Theorem lssvs0or 21271

Description: If a scalar product belongs to a subspace, either the scalar component is zero or the vector component also belongs to the subspace. (Contributed by NM, 5-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvs0or.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssvs0or.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lssvs0or.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lssvs0or.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lssvs0or.o	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
lssvs0or.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvs0or.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lssvs0or.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lssvs0or.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lssvs0or.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lssvs0or	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝑋 ∈ 𝑈)))

Proof of Theorem lssvs0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssvs0or.w	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lssvs0or.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lvecdrng 21263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
4	1, 3	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
5	4	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ DivRing)
6		lssvs0or.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
7	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝐴 ∈ 𝐾)
8		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝐴 ≠ 0 )
9		lssvs0or.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
10		lssvs0or.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
11		eqid 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
12		eqid 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
13		eqid 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invr‘𝐹) = (invr‘𝐹)
14	9, 10, 11, 12, 13	drnginvrl 20897	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
15	5, 7, 8, 14	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
16	15	oveq1d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
17		lveclmod 21264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
18	1, 17	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
19	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
20	9, 10, 13	drnginvrcl 20894	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
21	5, 7, 8, 20	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
22		lssvs0or.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
23	22	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
24		lssvs0or.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
25		lssvs0or.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
26	24, 2, 25, 9, 11	lmodvsass 21045	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
27	19, 21, 7, 23, 26	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
28	24, 2, 25, 12	lmodvs1 21048	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
29	19, 23, 28	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
30	16, 27, 29	3eqtr3rd 2810	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑋 = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
31		lssvs0or.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
32	31	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑈 ∈ 𝑆)
33		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
34		lssvs0or.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
35	2, 25, 9, 34	lssvscl 21113	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) ∈ 𝑈)
36	19, 32, 21, 33, 35	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) ∈ 𝑈)
37	30, 36	eqeltrd 2866	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑈)
38	37	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (𝐴 ≠ 0 → 𝑋 ∈ 𝑈))
39	38	necon1bd 2979	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 → 𝐴 = 0 ))
40	39	orrd 877	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (𝑋 ∈ 𝑈 ∨ 𝐴 = 0 ))
41	40	orcomd 885	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (𝐴 = 0 ∨ 𝑋 ∈ 𝑈))
42		oveq1 7430	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
43	42	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0 ) → (𝐴 · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
44		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
45	24, 2, 25, 10, 44	lmod0vs 21053	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 0 · 𝑋) = (0g‘𝑊))
46	18, 22, 45	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑋) = (0g‘𝑊))
47	44, 34	lss0cl 21105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑈)
48	18, 31, 47	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) ∈ 𝑈)
49	46, 48	eqeltrd 2866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝑈)
50	49	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0 ) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝑈)
51	43, 50	eqeltrd 2866	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0 ) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
52	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
53	31	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
54	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ 𝐾)
55		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
56	2, 25, 9, 34	lssvscl 21113	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
57	52, 53, 54, 55, 56	syl22anc 852	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
58	51, 57	jaodan 972	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = 0 ∨ 𝑋 ∈ 𝑈)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
59	41, 58	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝑋 ∈ 𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  ._rcmulr 17336  Scalarcsca 17338   ·_𝑠 cvsca 17339  0_gc0g 17517  1_rcur 20294  inv_rcinvr 20502  DivRingcdr 20864  LModclmod 21018  LSubSpclss 21089  LVecclvec 21260

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-drng 20866  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-lvec 21261

This theorem is used by:  lspdisj  21286