MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvs0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvs0 19097
Description: Anything times the zero vector is the zero vector. Equation 1b of [Kreyszig] p. 51. (hvmul0 28205 analog.) (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvs0.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvs0.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvs0.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvs0.z 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmodvs0 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem lmodvs0
StepHypRef Expression
1 lmodvs0.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
21lmodring 19071 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
3 lmodvs0.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
4 eqid 2806 . . . . 5 (.r𝐹) = (.r𝐹)
5 eqid 2806 . . . . 5 (0g𝐹) = (0g𝐹)
63, 4, 5ringrz 18786 . . . 4 ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → (𝑋(.r𝐹)(0g𝐹)) = (0g𝐹))
72, 6sylan 571 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → (𝑋(.r𝐹)(0g𝐹)) = (0g𝐹))
87oveq1d 6885 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → ((𝑋(.r𝐹)(0g𝐹)) · 0 ) = ((0g𝐹) · 0 ))
9 simpl 470 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
10 simpr 473 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → 𝑋𝐾)
112adantr 468 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → 𝐹 ∈ Ring)
123, 5ring0cl 18767 . . . . 5 (𝐹 ∈ Ring → (0g𝐹) ∈ 𝐾)
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → (0g𝐹) ∈ 𝐾)
14 eqid 2806 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
15 lmodvs0.z . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
1614, 15lmod0vcl 19092 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑊))
1716adantr 468 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → 0 ∈ (Base‘𝑊))
18 lmodvs0.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
1914, 1, 18, 3, 4lmodvsass 19088 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐾 ∧ (0g𝐹) ∈ 𝐾0 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑋(.r𝐹)(0g𝐹)) · 0 ) = (𝑋 · ((0g𝐹) · 0 )))
209, 10, 13, 17, 19syl13anc 1484 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → ((𝑋(.r𝐹)(0g𝐹)) · 0 ) = (𝑋 · ((0g𝐹) · 0 )))
2114, 1, 18, 5, 15lmod0vs 19096 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g𝐹) · 0 ) = 0 )
2217, 21syldan 581 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → ((0g𝐹) · 0 ) = 0 )
2322oveq2d 6886 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → (𝑋 · ((0g𝐹) · 0 )) = (𝑋 · 0 ))
2420, 23eqtrd 2840 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → ((𝑋(.r𝐹)(0g𝐹)) · 0 ) = (𝑋 · 0 ))
258, 24, 223eqtr3d 2848 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  cfv 6097  (class class class)co 6870  Basecbs 16064  .rcmulr 16150  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  0gc0g 16301  Ringcrg 18745  LModclmod 19063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-nn 11302  df-2 11360  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-0g 16303  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-mgp 18688  df-ring 18747  df-lmod 19065
This theorem is referenced by:  lmodfopne  19101  lsssn0  19148  lmodvsinv2  19240  0lmhm  19243  lvecvs0or  19311  dsmmlss  20294  pmatcollpwfi  20796  pmatcollpw3fi1lem1  20800  pm2mp  20839  chfacfscmul0  20872  ttgbtwnid  25974  lcdvs0N  37391  hdmap14lem13  37655  lmodvsmdi  42725  linc0scn0  42774
  Copyright terms: Public domain W3C validator