MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvsinv 21014
Description: Multiplication of a vector by a negated scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsinv.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
lmodvsinv.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsinv.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvsinv.n 𝑁 = (invg𝑊)
lmodvsinv.m 𝑀 = (invg𝐹)
lmodvsinv.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvsinv ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → ((𝑀𝑅) · 𝑋) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodvsinv
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
2 lmodvsinv.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
32lmodring 20844 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
433ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → 𝐹 ∈ Ring)
5 ringgrp 20221 . . . . 5 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → 𝐹 ∈ Grp)
7 lmodvsinv.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
8 eqid 2726 . . . . . 6 (1r𝐹) = (1r𝐹)
97, 8ringidcl 20245 . . . . 5 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
104, 9syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
11 lmodvsinv.m . . . . 5 𝑀 = (invg𝐹)
127, 11grpinvcl 18982 . . . 4 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r𝐹) ∈ 𝐾) → (𝑀‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
136, 10, 12syl2anc 582 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → (𝑀‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
14 simp2 1134 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → 𝑅𝐾)
15 simp3 1135 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
16 lmodvsinv.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
17 lmodvsinv.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
18 eqid 2726 . . . 4 (.r𝐹) = (.r𝐹)
1916, 2, 17, 7, 18lmodvsass 20863 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑀‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾𝑅𝐾𝑋𝐵)) → (((𝑀‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑀‘(1r𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)))
201, 13, 14, 15, 19syl13anc 1369 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → (((𝑀‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑀‘(1r𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)))
217, 18, 8, 11, 4, 14ringnegl 20281 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → ((𝑀‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝑅) = (𝑀𝑅))
2221oveq1d 7439 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → (((𝑀‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑀𝑅) · 𝑋))
2316, 2, 17, 7lmodvscl 20854 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵)
24 lmodvsinv.n . . . 4 𝑁 = (invg𝑊)
2516, 24, 2, 17, 8, 11lmodvneg1 20881 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀‘(1r𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))
261, 23, 25syl2anc 582 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → ((𝑀‘(1r𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))
2720, 22, 263eqtr3d 2774 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝐵) → ((𝑀𝑅) · 𝑋) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  .rcmulr 17267  Scalarcsca 17269   ·𝑠 cvsca 17270  Grpcgrp 18928  invgcminusg 18929  1rcur 20164  Ringcrg 20216  LModclmod 20836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-plusg 17279  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-lmod 20838
This theorem is referenced by:  islindf4  21836
  Copyright terms: Public domain W3C validator