MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvs0or Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssvs0or 20014
Description: If a scalar product belongs to a subspace, either the scalar component is zero or the vector component also belongs to the subspace. (Contributed by NM, 5-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvs0or.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssvs0or.t · = ( ·𝑠𝑊)
lssvs0or.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lssvs0or.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lssvs0or.o 0 = (0g𝐹)
lssvs0or.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvs0or.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lssvs0or.u (𝜑𝑈𝑆)
lssvs0or.x (𝜑𝑋𝑉)
lssvs0or.a (𝜑𝐴𝐾)
Assertion
Ref Expression
lssvs0or (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 = 0𝑋𝑈)))

Proof of Theorem lssvs0or
StepHypRef Expression
1 lssvs0or.w . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lssvs0or.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
32lvecdrng 20009 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
41, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
54ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → 𝐹 ∈ DivRing)
6 lssvs0or.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐾)
76ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → 𝐴𝐾)
8 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → 𝐴0 )
9 lssvs0or.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (Base‘𝐹)
10 lssvs0or.o . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝐹)
11 eqid 2739 . . . . . . . . . . 11 (.r𝐹) = (.r𝐹)
12 eqid 2739 . . . . . . . . . . 11 (1r𝐹) = (1r𝐹)
13 eqid 2739 . . . . . . . . . . 11 (invr𝐹) = (invr𝐹)
149, 10, 11, 12, 13drnginvrl 19653 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴𝐾𝐴0 ) → (((invr𝐹)‘𝐴)(.r𝐹)𝐴) = (1r𝐹))
155, 7, 8, 14syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → (((invr𝐹)‘𝐴)(.r𝐹)𝐴) = (1r𝐹))
1615oveq1d 7198 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → ((((invr𝐹)‘𝐴)(.r𝐹)𝐴) · 𝑋) = ((1r𝐹) · 𝑋))
17 lveclmod 20010 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
181, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
1918ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
209, 10, 13drnginvrcl 19651 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴𝐾𝐴0 ) → ((invr𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
215, 7, 8, 20syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → ((invr𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
22 lssvs0or.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑉)
2322ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → 𝑋𝑉)
24 lssvs0or.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
25 lssvs0or.t . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝑊)
2624, 2, 25, 9, 11lmodvsass 19791 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invr𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾𝐴𝐾𝑋𝑉)) → ((((invr𝐹)‘𝐴)(.r𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
2719, 21, 7, 23, 26syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → ((((invr𝐹)‘𝐴)(.r𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
2824, 2, 25, 12lmodvs1 19794 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
2919, 23, 28syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
3016, 27, 293eqtr3rd 2783 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → 𝑋 = (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
31 lssvs0or.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝑆)
3231ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → 𝑈𝑆)
33 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
34 lssvs0or.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
352, 25, 9, 34lssvscl 19859 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (((invr𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)) → (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) ∈ 𝑈)
3619, 32, 21, 33, 35syl22anc 838 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) ∈ 𝑈)
3730, 36eqeltrd 2834 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → 𝑋𝑈)
3837ex 416 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (𝐴0𝑋𝑈))
3938necon1bd 2953 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (¬ 𝑋𝑈𝐴 = 0 ))
4039orrd 862 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (𝑋𝑈𝐴 = 0 ))
4140orcomd 870 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (𝐴 = 0𝑋𝑈))
42 oveq1 7190 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
4342adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0 ) → (𝐴 · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
44 eqid 2739 . . . . . . . 8 (0g𝑊) = (0g𝑊)
4524, 2, 25, 10, 44lmod0vs 19799 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ( 0 · 𝑋) = (0g𝑊))
4618, 22, 45syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ( 0 · 𝑋) = (0g𝑊))
4744, 34lss0cl 19850 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (0g𝑊) ∈ 𝑈)
4818, 31, 47syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑊) ∈ 𝑈)
4946, 48eqeltrd 2834 . . . . 5 (𝜑 → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝑈)
5049adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0 ) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝑈)
5143, 50eqeltrd 2834 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0 ) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
5218adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
5331adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈𝑆)
546adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝐴𝐾)
55 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑈)
562, 25, 9, 34lssvscl 19859 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝐴𝐾𝑋𝑈)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
5752, 53, 54, 55, 56syl22anc 838 . . 3 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
5851, 57jaodan 957 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 = 0𝑋𝑈)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
5941, 58impbida 801 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 = 0𝑋𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  cfv 6350  (class class class)co 7183  Basecbs 16599  .rcmulr 16682  Scalarcsca 16684   ·𝑠 cvsca 16685  0gc0g 16829  1rcur 19383  invrcinvr 19556  DivRingcdr 19634  LModclmod 19766  LSubSpclss 19835  LVecclvec 20006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-tpos 7934  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-er 8333  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-0g 16831  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-grp 18235  df-minusg 18236  df-sbg 18237  df-mgp 19372  df-ur 19384  df-ring 19431  df-oppr 19508  df-dvdsr 19526  df-unit 19527  df-invr 19557  df-drng 19636  df-lmod 19768  df-lss 19836  df-lvec 20007
This theorem is referenced by:  lspdisj  20029
  Copyright terms: Public domain W3C validator