Theorem lincext2 48184

Description: Property 2 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincext.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincext.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincext.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincext.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lincext.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincext.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincext.f	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)))

Assertion

Ref	Expression
lincext2	⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐸   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑆   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝑁(𝑧)   0 (𝑧)   𝑍(𝑧)

Proof of Theorem lincext2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6933	. . . . . 6 ⊢ (𝑁‘𝑌) ∈ V
2		fvex 6933	. . . . . 6 ⊢ (𝐺‘𝑧) ∈ V
3	1, 2	ifex 4598	. . . . 5 ⊢ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)) ∈ V
4		lincext.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)))
5	3, 4	dmmpti 6724	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = 𝑆
6	5	difeq1i 4145	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 ∖ (𝑆 ∖ {𝑋})) = (𝑆 ∖ (𝑆 ∖ {𝑋}))
7		snssi 4833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → {𝑋} ⊆ 𝑆)
8	7	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) → {𝑋} ⊆ 𝑆)
9	8	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → {𝑋} ⊆ 𝑆)
10		dfss4 4288	. . . . 5 ⊢ ({𝑋} ⊆ 𝑆 ↔ (𝑆 ∖ (𝑆 ∖ {𝑋})) = {𝑋})
11	9, 10	sylib 218	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → (𝑆 ∖ (𝑆 ∖ {𝑋})) = {𝑋})
12		snfi 9109	. . . 4 ⊢ {𝑋} ∈ Fin
13	11, 12	eqeltrdi 2852	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → (𝑆 ∖ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ Fin)
14	6, 13	eqeltrid 2848	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → (dom 𝐹 ∖ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ Fin)
15		lincext.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
16		lincext.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
17		lincext.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
18		lincext.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19		lincext.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
20		lincext.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
21	15, 16, 17, 18, 19, 20, 4	lincext1 48183	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
22	21	3adant3 1132	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
23		elmapfun 8924	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → Fun 𝐹)
24	22, 23	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → Fun 𝐹)
25		elmapi 8907	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸)
26	4	fdmdifeqresdif 48066	. . . . 5 ⊢ (𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
27	25, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
28	27	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
29	28	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})))
30		simp3 1138	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 𝐺 finSupp 0 )
31	18	fvexi 6934	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
32	31	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 0 ∈ V)
33	14, 22, 24, 29, 30, 32	resfsupp 9465	1 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝐺 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  ifcif 4548  𝒫 cpw 4622  {csn 4648   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700   ↾ cres 5702  Fun wfun 6567  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003   finSupp cfsupp 9431  Basecbs 17258  Scalarcsca 17314  0_gc0g 17499  inv_gcminusg 18974  LModclmod 20880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-1o 8522  df-map 8886  df-en 9004  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-ring 20262  df-lmod 20882

This theorem is referenced by:  lincext3  48185  lindslinindsimp1  48186  islindeps2  48212