Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgmapmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgmapmul 41518
Description: Part 15 of [Baer] p. 50 line 16. The multiplication is reversed after converting to the dual space scalar to the vector space scalar. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hgmapmul.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapmul.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapmul.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapmul.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapmul.t · = (.r𝑅)
hgmapmul.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapmul.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hgmapmul.x (𝜑𝑋𝐵)
hgmapmul.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
hgmapmul (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺𝑌) · (𝐺𝑋)))

Proof of Theorem hgmapmul
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hgmapmul.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hgmapmul.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 eqid 2725 . . . 4 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4 eqid 2725 . . . 4 (0g𝑈) = (0g𝑈)
5 hgmapmul.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 2, 3, 4, 5dvh1dim 41065 . . 3 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g𝑈))
7 eqid 2725 . . . . . . . . 9 ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
81, 7, 5lcdlmod 41215 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
983ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
10 hgmapmul.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
11 hgmapmul.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑅)
12 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
13 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
14 hgmapmul.g . . . . . . . . 9 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
15 hgmapmul.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐵)
161, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 15hgmapdcl 41513 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
17163ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
18 hgmapmul.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝐵)
191, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 18hgmapdcl 41513 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
20193ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝐺𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
21 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
22 eqid 2725 . . . . . . . 8 ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
2353ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
24 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → 𝑡 ∈ (Base‘𝑈))
251, 2, 3, 7, 21, 22, 23, 24hdmapcl 41453 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
26 eqid 2725 . . . . . . . 8 ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
27 eqid 2725 . . . . . . . 8 (.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
2821, 12, 26, 13, 27lmodvsass 20799 . . . . . . 7 ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ ((𝐺𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → (((𝐺𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = ((𝐺𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
299, 17, 20, 25, 28syl13anc 1369 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((𝐺𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = ((𝐺𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
301, 2, 5dvhlmod 40733 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
31303ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
32153ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → 𝑋𝐵)
33183ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → 𝑌𝐵)
34 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
35 hgmapmul.t . . . . . . . . . 10 · = (.r𝑅)
363, 10, 34, 11, 35lmodvsass 20799 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑡 ∈ (Base‘𝑈))) → ((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠𝑈)𝑡) = (𝑋( ·𝑠𝑈)(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡)))
3731, 32, 33, 24, 36syl13anc 1369 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠𝑈)𝑡) = (𝑋( ·𝑠𝑈)(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡)))
3837fveq2d 6900 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠𝑈)𝑡)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠𝑈)(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡))))
393, 10, 34, 11lmodvscl 20790 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵𝑡 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
4031, 33, 24, 39syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
411, 2, 3, 34, 10, 11, 7, 26, 22, 14, 23, 40, 32hgmapvs 41514 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠𝑈)(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡))) = ((𝐺𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡))))
421, 2, 3, 34, 10, 11, 7, 26, 22, 14, 23, 24, 33hgmapvs 41514 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡)) = ((𝐺𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
4342oveq2d 7435 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((𝐺𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠𝑈)𝑡))) = ((𝐺𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
4438, 41, 433eqtrd 2769 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠𝑈)𝑡)) = ((𝐺𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
4510, 11, 35lmodmcl 20785 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
4630, 15, 18, 45syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
47463ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
481, 2, 3, 34, 10, 11, 7, 26, 22, 14, 23, 24, 47hgmapvs 41514 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘(𝑋 · 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
4929, 44, 483eqtr2rd 2772 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((𝐺‘(𝑋 · 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = (((𝐺𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
50 eqid 2725 . . . . . 6 (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
511, 7, 5lcdlvec 41214 . . . . . . 7 (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
52513ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
531, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 46hgmapdcl 41513 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
54533ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
5512, 13, 27lmodmcl 20785 . . . . . . . 8 ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → ((𝐺𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
568, 16, 19, 55syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
57563ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((𝐺𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
58 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → 𝑡 ≠ (0g𝑈))
591, 2, 3, 4, 7, 50, 22, 23, 24hdmapeq0 41467 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑡 = (0g𝑈)))
6059necon3bid 2974 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ≠ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑡 ≠ (0g𝑈)))
6158, 60mpbird 256 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ≠ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
6221, 26, 12, 13, 50, 52, 54, 57, 25, 61lvecvscan2 21029 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (((𝐺‘(𝑋 · 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = (((𝐺𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) ↔ (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌))))
6349, 62mpbid 231 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g𝑈)) → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌)))
6463rexlimdv3a 3148 . . 3 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g𝑈) → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌))))
656, 64mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌)))
661, 2, 10, 11, 14, 5, 15hgmapcl 41512 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ 𝐵)
671, 2, 10, 11, 14, 5, 18hgmapcl 41512 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑌) ∈ 𝐵)
681, 2, 10, 11, 35, 7, 12, 27, 5, 66, 67lcdsmul 41225 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺𝑌)) = ((𝐺𝑌) · (𝐺𝑋)))
6965, 68eqtrd 2765 1 (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺𝑌) · (𝐺𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wrex 3059  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17199  .rcmulr 17253  Scalarcsca 17255   ·𝑠 cvsca 17256  0gc0g 17440  LModclmod 20772  LVecclvec 21016  HLchlt 38972  LHypclh 39607  DVecHcdvh 40701  LCDualclcd 41209  HDMapchdma 41415  HGMapchg 41506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-riotaBAD 38575
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17135  df-sets 17152  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-ress 17229  df-plusg 17265  df-mulr 17266  df-sca 17268  df-vsca 17269  df-0g 17442  df-mre 17585  df-mrc 17586  df-acs 17588  df-proset 18306  df-poset 18324  df-plt 18341  df-lub 18357  df-glb 18358  df-join 18359  df-meet 18360  df-p0 18436  df-p1 18437  df-lat 18443  df-clat 18510  df-mgm 18619  df-sgrp 18698  df-mnd 18714  df-submnd 18760  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-subg 19103  df-cntz 19297  df-oppg 19326  df-lsm 19620  df-cmn 19766  df-abl 19767  df-mgp 20104  df-rng 20122  df-ur 20151  df-ring 20204  df-oppr 20302  df-dvdsr 20325  df-unit 20326  df-invr 20356  df-dvr 20369  df-drng 20655  df-lmod 20774  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-lvec 21017  df-lsatoms 38598  df-lshyp 38599  df-lcv 38641  df-lfl 38680  df-lkr 38708  df-ldual 38746  df-oposet 38798  df-ol 38800  df-oml 38801  df-covers 38888  df-ats 38889  df-atl 38920  df-cvlat 38944  df-hlat 38973  df-llines 39121  df-lplanes 39122  df-lvols 39123  df-lines 39124  df-psubsp 39126  df-pmap 39127  df-padd 39419  df-lhyp 39611  df-laut 39612  df-ldil 39727  df-ltrn 39728  df-trl 39782  df-tgrp 40366  df-tendo 40378  df-edring 40380  df-dveca 40626  df-disoa 40652  df-dvech 40702  df-dib 40762  df-dic 40796  df-dih 40852  df-doch 40971  df-djh 41018  df-lcdual 41210  df-mapd 41248  df-hvmap 41380  df-hdmap1 41416  df-hdmap 41417  df-hgmap 41507
This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  41546  hdmapglem7  41552  hlhilsrnglem  41580
  Copyright terms: Public domain W3C validator