Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincext2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lincext2 47619
Description: Property 2 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincext.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
lincext.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lincext.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
lincext.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
lincext.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
lincext.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
lincext.f 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§)))
Assertion
Ref Expression
lincext2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝑧,𝐡   𝑧,𝐸   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑆   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝑁(𝑧)   0 (𝑧)   𝑍(𝑧)
Proof of Theorem lincext2
StepHypRef Expression
1 fvex 6915 . . . . . 6 (π‘β€˜π‘Œ) ∈ V
2 fvex 6915 . . . . . 6 (πΊβ€˜π‘§) ∈ V
31, 2ifex 4582 . . . . 5 if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§)) ∈ V
4 lincext.f . . . . 5 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§)))
53, 4dmmpti 6704 . . . 4 dom 𝐹 = 𝑆
65difeq1i 4118 . . 3 (dom 𝐹 βˆ– (𝑆 βˆ– {𝑋})) = (𝑆 βˆ– (𝑆 βˆ– {𝑋}))
7 snssi 4816 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑆 β†’ {𝑋} βŠ† 𝑆)
873ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ {𝑋} βŠ† 𝑆)
983ad2ant2 1131 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ {𝑋} βŠ† 𝑆)
10 dfss4 4261 . . . . 5 ({𝑋} βŠ† 𝑆 ↔ (𝑆 βˆ– (𝑆 βˆ– {𝑋})) = {𝑋})
119, 10sylib 217 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ (𝑆 βˆ– (𝑆 βˆ– {𝑋})) = {𝑋})
12 snfi 9077 . . . 4 {𝑋} ∈ Fin
1311, 12eqeltrdi 2837 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ (𝑆 βˆ– (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∈ Fin)
146, 13eqeltrid 2833 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ (dom 𝐹 βˆ– (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∈ Fin)
15 lincext.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
16 lincext.r . . . 4 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
17 lincext.e . . . 4 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
18 lincext.0 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
19 lincext.z . . . 4 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
20 lincext.n . . . 4 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
2115, 16, 17, 18, 19, 20, 4lincext1 47618 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
22213adant3 1129 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
23 elmapfun 8893 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) β†’ Fun 𝐹)
2422, 23syl 17 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ Fun 𝐹)
25 elmapi 8876 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸)
264fdmdifeqresdif 47501 . . . . 5 (𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸 β†’ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})))
2725, 26syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})))
28273ad2ant3 1132 . . 3 ((π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})))
29283ad2ant2 1131 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})))
30 simp3 1135 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ 𝐺 finSupp 0 )
3118fvexi 6916 . . 3 0 ∈ V
3231a1i 11 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ 0 ∈ V)
3314, 22, 24, 29, 30, 32resfsupp 9429 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  ifcif 4532  π’« cpw 4606  {csn 4632   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682   β†Ύ cres 5684  Fun wfun 6547  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ↑m cmap 8853  Fincfn 8972   finSupp cfsupp 9395  Basecbs 17189  Scalarcsca 17245  0gc0g 17430  invgcminusg 18905  LModclmod 20757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-1o 8495  df-map 8855  df-en 8973  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-ring 20189  df-lmod 20759
This theorem is referenced by:  lincext3  47620  lindslinindsimp1  47621  islindeps2  47647
  Copyright terms: Public domain W3C validator