Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgmapmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgmapmul 39091
Description: Part 15 of [Baer] p. 50 line 16. The multiplication is reversed after converting to the dual space scalar to the vector space scalar. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hgmapmul.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapmul.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapmul.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapmul.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapmul.t · = (.r𝑅)
hgmapmul.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapmul.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hgmapmul.x (𝜑𝑋𝐵)
hgmapmul.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
hgmapmul (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺𝑌) · (𝐺𝑋)))

Proof of Theorem hgmapmul
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hgmapmul.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hgmapmul.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4 eqid 2824 . . . 4 (0g𝑈) = (0g𝑈)
5 hgmapmul.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 2, 3, 4, 5dvh1dim 38638 . . 3 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g𝑈))
7 eqid 2824 . . . . . . . . 9 ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
81, 7, 5lcdlmod 38788 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
983ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
10 hgmapmul.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
11 hgmapmul.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑅)
12 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
13 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
14 hgmapmul.g . . . . . . . . 9 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
15 hgmapmul.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐵)
161, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 15hgmapdcl 39086 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
17163ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
18 hgmapmul.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝐵)
191, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 18hgmapdcl 39086 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
20193ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝐺𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
21 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
22 eqid 2824 . . . . . . . 8 ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
2353ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
24 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → 𝑡 ∈ (Base‘𝑈))
251, 2, 3, 7, 21, 22, 23, 24hdmapcl 39026 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
26 eqid 2824 . . . . . . . 8 ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
27 eqid 2824 . . . . . . . 8 (.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
2821, 12, 26, 13, 27lmodvsass 19645 . . . . . . 7 ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ ((𝐺𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → (((𝐺𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = ((𝐺𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
299, 17, 20, 25, 28syl13anc 1369 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((𝐺𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = ((𝐺𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
301, 2, 5dvhlmod 38306 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
31303ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
32153ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → 𝑋𝐵)
33183ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → 𝑌𝐵)
34 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
35 hgmapmul.t . . . . . . . . . 10 · = (.r𝑅)
363, 10, 34, 11, 35lmodvsass 19645 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑡 ∈ (Base‘𝑈))) → ((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠𝑈)𝑡) = (𝑋( ·𝑠𝑈)(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡)))
3731, 32, 33, 24, 36syl13anc 1369 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠𝑈)𝑡) = (𝑋( ·𝑠𝑈)(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡)))
3837fveq2d 6655 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠𝑈)𝑡)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠𝑈)(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡))))
393, 10, 34, 11lmodvscl 19637 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵𝑡 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
4031, 33, 24, 39syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
411, 2, 3, 34, 10, 11, 7, 26, 22, 14, 23, 40, 32hgmapvs 39087 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠𝑈)(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡))) = ((𝐺𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡))))
421, 2, 3, 34, 10, 11, 7, 26, 22, 14, 23, 24, 33hgmapvs 39087 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡)) = ((𝐺𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
4342oveq2d 7154 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((𝐺𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡))) = ((𝐺𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
4438, 41, 433eqtrd 2863 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠𝑈)𝑡)) = ((𝐺𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
4510, 11, 35lmodmcl 19632 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
4630, 15, 18, 45syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
47463ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
481, 2, 3, 34, 10, 11, 7, 26, 22, 14, 23, 24, 47hgmapvs 39087 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘(𝑋 · 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
4929, 44, 483eqtr2rd 2866 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((𝐺‘(𝑋 · 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = (((𝐺𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
50 eqid 2824 . . . . . 6 (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
511, 7, 5lcdlvec 38787 . . . . . . 7 (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
52513ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
531, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 46hgmapdcl 39086 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
54533ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
5512, 13, 27lmodmcl 19632 . . . . . . . 8 ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → ((𝐺𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
568, 16, 19, 55syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
57563ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((𝐺𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
58 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → 𝑡 ≠ (0g𝑈))
591, 2, 3, 4, 7, 50, 22, 23, 24hdmapeq0 39040 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑡 = (0g𝑈)))
6059necon3bid 3057 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ≠ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑡 ≠ (0g𝑈)))
6158, 60mpbird 260 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ≠ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
6221, 26, 12, 13, 50, 52, 54, 57, 25, 61lvecvscan2 19870 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((𝐺‘(𝑋 · 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = (((𝐺𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) ↔ (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌))))
6349, 62mpbid 235 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌)))
6463rexlimdv3a 3278 . . 3 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g𝑈) → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌))))
656, 64mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌)))
661, 2, 10, 11, 14, 5, 15hgmapcl 39085 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ 𝐵)
671, 2, 10, 11, 14, 5, 18hgmapcl 39085 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑌) ∈ 𝐵)
681, 2, 10, 11, 35, 7, 12, 27, 5, 66, 67lcdsmul 38798 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌)) = ((𝐺𝑌) · (𝐺𝑋)))
6965, 68eqtrd 2859 1 (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺𝑌) · (𝐺𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  wrex 3133  cfv 6336  (class class class)co 7138  Basecbs 16472  .rcmulr 16555  Scalarcsca 16557   ·𝑠 cvsca 16558  0gc0g 16702  LModclmod 19620  LVecclvec 19860  HLchlt 36546  LHypclh 37180  DVecHcdvh 38274  LCDualclcd 38782  HDMapchdma 38988  HGMapchg 39079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-riotaBAD 36149
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-ot 4557  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-tpos 7875  df-undef 7922  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-fz 12884  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-0g 16704  df-mre 16846  df-mrc 16847  df-acs 16849  df-proset 17527  df-poset 17545  df-plt 17557  df-lub 17573  df-glb 17574  df-join 17575  df-meet 17576  df-p0 17638  df-p1 17639  df-lat 17645  df-clat 17707  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17946  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-sbg 18097  df-subg 18265  df-cntz 18436  df-oppg 18463  df-lsm 18750  df-cmn 18897  df-abl 18898  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-oppr 19362  df-dvdsr 19380  df-unit 19381  df-invr 19411  df-dvr 19422  df-drng 19490  df-lmod 19622  df-lss 19690  df-lsp 19730  df-lvec 19861  df-lsatoms 36172  df-lshyp 36173  df-lcv 36215  df-lfl 36254  df-lkr 36282  df-ldual 36320  df-oposet 36372  df-ol 36374  df-oml 36375  df-covers 36462  df-ats 36463  df-atl 36494  df-cvlat 36518  df-hlat 36547  df-llines 36694  df-lplanes 36695  df-lvols 36696  df-lines 36697  df-psubsp 36699  df-pmap 36700  df-padd 36992  df-lhyp 37184  df-laut 37185  df-ldil 37300  df-ltrn 37301  df-trl 37355  df-tgrp 37939  df-tendo 37951  df-edring 37953  df-dveca 38199  df-disoa 38225  df-dvech 38275  df-dib 38335  df-dic 38369  df-dih 38425  df-doch 38544  df-djh 38591  df-lcdual 38783  df-mapd 38821  df-hvmap 38953  df-hdmap1 38989  df-hdmap 38990  df-hgmap 39080
This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  39119  hdmapglem7  39125  hlhilsrnglem  39149
  Copyright terms: Public domain W3C validator