Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvsneg 19692
 Description: Multiplication of a vector by a negated scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsneg.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
lmodvsneg.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsneg.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvsneg.n 𝑁 = (invg𝑊)
lmodvsneg.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsneg.m 𝑀 = (invg𝐹)
lmodvsneg.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lmodvsneg.x (𝜑𝑋𝐵)
lmodvsneg.r (𝜑𝑅𝐾)
Assertion
Ref Expression
lmodvsneg (𝜑 → (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = ((𝑀𝑅) · 𝑋))

Proof of Theorem lmodvsneg
StepHypRef Expression
1 lmodvsneg.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lmodvsneg.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
32lmodring 19656 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
5 ringgrp 19316 . . . . 5 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
7 lmodvsneg.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
8 eqid 2798 . . . . . 6 (1r𝐹) = (1r𝐹)
97, 8ringidcl 19335 . . . . 5 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
104, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
11 lmodvsneg.m . . . . 5 𝑀 = (invg𝐹)
127, 11grpinvcl 18164 . . . 4 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r𝐹) ∈ 𝐾) → (𝑀‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
136, 10, 12syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
14 lmodvsneg.r . . 3 (𝜑𝑅𝐾)
15 lmodvsneg.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
16 lmodvsneg.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
17 lmodvsneg.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
18 eqid 2798 . . . 4 (.r𝐹) = (.r𝐹)
1916, 2, 17, 7, 18lmodvsass 19673 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑀‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾𝑅𝐾𝑋𝐵)) → (((𝑀‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑀‘(1r𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)))
201, 13, 14, 15, 19syl13anc 1369 . 2 (𝜑 → (((𝑀‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑀‘(1r𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)))
217, 18, 8, 11, 4, 14ringnegl 19361 . . 3 (𝜑 → ((𝑀‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝑅) = (𝑀𝑅))
2221oveq1d 7160 . 2 (𝜑 → (((𝑀‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑀𝑅) · 𝑋))
2316, 2, 17, 7lmodvscl 19665 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵)
241, 14, 15, 23syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵)
25 lmodvsneg.n . . . 4 𝑁 = (invg𝑊)
2616, 25, 2, 17, 8, 11lmodvneg1 19691 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀‘(1r𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))
271, 24, 26syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ((𝑀‘(1r𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))
2820, 22, 273eqtr3rd 2842 1 (𝜑 → (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = ((𝑀𝑅) · 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  Basecbs 16495  .rcmulr 16578  Scalarcsca 16580   ·𝑠 cvsca 16581  Grpcgrp 18115  invgcminusg 18116  1rcur 19265  Ringcrg 19311  LModclmod 19648 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-plusg 16590  df-0g 16727  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-mgp 19254  df-ur 19266  df-ring 19313  df-lmod 19650 This theorem is referenced by:  lmodnegadd  19697  clmvsneg  23746  linds2eq  31044  baerlem5alem1  39155  lincext3  45031  lindslinindimp2lem4  45036  lincresunit3  45056
 Copyright terms: Public domain W3C validator