MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodsubvs 20160
Description: Subtraction of a scalar product in terms of addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubvs.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubvs.p + = (+g𝑊)
lmodsubvs.m = (-g𝑊)
lmodsubvs.t · = ( ·𝑠𝑊)
lmodsubvs.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubvs.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubvs.n 𝑁 = (invg𝐹)
lmodsubvs.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lmodsubvs.a (𝜑𝐴𝐾)
lmodsubvs.x (𝜑𝑋𝑉)
lmodsubvs.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmodsubvs (𝜑 → (𝑋 (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁𝐴) · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodsubvs
StepHypRef Expression
1 lmodsubvs.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lmodsubvs.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
3 lmodsubvs.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐾)
4 lmodsubvs.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
5 lmodsubvs.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 lmodsubvs.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7 lmodsubvs.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
8 lmodsubvs.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
95, 6, 7, 8lmodvscl 20121 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾𝑌𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
101, 3, 4, 9syl3anc 1369 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
11 lmodsubvs.p . . . 4 + = (+g𝑊)
12 lmodsubvs.m . . . 4 = (-g𝑊)
13 lmodsubvs.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐹)
14 eqid 2739 . . . 4 (1r𝐹) = (1r𝐹)
155, 11, 12, 6, 7, 13, 14lmodvsubval2 20159 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
161, 2, 10, 15syl3anc 1369 . 2 (𝜑 → (𝑋 (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
176lmodring 20112 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
181, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
19 ringgrp 19769 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
218, 14ringidcl 19788 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
2218, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
238, 13grpinvcl 18608 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r𝐹) ∈ 𝐾) → (𝑁‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
2420, 22, 23syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
25 eqid 2739 . . . . . 6 (.r𝐹) = (.r𝐹)
265, 6, 7, 8, 25lmodvsass 20129 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾𝐴𝐾𝑌𝑉)) → (((𝑁‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
271, 24, 3, 4, 26syl13anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
288, 25, 14, 13, 18, 3ringnegl 19814 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) = (𝑁𝐴))
2928oveq1d 7283 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁𝐴) · 𝑌))
3027, 29eqtr3d 2781 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)) = ((𝑁𝐴) · 𝑌))
3130oveq2d 7284 . 2 (𝜑 → (𝑋 + ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))) = (𝑋 + ((𝑁𝐴) · 𝑌)))
3216, 31eqtrd 2779 1 (𝜑 → (𝑋 (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁𝐴) · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2109  cfv 6430  (class class class)co 7268  Basecbs 16893  +gcplusg 16943  .rcmulr 16944  Scalarcsca 16946   ·𝑠 cvsca 16947  Grpcgrp 18558  invgcminusg 18559  -gcsg 18560  1rcur 19718  Ringcrg 19764  LModclmod 20104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-plusg 16956  df-0g 17133  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-sbg 18563  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-lmod 20106
This theorem is referenced by:  lspexch  20372  baerlem5alem1  39701  baerlem5blem1  39702
  Copyright terms: Public domain W3C validator