Theorem lvecinv 21074

Description: Invert coefficient of scalar product. (Contributed by NM, 11-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecinv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecinv.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecinv.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecinv.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecinv.o	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
lvecinv.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐹)
lvecinv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecinv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
lvecinv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecinv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lvecinv	⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑌 = ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)))

Proof of Theorem lvecinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7413	. . . 4 ⊢ (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = ((𝐼‘𝐴) · (𝐴 · 𝑌)))
2		lvecinv.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lvecinv.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4	3	lvecdrng 21063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
6		lvecinv.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
7	6	eldifad 3938	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
8		eldifsni 4766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝐴 ≠ 0 )
9	6, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0 )
10		lvecinv.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
11		lvecinv.o	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
12		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
13		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
14		lvecinv.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐹)
15	10, 11, 12, 13, 14	drnginvrl 20716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((𝐼‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
16	5, 7, 9, 15	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
17	16	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((1r‘𝐹) · 𝑌))
18		lveclmod 21064	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
19	2, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
20	10, 11, 14	drnginvrcl 20713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝐾)
21	5, 7, 9, 20	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝐾)
22		lvecinv.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
23		lvecinv.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
24		lvecinv.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
25	23, 3, 24, 10, 12	lmodvsass 20844	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝐼‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝐼‘𝐴) · (𝐴 · 𝑌)))
26	19, 21, 7, 22, 25	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝐼‘𝐴) · (𝐴 · 𝑌)))
27	23, 3, 24, 13	lmodvs1 20847	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑌) = 𝑌)
28	19, 22, 27	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹) · 𝑌) = 𝑌)
29	17, 26, 28	3eqtr3d 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝐴) · (𝐴 · 𝑌)) = 𝑌)
30	1, 29	sylan9eqr 2792	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = 𝑌)
31	10, 11, 12, 13, 14	drnginvrr 20717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (𝐴(.r‘𝐹)(𝐼‘𝐴)) = (1r‘𝐹))
32	5, 7, 9, 31	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(.r‘𝐹)(𝐼‘𝐴)) = (1r‘𝐹))
33	32	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(.r‘𝐹)(𝐼‘𝐴)) · 𝑋) = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
34		lvecinv.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
35	23, 3, 24, 10, 12	lmodvsass 20844	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ (𝐼‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝐴(.r‘𝐹)(𝐼‘𝐴)) · 𝑋) = (𝐴 · ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)))
36	19, 7, 21, 34, 35	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(.r‘𝐹)(𝐼‘𝐴)) · 𝑋) = (𝐴 · ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)))
37	23, 3, 24, 13	lmodvs1 20847	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
38	19, 34, 37	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
39	33, 36, 38	3eqtr3rd 2779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 · ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)))
40		oveq2 7413	. . . 4 ⊢ (((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = 𝑌 → (𝐴 · ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)) = (𝐴 · 𝑌))
41	39, 40	sylan9eq 2790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = 𝑌) → 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))
42	30, 41	impbida 800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) ↔ ((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = 𝑌))
43		eqcom 2742	. 2 ⊢ (((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = 𝑌 ↔ 𝑌 = ((𝐼‘𝐴) · 𝑋))
44	42, 43	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑌 = ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3923  {csn 4601  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  ._rcmulr 17272  Scalarcsca 17274   ·_𝑠 cvsca 17275  0_gc0g 17453  1_rcur 20141  inv_rcinvr 20347  DivRingcdr 20689  LModclmod 20817  LVecclvec 21060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-drng 20691  df-lmod 20819  df-lvec 21061

This theorem is referenced by:  lspexch  21090  prjspersym  42630