Theorem lmodvs0 21054

Description: Anything times the zero vector is the zero vector. Equation 1b of [Kreyszig] p. 51. (hvmul0 31413 analog.) (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvs0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvs0.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvs0.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvs0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodvs0	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem lmodvs0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvs0.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	lmodring 21026	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
3		lmodvs0.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
5		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
6	3, 4, 5	ringrz 20410	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋(.r‘𝐹)(0g‘𝐹)) = (0g‘𝐹))
7	2, 6	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋(.r‘𝐹)(0g‘𝐹)) = (0g‘𝐹))
8	7	oveq1d 7438	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ((𝑋(.r‘𝐹)(0g‘𝐹)) · 0 ) = ((0g‘𝐹) · 0 ))
9		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
10		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐾)
11	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝐹 ∈ Ring)
12	3, 5	ring0cl 20382	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (0g‘𝐹) ∈ 𝐾)
13	11, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (0g‘𝐹) ∈ 𝐾)
14		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
15		lmodvs0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
16	14, 15	lmod0vcl 21049	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑊))
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 0 ∈ (Base‘𝑊))
18		lmodvs0.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
19	14, 1, 18, 3, 4	lmodvsass 21045	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (0g‘𝐹) ∈ 𝐾 ∧ 0 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑋(.r‘𝐹)(0g‘𝐹)) · 0 ) = (𝑋 · ((0g‘𝐹) · 0 )))
20	9, 10, 13, 17, 19	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ((𝑋(.r‘𝐹)(0g‘𝐹)) · 0 ) = (𝑋 · ((0g‘𝐹) · 0 )))
21	14, 1, 18, 5, 15	lmod0vs 21053	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘𝐹) · 0 ) = 0 )
22	17, 21	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ((0g‘𝐹) · 0 ) = 0 )
23	22	oveq2d 7439	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋 · ((0g‘𝐹) · 0 )) = (𝑋 · 0 ))
24	20, 23	eqtrd 2801	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ((𝑋(.r‘𝐹)(0g‘𝐹)) · 0 ) = (𝑋 · 0 ))
25	8, 24, 22	3eqtr3d 2809	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  ._rcmulr 17336  Scalarcsca 17338   ·_𝑠 cvsca 17339  0_gc0g 17517  Ringcrg 20346  LModclmod 21018

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-lmod 21020

This theorem is used by:  lmodfopne  21058  lsssn0  21106  lmodvsinv2  21195  0lmhm  21198  lvecvs0or  21269  dsmmlss  21931  psdascl  22368  pmatcollpwfi  22976  pmatcollpw3fi1lem1  22980  pm2mp  23019  chfacfscmul0  23052  ttgbtwnid  29270  0nellinds  33716  lcdvs0N  42431  hdmap14lem13  42695  lmodvsmdi  49200  linc0scn0  49244