MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvs0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvs0 19103
Description: Anything times the zero vector is the zero vector. Equation 1b of [Kreyszig] p. 51. (hvmul0 28217 analog.) (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvs0.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvs0.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvs0.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvs0.z 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmodvs0 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem lmodvs0
StepHypRef Expression
1 lmodvs0.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
21lmodring 19077 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
3 lmodvs0.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
4 eqid 2771 . . . . 5 (.r𝐹) = (.r𝐹)
5 eqid 2771 . . . . 5 (0g𝐹) = (0g𝐹)
63, 4, 5ringrz 18792 . . . 4 ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → (𝑋(.r𝐹)(0g𝐹)) = (0g𝐹))
72, 6sylan 569 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → (𝑋(.r𝐹)(0g𝐹)) = (0g𝐹))
87oveq1d 6807 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → ((𝑋(.r𝐹)(0g𝐹)) · 0 ) = ((0g𝐹) · 0 ))
9 simpl 468 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
10 simpr 471 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → 𝑋𝐾)
112adantr 466 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → 𝐹 ∈ Ring)
123, 5ring0cl 18773 . . . . 5 (𝐹 ∈ Ring → (0g𝐹) ∈ 𝐾)
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → (0g𝐹) ∈ 𝐾)
14 eqid 2771 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
15 lmodvs0.z . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
1614, 15lmod0vcl 19098 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑊))
1716adantr 466 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → 0 ∈ (Base‘𝑊))
18 lmodvs0.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
1914, 1, 18, 3, 4lmodvsass 19094 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐾 ∧ (0g𝐹) ∈ 𝐾0 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑋(.r𝐹)(0g𝐹)) · 0 ) = (𝑋 · ((0g𝐹) · 0 )))
209, 10, 13, 17, 19syl13anc 1478 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → ((𝑋(.r𝐹)(0g𝐹)) · 0 ) = (𝑋 · ((0g𝐹) · 0 )))
2114, 1, 18, 5, 15lmod0vs 19102 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g𝐹) · 0 ) = 0 )
2217, 21syldan 579 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → ((0g𝐹) · 0 ) = 0 )
2322oveq2d 6808 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → (𝑋 · ((0g𝐹) · 0 )) = (𝑋 · 0 ))
2420, 23eqtrd 2805 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → ((𝑋(.r𝐹)(0g𝐹)) · 0 ) = (𝑋 · 0 ))
258, 24, 223eqtr3d 2813 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6029  (class class class)co 6792  Basecbs 16060  .rcmulr 16146  Scalarcsca 16148   ·𝑠 cvsca 16149  0gc0g 16304  Ringcrg 18751  LModclmod 19069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-ndx 16063  df-slot 16064  df-base 16066  df-sets 16067  df-plusg 16158  df-0g 16306  df-mgm 17446  df-sgrp 17488  df-mnd 17499  df-grp 17629  df-mgp 18694  df-ring 18753  df-lmod 19071
This theorem is referenced by:  lmodfopne  19107  lsssn0  19154  lmodvsinv2  19246  0lmhm  19249  lvecvs0or  19317  dsmmlss  20301  pmatcollpwfi  20803  pmatcollpw3fi1lem1  20807  pm2mp  20846  chfacfscmul0  20879  ttgbtwnid  25981  lcdvs0N  37423  hdmap14lem13  37687  lmodvsmdi  42688  linc0scn0  42737
  Copyright terms: Public domain W3C validator