Theorem lssvs0or 21211

Description: If a scalar product belongs to a subspace, either the scalar component is zero or the vector component also belongs to the subspace. (Contributed by NM, 5-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvs0or.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssvs0or.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lssvs0or.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lssvs0or.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lssvs0or.o	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
lssvs0or.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvs0or.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lssvs0or.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lssvs0or.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lssvs0or.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lssvs0or	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝑋 ∈ 𝑈)))

Proof of Theorem lssvs0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssvs0or.w	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lssvs0or.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lvecdrng 21203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
4	1, 3	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
5	4	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ DivRing)
6		lssvs0or.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
7	6	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝐴 ∈ 𝐾)
8		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝐴 ≠ 0 )
9		lssvs0or.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
10		lssvs0or.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
11		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
12		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
13		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invr‘𝐹) = (invr‘𝐹)
14	9, 10, 11, 12, 13	drnginvrl 20838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
15	5, 7, 8, 14	syl3anc 1396	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
16	15	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
17		lveclmod 21204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
18	1, 17	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
19	18	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
20	9, 10, 13	drnginvrcl 20835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
21	5, 7, 8, 20	syl3anc 1396	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
22		lssvs0or.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
23	22	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
24		lssvs0or.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
25		lssvs0or.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
26	24, 2, 25, 9, 11	lmodvsass 20985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
27	19, 21, 7, 23, 26	syl13anc 1397	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
28	24, 2, 25, 12	lmodvs1 20988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
29	19, 23, 28	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
30	16, 27, 29	3eqtr3rd 2813	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑋 = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
31		lssvs0or.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
32	31	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑈 ∈ 𝑆)
33		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
34		lssvs0or.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
35	2, 25, 9, 34	lssvscl 21053	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) ∈ 𝑈)
36	19, 32, 21, 33, 35	syl22anc 851	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) ∈ 𝑈)
37	30, 36	eqeltrd 2869	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑈)
38	37	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (𝐴 ≠ 0 → 𝑋 ∈ 𝑈))
39	38	necon1bd 2982	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 → 𝐴 = 0 ))
40	39	orrd 876	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (𝑋 ∈ 𝑈 ∨ 𝐴 = 0 ))
41	40	orcomd 884	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (𝐴 = 0 ∨ 𝑋 ∈ 𝑈))
42		oveq1 7418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
43	42	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0 ) → (𝐴 · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
44		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
45	24, 2, 25, 10, 44	lmod0vs 20993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 0 · 𝑋) = (0g‘𝑊))
46	18, 22, 45	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑋) = (0g‘𝑊))
47	44, 34	lss0cl 21045	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑈)
48	18, 31, 47	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) ∈ 𝑈)
49	46, 48	eqeltrd 2869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝑈)
50	49	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0 ) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝑈)
51	43, 50	eqeltrd 2869	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0 ) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
52	18	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
53	31	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
54	6	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ 𝐾)
55		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
56	2, 25, 9, 34	lssvscl 21053	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
57	52, 53, 54, 55, 56	syl22anc 851	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
58	51, 57	jaodan 972	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = 0 ∨ 𝑋 ∈ 𝑈)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
59	41, 58	impbida 812	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝑋 ∈ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17268  ._rcmulr 17310  Scalarcsca 17312   ·_𝑠 cvsca 17313  0_gc0g 17491  1_rcur 20262  inv_rcinvr 20468  DivRingcdr 20812  LModclmod 20958  LSubSpclss 21029  LVecclvec 21200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-drng 20814  df-lmod 20960  df-lss 21030  df-lvec 21201

This theorem is referenced by:  lspdisj  21226