MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecinv 20570
Description: Invert coefficient of scalar product. (Contributed by NM, 11-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecinv.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecinv.t · = ( ·𝑠𝑊)
lvecinv.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecinv.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecinv.o 0 = (0g𝐹)
lvecinv.i 𝐼 = (invr𝐹)
lvecinv.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lvecinv.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
lvecinv.x (𝜑𝑋𝑉)
lvecinv.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lvecinv (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑌 = ((𝐼𝐴) · 𝑋)))

Proof of Theorem lvecinv
StepHypRef Expression
1 oveq2 7362 . . . 4 (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝐼𝐴) · 𝑋) = ((𝐼𝐴) · (𝐴 · 𝑌)))
2 lvecinv.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lvecinv.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
43lvecdrng 20562 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
52, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
6 lvecinv.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
76eldifad 3921 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐾)
8 eldifsni 4749 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝐴0 )
96, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴0 )
10 lvecinv.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐹)
11 lvecinv.o . . . . . . . 8 0 = (0g𝐹)
12 eqid 2736 . . . . . . . 8 (.r𝐹) = (.r𝐹)
13 eqid 2736 . . . . . . . 8 (1r𝐹) = (1r𝐹)
14 lvecinv.i . . . . . . . 8 𝐼 = (invr𝐹)
1510, 11, 12, 13, 14drnginvrl 20204 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴𝐾𝐴0 ) → ((𝐼𝐴)(.r𝐹)𝐴) = (1r𝐹))
165, 7, 9, 15syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐼𝐴)(.r𝐹)𝐴) = (1r𝐹))
1716oveq1d 7369 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐼𝐴)(.r𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((1r𝐹) · 𝑌))
18 lveclmod 20563 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
192, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2010, 11, 14drnginvrcl 20201 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴𝐾𝐴0 ) → (𝐼𝐴) ∈ 𝐾)
215, 7, 9, 20syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼𝐴) ∈ 𝐾)
22 lvecinv.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
23 lvecinv.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
24 lvecinv.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑊)
2523, 3, 24, 10, 12lmodvsass 20343 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼𝐴) ∈ 𝐾𝐴𝐾𝑌𝑉)) → (((𝐼𝐴)(.r𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝐼𝐴) · (𝐴 · 𝑌)))
2619, 21, 7, 22, 25syl13anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐼𝐴)(.r𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝐼𝐴) · (𝐴 · 𝑌)))
2723, 3, 24, 13lmodvs1 20346 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → ((1r𝐹) · 𝑌) = 𝑌)
2819, 22, 27syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((1r𝐹) · 𝑌) = 𝑌)
2917, 26, 283eqtr3d 2784 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼𝐴) · (𝐴 · 𝑌)) = 𝑌)
301, 29sylan9eqr 2798 . . 3 ((𝜑𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((𝐼𝐴) · 𝑋) = 𝑌)
3110, 11, 12, 13, 14drnginvrr 20205 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴𝐾𝐴0 ) → (𝐴(.r𝐹)(𝐼𝐴)) = (1r𝐹))
325, 7, 9, 31syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(.r𝐹)(𝐼𝐴)) = (1r𝐹))
3332oveq1d 7369 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(.r𝐹)(𝐼𝐴)) · 𝑋) = ((1r𝐹) · 𝑋))
34 lvecinv.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
3523, 3, 24, 10, 12lmodvsass 20343 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴𝐾 ∧ (𝐼𝐴) ∈ 𝐾𝑋𝑉)) → ((𝐴(.r𝐹)(𝐼𝐴)) · 𝑋) = (𝐴 · ((𝐼𝐴) · 𝑋)))
3619, 7, 21, 34, 35syl13anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(.r𝐹)(𝐼𝐴)) · 𝑋) = (𝐴 · ((𝐼𝐴) · 𝑋)))
3723, 3, 24, 13lmodvs1 20346 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
3819, 34, 37syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
3933, 36, 383eqtr3rd 2785 . . . 4 (𝜑𝑋 = (𝐴 · ((𝐼𝐴) · 𝑋)))
40 oveq2 7362 . . . 4 (((𝐼𝐴) · 𝑋) = 𝑌 → (𝐴 · ((𝐼𝐴) · 𝑋)) = (𝐴 · 𝑌))
4139, 40sylan9eq 2796 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐼𝐴) · 𝑋) = 𝑌) → 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))
4230, 41impbida 799 . 2 (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) ↔ ((𝐼𝐴) · 𝑋) = 𝑌))
43 eqcom 2743 . 2 (((𝐼𝐴) · 𝑋) = 𝑌𝑌 = ((𝐼𝐴) · 𝑋))
4442, 43bitrdi 286 1 (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑌 = ((𝐼𝐴) · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2942  cdif 3906  {csn 4585  cfv 6494  (class class class)co 7354  Basecbs 17080  .rcmulr 17131  Scalarcsca 17133   ·𝑠 cvsca 17134  0gc0g 17318  1rcur 19909  invrcinvr 20096  DivRingcdr 20181  LModclmod 20318  LVecclvec 20559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-2nd 7919  df-tpos 8154  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-er 8645  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-sets 17033  df-slot 17051  df-ndx 17063  df-base 17081  df-ress 17110  df-plusg 17143  df-mulr 17144  df-0g 17320  df-mgm 18494  df-sgrp 18543  df-mnd 18554  df-grp 18748  df-minusg 18749  df-mgp 19893  df-ur 19910  df-ring 19962  df-oppr 20045  df-dvdsr 20066  df-unit 20067  df-invr 20097  df-drng 20183  df-lmod 20320  df-lvec 20560
This theorem is referenced by:  lspexch  20586  prjspersym  40921
  Copyright terms: Public domain W3C validator