MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsnvs 19386
Description: A nonzero scalar product does not change the span of a singleton. (spansncol 28883 analog.) (Contributed by NM, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnvs.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnvs.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsnvs.t · = ( ·𝑠𝑊)
lspsnvs.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lspsnvs.o 0 = (0g𝐹)
lspsnvs.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspsnvs ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lspsnvs
StepHypRef Expression
1 lveclmod 19378 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
213ad2ant1 1163 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
3 simp2l 1256 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑅𝐾)
4 simp3 1168 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
5 lspsnvs.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6 lspsnvs.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
7 lspsnvs.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 lspsnvs.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
9 lspsnvs.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
105, 6, 7, 8, 9lspsnvsi 19276 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
112, 3, 4, 10syl3anc 1490 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
125lvecdrng 19377 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
13123ad2ant1 1163 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ DivRing)
14 simp2r 1257 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑅0 )
15 lspsnvs.o . . . . . . . . 9 0 = (0g𝐹)
16 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (.r𝐹) = (.r𝐹)
17 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (1r𝐹) = (1r𝐹)
18 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (invr𝐹) = (invr𝐹)
196, 15, 16, 17, 18drnginvrl 19035 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑅𝐾𝑅0 ) → (((invr𝐹)‘𝑅)(.r𝐹)𝑅) = (1r𝐹))
2013, 3, 14, 19syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → (((invr𝐹)‘𝑅)(.r𝐹)𝑅) = (1r𝐹))
2120oveq1d 6857 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → ((((invr𝐹)‘𝑅)(.r𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((1r𝐹) · 𝑋))
226, 15, 18drnginvrcl 19033 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑅𝐾𝑅0 ) → ((invr𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾)
2313, 3, 14, 22syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → ((invr𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾)
247, 5, 8, 6, 16lmodvsass 19157 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invr𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((((invr𝐹)‘𝑅)(.r𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((invr𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋)))
252, 23, 3, 4, 24syl13anc 1491 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → ((((invr𝐹)‘𝑅)(.r𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((invr𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋)))
267, 5, 8, 17lmodvs1 19160 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
272, 4, 26syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
2821, 25, 273eqtr3d 2807 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → (((invr𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋)) = 𝑋)
2928sneqd 4346 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → {(((invr𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))} = {𝑋})
3029fveq2d 6379 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{(((invr𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))}) = (𝑁‘{𝑋}))
317, 5, 8, 6lmodvscl 19149 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
322, 3, 4, 31syl3anc 1490 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
335, 6, 7, 8, 9lspsnvsi 19276 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invr𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾 ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invr𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))}) ⊆ (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}))
342, 23, 32, 33syl3anc 1490 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{(((invr𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))}) ⊆ (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}))
3530, 34eqsstr3d 3800 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}))
3611, 35eqssd 3778 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅𝐾𝑅0 ) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wss 3732  {csn 4334  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16130  .rcmulr 16215  Scalarcsca 16217   ·𝑠 cvsca 16218  0gc0g 16366  1rcur 18768  invrcinvr 18938  DivRingcdr 19016  LModclmod 19132  LSpanclspn 19243  LVecclvec 19374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-0g 16368  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-drng 19018  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lsp 19244  df-lvec 19375
This theorem is referenced by:  lspsneleq  19387  lspsneq  19394  lspfixed  19400  lspfixedOLD  19401  islbs2  19428  lindsenlbs  33828  mapdpglem22  37649  hdmap14lem1a  37822
  Copyright terms: Public domain W3C validator