Theorem lmodsubvs 21223

Description: Subtraction of a scalar product in terms of addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubvs.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodsubvs.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
lmodsubvs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodsubvs.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubvs.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐹)
lmodsubvs.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodsubvs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubvs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodsubvs.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmodsubvs	⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodsubvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubvs.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodsubvs.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lmodsubvs.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
4		lmodsubvs.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
5		lmodsubvs.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		lmodsubvs.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7		lmodsubvs.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
8		lmodsubvs.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
9	5, 6, 7, 8	lmodvscl 21183	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
10	1, 3, 4, 9	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
11		lmodsubvs.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
12		lmodsubvs.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
13		lmodsubvs.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐹)
14		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
15	5, 11, 12, 6, 7, 13, 14	lmodvsubval2 21222	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 − (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
16	1, 2, 10, 15	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
17	6	lmodring 21173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
18	1, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
19		ringgrp 20494	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
20	18, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
21	8, 14	ringidcl 20524	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
22	18, 21	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
23	8, 13	grpinvcl 19227	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐹) ∈ 𝐾) → (𝑁‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
24	20, 22, 23	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
25		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
26	5, 6, 7, 8, 25	lmodvsass 21192	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑁‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
27	1, 24, 3, 4, 26	syl13anc 1400	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
28	8, 25, 14, 13, 18, 3	ringnegl 20563	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) = (𝑁‘𝐴))
29	28	oveq1d 7458	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌))
30	27, 29	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌))
31	30	oveq2d 7459	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))) = (𝑋 + ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
32	16, 31	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  ._rcmulr 17458  Scalarcsca 17460   ·_𝑠 cvsca 17461  Grpcgrp 19173  inv_gcminusg 19174  -_gcsg 19175  1_rcur 20437  Ringcrg 20489  LModclmod 21165

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-plusg 17470  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-lmod 21167

This theorem is used by:  lspexch  21437  baerlem5alem1  42957  baerlem5blem1  42958