Theorem lmodsubvs 21173

Description: Subtraction of a scalar product in terms of addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubvs.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodsubvs.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
lmodsubvs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodsubvs.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubvs.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐹)
lmodsubvs.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodsubvs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubvs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodsubvs.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmodsubvs	⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodsubvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubvs.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodsubvs.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lmodsubvs.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
4		lmodsubvs.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
5		lmodsubvs.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		lmodsubvs.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7		lmodsubvs.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
8		lmodsubvs.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
9	5, 6, 7, 8	lmodvscl 21133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
10	1, 3, 4, 9	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
11		lmodsubvs.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
12		lmodsubvs.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
13		lmodsubvs.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐹)
14		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
15	5, 11, 12, 6, 7, 13, 14	lmodvsubval2 21172	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 − (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
16	1, 2, 10, 15	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
17	6	lmodring 21123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
18	1, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
19		ringgrp 20444	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
20	18, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
21	8, 14	ringidcl 20474	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
22	18, 21	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
23	8, 13	grpinvcl 19178	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐹) ∈ 𝐾) → (𝑁‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
24	20, 22, 23	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
25		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
26	5, 6, 7, 8, 25	lmodvsass 21142	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑁‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
27	1, 24, 3, 4, 26	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
28	8, 25, 14, 13, 18, 3	ringnegl 20513	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) = (𝑁‘𝐴))
29	28	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌))
30	27, 29	eqtr3d 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌))
31	30	oveq2d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))) = (𝑋 + ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
32	16, 31	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  ._rcmulr 17409  Scalarcsca 17411   ·_𝑠 cvsca 17412  Grpcgrp 19124  inv_gcminusg 19125  -_gcsg 19126  1_rcur 20387  Ringcrg 20439  LModclmod 21115

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-plusg 17421  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-lmod 21117

This theorem is used by:  lspexch  21387  baerlem5alem1  42733  baerlem5blem1  42734