MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvs0or Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssvs0or 19881
Description: If a scalar product belongs to a subspace, either the scalar component is zero or the vector component also belongs to the subspace. (Contributed by NM, 5-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvs0or.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssvs0or.t · = ( ·𝑠𝑊)
lssvs0or.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lssvs0or.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lssvs0or.o 0 = (0g𝐹)
lssvs0or.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvs0or.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lssvs0or.u (𝜑𝑈𝑆)
lssvs0or.x (𝜑𝑋𝑉)
lssvs0or.a (𝜑𝐴𝐾)
Assertion
Ref Expression
lssvs0or (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 = 0𝑋𝑈)))

Proof of Theorem lssvs0or
StepHypRef Expression
1 lssvs0or.w . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lssvs0or.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
32lvecdrng 19876 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
41, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
54ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → 𝐹 ∈ DivRing)
6 lssvs0or.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐾)
76ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → 𝐴𝐾)
8 simpr 487 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → 𝐴0 )
9 lssvs0or.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (Base‘𝐹)
10 lssvs0or.o . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝐹)
11 eqid 2821 . . . . . . . . . . 11 (.r𝐹) = (.r𝐹)
12 eqid 2821 . . . . . . . . . . 11 (1r𝐹) = (1r𝐹)
13 eqid 2821 . . . . . . . . . . 11 (invr𝐹) = (invr𝐹)
149, 10, 11, 12, 13drnginvrl 19520 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴𝐾𝐴0 ) → (((invr𝐹)‘𝐴)(.r𝐹)𝐴) = (1r𝐹))
155, 7, 8, 14syl3anc 1367 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → (((invr𝐹)‘𝐴)(.r𝐹)𝐴) = (1r𝐹))
1615oveq1d 7170 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → ((((invr𝐹)‘𝐴)(.r𝐹)𝐴) · 𝑋) = ((1r𝐹) · 𝑋))
17 lveclmod 19877 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
181, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
1918ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
209, 10, 13drnginvrcl 19518 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴𝐾𝐴0 ) → ((invr𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
215, 7, 8, 20syl3anc 1367 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → ((invr𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
22 lssvs0or.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑉)
2322ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → 𝑋𝑉)
24 lssvs0or.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
25 lssvs0or.t . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝑊)
2624, 2, 25, 9, 11lmodvsass 19658 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invr𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾𝐴𝐾𝑋𝑉)) → ((((invr𝐹)‘𝐴)(.r𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
2719, 21, 7, 23, 26syl13anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → ((((invr𝐹)‘𝐴)(.r𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
2824, 2, 25, 12lmodvs1 19661 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
2919, 23, 28syl2anc 586 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
3016, 27, 293eqtr3rd 2865 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → 𝑋 = (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
31 lssvs0or.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝑆)
3231ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → 𝑈𝑆)
33 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
34 lssvs0or.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
352, 25, 9, 34lssvscl 19726 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (((invr𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)) → (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) ∈ 𝑈)
3619, 32, 21, 33, 35syl22anc 836 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) ∈ 𝑈)
3730, 36eqeltrd 2913 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) ∧ 𝐴0 ) → 𝑋𝑈)
3837ex 415 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (𝐴0𝑋𝑈))
3938necon1bd 3034 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (¬ 𝑋𝑈𝐴 = 0 ))
4039orrd 859 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (𝑋𝑈𝐴 = 0 ))
4140orcomd 867 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈) → (𝐴 = 0𝑋𝑈))
42 oveq1 7162 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
4342adantl 484 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0 ) → (𝐴 · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
44 eqid 2821 . . . . . . . 8 (0g𝑊) = (0g𝑊)
4524, 2, 25, 10, 44lmod0vs 19666 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ( 0 · 𝑋) = (0g𝑊))
4618, 22, 45syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → ( 0 · 𝑋) = (0g𝑊))
4744, 34lss0cl 19717 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (0g𝑊) ∈ 𝑈)
4818, 31, 47syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑊) ∈ 𝑈)
4946, 48eqeltrd 2913 . . . . 5 (𝜑 → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝑈)
5049adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0 ) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝑈)
5143, 50eqeltrd 2913 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0 ) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
5218adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
5331adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈𝑆)
546adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝐴𝐾)
55 simpr 487 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑈)
562, 25, 9, 34lssvscl 19726 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝐴𝐾𝑋𝑈)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
5752, 53, 54, 55, 56syl22anc 836 . . 3 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
5851, 57jaodan 954 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 = 0𝑋𝑈)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈)
5941, 58impbida 799 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 = 0𝑋𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  cfv 6354  (class class class)co 7155  Basecbs 16482  .rcmulr 16565  Scalarcsca 16567   ·𝑠 cvsca 16568  0gc0g 16712  1rcur 19250  invrcinvr 19420  DivRingcdr 19501  LModclmod 19633  LSubSpclss 19702  LVecclvec 19873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-tpos 7891  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-drng 19503  df-lmod 19635  df-lss 19703  df-lvec 19874
This theorem is referenced by:  lspdisj  19896
  Copyright terms: Public domain W3C validator