Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincext2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lincext2 47089
Description: Property 2 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincext.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
lincext.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lincext.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
lincext.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
lincext.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
lincext.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
lincext.f 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§)))
Assertion
Ref Expression
lincext2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝑧,𝐡   𝑧,𝐸   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑆   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝑁(𝑧)   0 (𝑧)   𝑍(𝑧)
Proof of Theorem lincext2
StepHypRef Expression
1 fvex 6901 . . . . . 6 (π‘β€˜π‘Œ) ∈ V
2 fvex 6901 . . . . . 6 (πΊβ€˜π‘§) ∈ V
31, 2ifex 4577 . . . . 5 if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§)) ∈ V
4 lincext.f . . . . 5 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§)))
53, 4dmmpti 6691 . . . 4 dom 𝐹 = 𝑆
65difeq1i 4117 . . 3 (dom 𝐹 βˆ– (𝑆 βˆ– {𝑋})) = (𝑆 βˆ– (𝑆 βˆ– {𝑋}))
7 snssi 4810 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑆 β†’ {𝑋} βŠ† 𝑆)
873ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ {𝑋} βŠ† 𝑆)
983ad2ant2 1134 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ {𝑋} βŠ† 𝑆)
10 dfss4 4257 . . . . 5 ({𝑋} βŠ† 𝑆 ↔ (𝑆 βˆ– (𝑆 βˆ– {𝑋})) = {𝑋})
119, 10sylib 217 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ (𝑆 βˆ– (𝑆 βˆ– {𝑋})) = {𝑋})
12 snfi 9040 . . . 4 {𝑋} ∈ Fin
1311, 12eqeltrdi 2841 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ (𝑆 βˆ– (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∈ Fin)
146, 13eqeltrid 2837 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ (dom 𝐹 βˆ– (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∈ Fin)
15 lincext.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
16 lincext.r . . . 4 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
17 lincext.e . . . 4 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
18 lincext.0 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
19 lincext.z . . . 4 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
20 lincext.n . . . 4 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
2115, 16, 17, 18, 19, 20, 4lincext1 47088 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
22213adant3 1132 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
23 elmapfun 8856 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) β†’ Fun 𝐹)
2422, 23syl 17 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ Fun 𝐹)
25 elmapi 8839 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸)
264fdmdifeqresdif 46970 . . . . 5 (𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸 β†’ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})))
2725, 26syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})))
28273ad2ant3 1135 . . 3 ((π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})))
29283ad2ant2 1134 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})))
30 simp3 1138 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ 𝐺 finSupp 0 )
3118fvexi 6902 . . 3 0 ∈ V
3231a1i 11 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ 0 ∈ V)
3314, 22, 24, 29, 30, 32resfsupp 9387 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  π’« cpw 4601  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677  Fun wfun 6534  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196  0gc0g 17381  invgcminusg 18816  LModclmod 20463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-1o 8462  df-map 8818  df-en 8936  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-ring 20051  df-lmod 20465
This theorem is referenced by:  lincext3  47090  lindslinindsimp1  47091  islindeps2  47117
  Copyright terms: Public domain W3C validator