Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincscm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincscm 47013
Description: A linear combinations multiplied with a scalar is a linear combination, see also the proof in [Lang] p. 129. (Contributed by AV, 9-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincscm.s = ( ·𝑠𝑀)
lincscm.t · = (.r‘(Scalar‘𝑀))
lincscm.x 𝑋 = (𝐴( linC ‘𝑀)𝑉)
lincscm.r 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
lincscm.f 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑆 · (𝐴𝑥)))
Assertion
Ref Expression
lincscm (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑆 𝑋) = (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥, ·
Allowed substitution hints:   (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem lincscm
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2 eqid 2733 . . 3 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
3 lincscm.r . . 3 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
4 eqid 2733 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
5 eqid 2733 . . 3 (+g𝑀) = (+g𝑀)
6 lincscm.s . . 3 = ( ·𝑠𝑀)
7 simp1l 1198 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑀 ∈ LMod)
8 simpr 486 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
983ad2ant1 1134 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
10 simpr 486 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) → 𝑆𝑅)
11103ad2ant2 1135 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑆𝑅)
127adantr 482 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
13 elmapi 8839 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝐴:𝑉𝑅)
14 ffvelcdm 7079 . . . . . . . . 9 ((𝐴:𝑉𝑅𝑣𝑉) → (𝐴𝑣) ∈ 𝑅)
1514ex 414 . . . . . . . 8 (𝐴:𝑉𝑅 → (𝑣𝑉 → (𝐴𝑣) ∈ 𝑅))
1613, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → (𝑣𝑉 → (𝐴𝑣) ∈ 𝑅))
1716adantr 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) → (𝑣𝑉 → (𝐴𝑣) ∈ 𝑅))
18173ad2ant2 1135 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑣𝑉 → (𝐴𝑣) ∈ 𝑅))
1918imp 408 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → (𝐴𝑣) ∈ 𝑅)
20 elelpwi 4611 . . . . . . . 8 ((𝑣𝑉𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀))
2120expcom 415 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → (𝑣𝑉𝑣 ∈ (Base‘𝑀)))
2221adantl 483 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑣𝑉𝑣 ∈ (Base‘𝑀)))
23223ad2ant1 1134 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑣𝑉𝑣 ∈ (Base‘𝑀)))
2423imp 408 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀))
25 eqid 2733 . . . . 5 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
261, 2, 25, 3lmodvscl 20477 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐴𝑣) ∈ 𝑅𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ (Base‘𝑀))
2712, 19, 24, 26syl3anc 1372 . . 3 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ (Base‘𝑀))
282, 3scmfsupp 46956 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
29283adant2r 1180 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 27, 29gsumvsmul 20524 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ (𝑆 ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))) = (𝑆 (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))))
312lmodring 20467 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod → (Scalar‘𝑀) ∈ Ring)
3231adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (Scalar‘𝑀) ∈ Ring)
33323ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (Scalar‘𝑀) ∈ Ring)
3433adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑥𝑉) → (Scalar‘𝑀) ∈ Ring)
353eleq2i 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝑅𝑆 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
3635biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝑆𝑅𝑆 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
3736adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) → 𝑆 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
38373ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑆 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
3938adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑆 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
40 ffvelcdm 7079 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴:𝑉𝑅𝑥𝑉) → (𝐴𝑥) ∈ 𝑅)
4140, 3eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴:𝑉𝑅𝑥𝑉) → (𝐴𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
4241ex 414 . . . . . . . . . . 11 (𝐴:𝑉𝑅 → (𝑥𝑉 → (𝐴𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
4313, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → (𝑥𝑉 → (𝐴𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
4443adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) → (𝑥𝑉 → (𝐴𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
45443ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑥𝑉 → (𝐴𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
4645imp 408 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐴𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
47 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
48 lincscm.t . . . . . . . 8 · = (.r‘(Scalar‘𝑀))
4947, 48ringcl 20064 . . . . . . 7 (((Scalar‘𝑀) ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (𝐴𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑆 · (𝐴𝑥)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
5034, 39, 46, 49syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑆 · (𝐴𝑥)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
51 lincscm.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑆 · (𝐴𝑥)))
5250, 51fmptd 7109 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
53 fvex 6901 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
54 elmapg 8829 . . . . . 6 (((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
5553, 9, 54sylancr 588 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
5652, 55mpbird 257 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
57 lincval 46992 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
587, 56, 9, 57syl3anc 1372 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
59 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
60 ovex 7437 . . . . . . . 8 (𝑆 · (𝐴𝑣)) ∈ V
61 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑣 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑣))
6261oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑣 → (𝑆 · (𝐴𝑥)) = (𝑆 · (𝐴𝑣)))
6362, 51fvmptg 6992 . . . . . . . 8 ((𝑣𝑉 ∧ (𝑆 · (𝐴𝑣)) ∈ V) → (𝐹𝑣) = (𝑆 · (𝐴𝑣)))
6459, 60, 63sylancl 587 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → (𝐹𝑣) = (𝑆 · (𝐴𝑣)))
6564oveq1d 7419 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = ((𝑆 · (𝐴𝑣))( ·𝑠𝑀)𝑣))
6611adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑆𝑅)
671, 2, 25, 3, 48lmodvsass 20485 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑅 ∧ (𝐴𝑣) ∈ 𝑅𝑣 ∈ (Base‘𝑀))) → ((𝑆 · (𝐴𝑣))( ·𝑠𝑀)𝑣) = (𝑆( ·𝑠𝑀)((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))
6812, 66, 19, 24, 67syl13anc 1373 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑆 · (𝐴𝑣))( ·𝑠𝑀)𝑣) = (𝑆( ·𝑠𝑀)((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))
696eqcomi 2742 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑀) =
7069a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → ( ·𝑠𝑀) = )
7170oveqd 7421 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑆( ·𝑠𝑀)((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) = (𝑆 ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))
7268, 71eqtrd 2773 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑆 · (𝐴𝑣))( ·𝑠𝑀)𝑣) = (𝑆 ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))
7365, 72eqtrd 2773 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = (𝑆 ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))
7473mpteq2dva 5247 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) = (𝑣𝑉 ↦ (𝑆 ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
7574oveq2d 7420 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ (𝑆 ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))))
7658, 75eqtrd 2773 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ (𝑆 ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))))
77 lincscm.x . . . . 5 𝑋 = (𝐴( linC ‘𝑀)𝑉)
7877a1i 11 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑋 = (𝐴( linC ‘𝑀)𝑉))
793oveq1i 7414 . . . . . . . . 9 (𝑅m 𝑉) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)
8079eleq2i 2826 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ↔ 𝐴 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
8180biimpi 215 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝐴 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
8281adantr 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) → 𝐴 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
83823ad2ant2 1135 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝐴 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
84 lincval 46992 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐴( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
857, 83, 9, 84syl3anc 1372 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝐴( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
8678, 85eqtrd 2773 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
8786oveq2d 7420 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑆 𝑋) = (𝑆 (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))))
8830, 76, 873eqtr4rd 2784 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑆 𝑋) = (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  𝒫 cpw 4601   class class class wbr 5147  cmpt 5230  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7404  m cmap 8816   finSupp cfsupp 9357  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381   Σg cgsu 17382  Ringcrg 20047  LModclmod 20459   linC clinc 46987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-lmod 20461  df-linc 46989
This theorem is referenced by:  lincscmcl  47015
  Copyright terms: Public domain W3C validator