MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvs0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvs0 20400
Description: Anything times the zero vector is the zero vector. Equation 1b of [Kreyszig] p. 51. (hvmul0 30015 analog.) (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvs0.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodvs0.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodvs0.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lmodvs0.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lmodvs0 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ (𝑋 Β· 0 ) = 0 )

Proof of Theorem lmodvs0
StepHypRef Expression
1 lmodvs0.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
21lmodring 20373 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
3 lmodvs0.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
4 eqid 2733 . . . . 5 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
5 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
63, 4, 5ringrz 20020 . . . 4 ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ (𝑋(.rβ€˜πΉ)(0gβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ))
72, 6sylan 581 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ (𝑋(.rβ€˜πΉ)(0gβ€˜πΉ)) = (0gβ€˜πΉ))
87oveq1d 7376 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ ((𝑋(.rβ€˜πΉ)(0gβ€˜πΉ)) Β· 0 ) = ((0gβ€˜πΉ) Β· 0 ))
9 simpl 484 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ LMod)
10 simpr 486 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
112adantr 482 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ 𝐹 ∈ Ring)
123, 5ring0cl 19998 . . . . 5 (𝐹 ∈ Ring β†’ (0gβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
1311, 12syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ (0gβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
14 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
15 lmodvs0.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
1614, 15lmod0vcl 20395 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
1716adantr 482 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
18 lmodvs0.s . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
1914, 1, 18, 3, 4lmodvsass 20391 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (0gβ€˜πΉ) ∈ 𝐾 ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ ((𝑋(.rβ€˜πΉ)(0gβ€˜πΉ)) Β· 0 ) = (𝑋 Β· ((0gβ€˜πΉ) Β· 0 )))
209, 10, 13, 17, 19syl13anc 1373 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ ((𝑋(.rβ€˜πΉ)(0gβ€˜πΉ)) Β· 0 ) = (𝑋 Β· ((0gβ€˜πΉ) Β· 0 )))
2114, 1, 18, 5, 15lmod0vs 20399 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((0gβ€˜πΉ) Β· 0 ) = 0 )
2217, 21syldan 592 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ ((0gβ€˜πΉ) Β· 0 ) = 0 )
2322oveq2d 7377 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ (𝑋 Β· ((0gβ€˜πΉ) Β· 0 )) = (𝑋 Β· 0 ))
2420, 23eqtrd 2773 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ ((𝑋(.rβ€˜πΉ)(0gβ€˜πΉ)) Β· 0 ) = (𝑋 Β· 0 ))
258, 24, 223eqtr3d 2781 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ (𝑋 Β· 0 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  0gc0g 17329  Ringcrg 19972  LModclmod 20365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-mgp 19905  df-ring 19974  df-lmod 20367
This theorem is referenced by:  lmodfopne  20404  lsssn0  20452  lmodvsinv2  20542  0lmhm  20545  lvecvs0or  20614  dsmmlss  21173  pmatcollpwfi  22154  pmatcollpw3fi1lem1  22158  pm2mp  22197  chfacfscmul0  22230  ttgbtwnid  27881  0nellinds  32213  lcdvs0N  40129  hdmap14lem13  40393  lmodvsmdi  46548  linc0scn0  46594
  Copyright terms: Public domain W3C validator