Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincscm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincscm 48347
Description: A linear combinations multiplied with a scalar is a linear combination, see also the proof in [Lang] p. 129. (Contributed by AV, 9-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincscm.s = ( ·𝑠𝑀)
lincscm.t · = (.r‘(Scalar‘𝑀))
lincscm.x 𝑋 = (𝐴( linC ‘𝑀)𝑉)
lincscm.r 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
lincscm.f 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑆 · (𝐴𝑥)))
Assertion
Ref Expression
lincscm (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑆 𝑋) = (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥, ·
Allowed substitution hints:   (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem lincscm
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2 eqid 2737 . . 3 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
3 lincscm.r . . 3 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
4 eqid 2737 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
5 eqid 2737 . . 3 (+g𝑀) = (+g𝑀)
6 lincscm.s . . 3 = ( ·𝑠𝑀)
7 simp1l 1198 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑀 ∈ LMod)
8 simpr 484 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
983ad2ant1 1134 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
10 simpr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) → 𝑆𝑅)
11103ad2ant2 1135 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑆𝑅)
127adantr 480 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
13 elmapi 8889 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝐴:𝑉𝑅)
14 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . 9 ((𝐴:𝑉𝑅𝑣𝑉) → (𝐴𝑣) ∈ 𝑅)
1514ex 412 . . . . . . . 8 (𝐴:𝑉𝑅 → (𝑣𝑉 → (𝐴𝑣) ∈ 𝑅))
1613, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → (𝑣𝑉 → (𝐴𝑣) ∈ 𝑅))
1716adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) → (𝑣𝑉 → (𝐴𝑣) ∈ 𝑅))
18173ad2ant2 1135 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑣𝑉 → (𝐴𝑣) ∈ 𝑅))
1918imp 406 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → (𝐴𝑣) ∈ 𝑅)
20 elelpwi 4610 . . . . . . . 8 ((𝑣𝑉𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀))
2120expcom 413 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → (𝑣𝑉𝑣 ∈ (Base‘𝑀)))
2221adantl 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑣𝑉𝑣 ∈ (Base‘𝑀)))
23223ad2ant1 1134 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑣𝑉𝑣 ∈ (Base‘𝑀)))
2423imp 406 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑀))
25 eqid 2737 . . . . 5 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
261, 2, 25, 3lmodvscl 20876 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐴𝑣) ∈ 𝑅𝑣 ∈ (Base‘𝑀)) → ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ (Base‘𝑀))
2712, 19, 24, 26syl3anc 1373 . . 3 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ (Base‘𝑀))
282, 3scmfsupp 48291 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
29283adant2r 1180 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 27, 29gsumvsmul 20924 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ (𝑆 ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))) = (𝑆 (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))))
312lmodring 20866 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod → (Scalar‘𝑀) ∈ Ring)
3231adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (Scalar‘𝑀) ∈ Ring)
33323ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (Scalar‘𝑀) ∈ Ring)
3433adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑥𝑉) → (Scalar‘𝑀) ∈ Ring)
353eleq2i 2833 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝑅𝑆 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
3635biimpi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑆𝑅𝑆 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
3736adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) → 𝑆 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
38373ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑆 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
3938adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑆 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
40 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴:𝑉𝑅𝑥𝑉) → (𝐴𝑥) ∈ 𝑅)
4140, 3eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴:𝑉𝑅𝑥𝑉) → (𝐴𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
4241ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝐴:𝑉𝑅 → (𝑥𝑉 → (𝐴𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
4313, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → (𝑥𝑉 → (𝐴𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
4443adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) → (𝑥𝑉 → (𝐴𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
45443ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑥𝑉 → (𝐴𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
4645imp 406 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐴𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
47 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
48 lincscm.t . . . . . . . 8 · = (.r‘(Scalar‘𝑀))
4947, 48ringcl 20247 . . . . . . 7 (((Scalar‘𝑀) ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (𝐴𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑆 · (𝐴𝑥)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
5034, 39, 46, 49syl3anc 1373 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑆 · (𝐴𝑥)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
51 lincscm.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑆 · (𝐴𝑥)))
5250, 51fmptd 7134 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
53 fvex 6919 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
54 elmapg 8879 . . . . . 6 (((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
5553, 9, 54sylancr 587 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
5652, 55mpbird 257 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
57 lincval 48326 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
587, 56, 9, 57syl3anc 1373 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
59 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
60 ovex 7464 . . . . . . . 8 (𝑆 · (𝐴𝑣)) ∈ V
61 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑣 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑣))
6261oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑣 → (𝑆 · (𝐴𝑥)) = (𝑆 · (𝐴𝑣)))
6362, 51fvmptg 7014 . . . . . . . 8 ((𝑣𝑉 ∧ (𝑆 · (𝐴𝑣)) ∈ V) → (𝐹𝑣) = (𝑆 · (𝐴𝑣)))
6459, 60, 63sylancl 586 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → (𝐹𝑣) = (𝑆 · (𝐴𝑣)))
6564oveq1d 7446 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = ((𝑆 · (𝐴𝑣))( ·𝑠𝑀)𝑣))
6611adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑆𝑅)
671, 2, 25, 3, 48lmodvsass 20885 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑅 ∧ (𝐴𝑣) ∈ 𝑅𝑣 ∈ (Base‘𝑀))) → ((𝑆 · (𝐴𝑣))( ·𝑠𝑀)𝑣) = (𝑆( ·𝑠𝑀)((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))
6812, 66, 19, 24, 67syl13anc 1374 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑆 · (𝐴𝑣))( ·𝑠𝑀)𝑣) = (𝑆( ·𝑠𝑀)((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))
696eqcomi 2746 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑀) =
7069a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → ( ·𝑠𝑀) = )
7170oveqd 7448 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑆( ·𝑠𝑀)((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) = (𝑆 ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))
7268, 71eqtrd 2777 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑆 · (𝐴𝑣))( ·𝑠𝑀)𝑣) = (𝑆 ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))
7365, 72eqtrd 2777 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = (𝑆 ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))
7473mpteq2dva 5242 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) = (𝑣𝑉 ↦ (𝑆 ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
7574oveq2d 7447 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ (𝑆 ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))))
7658, 75eqtrd 2777 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ (𝑆 ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))))
77 lincscm.x . . . . 5 𝑋 = (𝐴( linC ‘𝑀)𝑉)
7877a1i 11 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑋 = (𝐴( linC ‘𝑀)𝑉))
793oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 (𝑅m 𝑉) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)
8079eleq2i 2833 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ↔ 𝐴 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
8180biimpi 216 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝐴 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
8281adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) → 𝐴 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
83823ad2ant2 1135 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝐴 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
84 lincval 48326 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐴( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
857, 83, 9, 84syl3anc 1373 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝐴( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
8678, 85eqtrd 2777 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
8786oveq2d 7447 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑆 𝑋) = (𝑆 (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐴𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)))))
8830, 76, 873eqtr4rd 2788 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑆𝑅) ∧ 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑆 𝑋) = (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866   finSupp cfsupp 9401  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  Ringcrg 20230  LModclmod 20858   linC clinc 48321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-linc 48323
This theorem is referenced by:  lincscmcl  48349
  Copyright terms: Public domain W3C validator