Theorem lmodsubvs 20813

Description: Subtraction of a scalar product in terms of addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubvs.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodsubvs.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
lmodsubvs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodsubvs.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubvs.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐹)
lmodsubvs.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodsubvs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubvs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodsubvs.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmodsubvs	⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodsubvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubvs.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodsubvs.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lmodsubvs.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
4		lmodsubvs.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
5		lmodsubvs.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		lmodsubvs.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7		lmodsubvs.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
8		lmodsubvs.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
9	5, 6, 7, 8	lmodvscl 20773	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
10	1, 3, 4, 9	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
11		lmodsubvs.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
12		lmodsubvs.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
13		lmodsubvs.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐹)
14		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
15	5, 11, 12, 6, 7, 13, 14	lmodvsubval2 20812	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 − (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
16	1, 2, 10, 15	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
17	6	lmodring 20763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
18	1, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
19		ringgrp 20190	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
21	8, 14	ringidcl 20214	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
22	18, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
23	8, 13	grpinvcl 18952	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐹) ∈ 𝐾) → (𝑁‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
24	20, 22, 23	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
25		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
26	5, 6, 7, 8, 25	lmodvsass 20782	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑁‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
27	1, 24, 3, 4, 26	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
28	8, 25, 14, 13, 18, 3	ringnegl 20250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) = (𝑁‘𝐴))
29	28	oveq1d 7434	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌))
30	27, 29	eqtr3d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌))
31	30	oveq2d 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))) = (𝑋 + ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
32	16, 31	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  +_gcplusg 17236  ._rcmulr 17237  Scalarcsca 17239   ·_𝑠 cvsca 17240  Grpcgrp 18898  inv_gcminusg 18899  -_gcsg 18900  1_rcur 20133  Ringcrg 20185  LModclmod 20755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-plusg 17249  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-lmod 20757

This theorem is referenced by:  lspexch  21029  baerlem5alem1  41311  baerlem5blem1  41312