Theorem lssvs0or 20287

Description: If a scalar product belongs to a subspace, either the scalar component is zero or the vector component also belongs to the subspace. (Contributed by NM, 5-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvs0or.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssvs0or.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lssvs0or.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lssvs0or.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lssvs0or.o	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
lssvs0or.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvs0or.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lssvs0or.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lssvs0or.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lssvs0or.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lssvs0or	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝑋 ∈ 𝑈)))

Proof of Theorem lssvs0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssvs0or.w	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lssvs0or.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lvecdrng 20282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
4	1, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
5	4	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ DivRing)
6		lssvs0or.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
7	6	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝐴 ∈ 𝐾)
8		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝐴 ≠ 0 )
9		lssvs0or.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
10		lssvs0or.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
11		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
12		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
13		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invr‘𝐹) = (invr‘𝐹)
14	9, 10, 11, 12, 13	drnginvrl 19925	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
15	5, 7, 8, 14	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
16	15	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
17		lveclmod 20283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
18	1, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
19	18	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
20	9, 10, 13	drnginvrcl 19923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
21	5, 7, 8, 20	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
22		lssvs0or.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
23	22	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
24		lssvs0or.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
25		lssvs0or.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
26	24, 2, 25, 9, 11	lmodvsass 20063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
27	19, 21, 7, 23, 26	syl13anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
28	24, 2, 25, 12	lmodvs1 20066	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
29	19, 23, 28	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
30	16, 27, 29	3eqtr3rd 2787	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑋 = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
31		lssvs0or.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
32	31	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑈 ∈ 𝑆)
33		simplr 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
34		lssvs0or.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
35	2, 25, 9, 34	lssvscl 20132	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) ∈ 𝑈)
36	19, 32, 21, 33, 35	syl22anc 835	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) ∈ 𝑈)
37	30, 36	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑈)
38	37	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (𝐴 ≠ 0 → 𝑋 ∈ 𝑈))
39	38	necon1bd 2960	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 → 𝐴 = 0 ))
40	39	orrd 859	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (𝑋 ∈ 𝑈 ∨ 𝐴 = 0 ))
41	40	orcomd 867	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (𝐴 = 0 ∨ 𝑋 ∈ 𝑈))
42		oveq1 7262	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
43	42	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0 ) → (𝐴 · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
44		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
45	24, 2, 25, 10, 44	lmod0vs 20071	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 0 · 𝑋) = (0g‘𝑊))
46	18, 22, 45	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑋) = (0g‘𝑊))
47	44, 34	lss0cl 20123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑈)
48	18, 31, 47	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) ∈ 𝑈)
49	46, 48	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝑈)
50	49	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0 ) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝑈)
51	43, 50	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0 ) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
52	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
53	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
54	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ 𝐾)
55		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
56	2, 25, 9, 34	lssvscl 20132	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
57	52, 53, 54, 55, 56	syl22anc 835	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
58	51, 57	jaodan 954	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = 0 ∨ 𝑋 ∈ 𝑈)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
59	41, 58	impbida 797	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝑋 ∈ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  1_rcur 19652  inv_rcinvr 19828  DivRingcdr 19906  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LVecclvec 20279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lvec 20280

This theorem is referenced by:  lspdisj  20302