Theorem lvecinv 21306

Description: Invert coefficient of scalar product. (Contributed by NM, 11-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecinv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecinv.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecinv.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecinv.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecinv.o	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
lvecinv.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐹)
lvecinv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecinv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
lvecinv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecinv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lvecinv	⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑌 = ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)))

Proof of Theorem lvecinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7425	. . . 4 ⊢ (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = ((𝐼‘𝐴) · (𝐴 · 𝑌)))
2		lvecinv.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lvecinv.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4	3	lvecdrng 21295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
5	2, 4	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
6		lvecinv.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
7	6	eldifad 3914	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
8		eldifsni 4756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝐴 ≠ 0 )
9	6, 8	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0 )
10		lvecinv.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
11		lvecinv.o	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
12		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
13		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
14		lvecinv.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐹)
15	10, 11, 12, 13, 14	drnginvrl 20929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((𝐼‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
16	5, 7, 9, 15	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
17	16	oveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((1r‘𝐹) · 𝑌))
18		lveclmod 21296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
19	2, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
20	10, 11, 14	drnginvrcl 20926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝐾)
21	5, 7, 9, 20	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝐾)
22		lvecinv.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
23		lvecinv.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
24		lvecinv.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
25	23, 3, 24, 10, 12	lmodvsass 21077	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝐼‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝐼‘𝐴) · (𝐴 · 𝑌)))
26	19, 21, 7, 22, 25	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝐼‘𝐴) · (𝐴 · 𝑌)))
27	23, 3, 24, 13	lmodvs1 21080	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑌) = 𝑌)
28	19, 22, 27	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹) · 𝑌) = 𝑌)
29	17, 26, 28	3eqtr3d 2805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝐴) · (𝐴 · 𝑌)) = 𝑌)
30	1, 29	sylan9eqr 2819	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = 𝑌)
31	10, 11, 12, 13, 14	drnginvrr 20930	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (𝐴(.r‘𝐹)(𝐼‘𝐴)) = (1r‘𝐹))
32	5, 7, 9, 31	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(.r‘𝐹)(𝐼‘𝐴)) = (1r‘𝐹))
33	32	oveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(.r‘𝐹)(𝐼‘𝐴)) · 𝑋) = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
34		lvecinv.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
35	23, 3, 24, 10, 12	lmodvsass 21077	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ (𝐼‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝐴(.r‘𝐹)(𝐼‘𝐴)) · 𝑋) = (𝐴 · ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)))
36	19, 7, 21, 34, 35	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(.r‘𝐹)(𝐼‘𝐴)) · 𝑋) = (𝐴 · ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)))
37	23, 3, 24, 13	lmodvs1 21080	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
38	19, 34, 37	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
39	33, 36, 38	3eqtr3rd 2806	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 · ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)))
40		oveq2 7425	. . . 4 ⊢ (((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = 𝑌 → (𝐴 · ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)) = (𝐴 · 𝑌))
41	39, 40	sylan9eq 2817	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = 𝑌) → 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))
42	30, 41	impbida 813	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) ↔ ((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = 𝑌))
43		eqcom 2769	. 2 ⊢ (((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = 𝑌 ↔ 𝑌 = ((𝐼‘𝐴) · 𝑋))
44	42, 43	bitrdi 290	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑌 = ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ∖ cdif 3899  {csn 4587  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  ._rcmulr 17349  Scalarcsca 17351   ·_𝑠 cvsca 17352  0_gc0g 17530  1_rcur 20326  inv_rcinvr 20534  DivRingcdr 20896  LModclmod 21050  LVecclvec 21292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535  df-drng 20898  df-lmod 21052  df-lvec 21293

This theorem is used by:  lspexch  21322  prjspersym  43461