MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvs0or Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lssvs0or 21012
Description: If a scalar product belongs to a subspace, either the scalar component is zero or the vector component also belongs to the subspace. (Contributed by NM, 5-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvs0or.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lssvs0or.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lssvs0or.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lssvs0or.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lssvs0or.o 0 = (0gβ€˜πΉ)
lssvs0or.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lssvs0or.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lssvs0or.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lssvs0or.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lssvs0or.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
lssvs0or (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝑋 ∈ π‘ˆ)))
Proof of Theorem lssvs0or
StepHypRef Expression
1 lssvs0or.w . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 lssvs0or.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
32lvecdrng 21004 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
41, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
54ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ) ∧ 𝐴 β‰  0 ) β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
6 lssvs0or.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
76ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ) ∧ 𝐴 β‰  0 ) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
8 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ) ∧ 𝐴 β‰  0 ) β†’ 𝐴 β‰  0 )
9 lssvs0or.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
10 lssvs0or.o . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜πΉ)
11 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
12 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
13 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (invrβ€˜πΉ) = (invrβ€˜πΉ)
149, 10, 11, 12, 13drnginvrl 20663 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 ) β†’ (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄)(.rβ€˜πΉ)𝐴) = (1rβ€˜πΉ))
155, 7, 8, 14syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ) ∧ 𝐴 β‰  0 ) β†’ (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄)(.rβ€˜πΉ)𝐴) = (1rβ€˜πΉ))
1615oveq1d 7441 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ) ∧ 𝐴 β‰  0 ) β†’ ((((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄)(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· 𝑋) = ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋))
17 lveclmod 21005 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
181, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
1918ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ) ∧ 𝐴 β‰  0 ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
209, 10, 13drnginvrcl 20660 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 ) β†’ ((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) ∈ 𝐾)
215, 7, 8, 20syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ) ∧ 𝐴 β‰  0 ) β†’ ((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) ∈ 𝐾)
22 lssvs0or.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2322ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ) ∧ 𝐴 β‰  0 ) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
24 lssvs0or.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
25 lssvs0or.t . . . . . . . . . 10 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
2624, 2, 25, 9, 11lmodvsass 20784 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄)(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· 𝑋) = (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· (𝐴 Β· 𝑋)))
2719, 21, 7, 23, 26syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ) ∧ 𝐴 β‰  0 ) β†’ ((((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄)(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· 𝑋) = (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· (𝐴 Β· 𝑋)))
2824, 2, 25, 12lmodvs1 20787 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = 𝑋)
2919, 23, 28syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ) ∧ 𝐴 β‰  0 ) β†’ ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = 𝑋)
3016, 27, 293eqtr3rd 2777 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ) ∧ 𝐴 β‰  0 ) β†’ 𝑋 = (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· (𝐴 Β· 𝑋)))
31 lssvs0or.u . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
3231ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ) ∧ 𝐴 β‰  0 ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
33 simplr 767 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ) ∧ 𝐴 β‰  0 ) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ)
34 lssvs0or.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
352, 25, 9, 34lssvscl 20853 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ)) β†’ (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· (𝐴 Β· 𝑋)) ∈ π‘ˆ)
3619, 32, 21, 33, 35syl22anc 837 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ) ∧ 𝐴 β‰  0 ) β†’ (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· (𝐴 Β· 𝑋)) ∈ π‘ˆ)
3730, 36eqeltrd 2829 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ) ∧ 𝐴 β‰  0 ) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
3837ex 411 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐴 β‰  0 β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
3938necon1bd 2955 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ) β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐴 = 0 ))
4039orrd 861 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∨ 𝐴 = 0 ))
4140orcomd 869 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐴 = 0 ∨ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
42 oveq1 7433 . . . . 5 (𝐴 = 0 β†’ (𝐴 Β· 𝑋) = ( 0 Β· 𝑋))
4342adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0 ) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) = ( 0 Β· 𝑋))
44 eqid 2728 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
4524, 2, 25, 10, 44lmod0vs 20792 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ( 0 Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))
4618, 22, 45syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( 0 Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))
4744, 34lss0cl 20845 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ π‘ˆ)
4818, 31, 47syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ π‘ˆ)
4946, 48eqeltrd 2829 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( 0 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ)
5049adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0 ) β†’ ( 0 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ)
5143, 50eqeltrd 2829 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0 ) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ)
5218adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
5331adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
546adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
55 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
562, 25, 9, 34lssvscl 20853 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ)
5752, 53, 54, 55, 56syl22anc 837 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ)
5851, 57jaodan 955 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 = 0 ∨ 𝑋 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ)
5941, 58impbida 799 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) ∈ π‘ˆ ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝑋 ∈ π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  .rcmulr 17243  Scalarcsca 17245   ·𝑠 cvsca 17246  0gc0g 17430  1rcur 20135  invrcinvr 20340  DivRingcdr 20638  LModclmod 20757  LSubSpclss 20829  LVecclvec 21001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-drng 20640  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lvec 21002
This theorem is referenced by:  lspdisj  21027
  Copyright terms: Public domain W3C validator