Theorem lvecinv 21008

Description: Invert coefficient of scalar product. (Contributed by NM, 11-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecinv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecinv.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecinv.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecinv.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecinv.o	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
lvecinv.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐹)
lvecinv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecinv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
lvecinv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecinv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lvecinv	⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑌 = ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)))

Proof of Theorem lvecinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7434	. . . 4 ⊢ (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = ((𝐼‘𝐴) · (𝐴 · 𝑌)))
2		lvecinv.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lvecinv.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4	3	lvecdrng 20997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
6		lvecinv.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
7	6	eldifad 3961	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
8		eldifsni 4798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝐴 ≠ 0 )
9	6, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0 )
10		lvecinv.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
11		lvecinv.o	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
12		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
13		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
14		lvecinv.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐹)
15	10, 11, 12, 13, 14	drnginvrl 20656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((𝐼‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
16	5, 7, 9, 15	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
17	16	oveq1d 7441	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((1r‘𝐹) · 𝑌))
18		lveclmod 20998	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
19	2, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
20	10, 11, 14	drnginvrcl 20653	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝐾)
21	5, 7, 9, 20	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝐾)
22		lvecinv.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
23		lvecinv.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
24		lvecinv.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
25	23, 3, 24, 10, 12	lmodvsass 20777	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝐼‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝐼‘𝐴) · (𝐴 · 𝑌)))
26	19, 21, 7, 22, 25	syl13anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝐼‘𝐴) · (𝐴 · 𝑌)))
27	23, 3, 24, 13	lmodvs1 20780	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑌) = 𝑌)
28	19, 22, 27	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹) · 𝑌) = 𝑌)
29	17, 26, 28	3eqtr3d 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝐴) · (𝐴 · 𝑌)) = 𝑌)
30	1, 29	sylan9eqr 2790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = 𝑌)
31	10, 11, 12, 13, 14	drnginvrr 20657	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (𝐴(.r‘𝐹)(𝐼‘𝐴)) = (1r‘𝐹))
32	5, 7, 9, 31	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(.r‘𝐹)(𝐼‘𝐴)) = (1r‘𝐹))
33	32	oveq1d 7441	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(.r‘𝐹)(𝐼‘𝐴)) · 𝑋) = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
34		lvecinv.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
35	23, 3, 24, 10, 12	lmodvsass 20777	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ (𝐼‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝐴(.r‘𝐹)(𝐼‘𝐴)) · 𝑋) = (𝐴 · ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)))
36	19, 7, 21, 34, 35	syl13anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(.r‘𝐹)(𝐼‘𝐴)) · 𝑋) = (𝐴 · ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)))
37	23, 3, 24, 13	lmodvs1 20780	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
38	19, 34, 37	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
39	33, 36, 38	3eqtr3rd 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 · ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)))
40		oveq2 7434	. . . 4 ⊢ (((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = 𝑌 → (𝐴 · ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)) = (𝐴 · 𝑌))
41	39, 40	sylan9eq 2788	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = 𝑌) → 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))
42	30, 41	impbida 799	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) ↔ ((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = 𝑌))
43		eqcom 2735	. 2 ⊢ (((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = 𝑌 ↔ 𝑌 = ((𝐼‘𝐴) · 𝑋))
44	42, 43	bitrdi 286	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑌 = ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937   ∖ cdif 3946  {csn 4632  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  ._rcmulr 17241  Scalarcsca 17243   ·_𝑠 cvsca 17244  0_gc0g 17428  1_rcur 20128  inv_rcinvr 20333  DivRingcdr 20631  LModclmod 20750  LVecclvec 20994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lvec 20995

This theorem is referenced by:  lspexch  21024  prjspersym  42062