MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvs0or Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssvs0or 20946
Description: If a scalar product belongs to a subspace, either the scalar component is zero or the vector component also belongs to the subspace. (Contributed by NM, 5-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvs0or.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssvs0or.t · = ( ·𝑠𝑊)
lssvs0or.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lssvs0or.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lssvs0or.o 0 = (0g𝐹)
lssvs0or.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvs0or.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lssvs0or.u (𝜑𝑈𝑆)
lssvs0or.x (𝜑𝑋𝑉)
lssvs0or.a (𝜑𝐴𝐾)
Assertion
Ref Expression
lssvs0or (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 = 0𝑋𝑈)))

Proof of Theorem lssvs0or
StepHypRef Expression
1 lssvs0or.w . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lssvs0or.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
32lvecdrng 20938 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
41, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
54ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → 𝐹 ∈ DivRing)
6 lssvs0or.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐾)
76ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → 𝐴𝐾)
8 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → 𝐴0 )
9 lssvs0or.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (Base‘𝐹)
10 lssvs0or.o . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝐹)
11 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (.r𝐹) = (.r𝐹)
12 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (1r𝐹) = (1r𝐹)
13 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (invr𝐹) = (invr𝐹)
149, 10, 11, 12, 13drnginvrl 20597 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴𝐾𝐴0 ) → (((invr𝐹)‘𝐴)(.r𝐹)𝐴) = (1r𝐹))
155, 7, 8, 14syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → (((invr𝐹)‘𝐴)(.r𝐹)𝐴) = (1r𝐹))
1615oveq1d 7416 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → ((((invr𝐹)‘𝐴)(.r𝐹)𝐴) · 𝑋) = ((1r𝐹) · 𝑋))
17 lveclmod 20939 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
181, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
1918ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
209, 10, 13drnginvrcl 20594 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴𝐾𝐴0 ) → ((invr𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
215, 7, 8, 20syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → ((invr𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
22 lssvs0or.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑉)
2322ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → 𝑋𝑉)
24 lssvs0or.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
25 lssvs0or.t . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝑊)
2624, 2, 25, 9, 11lmodvsass 20718 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invr𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾𝐴𝐾𝑋𝑉)) → ((((invr𝐹)‘𝐴)(.r𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
2719, 21, 7, 23, 26syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → ((((invr𝐹)‘𝐴)(.r𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
2824, 2, 25, 12lmodvs1 20721 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
2919, 23, 28syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
3016, 27, 293eqtr3rd 2773 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → 𝑋 = (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
31 lssvs0or.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝑆)
3231ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → 𝑈𝑆)
33 simplr 766 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
34 lssvs0or.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
352, 25, 9, 34lssvscl 20787 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (((invr𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)) → (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) ∈ 𝑈)
3619, 32, 21, 33, 35syl22anc 836 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) ∈ 𝑈)
3730, 36eqeltrd 2825 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → 𝑋𝑈)
3837ex 412 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (𝐴0𝑋𝑈))
3938necon1bd 2950 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (¬ 𝑋𝑈𝐴 = 0 ))
4039orrd 860 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (𝑋𝑈𝐴 = 0 ))
4140orcomd 868 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (𝐴 = 0𝑋𝑈))
42 oveq1 7408 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
4342adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0 ) → (𝐴 · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
44 eqid 2724 . . . . . . . 8 (0g𝑊) = (0g𝑊)
4524, 2, 25, 10, 44lmod0vs 20726 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ( 0 · 𝑋) = (0g𝑊))
4618, 22, 45syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → ( 0 · 𝑋) = (0g𝑊))
4744, 34lss0cl 20779 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (0g𝑊) ∈ 𝑈)
4818, 31, 47syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑊) ∈ 𝑈)
4946, 48eqeltrd 2825 . . . . 5 (𝜑 → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝑈)
5049adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0 ) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝑈)
5143, 50eqeltrd 2825 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0 ) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
5218adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
5331adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈𝑆)
546adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝐴𝐾)
55 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑈)
562, 25, 9, 34lssvscl 20787 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝐴𝐾𝑋𝑈)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
5752, 53, 54, 55, 56syl22anc 836 . . 3 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
5851, 57jaodan 954 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 = 0𝑋𝑈)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
5941, 58impbida 798 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 = 0𝑋𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  1rcur 20071  invrcinvr 20274  DivRingcdr 20572  LModclmod 20691  LSubSpclss 20763  LVecclvec 20935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-ur 20072  df-ring 20125  df-oppr 20221  df-dvdsr 20244  df-unit 20245  df-invr 20275  df-drng 20574  df-lmod 20693  df-lss 20764  df-lvec 20936
This theorem is referenced by:  lspdisj  20961
  Copyright terms: Public domain W3C validator