Theorem lcdvsass 37763

Description: Associative law for scalar product in a closed kernel dual vector space. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdvsass.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvsass.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsass.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
lcdvsass.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑅)
lcdvsass.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lcdvsass.d	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsass.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
lcdvsass.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
lcdvsass.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcdvsass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐿)
lcdvsass.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐿)
lcdvsass.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lcdvsass	⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝑋) ∙ 𝐺) = (𝑋 ∙ (𝑌 ∙ 𝐺)))

Proof of Theorem lcdvsass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdvsass.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcdvsass.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdvsass.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
4		lcdvsass.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑅)
5		lcdvsass.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		lcdvsass.d	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
8		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝐶)) = (.r‘(Scalar‘𝐶))
9		lcdvsass.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		lcdvsass.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐿)
11		lcdvsass.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐿)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lcdsmul 37758	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘(Scalar‘𝐶))𝑌) = (𝑌 · 𝑋))
13	12	oveq1d 6937	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(.r‘(Scalar‘𝐶))𝑌) ∙ 𝐺) = ((𝑌 · 𝑋) ∙ 𝐺))
14	1, 6, 9	lcdlmod 37748	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
15		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
16	1, 2, 3, 4, 6, 7, 15, 9	lcdsbase 37756	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐿)
17	10, 16	eleqtrrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
18	11, 16	eleqtrrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
19		lcdvsass.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
20		lcdvsass.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
21		lcdvsass.s	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
22	20, 7, 21, 15, 8	lmodvsass 19280	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐹)) → ((𝑋(.r‘(Scalar‘𝐶))𝑌) ∙ 𝐺) = (𝑋 ∙ (𝑌 ∙ 𝐺)))
23	14, 17, 18, 19, 22	syl13anc 1440	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(.r‘(Scalar‘𝐶))𝑌) ∙ 𝐺) = (𝑋 ∙ (𝑌 ∙ 𝐺)))
24	13, 23	eqtr3d 2816	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝑋) ∙ 𝐺) = (𝑋 ∙ (𝑌 ∙ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  ._rcmulr 16339  Scalarcsca 16341   ·_𝑠 cvsca 16342  LModclmod 19255  HLchlt 35506  LHypclh 36140  DVecHcdvh 37234  LCDualclcd 37742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-riotaBAD 35109

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-undef 7681  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-0g 16488  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-oppg 18159  df-lsm 18435  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-drng 19141  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-lvec 19498  df-lsatoms 35132  df-lshyp 35133  df-lcv 35175  df-lfl 35214  df-lkr 35242  df-ldual 35280  df-oposet 35332  df-ol 35334  df-oml 35335  df-covers 35422  df-ats 35423  df-atl 35454  df-cvlat 35478  df-hlat 35507  df-llines 35654  df-lplanes 35655  df-lvols 35656  df-lines 35657  df-psubsp 35659  df-pmap 35660  df-padd 35952  df-lhyp 36144  df-laut 36145  df-ldil 36260  df-ltrn 36261  df-trl 36315  df-tgrp 36899  df-tendo 36911  df-edring 36913  df-dveca 37159  df-disoa 37185  df-dvech 37235  df-dib 37295  df-dic 37329  df-dih 37385  df-doch 37504  df-djh 37551  df-lcdual 37743

This theorem is referenced by:  mapdpglem21  37848  mapdpglem30  37858