Theorem lvecinv 21163

Description: Invert coefficient of scalar product. (Contributed by NM, 11-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecinv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecinv.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecinv.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecinv.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecinv.o	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
lvecinv.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐹)
lvecinv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecinv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
lvecinv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecinv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lvecinv	⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑌 = ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)))

Proof of Theorem lvecinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7400	. . . 4 ⊢ (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = ((𝐼‘𝐴) · (𝐴 · 𝑌)))
2		lvecinv.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lvecinv.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4	3	lvecdrng 21152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
6		lvecinv.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
7	6	eldifad 3916	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
8		eldifsni 4749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝐴 ≠ 0 )
9	6, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0 )
10		lvecinv.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
11		lvecinv.o	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
12		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
13		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
14		lvecinv.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐹)
15	10, 11, 12, 13, 14	drnginvrl 20785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ((𝐼‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
16	5, 7, 9, 15	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
17	16	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((1r‘𝐹) · 𝑌))
18		lveclmod 21153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
19	2, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
20	10, 11, 14	drnginvrcl 20782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝐾)
21	5, 7, 9, 20	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝐾)
22		lvecinv.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
23		lvecinv.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
24		lvecinv.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
25	23, 3, 24, 10, 12	lmodvsass 20934	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝐼‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝐼‘𝐴) · (𝐴 · 𝑌)))
26	19, 21, 7, 22, 25	syl13anc 1390	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝐼‘𝐴) · (𝐴 · 𝑌)))
27	23, 3, 24, 13	lmodvs1 20937	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑌) = 𝑌)
28	19, 22, 27	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹) · 𝑌) = 𝑌)
29	17, 26, 28	3eqtr3d 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝐴) · (𝐴 · 𝑌)) = 𝑌)
30	1, 29	sylan9eqr 2818	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = 𝑌)
31	10, 11, 12, 13, 14	drnginvrr 20786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (𝐴(.r‘𝐹)(𝐼‘𝐴)) = (1r‘𝐹))
32	5, 7, 9, 31	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(.r‘𝐹)(𝐼‘𝐴)) = (1r‘𝐹))
33	32	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(.r‘𝐹)(𝐼‘𝐴)) · 𝑋) = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
34		lvecinv.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
35	23, 3, 24, 10, 12	lmodvsass 20934	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ (𝐼‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝐴(.r‘𝐹)(𝐼‘𝐴)) · 𝑋) = (𝐴 · ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)))
36	19, 7, 21, 34, 35	syl13anc 1390	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(.r‘𝐹)(𝐼‘𝐴)) · 𝑋) = (𝐴 · ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)))
37	23, 3, 24, 13	lmodvs1 20937	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
38	19, 34, 37	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
39	33, 36, 38	3eqtr3rd 2805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 · ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)))
40		oveq2 7400	. . . 4 ⊢ (((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = 𝑌 → (𝐴 · ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)) = (𝐴 · 𝑌))
41	39, 40	sylan9eq 2816	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = 𝑌) → 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))
42	30, 41	impbida 810	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) ↔ ((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = 𝑌))
43		eqcom 2768	. 2 ⊢ (((𝐼‘𝐴) · 𝑋) = 𝑌 ↔ 𝑌 = ((𝐼‘𝐴) · 𝑋))
44	42, 43	bitrdi 289	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑌 = ((𝐼‘𝐴) · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3901  {csn 4581  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  ._rcmulr 17270  Scalarcsca 17272   ·_𝑠 cvsca 17273  0_gc0g 17451  1_rcur 20210  inv_rcinvr 20415  DivRingcdr 20758  LModclmod 20907  LVecclvec 21149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-drng 20760  df-lmod 20909  df-lvec 21150

This theorem is referenced by:  lspexch  21179  prjspersym  43153