Theorem lmodvsinv 20972

Description: Multiplication of a vector by a negated scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lmodvsinv.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsinv.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
lmodvsinv.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝐹)
lmodvsinv.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsinv	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑅) · 𝑋) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodvsinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodvsinv.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodring 20803	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
4	3	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ Ring)
5		ringgrp 20158	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ Grp)
7		lmodvsinv.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
8		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
9	7, 8	ringidcl 20185	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
10	4, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
11		lmodvsinv.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝐹)
12	7, 11	grpinvcl 18902	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐹) ∈ 𝐾) → (𝑀‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
13	6, 10, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
14		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ 𝐾)
15		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		lmodvsinv.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
17		lmodvsinv.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
18		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
19	16, 2, 17, 7, 18	lmodvsass 20822	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑀‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑀‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑀‘(1r‘𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)))
20	1, 13, 14, 15, 19	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑀‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑀‘(1r‘𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)))
21	7, 18, 8, 11, 4, 14	ringnegl 20222	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝑅) = (𝑀‘𝑅))
22	21	oveq1d 7367	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑀‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑀‘𝑅) · 𝑋))
23	16, 2, 17, 7	lmodvscl 20813	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵)
24		lmodvsinv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
25	16, 24, 2, 17, 8, 11	lmodvneg1 20840	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀‘(1r‘𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))
26	1, 23, 25	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘(1r‘𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))
27	20, 22, 26	3eqtr3d 2776	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑅) · 𝑋) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  ._rcmulr 17164  Scalarcsca 17166   ·_𝑠 cvsca 17167  Grpcgrp 18848  inv_gcminusg 18849  1_rcur 20101  Ringcrg 20153  LModclmod 20795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-plusg 17176  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-lmod 20797

This theorem is referenced by:  islindf4  21777