Theorem lincext2 48440

Description: Property 2 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincext.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincext.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincext.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincext.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lincext.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincext.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincext.f	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)))

Assertion

Ref	Expression
lincext2	⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐸   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑆   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝑁(𝑧)   0 (𝑧)   𝑍(𝑧)

Proof of Theorem lincext2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝑁‘𝑌) ∈ V
2		fvex 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝐺‘𝑧) ∈ V
3	1, 2	ifex 4527	. . . . 5 ⊢ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)) ∈ V
4		lincext.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)))
5	3, 4	dmmpti 6626	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = 𝑆
6	5	difeq1i 4073	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 ∖ (𝑆 ∖ {𝑋})) = (𝑆 ∖ (𝑆 ∖ {𝑋}))
7		snssi 4759	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → {𝑋} ⊆ 𝑆)
8	7	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) → {𝑋} ⊆ 𝑆)
9	8	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → {𝑋} ⊆ 𝑆)
10		dfss4 4220	. . . . 5 ⊢ ({𝑋} ⊆ 𝑆 ↔ (𝑆 ∖ (𝑆 ∖ {𝑋})) = {𝑋})
11	9, 10	sylib 218	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → (𝑆 ∖ (𝑆 ∖ {𝑋})) = {𝑋})
12		snfi 8968	. . . 4 ⊢ {𝑋} ∈ Fin
13	11, 12	eqeltrdi 2836	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → (𝑆 ∖ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ Fin)
14	6, 13	eqeltrid 2832	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → (dom 𝐹 ∖ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ Fin)
15		lincext.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
16		lincext.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
17		lincext.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
18		lincext.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19		lincext.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
20		lincext.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
21	15, 16, 17, 18, 19, 20, 4	lincext1 48439	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
22	21	3adant3 1132	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
23		elmapfun 8793	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → Fun 𝐹)
24	22, 23	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → Fun 𝐹)
25		elmapi 8776	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸)
26	4	fdmdifeqresdif 48326	. . . . 5 ⊢ (𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
27	25, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
28	27	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
29	28	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
30		simp3 1138	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 𝐺 finSupp 0 )
31	18	fvexi 6836	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
32	31	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 0 ∈ V)
33	14, 22, 24, 29, 30, 32	resfsupp 9286	1 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  ifcif 4476  𝒫 cpw 4551  {csn 4577   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  dom cdm 5619   ↾ cres 5621  Fun wfun 6476  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ↑_m cmap 8753  Fincfn 8872   finSupp cfsupp 9251  Basecbs 17120  Scalarcsca 17164  0_gc0g 17343  inv_gcminusg 18813  LModclmod 20763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-1o 8388  df-map 8755  df-en 8873  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-ring 20120  df-lmod 20765

This theorem is referenced by:  lincext3  48441  lindslinindsimp1  48442  islindeps2  48468