Theorem lspsnvs 21204

Description: A nonzero scalar product does not change the span of a singleton. (spansncol 31825 analog.) (Contributed by NM, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnvs.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsnvs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsnvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lspsnvs.o	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
lspsnvs.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsnvs	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lspsnvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21193	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp2l 1216	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝐾)
4		simp3 1154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
5		lspsnvs.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		lspsnvs.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
7		lspsnvs.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lspsnvs.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		lspsnvs.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	5, 6, 7, 8, 9	lspsnvsi 21091	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
11	2, 3, 4, 10	syl3anc 1394	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
12	5	lvecdrng 21192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
13	12	3ad2ant1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ DivRing)
14		simp2r 1217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑅 ≠ 0 )
15		lspsnvs.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
16		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
17		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
18		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (invr‘𝐹) = (invr‘𝐹)
19	6, 15, 16, 17, 18	drnginvrl 20827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) → (((invr‘𝐹)‘𝑅)(.r‘𝐹)𝑅) = (1r‘𝐹))
20	13, 3, 14, 19	syl3anc 1394	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invr‘𝐹)‘𝑅)(.r‘𝐹)𝑅) = (1r‘𝐹))
21	20	oveq1d 7415	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((((invr‘𝐹)‘𝑅)(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
22	6, 15, 18	drnginvrcl 20824	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾)
23	13, 3, 14, 22	syl3anc 1394	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾)
24	7, 5, 8, 6, 16	lmodvsass 20974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((((invr‘𝐹)‘𝑅)(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋)))
25	2, 23, 3, 4, 24	syl13anc 1395	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((((invr‘𝐹)‘𝑅)(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋)))
26	7, 5, 8, 17	lmodvs1 20977	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
27	2, 4, 26	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
28	21, 25, 27	3eqtr3d 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋)) = 𝑋)
29	28	sneqd 4597	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {(((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))} = {𝑋})
30	29	fveq2d 6875	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))}) = (𝑁‘{𝑋}))
31	7, 5, 8, 6	lmodvscl 20965	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
32	2, 3, 4, 31	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
33	5, 6, 7, 8, 9	lspsnvsi 21091	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invr‘𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾 ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))}) ⊆ (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}))
34	2, 23, 32, 33	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))}) ⊆ (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}))
35	30, 34	eqsstrrd 3974	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}))
36	11, 35	eqssd 3956	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   ⊆ wss 3907  {csn 4585  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257  ._rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17480  1_rcur 20251  inv_rcinvr 20457  DivRingcdr 20801  LModclmod 20947  LSpanclspn 21058  LVecclvec 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-oppr 20407  df-dvdsr 20427  df-unit 20428  df-invr 20458  df-drng 20803  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-lsp 21059  df-lvec 21190

This theorem is referenced by:  lspsneleq  21205  lspsneq  21212  lspfixed  21218  islbs2  21244  lindsadd  38119  lindsenlbs  38121  mapdpglem22  42324  hdmap14lem1a  42497