Theorem lspsnvs 21275

Description: A nonzero scalar product does not change the span of a singleton. (spansncol 31957 analog.) (Contributed by NM, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnvs.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsnvs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsnvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lspsnvs.o	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
lspsnvs.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsnvs	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lspsnvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21264	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp2l 1218	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝐾)
4		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
5		lspsnvs.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		lspsnvs.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
7		lspsnvs.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lspsnvs.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		lspsnvs.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	5, 6, 7, 8, 9	lspsnvsi 21162	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
11	2, 3, 4, 10	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
12	5	lvecdrng 21263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
13	12	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ DivRing)
14		simp2r 1219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑅 ≠ 0 )
15		lspsnvs.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
16		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
17		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
18		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (invr‘𝐹) = (invr‘𝐹)
19	6, 15, 16, 17, 18	drnginvrl 20897	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) → (((invr‘𝐹)‘𝑅)(.r‘𝐹)𝑅) = (1r‘𝐹))
20	13, 3, 14, 19	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invr‘𝐹)‘𝑅)(.r‘𝐹)𝑅) = (1r‘𝐹))
21	20	oveq1d 7438	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((((invr‘𝐹)‘𝑅)(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
22	6, 15, 18	drnginvrcl 20894	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾)
23	13, 3, 14, 22	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾)
24	7, 5, 8, 6, 16	lmodvsass 21045	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((((invr‘𝐹)‘𝑅)(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋)))
25	2, 23, 3, 4, 24	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((((invr‘𝐹)‘𝑅)(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋)))
26	7, 5, 8, 17	lmodvs1 21048	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
27	2, 4, 26	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
28	21, 25, 27	3eqtr3d 2809	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋)) = 𝑋)
29	28	sneqd 4606	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {(((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))} = {𝑋})
30	29	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))}) = (𝑁‘{𝑋}))
31	7, 5, 8, 6	lmodvscl 21036	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
32	2, 3, 4, 31	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
33	5, 6, 7, 8, 9	lspsnvsi 21162	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invr‘𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾 ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))}) ⊆ (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}))
34	2, 23, 32, 33	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))}) ⊆ (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}))
35	30, 34	eqsstrrd 3975	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}))
36	11, 35	eqssd 3957	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   ⊆ wss 3908  {csn 4594  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  ._rcmulr 17336  Scalarcsca 17338   ·_𝑠 cvsca 17339  0_gc0g 17517  1_rcur 20294  inv_rcinvr 20502  DivRingcdr 20864  LModclmod 21018  LSpanclspn 21129  LVecclvec 21260

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-drng 20866  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-lsp 21130  df-lvec 21261

This theorem is used by:  lspsneleq  21276  lspsneq  21283  lspfixed  21289  islbs2  21315  lindsadd  38305  lindsenlbs  38307  mapdpglem22  42508  hdmap14lem1a  42681