MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodsubvs 20805
Description: Subtraction of a scalar product in terms of addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubvs.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodsubvs.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lmodsubvs.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
lmodsubvs.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodsubvs.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodsubvs.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lmodsubvs.n 𝑁 = (invgβ€˜πΉ)
lmodsubvs.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lmodsubvs.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubvs.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodsubvs.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmodsubvs (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)) = (𝑋 + ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)))

Proof of Theorem lmodsubvs
StepHypRef Expression
1 lmodsubvs.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lmodsubvs.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3 lmodsubvs.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
4 lmodsubvs.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
5 lmodsubvs.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 lmodsubvs.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
7 lmodsubvs.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
8 lmodsubvs.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
95, 6, 7, 8lmodvscl 20765 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
101, 3, 4, 9syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
11 lmodsubvs.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
12 lmodsubvs.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
13 lmodsubvs.n . . . 4 𝑁 = (invgβ€˜πΉ)
14 eqid 2725 . . . 4 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
155, 11, 12, 6, 7, 13, 14lmodvsubval2 20804 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)) = (𝑋 + ((π‘β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ))))
161, 2, 10, 15syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)) = (𝑋 + ((π‘β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ))))
176lmodring 20755 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
181, 17syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
19 ringgrp 20182 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Grp)
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
218, 14ringidcl 20206 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
2218, 21syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
238, 13grpinvcl 18948 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
2420, 22, 23syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
25 eqid 2725 . . . . . 6 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
265, 6, 7, 8, 25lmodvsass 20774 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((π‘β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· π‘Œ) = ((π‘β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
271, 24, 3, 4, 26syl13anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· π‘Œ) = ((π‘β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
288, 25, 14, 13, 18, 3ringnegl 20242 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) = (π‘β€˜π΄))
2928oveq1d 7431 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· π‘Œ) = ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ))
3027, 29eqtr3d 2767 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ)) = ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ))
3130oveq2d 7432 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 + ((π‘β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ))) = (𝑋 + ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
3216, 31eqtrd 2765 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)) = (𝑋 + ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  .rcmulr 17233  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  Grpcgrp 18894  invgcminusg 18895  -gcsg 18896  1rcur 20125  Ringcrg 20177  LModclmod 20747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-lmod 20749
This theorem is referenced by:  lspexch  21021  baerlem5alem1  41237  baerlem5blem1  41238
  Copyright terms: Public domain W3C validator