Theorem lssvs0or 21076

Description: If a scalar product belongs to a subspace, either the scalar component is zero or the vector component also belongs to the subspace. (Contributed by NM, 5-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvs0or.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssvs0or.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lssvs0or.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lssvs0or.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lssvs0or.o	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
lssvs0or.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvs0or.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lssvs0or.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lssvs0or.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lssvs0or.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lssvs0or	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝑋 ∈ 𝑈)))

Proof of Theorem lssvs0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssvs0or.w	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lssvs0or.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lvecdrng 21068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
4	1, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
5	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ DivRing)
6		lssvs0or.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
7	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝐴 ∈ 𝐾)
8		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝐴 ≠ 0 )
9		lssvs0or.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
10		lssvs0or.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
11		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
12		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
13		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invr‘𝐹) = (invr‘𝐹)
14	9, 10, 11, 12, 13	drnginvrl 20721	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
15	5, 7, 8, 14	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
16	15	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
17		lveclmod 21069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
18	1, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
20	9, 10, 13	drnginvrcl 20718	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
21	5, 7, 8, 20	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
22		lssvs0or.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
23	22	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
24		lssvs0or.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
25		lssvs0or.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
26	24, 2, 25, 9, 11	lmodvsass 20849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
27	19, 21, 7, 23, 26	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
28	24, 2, 25, 12	lmodvs1 20852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
29	19, 23, 28	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
30	16, 27, 29	3eqtr3rd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑋 = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
31		lssvs0or.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
32	31	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑈 ∈ 𝑆)
33		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
34		lssvs0or.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
35	2, 25, 9, 34	lssvscl 20917	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) ∈ 𝑈)
36	19, 32, 21, 33, 35	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) ∈ 𝑈)
37	30, 36	eqeltrd 2835	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑈)
38	37	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (𝐴 ≠ 0 → 𝑋 ∈ 𝑈))
39	38	necon1bd 2951	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 → 𝐴 = 0 ))
40	39	orrd 863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (𝑋 ∈ 𝑈 ∨ 𝐴 = 0 ))
41	40	orcomd 871	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (𝐴 = 0 ∨ 𝑋 ∈ 𝑈))
42		oveq1 7417	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
43	42	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0 ) → (𝐴 · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
44		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
45	24, 2, 25, 10, 44	lmod0vs 20857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 0 · 𝑋) = (0g‘𝑊))
46	18, 22, 45	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑋) = (0g‘𝑊))
47	44, 34	lss0cl 20909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑈)
48	18, 31, 47	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) ∈ 𝑈)
49	46, 48	eqeltrd 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝑈)
50	49	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0 ) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝑈)
51	43, 50	eqeltrd 2835	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0 ) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
52	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
53	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
54	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ 𝐾)
55		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
56	2, 25, 9, 34	lssvscl 20917	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
57	52, 53, 54, 55, 56	syl22anc 838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
58	51, 57	jaodan 959	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = 0 ∨ 𝑋 ∈ 𝑈)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
59	41, 58	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝑋 ∈ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  ._rcmulr 17277  Scalarcsca 17279   ·_𝑠 cvsca 17280  0_gc0g 17458  1_rcur 20146  inv_rcinvr 20352  DivRingcdr 20694  LModclmod 20822  LSubSpclss 20893  LVecclvec 21065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-drng 20696  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lvec 21066

This theorem is referenced by:  lspdisj  21091