Theorem lvecinv 21080

Description: Invert coefficient of scalar product. (Contributed by NM, 11-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecinv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecinv.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecinv.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecinv.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecinv.o	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
lvecinv.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐹)
lvecinv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecinv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
lvecinv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecinv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lvecinv	⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑌 = ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)))

Proof of Theorem lvecinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7376	. . . 4 ⊢ (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = ((𝐼‘𝐴) · (𝐴 · 𝑌)))
2		lvecinv.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lvecinv.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4	3	lvecdrng 21069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
6		lvecinv.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
7	6	eldifad 3915	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
8		eldifsni 4748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝐴 ≠ 0 )
9	6, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0 )
10		lvecinv.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
11		lvecinv.o	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
12		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
13		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
14		lvecinv.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐹)
15	10, 11, 12, 13, 14	drnginvrl 20701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((𝐼‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
16	5, 7, 9, 15	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
17	16	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((1r‘𝐹) · 𝑌))
18		lveclmod 21070	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
19	2, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
20	10, 11, 14	drnginvrcl 20698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝐾)
21	5, 7, 9, 20	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝐾)
22		lvecinv.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
23		lvecinv.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
24		lvecinv.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
25	23, 3, 24, 10, 12	lmodvsass 20850	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝐼‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝐼‘𝐴) · (𝐴 · 𝑌)))
26	19, 21, 7, 22, 25	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝐼‘𝐴) · (𝐴 · 𝑌)))
27	23, 3, 24, 13	lmodvs1 20853	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑌) = 𝑌)
28	19, 22, 27	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹) · 𝑌) = 𝑌)
29	17, 26, 28	3eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝐴) · (𝐴 · 𝑌)) = 𝑌)
30	1, 29	sylan9eqr 2794	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = 𝑌)
31	10, 11, 12, 13, 14	drnginvrr 20702	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (𝐴(.r‘𝐹)(𝐼‘𝐴)) = (1r‘𝐹))
32	5, 7, 9, 31	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(.r‘𝐹)(𝐼‘𝐴)) = (1r‘𝐹))
33	32	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(.r‘𝐹)(𝐼‘𝐴)) · 𝑋) = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
34		lvecinv.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
35	23, 3, 24, 10, 12	lmodvsass 20850	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ (𝐼‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝐴(.r‘𝐹)(𝐼‘𝐴)) · 𝑋) = (𝐴 · ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)))
36	19, 7, 21, 34, 35	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(.r‘𝐹)(𝐼‘𝐴)) · 𝑋) = (𝐴 · ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)))
37	23, 3, 24, 13	lmodvs1 20853	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
38	19, 34, 37	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
39	33, 36, 38	3eqtr3rd 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 · ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)))
40		oveq2 7376	. . . 4 ⊢ (((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = 𝑌 → (𝐴 · ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)) = (𝐴 · 𝑌))
41	39, 40	sylan9eq 2792	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = 𝑌) → 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))
42	30, 41	impbida 801	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) ↔ ((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = 𝑌))
43		eqcom 2744	. 2 ⊢ (((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = 𝑌 ↔ 𝑌 = ((𝐼‘𝐴) · 𝑋))
44	42, 43	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑌 = ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3900  {csn 4582  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  0_gc0g 17371  1_rcur 20128  inv_rcinvr 20335  DivRingcdr 20674  LModclmod 20823  LVecclvec 21066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-drng 20676  df-lmod 20825  df-lvec 21067

This theorem is referenced by:  lspexch  21096  prjspersym  42959