Theorem lspsnvs 19386

Description: A nonzero scalar product does not change the span of a singleton. (spansncol 28883 analog.) (Contributed by NM, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnvs.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsnvs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsnvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lspsnvs.o	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
lspsnvs.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsnvs	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lspsnvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 19378	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1163	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp2l 1256	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝐾)
4		simp3 1168	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
5		lspsnvs.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		lspsnvs.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
7		lspsnvs.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lspsnvs.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		lspsnvs.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	5, 6, 7, 8, 9	lspsnvsi 19276	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
11	2, 3, 4, 10	syl3anc 1490	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
12	5	lvecdrng 19377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
13	12	3ad2ant1 1163	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ DivRing)
14		simp2r 1257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑅 ≠ 0 )
15		lspsnvs.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
16		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
17		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
18		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (invr‘𝐹) = (invr‘𝐹)
19	6, 15, 16, 17, 18	drnginvrl 19035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) → (((invr‘𝐹)‘𝑅)(.r‘𝐹)𝑅) = (1r‘𝐹))
20	13, 3, 14, 19	syl3anc 1490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invr‘𝐹)‘𝑅)(.r‘𝐹)𝑅) = (1r‘𝐹))
21	20	oveq1d 6857	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((((invr‘𝐹)‘𝑅)(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
22	6, 15, 18	drnginvrcl 19033	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾)
23	13, 3, 14, 22	syl3anc 1490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾)
24	7, 5, 8, 6, 16	lmodvsass 19157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((((invr‘𝐹)‘𝑅)(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋)))
25	2, 23, 3, 4, 24	syl13anc 1491	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((((invr‘𝐹)‘𝑅)(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋)))
26	7, 5, 8, 17	lmodvs1 19160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
27	2, 4, 26	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
28	21, 25, 27	3eqtr3d 2807	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋)) = 𝑋)
29	28	sneqd 4346	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {(((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))} = {𝑋})
30	29	fveq2d 6379	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))}) = (𝑁‘{𝑋}))
31	7, 5, 8, 6	lmodvscl 19149	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
32	2, 3, 4, 31	syl3anc 1490	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
33	5, 6, 7, 8, 9	lspsnvsi 19276	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invr‘𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾 ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))}) ⊆ (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}))
34	2, 23, 32, 33	syl3anc 1490	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))}) ⊆ (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}))
35	30, 34	eqsstr3d 3800	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}))
36	11, 35	eqssd 3778	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1107   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ≠ wne 2937   ⊆ wss 3732  {csn 4334  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16130  ._rcmulr 16215  Scalarcsca 16217   ·_𝑠 cvsca 16218  0_gc0g 16366  1_rcur 18768  inv_rcinvr 18938  DivRingcdr 19016  LModclmod 19132  LSpanclspn 19243  LVecclvec 19374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-0g 16368  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-drng 19018  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lsp 19244  df-lvec 19375

This theorem is referenced by:  lspsneleq  19387  lspsneq  19394  lspfixed  19400  lspfixedOLD  19401  islbs2  19428  lindsenlbs  33828  mapdpglem22  37649  hdmap14lem1a  37822