MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubvs Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lmodsubvs 20520
Description: Subtraction of a scalar product in terms of addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubvs.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodsubvs.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lmodsubvs.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
lmodsubvs.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodsubvs.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodsubvs.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lmodsubvs.n 𝑁 = (invgβ€˜πΉ)
lmodsubvs.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lmodsubvs.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubvs.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodsubvs.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmodsubvs (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)) = (𝑋 + ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
Proof of Theorem lmodsubvs
StepHypRef Expression
1 lmodsubvs.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lmodsubvs.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3 lmodsubvs.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
4 lmodsubvs.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
5 lmodsubvs.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 lmodsubvs.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
7 lmodsubvs.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
8 lmodsubvs.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
95, 6, 7, 8lmodvscl 20481 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
101, 3, 4, 9syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
11 lmodsubvs.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
12 lmodsubvs.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
13 lmodsubvs.n . . . 4 𝑁 = (invgβ€˜πΉ)
14 eqid 2732 . . . 4 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
155, 11, 12, 6, 7, 13, 14lmodvsubval2 20519 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)) = (𝑋 + ((π‘β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ))))
161, 2, 10, 15syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)) = (𝑋 + ((π‘β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ))))
176lmodring 20471 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
181, 17syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
19 ringgrp 20054 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Grp)
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
218, 14ringidcl 20076 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
2218, 21syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
238, 13grpinvcl 18868 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
2420, 22, 23syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
25 eqid 2732 . . . . . 6 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
265, 6, 7, 8, 25lmodvsass 20489 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((π‘β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· π‘Œ) = ((π‘β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
271, 24, 3, 4, 26syl13anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· π‘Œ) = ((π‘β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
288, 25, 14, 13, 18, 3ringnegl 20107 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) = (π‘β€˜π΄))
2928oveq1d 7420 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· π‘Œ) = ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ))
3027, 29eqtr3d 2774 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ)) = ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ))
3130oveq2d 7421 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 + ((π‘β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ))) = (𝑋 + ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
3216, 31eqtrd 2772 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)) = (𝑋 + ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  Grpcgrp 18815  invgcminusg 18816  -gcsg 18817  1rcur 19998  Ringcrg 20049  LModclmod 20463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465
This theorem is referenced by:  lspexch  20734  baerlem5alem1  40567  baerlem5blem1  40568
  Copyright terms: Public domain W3C validator