Theorem hgmapmul 40704

Description: Part 15 of [Baer] p. 50 line 16. The multiplication is reversed after converting to the dual space scalar to the vector space scalar. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapmul.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapmul.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapmul.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
hgmapmul.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapmul.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmapmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
hgmapmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hgmapmul	⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝑌) · (𝐺‘𝑋)))

Proof of Theorem hgmapmul

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapmul.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmapmul.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		hgmapmul.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvh1dim 40251	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g‘𝑈))
7		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8	1, 7, 5	lcdlmod 40401	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
9	8	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
10		hgmapmul.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
11		hgmapmul.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
13		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
14		hgmapmul.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
15		hgmapmul.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	1, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 15	hgmapdcl 40699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
17	16	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
18		hgmapmul.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
19	1, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 18	hgmapdcl 40699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
20	19	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
21		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
22		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
23	5	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
24		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑡 ∈ (Base‘𝑈))
25	1, 2, 3, 7, 21, 22, 23, 24	hdmapcl 40639	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
26		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
27		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
28	21, 12, 26, 13, 27	lmodvsass 20485	. . . . . . 7 ⊢ ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ ((𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → (((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
29	9, 17, 20, 25, 28	syl13anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
30	1, 2, 5	dvhlmod 39919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
31	30	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
32	15	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
33	18	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
34		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
35		hgmapmul.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.r‘𝑅)
36	3, 10, 34, 11, 35	lmodvsass 20485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈))) → ((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)))
37	31, 32, 33, 24, 36	syl13anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)))
38	37	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))))
39	3, 10, 34, 11	lmodvscl 20477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
40	31, 33, 24, 39	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
41	1, 2, 3, 34, 10, 11, 7, 26, 22, 14, 23, 40, 32	hgmapvs 40700	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))))
42	1, 2, 3, 34, 10, 11, 7, 26, 22, 14, 23, 24, 33	hgmapvs 40700	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
43	42	oveq2d 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
44	38, 41, 43	3eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
45	10, 11, 35	lmodmcl 20472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
46	30, 15, 18, 45	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
47	46	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
48	1, 2, 3, 34, 10, 11, 7, 26, 22, 14, 23, 24, 47	hgmapvs 40700	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘(𝑋 · 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
49	29, 44, 48	3eqtr2rd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝐺‘(𝑋 · 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = (((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
50		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
51	1, 7, 5	lcdlvec 40400	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
52	51	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
53	1, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 46	hgmapdcl 40699	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
54	53	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
55	12, 13, 27	lmodmcl 20472	. . . . . . . 8 ⊢ ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
56	8, 16, 19, 55	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
57	56	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
58		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑡 ≠ (0g‘𝑈))
59	1, 2, 3, 4, 7, 50, 22, 23, 24	hdmapeq0 40653	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑡 = (0g‘𝑈)))
60	59	necon3bid 2986	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ≠ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)))
61	58, 60	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ≠ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
62	21, 26, 12, 13, 50, 52, 54, 57, 25, 61	lvecvscan2 20713	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((𝐺‘(𝑋 · 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = (((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) ↔ (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))))
63	49, 62	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)))
64	63	rexlimdv3a 3160	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g‘𝑈) → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))))
65	6, 64	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)))
66	1, 2, 10, 11, 14, 5, 15	hgmapcl 40698	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝐵)
67	1, 2, 10, 11, 14, 5, 18	hgmapcl 40698	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ∈ 𝐵)
68	1, 2, 10, 11, 35, 7, 12, 27, 5, 66, 67	lcdsmul 40411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)) = ((𝐺‘𝑌) · (𝐺‘𝑋)))
69	65, 68	eqtrd 2773	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝑌) · (𝐺‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  ._rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197  0_gc0g 17381  LModclmod 20459  LVecclvec 20701  HLchlt 38158  LHypclh 38793  DVecHcdvh 39887  LCDualclcd 40395  HDMapchdma 40601  HGMapchg 40692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 37761

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-oppg 19203  df-lsm 19497  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-oppr 20139  df-dvdsr 20160  df-unit 20161  df-invr 20191  df-dvr 20204  df-drng 20306  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-lsp 20571  df-lvec 20702  df-lsatoms 37784  df-lshyp 37785  df-lcv 37827  df-lfl 37866  df-lkr 37894  df-ldual 37932  df-oposet 37984  df-ol 37986  df-oml 37987  df-covers 38074  df-ats 38075  df-atl 38106  df-cvlat 38130  df-hlat 38159  df-llines 38307  df-lplanes 38308  df-lvols 38309  df-lines 38310  df-psubsp 38312  df-pmap 38313  df-padd 38605  df-lhyp 38797  df-laut 38798  df-ldil 38913  df-ltrn 38914  df-trl 38968  df-tgrp 39552  df-tendo 39564  df-edring 39566  df-dveca 39812  df-disoa 39838  df-dvech 39888  df-dib 39948  df-dic 39982  df-dih 40038  df-doch 40157  df-djh 40204  df-lcdual 40396  df-mapd 40434  df-hvmap 40566  df-hdmap1 40602  df-hdmap 40603  df-hgmap 40693

This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  40732  hdmapglem7  40738  hlhilsrnglem  40766