Theorem lspsnvs 21372

Description: A nonzero scalar product does not change the span of a singleton. (spansncol 32152 analog.) (Contributed by NM, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnvs.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsnvs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsnvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lspsnvs.o	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
lspsnvs.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsnvs	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lspsnvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21361	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp2l 1218	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝐾)
4		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
5		lspsnvs.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		lspsnvs.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
7		lspsnvs.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lspsnvs.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		lspsnvs.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	5, 6, 7, 8, 9	lspsnvsi 21259	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
11	2, 3, 4, 10	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
12	5	lvecdrng 21360	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
13	12	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ DivRing)
14		simp2r 1219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑅 ≠ 0 )
15		lspsnvs.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
16		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
17		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
18		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (invr‘𝐹) = (invr‘𝐹)
19	6, 15, 16, 17, 18	drnginvrl 20994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) → (((invr‘𝐹)‘𝑅)(.r‘𝐹)𝑅) = (1r‘𝐹))
20	13, 3, 14, 19	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invr‘𝐹)‘𝑅)(.r‘𝐹)𝑅) = (1r‘𝐹))
21	20	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((((invr‘𝐹)‘𝑅)(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
22	6, 15, 18	drnginvrcl 20991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) → ((invr‘𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾)
23	13, 3, 14, 22	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾)
24	7, 5, 8, 6, 16	lmodvsass 21142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((((invr‘𝐹)‘𝑅)(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋)))
25	2, 23, 3, 4, 24	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((((invr‘𝐹)‘𝑅)(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋)))
26	7, 5, 8, 17	lmodvs1 21145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
27	2, 4, 26	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
28	21, 25, 27	3eqtr3d 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋)) = 𝑋)
29	28	sneqd 4596	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {(((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))} = {𝑋})
30	29	fveq2d 6881	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))}) = (𝑁‘{𝑋}))
31	7, 5, 8, 6	lmodvscl 21133	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
32	2, 3, 4, 31	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
33	5, 6, 7, 8, 9	lspsnvsi 21259	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invr‘𝐹)‘𝑅) ∈ 𝐾 ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))}) ⊆ (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}))
34	2, 23, 32, 33	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invr‘𝐹)‘𝑅) · (𝑅 · 𝑋))}) ⊆ (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}))
35	30, 34	eqsstrrd 3966	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}))
36	11, 35	eqssd 3948	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑅 · 𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  ._rcmulr 17409  Scalarcsca 17411   ·_𝑠 cvsca 17412  0_gc0g 17590  1_rcur 20387  inv_rcinvr 20597  DivRingcdr 20960  LModclmod 21115  LSpanclspn 21226  LVecclvec 21357

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-invr 20598  df-drng 20962  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-lsp 21227  df-lvec 21358

This theorem is used by:  lspsneleq  21373  lspsneq  21380  lspfixed  21386  islbs2  21412  lindsenlbs  22137  lindsadd  38504  mapdpglem22  42718  hdmap14lem1a  42891