	5	difeq1i 4077	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 ∖ (𝑆 ∖ {𝑋})) = (𝑆 ∖ (𝑆 ∖ {𝑋}))
7		snssi 4751	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → {𝑋} ⊆ 𝑆)
8	7	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) → {𝑋} ⊆ 𝑆)
9	8	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → {𝑋} ⊆ 𝑆)
10		dfss4 4222	. . . . 5 ⊢ ({𝑋} ⊆ 𝑆 ↔ (𝑆 ∖ (𝑆 ∖ {𝑋})) = {𝑋})
11	9, 10	sylib 221	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → (𝑆 ∖ (𝑆 ∖ {𝑋})) = {𝑋})
12		snfi 9036	. . . 4 ⊢ {𝑋} ∈ Fin
13	11, 12	eqeltrdi 2871	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → (𝑆 ∖ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ Fin)
14	6, 13	eqeltrid 2867	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → (dom 𝐹 ∖ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ Fin)
15		lincext.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
16		lincext.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
17		lincext.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
18		lincext.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19		lincext.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
20		lincext.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
21	15, 16, 17, 18, 19, 20, 4	lincext1 49234	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
22	21	3adant3 1150	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
23		elmapfun 8859	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → Fun 𝐹)
24	22, 23	syl 18	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → Fun 𝐹)
25		elmapi 8842	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸)
26	4	fdmdifeqresdif 49122	. . . . 5 ⊢ (𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
27	25, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
28	27	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
29	28	3ad2ant2 1152	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
30		simp3 1156	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 𝐺 finSupp 0 )
31	18	fvexi 6895	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
32	31	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 0 ∈ V)
33	14, 22, 24, 29, 30, 32	resfsupp 9352	1 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  ifcif 4487  𝒫 cpw 4562  {csn 4589   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5661   ↾ cres 5663  Fun wfun 6530  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9317  Basecbs 17264  Scalarcsca 17308  0_gc0g 17487  inv_gcminusg 18996  LModclmod 20981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-1o 8449  df-map 8822  df-en 8940  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-ring 20312  df-lmod 20983

This theorem is referenced by:  lincext3  49236  lindslinindsimp1  49237  islindeps2  49263