Theorem hgmapmul 37909

Description: Part 15 of [Baer] p. 50 line 16. The multiplication is reversed after converting to the dual space scalar to the vector space scalar. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapmul.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapmul.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapmul.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
hgmapmul.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapmul.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmapmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
hgmapmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hgmapmul	⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝑌) · (𝐺‘𝑋)))

Proof of Theorem hgmapmul

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapmul.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmapmul.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		hgmapmul.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvh1dim 37456	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g‘𝑈))
7		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8	1, 7, 5	lcdlmod 37606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
9	8	3ad2ant1 1164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
10		hgmapmul.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
11		hgmapmul.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
13		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
14		hgmapmul.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
15		hgmapmul.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	1, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 15	hgmapdcl 37904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
17	16	3ad2ant1 1164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
18		hgmapmul.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
19	1, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 18	hgmapdcl 37904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
20	19	3ad2ant1 1164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
21		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
22		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
23	5	3ad2ant1 1164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
24		simp2 1168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑡 ∈ (Base‘𝑈))
25	1, 2, 3, 7, 21, 22, 23, 24	hdmapcl 37844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
26		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
27		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
28	21, 12, 26, 13, 27	lmodvsass 19203	. . . . . . 7 ⊢ ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ ((𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → (((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
29	9, 17, 20, 25, 28	syl13anc 1492	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
30	1, 2, 5	dvhlmod 37124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
31	30	3ad2ant1 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
32	15	3ad2ant1 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
33	18	3ad2ant1 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
34		eqid 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
35		hgmapmul.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.r‘𝑅)
36	3, 10, 34, 11, 35	lmodvsass 19203	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈))) → ((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)))
37	31, 32, 33, 24, 36	syl13anc 1492	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)))
38	37	fveq2d 6414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))))
39	3, 10, 34, 11	lmodvscl 19195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
40	31, 33, 24, 39	syl3anc 1491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
41	1, 2, 3, 34, 10, 11, 7, 26, 22, 14, 23, 40, 32	hgmapvs 37905	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))))
42	1, 2, 3, 34, 10, 11, 7, 26, 22, 14, 23, 24, 33	hgmapvs 37905	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
43	42	oveq2d 6893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
44	38, 41, 43	3eqtrd 2836	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
45	10, 11, 35	lmodmcl 19190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
46	30, 15, 18, 45	syl3anc 1491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
47	46	3ad2ant1 1164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
48	1, 2, 3, 34, 10, 11, 7, 26, 22, 14, 23, 24, 47	hgmapvs 37905	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘(𝑋 · 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
49	29, 44, 48	3eqtr2rd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝐺‘(𝑋 · 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = (((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
50		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
51	1, 7, 5	lcdlvec 37605	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
52	51	3ad2ant1 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
53	1, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 46	hgmapdcl 37904	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
54	53	3ad2ant1 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
55	12, 13, 27	lmodmcl 19190	. . . . . . . 8 ⊢ ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
56	8, 16, 19, 55	syl3anc 1491	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
57	56	3ad2ant1 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
58		simp3 1169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑡 ≠ (0g‘𝑈))
59	1, 2, 3, 4, 7, 50, 22, 23, 24	hdmapeq0 37858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑡 = (0g‘𝑈)))
60	59	necon3bid 3014	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ≠ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)))
61	58, 60	mpbird 249	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ≠ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
62	21, 26, 12, 13, 50, 52, 54, 57, 25, 61	lvecvscan2 19430	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((𝐺‘(𝑋 · 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = (((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) ↔ (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))))
63	49, 62	mpbid 224	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)))
64	63	rexlimdv3a 3213	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g‘𝑈) → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))))
65	6, 64	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)))
66	1, 2, 10, 11, 14, 5, 15	hgmapcl 37903	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝐵)
67	1, 2, 10, 11, 14, 5, 18	hgmapcl 37903	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ∈ 𝐵)
68	1, 2, 10, 11, 35, 7, 12, 27, 5, 66, 67	lcdsmul 37616	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)) = ((𝐺‘𝑌) · (𝐺‘𝑋)))
69	65, 68	eqtrd 2832	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝑌) · (𝐺‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2970  ∃wrex 3089  ‘cfv 6100  (class class class)co 6877  Basecbs 16181  ._rcmulr 16265  Scalarcsca 16267   ·_𝑠 cvsca 16268  0_gc0g 16412  LModclmod 19178  LVecclvec 19420  HLchlt 35364  LHypclh 35998  DVecHcdvh 37092  LCDualclcd 37600  HDMapchdma 37806  HGMapchg 37897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-rep 4963  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-cnex 10279  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299  ax-pre-mulgt0 10300  ax-riotaBAD 34967

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-ot 4376  df-uni 4628  df-int 4667  df-iun 4711  df-iin 4712  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-of 7130  df-om 7299  df-1st 7400  df-2nd 7401  df-tpos 7589  df-undef 7636  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-1o 7798  df-oadd 7802  df-er 7981  df-map 8096  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-fin 8198  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10557  df-neg 10558  df-nn 11312  df-2 11373  df-3 11374  df-4 11375  df-5 11376  df-6 11377  df-n0 11578  df-z 11664  df-uz 11928  df-fz 12578  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-0g 16414  df-mre 16558  df-mrc 16559  df-acs 16561  df-proset 17240  df-poset 17258  df-plt 17270  df-lub 17286  df-glb 17287  df-join 17288  df-meet 17289  df-p0 17351  df-p1 17352  df-lat 17358  df-clat 17420  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-submnd 17648  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-subg 17901  df-cntz 18059  df-oppg 18085  df-lsm 18361  df-cmn 18507  df-abl 18508  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-oppr 18936  df-dvdsr 18954  df-unit 18955  df-invr 18985  df-dvr 18996  df-drng 19064  df-lmod 19180  df-lss 19248  df-lsp 19290  df-lvec 19421  df-lsatoms 34990  df-lshyp 34991  df-lcv 35033  df-lfl 35072  df-lkr 35100  df-ldual 35138  df-oposet 35190  df-ol 35192  df-oml 35193  df-covers 35280  df-ats 35281  df-atl 35312  df-cvlat 35336  df-hlat 35365  df-llines 35512  df-lplanes 35513  df-lvols 35514  df-lines 35515  df-psubsp 35517  df-pmap 35518  df-padd 35810  df-lhyp 36002  df-laut 36003  df-ldil 36118  df-ltrn 36119  df-trl 36173  df-tgrp 36757  df-tendo 36769  df-edring 36771  df-dveca 37017  df-disoa 37043  df-dvech 37093  df-dib 37153  df-dic 37187  df-dih 37243  df-doch 37362  df-djh 37409  df-lcdual 37601  df-mapd 37639  df-hvmap 37771  df-hdmap1 37807  df-hdmap 37808  df-hgmap 37898

This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  37937  hdmapglem7  37943  hlhilsrnglem  37967