Theorem lssvs0or 19882

Description: If a scalar product belongs to a subspace, either the scalar component is zero or the vector component also belongs to the subspace. (Contributed by NM, 5-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvs0or.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssvs0or.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lssvs0or.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lssvs0or.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lssvs0or.o	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
lssvs0or.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvs0or.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lssvs0or.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lssvs0or.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lssvs0or.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lssvs0or	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝑋 ∈ 𝑈)))

Proof of Theorem lssvs0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssvs0or.w	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lssvs0or.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lvecdrng 19877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
4	1, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
5	4	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ DivRing)
6		lssvs0or.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
7	6	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝐴 ∈ 𝐾)
8		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝐴 ≠ 0 )
9		lssvs0or.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
10		lssvs0or.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
11		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
12		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
13		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invr‘𝐹) = (invr‘𝐹)
14	9, 10, 11, 12, 13	drnginvrl 19521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
15	5, 7, 8, 14	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
16	15	oveq1d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
17		lveclmod 19878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
18	1, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
19	18	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
20	9, 10, 13	drnginvrcl 19519	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
21	5, 7, 8, 20	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
22		lssvs0or.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
23	22	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
24		lssvs0or.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
25		lssvs0or.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
26	24, 2, 25, 9, 11	lmodvsass 19659	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
27	19, 21, 7, 23, 26	syl13anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
28	24, 2, 25, 12	lmodvs1 19662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
29	19, 23, 28	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
30	16, 27, 29	3eqtr3rd 2865	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑋 = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
31		lssvs0or.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
32	31	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑈 ∈ 𝑆)
33		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
34		lssvs0or.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
35	2, 25, 9, 34	lssvscl 19727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) ∈ 𝑈)
36	19, 32, 21, 33, 35	syl22anc 836	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) ∈ 𝑈)
37	30, 36	eqeltrd 2913	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑈)
38	37	ex 415	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (𝐴 ≠ 0 → 𝑋 ∈ 𝑈))
39	38	necon1bd 3034	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 → 𝐴 = 0 ))
40	39	orrd 859	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (𝑋 ∈ 𝑈 ∨ 𝐴 = 0 ))
41	40	orcomd 867	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (𝐴 = 0 ∨ 𝑋 ∈ 𝑈))
42		oveq1 7163	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
43	42	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0 ) → (𝐴 · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
44		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
45	24, 2, 25, 10, 44	lmod0vs 19667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 0 · 𝑋) = (0g‘𝑊))
46	18, 22, 45	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑋) = (0g‘𝑊))
47	44, 34	lss0cl 19718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑈)
48	18, 31, 47	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) ∈ 𝑈)
49	46, 48	eqeltrd 2913	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝑈)
50	49	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0 ) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝑈)
51	43, 50	eqeltrd 2913	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0 ) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
52	18	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
53	31	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
54	6	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ 𝐾)
55		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
56	2, 25, 9, 34	lssvscl 19727	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
57	52, 53, 54, 55, 56	syl22anc 836	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
58	51, 57	jaodan 954	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = 0 ∨ 𝑋 ∈ 𝑈)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
59	41, 58	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝑋 ∈ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  ._rcmulr 16566  Scalarcsca 16568   ·_𝑠 cvsca 16569  0_gc0g 16713  1_rcur 19251  inv_rcinvr 19421  DivRingcdr 19502  LModclmod 19634  LSubSpclss 19703  LVecclvec 19874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lvec 19875

This theorem is referenced by:  lspdisj  19897