Theorem lspsnvs 21398

Description: A nonzero scalar product does not change the span of a singleton. (spansncol 32176 analog.) (Contributed by NM, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnvs.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsnvs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsnvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lspsnvs.o	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
lspsnvs.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsnvs	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lspsnvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21387	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp2l 1218	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝐾)
4		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
5		lspsnvs.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		lspsnvs.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
7		lspsnvs.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lspsnvs.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		lspsnvs.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	5, 6, 7, 8, 9	lspsnvsi 21285	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
11	2, 3, 4, 10	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
12	5	lvecdrng 21386	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
13	12	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ DivRing)
14		simp2r 1219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑅 ≠ 0 )
15		lspsnvs.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
16		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
17		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
18		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (invr‘𝐹) = (invr‘𝐹)
19	6, 15, 16, 17, 18	drnginvrl 21020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) → (((invr‘𝐹)‘𝑅)(.r‘𝐹)𝑅) = (1r‘𝐹))
20	13, 3, 14, 19	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invr‘𝐹)‘𝑅)(.r‘𝐹)𝑅) = (1r‘𝐹))
21	20	oveq1d 7436	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((((invr‘𝐹)‘𝑅)(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
22	6, 15, 18	drnginvrcl 21017	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾)
23	13, 3, 14, 22	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾)
24	7, 5, 8, 6, 16	lmodvsass 21168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((((invr‘𝐹)‘𝑅)(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋)))
25	2, 23, 3, 4, 24	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((((invr‘𝐹)‘𝑅)(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋)))
26	7, 5, 8, 17	lmodvs1 21171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
27	2, 4, 26	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
28	21, 25, 27	3eqtr3d 2803	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋)) = 𝑋)
29	28	sneqd 4592	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {(((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))} = {𝑋})
30	29	fveq2d 6890	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))}) = (𝑁‘{𝑋}))
31	7, 5, 8, 6	lmodvscl 21159	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
32	2, 3, 4, 31	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
33	5, 6, 7, 8, 9	lspsnvsi 21285	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invr‘𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾 ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))}) ⊆ (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}))
34	2, 23, 32, 33	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))}) ⊆ (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}))
35	30, 34	eqsstrrd 3943	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}))
36	11, 35	eqssd 3925	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895  {csn 4584  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  ._rcmulr 17435  Scalarcsca 17437   ·_𝑠 cvsca 17438  0_gc0g 17616  1_rcur 20413  inv_rcinvr 20623  DivRingcdr 20986  LModclmod 21141  LSpanclspn 21252  LVecclvec 21383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8247  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-oppr 20573  df-dvdsr 20593  df-unit 20594  df-invr 20624  df-drng 20988  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-lsp 21253  df-lvec 21384

This theorem is used by:  lspsneleq  21399  lspsneq  21406  lspfixed  21412  islbs2  21438  lindsenlbs  22163  lindsadd  38630  mapdpglem22  42844  hdmap14lem1a  43017