Theorem hgmapmul 41222

Description: Part 15 of [Baer] p. 50 line 16. The multiplication is reversed after converting to the dual space scalar to the vector space scalar. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapmul.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapmul.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapmul.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
hgmapmul.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapmul.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmapmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
hgmapmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hgmapmul	⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝑌) · (𝐺‘𝑋)))

Proof of Theorem hgmapmul

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapmul.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmapmul.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		hgmapmul.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvh1dim 40769	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g‘𝑈))
7		eqid 2724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8	1, 7, 5	lcdlmod 40919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
9	8	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
10		hgmapmul.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
11		hgmapmul.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12		eqid 2724	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
13		eqid 2724	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
14		hgmapmul.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
15		hgmapmul.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	1, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 15	hgmapdcl 41217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
17	16	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
18		hgmapmul.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
19	1, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 18	hgmapdcl 41217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
20	19	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
21		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
22		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
23	5	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
24		simp2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑡 ∈ (Base‘𝑈))
25	1, 2, 3, 7, 21, 22, 23, 24	hdmapcl 41157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
26		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
27		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
28	21, 12, 26, 13, 27	lmodvsass 20722	. . . . . . 7 ⊢ ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ ((𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → (((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
29	9, 17, 20, 25, 28	syl13anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
30	1, 2, 5	dvhlmod 40437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
31	30	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
32	15	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
33	18	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
34		eqid 2724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
35		hgmapmul.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.r‘𝑅)
36	3, 10, 34, 11, 35	lmodvsass 20722	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈))) → ((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)))
37	31, 32, 33, 24, 36	syl13anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)))
38	37	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))))
39	3, 10, 34, 11	lmodvscl 20713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
40	31, 33, 24, 39	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
41	1, 2, 3, 34, 10, 11, 7, 26, 22, 14, 23, 40, 32	hgmapvs 41218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))))
42	1, 2, 3, 34, 10, 11, 7, 26, 22, 14, 23, 24, 33	hgmapvs 41218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
43	42	oveq2d 7417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
44	38, 41, 43	3eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
45	10, 11, 35	lmodmcl 20708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
46	30, 15, 18, 45	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
47	46	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
48	1, 2, 3, 34, 10, 11, 7, 26, 22, 14, 23, 24, 47	hgmapvs 41218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘(𝑋 · 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
49	29, 44, 48	3eqtr2rd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝐺‘(𝑋 · 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = (((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
50		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
51	1, 7, 5	lcdlvec 40918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
52	51	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
53	1, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 46	hgmapdcl 41217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
54	53	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
55	12, 13, 27	lmodmcl 20708	. . . . . . . 8 ⊢ ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
56	8, 16, 19, 55	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
57	56	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
58		simp3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑡 ≠ (0g‘𝑈))
59	1, 2, 3, 4, 7, 50, 22, 23, 24	hdmapeq0 41171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑡 = (0g‘𝑈)))
60	59	necon3bid 2977	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ≠ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)))
61	58, 60	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ≠ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
62	21, 26, 12, 13, 50, 52, 54, 57, 25, 61	lvecvscan2 20952	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((𝐺‘(𝑋 · 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = (((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) ↔ (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))))
63	49, 62	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)))
64	63	rexlimdv3a 3151	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g‘𝑈) → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))))
65	6, 64	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)))
66	1, 2, 10, 11, 14, 5, 15	hgmapcl 41216	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝐵)
67	1, 2, 10, 11, 14, 5, 18	hgmapcl 41216	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ∈ 𝐵)
68	1, 2, 10, 11, 35, 7, 12, 27, 5, 66, 67	lcdsmul 40929	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)) = ((𝐺‘𝑌) · (𝐺‘𝑋)))
69	65, 68	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝑌) · (𝐺‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∃wrex 3062  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17142  ._rcmulr 17196  Scalarcsca 17198   ·_𝑠 cvsca 17199  0_gc0g 17383  LModclmod 20695  LVecclvec 20939  HLchlt 38676  LHypclh 39311  DVecHcdvh 40405  LCDualclcd 40913  HDMapchdma 41119  HGMapchg 41210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-riotaBAD 38279

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-0g 17385  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-proset 18249  df-poset 18267  df-plt 18284  df-lub 18300  df-glb 18301  df-join 18302  df-meet 18303  df-p0 18379  df-p1 18380  df-lat 18386  df-clat 18453  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-submnd 18703  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20578  df-lmod 20697  df-lss 20768  df-lsp 20808  df-lvec 20940  df-lsatoms 38302  df-lshyp 38303  df-lcv 38345  df-lfl 38384  df-lkr 38412  df-ldual 38450  df-oposet 38502  df-ol 38504  df-oml 38505  df-covers 38592  df-ats 38593  df-atl 38624  df-cvlat 38648  df-hlat 38677  df-llines 38825  df-lplanes 38826  df-lvols 38827  df-lines 38828  df-psubsp 38830  df-pmap 38831  df-padd 39123  df-lhyp 39315  df-laut 39316  df-ldil 39431  df-ltrn 39432  df-trl 39486  df-tgrp 40070  df-tendo 40082  df-edring 40084  df-dveca 40330  df-disoa 40356  df-dvech 40406  df-dib 40466  df-dic 40500  df-dih 40556  df-doch 40675  df-djh 40722  df-lcdual 40914  df-mapd 40952  df-hvmap 41084  df-hdmap1 41120  df-hdmap 41121  df-hgmap 41211

This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  41250  hdmapglem7  41256  hlhilsrnglem  41284