MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecinv 20961
Description: Invert coefficient of scalar product. (Contributed by NM, 11-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecinv.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lvecinv.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lvecinv.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lvecinv.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lvecinv.o 0 = (0gβ€˜πΉ)
lvecinv.i 𝐼 = (invrβ€˜πΉ)
lvecinv.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lvecinv.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }))
lvecinv.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecinv.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lvecinv (πœ‘ β†’ (𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ) ↔ π‘Œ = ((πΌβ€˜π΄) Β· 𝑋)))

Proof of Theorem lvecinv
StepHypRef Expression
1 oveq2 7412 . . . 4 (𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ) β†’ ((πΌβ€˜π΄) Β· 𝑋) = ((πΌβ€˜π΄) Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
2 lvecinv.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
3 lvecinv.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
43lvecdrng 20950 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
52, 4syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
6 lvecinv.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }))
76eldifad 3955 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
8 eldifsni 4788 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }) β†’ 𝐴 β‰  0 )
96, 8syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0 )
10 lvecinv.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
11 lvecinv.o . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜πΉ)
12 eqid 2726 . . . . . . . 8 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
13 eqid 2726 . . . . . . . 8 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
14 lvecinv.i . . . . . . . 8 𝐼 = (invrβ€˜πΉ)
1510, 11, 12, 13, 14drnginvrl 20609 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 ) β†’ ((πΌβ€˜π΄)(.rβ€˜πΉ)𝐴) = (1rβ€˜πΉ))
165, 7, 9, 15syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜π΄)(.rβ€˜πΉ)𝐴) = (1rβ€˜πΉ))
1716oveq1d 7419 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((πΌβ€˜π΄)(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· π‘Œ) = ((1rβ€˜πΉ) Β· π‘Œ))
18 lveclmod 20951 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
192, 18syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2010, 11, 14drnginvrcl 20606 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 ) β†’ (πΌβ€˜π΄) ∈ 𝐾)
215, 7, 9, 20syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π΄) ∈ 𝐾)
22 lvecinv.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
23 lvecinv.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
24 lvecinv.t . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
2523, 3, 24, 10, 12lmodvsass 20730 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((πΌβ€˜π΄) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((πΌβ€˜π΄)(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· π‘Œ) = ((πΌβ€˜π΄) Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
2619, 21, 7, 22, 25syl13anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((πΌβ€˜π΄)(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· π‘Œ) = ((πΌβ€˜π΄) Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
2723, 3, 24, 13lmodvs1 20733 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜πΉ) Β· π‘Œ) = π‘Œ)
2819, 22, 27syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜πΉ) Β· π‘Œ) = π‘Œ)
2917, 26, 283eqtr3d 2774 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜π΄) Β· (𝐴 Β· π‘Œ)) = π‘Œ)
301, 29sylan9eqr 2788 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ)) β†’ ((πΌβ€˜π΄) Β· 𝑋) = π‘Œ)
3110, 11, 12, 13, 14drnginvrr 20610 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  0 ) β†’ (𝐴(.rβ€˜πΉ)(πΌβ€˜π΄)) = (1rβ€˜πΉ))
325, 7, 9, 31syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(.rβ€˜πΉ)(πΌβ€˜π΄)) = (1rβ€˜πΉ))
3332oveq1d 7419 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴(.rβ€˜πΉ)(πΌβ€˜π΄)) Β· 𝑋) = ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋))
34 lvecinv.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3523, 3, 24, 10, 12lmodvsass 20730 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ (πΌβ€˜π΄) ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴(.rβ€˜πΉ)(πΌβ€˜π΄)) Β· 𝑋) = (𝐴 Β· ((πΌβ€˜π΄) Β· 𝑋)))
3619, 7, 21, 34, 35syl13anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴(.rβ€˜πΉ)(πΌβ€˜π΄)) Β· 𝑋) = (𝐴 Β· ((πΌβ€˜π΄) Β· 𝑋)))
3723, 3, 24, 13lmodvs1 20733 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = 𝑋)
3819, 34, 37syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = 𝑋)
3933, 36, 383eqtr3rd 2775 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (𝐴 Β· ((πΌβ€˜π΄) Β· 𝑋)))
40 oveq2 7412 . . . 4 (((πΌβ€˜π΄) Β· 𝑋) = π‘Œ β†’ (𝐴 Β· ((πΌβ€˜π΄) Β· 𝑋)) = (𝐴 Β· π‘Œ))
4139, 40sylan9eq 2786 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((πΌβ€˜π΄) Β· 𝑋) = π‘Œ) β†’ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))
4230, 41impbida 798 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ) ↔ ((πΌβ€˜π΄) Β· 𝑋) = π‘Œ))
43 eqcom 2733 . 2 (((πΌβ€˜π΄) Β· 𝑋) = π‘Œ ↔ π‘Œ = ((πΌβ€˜π΄) Β· 𝑋))
4442, 43bitrdi 287 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ) ↔ π‘Œ = ((πΌβ€˜π΄) Β· 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βˆ– cdif 3940  {csn 4623  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  .rcmulr 17204  Scalarcsca 17206   ·𝑠 cvsca 17207  0gc0g 17391  1rcur 20083  invrcinvr 20286  DivRingcdr 20584  LModclmod 20703  LVecclvec 20947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-drng 20586  df-lmod 20705  df-lvec 20948
This theorem is referenced by:  lspexch  20977  prjspersym  41909
  Copyright terms: Public domain W3C validator