Theorem lcdvsass 41608

Description: Associative law for scalar product in a closed kernel dual vector space. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdvsass.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvsass.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsass.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
lcdvsass.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑅)
lcdvsass.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lcdvsass.d	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsass.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
lcdvsass.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
lcdvsass.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcdvsass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐿)
lcdvsass.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐿)
lcdvsass.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lcdvsass	⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝑋) ∙ 𝐺) = (𝑋 ∙ (𝑌 ∙ 𝐺)))

Proof of Theorem lcdvsass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdvsass.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcdvsass.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdvsass.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
4		lcdvsass.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑅)
5		lcdvsass.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		lcdvsass.d	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
8		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝐶)) = (.r‘(Scalar‘𝐶))
9		lcdvsass.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		lcdvsass.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐿)
11		lcdvsass.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐿)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lcdsmul 41603	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘(Scalar‘𝐶))𝑌) = (𝑌 · 𝑋))
13	12	oveq1d 7405	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(.r‘(Scalar‘𝐶))𝑌) ∙ 𝐺) = ((𝑌 · 𝑋) ∙ 𝐺))
14	1, 6, 9	lcdlmod 41593	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
15		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
16	1, 2, 3, 4, 6, 7, 15, 9	lcdsbase 41601	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐿)
17	10, 16	eleqtrrd 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
18	11, 16	eleqtrrd 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
19		lcdvsass.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
20		lcdvsass.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
21		lcdvsass.s	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
22	20, 7, 21, 15, 8	lmodvsass 20800	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐹)) → ((𝑋(.r‘(Scalar‘𝐶))𝑌) ∙ 𝐺) = (𝑋 ∙ (𝑌 ∙ 𝐺)))
23	14, 17, 18, 19, 22	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(.r‘(Scalar‘𝐶))𝑌) ∙ 𝐺) = (𝑋 ∙ (𝑌 ∙ 𝐺)))
24	13, 23	eqtr3d 2767	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝑋) ∙ 𝐺) = (𝑋 ∙ (𝑌 ∙ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  ._rcmulr 17228  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  LModclmod 20773  HLchlt 39350  LHypclh 39985  DVecHcdvh 41079  LCDualclcd 41587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-riotaBAD 38953

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-undef 8255  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-0g 17411  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-proset 18262  df-poset 18281  df-plt 18296  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-p0 18391  df-p1 18392  df-lat 18398  df-clat 18465  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-cntz 19256  df-oppg 19285  df-lsm 19573  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-nzr 20429  df-rlreg 20610  df-domn 20611  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-lvec 21017  df-lsatoms 38976  df-lshyp 38977  df-lcv 39019  df-lfl 39058  df-lkr 39086  df-ldual 39124  df-oposet 39176  df-ol 39178  df-oml 39179  df-covers 39266  df-ats 39267  df-atl 39298  df-cvlat 39322  df-hlat 39351  df-llines 39499  df-lplanes 39500  df-lvols 39501  df-lines 39502  df-psubsp 39504  df-pmap 39505  df-padd 39797  df-lhyp 39989  df-laut 39990  df-ldil 40105  df-ltrn 40106  df-trl 40160  df-tgrp 40744  df-tendo 40756  df-edring 40758  df-dveca 41004  df-disoa 41030  df-dvech 41080  df-dib 41140  df-dic 41174  df-dih 41230  df-doch 41349  df-djh 41396  df-lcdual 41588

This theorem is referenced by:  mapdpglem21  41693  mapdpglem30  41703