MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodsubvs 19693
Description: Subtraction of a scalar product in terms of addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubvs.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubvs.p + = (+g𝑊)
lmodsubvs.m = (-g𝑊)
lmodsubvs.t · = ( ·𝑠𝑊)
lmodsubvs.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubvs.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubvs.n 𝑁 = (invg𝐹)
lmodsubvs.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lmodsubvs.a (𝜑𝐴𝐾)
lmodsubvs.x (𝜑𝑋𝑉)
lmodsubvs.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmodsubvs (𝜑 → (𝑋 (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁𝐴) · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodsubvs
StepHypRef Expression
1 lmodsubvs.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lmodsubvs.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
3 lmodsubvs.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐾)
4 lmodsubvs.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
5 lmodsubvs.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 lmodsubvs.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7 lmodsubvs.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
8 lmodsubvs.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
95, 6, 7, 8lmodvscl 19654 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾𝑌𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
101, 3, 4, 9syl3anc 1367 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
11 lmodsubvs.p . . . 4 + = (+g𝑊)
12 lmodsubvs.m . . . 4 = (-g𝑊)
13 lmodsubvs.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐹)
14 eqid 2824 . . . 4 (1r𝐹) = (1r𝐹)
155, 11, 12, 6, 7, 13, 14lmodvsubval2 19692 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
161, 2, 10, 15syl3anc 1367 . 2 (𝜑 → (𝑋 (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
176lmodring 19645 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
181, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
19 ringgrp 19305 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
218, 14ringidcl 19321 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
2218, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
238, 13grpinvcl 18154 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r𝐹) ∈ 𝐾) → (𝑁‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
2420, 22, 23syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
25 eqid 2824 . . . . . 6 (.r𝐹) = (.r𝐹)
265, 6, 7, 8, 25lmodvsass 19662 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾𝐴𝐾𝑌𝑉)) → (((𝑁‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
271, 24, 3, 4, 26syl13anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
288, 25, 14, 13, 18, 3ringnegl 19347 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) = (𝑁𝐴))
2928oveq1d 7174 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁𝐴) · 𝑌))
3027, 29eqtr3d 2861 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)) = ((𝑁𝐴) · 𝑌))
3130oveq2d 7175 . 2 (𝜑 → (𝑋 + ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))) = (𝑋 + ((𝑁𝐴) · 𝑌)))
3216, 31eqtrd 2859 1 (𝜑 → (𝑋 (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁𝐴) · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1536  wcel 2113  cfv 6358  (class class class)co 7159  Basecbs 16486  +gcplusg 16568  .rcmulr 16569  Scalarcsca 16571   ·𝑠 cvsca 16572  Grpcgrp 18106  invgcminusg 18107  -gcsg 18108  1rcur 19254  Ringcrg 19300  LModclmod 19637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-plusg 16581  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-lmod 19639
This theorem is referenced by:  lspexch  19904  baerlem5alem1  38848  baerlem5blem1  38849
  Copyright terms: Public domain W3C validator