Theorem lmodvsneg 19943

Description: Multiplication of a vector by a negated scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lmodvsneg.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsneg.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsneg.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
lmodvsneg.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsneg.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝐹)
lmodvsneg.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodvsneg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lmodvsneg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsneg	⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = ((𝑀‘𝑅) · 𝑋))

Proof of Theorem lmodvsneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsneg.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodvsneg.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodring 19907	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
5		ringgrp 19567	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
7		lmodvsneg.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
9	7, 8	ringidcl 19586	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
10	4, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
11		lmodvsneg.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝐹)
12	7, 11	grpinvcl 18415	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐹) ∈ 𝐾) → (𝑀‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
13	6, 10, 12	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
14		lmodvsneg.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
15		lmodvsneg.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		lmodvsneg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
17		lmodvsneg.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
18		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
19	16, 2, 17, 7, 18	lmodvsass 19924	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑀‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑀‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑀‘(1r‘𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)))
20	1, 13, 14, 15, 19	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑀‘(1r‘𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)))
21	7, 18, 8, 11, 4, 14	ringnegl 19612	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝑅) = (𝑀‘𝑅))
22	21	oveq1d 7228	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑀‘𝑅) · 𝑋))
23	16, 2, 17, 7	lmodvscl 19916	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵)
24	1, 14, 15, 23	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵)
25		lmodvsneg.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
26	16, 25, 2, 17, 8, 11	lmodvneg1 19942	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀‘(1r‘𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))
27	1, 24, 26	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(1r‘𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))
28	20, 22, 27	3eqtr3rd 2786	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = ((𝑀‘𝑅) · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  ._rcmulr 16803  Scalarcsca 16805   ·_𝑠 cvsca 16806  Grpcgrp 18365  inv_gcminusg 18366  1_rcur 19516  Ringcrg 19562  LModclmod 19899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-lmod 19901

This theorem is referenced by:  lmodnegadd  19948  clmvsneg  23997  linds2eq  31289  baerlem5alem1  39459  lincext3  45470  lindslinindimp2lem4  45475  lincresunit3  45495