Theorem hgmapmul 42531

Description: Part 15 of [Baer] p. 50 line 16. The multiplication is reversed after converting to the dual space scalar to the vector space scalar. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapmul.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapmul.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapmul.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
hgmapmul.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapmul.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmapmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
hgmapmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hgmapmul	⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝑌) · (𝐺‘𝑋)))

Proof of Theorem hgmapmul

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapmul.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmapmul.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		hgmapmul.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvh1dim 42078	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g‘𝑈))
7		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8	1, 7, 5	lcdlmod 42228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
9	8	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
10		hgmapmul.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
11		hgmapmul.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
13		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
14		hgmapmul.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
15		hgmapmul.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	1, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 15	hgmapdcl 42526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
17	16	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
18		hgmapmul.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
19	1, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 18	hgmapdcl 42526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
20	19	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
21		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
22		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
23	5	3ad2ant1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
24		simp2 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑡 ∈ (Base‘𝑈))
25	1, 2, 3, 7, 21, 22, 23, 24	hdmapcl 42466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
26		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
27		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
28	21, 12, 26, 13, 27	lmodvsass 20977	. . . . . . 7 ⊢ ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ ((𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → (((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
29	9, 17, 20, 25, 28	syl13anc 1395	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
30	1, 2, 5	dvhlmod 41746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
31	30	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
32	15	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
33	18	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
34		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
35		hgmapmul.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.r‘𝑅)
36	3, 10, 34, 11, 35	lmodvsass 20977	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈))) → ((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)))
37	31, 32, 33, 24, 36	syl13anc 1395	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)))
38	37	fveq2d 6875	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))))
39	3, 10, 34, 11	lmodvscl 20968	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
40	31, 33, 24, 39	syl3anc 1394	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡) ∈ (Base‘𝑈))
41	1, 2, 3, 34, 10, 11, 7, 26, 22, 14, 23, 40, 32	hgmapvs 42527	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋( ·𝑠 ‘𝑈)(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))))
42	1, 2, 3, 34, 10, 11, 7, 26, 22, 14, 23, 24, 33	hgmapvs 42527	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
43	42	oveq2d 7416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑌( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡))) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
44	38, 41, 43	3eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘𝑋)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))((𝐺‘𝑌)( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡))))
45	10, 11, 35	lmodmcl 20963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
46	30, 15, 18, 45	syl3anc 1394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
47	46	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
48	1, 2, 3, 34, 10, 11, 7, 26, 22, 14, 23, 24, 47	hgmapvs 42527	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)( ·𝑠 ‘𝑈)𝑡)) = ((𝐺‘(𝑋 · 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
49	29, 44, 48	3eqtr2rd 2807	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝐺‘(𝑋 · 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = (((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)))
50		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
51	1, 7, 5	lcdlvec 42227	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
52	51	3ad2ant1 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
53	1, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 5, 46	hgmapdcl 42526	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
54	53	3ad2ant1 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
55	12, 13, 27	lmodmcl 20963	. . . . . . . 8 ⊢ ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
56	8, 16, 19, 55	syl3anc 1394	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
57	56	3ad2ant1 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
58		simp3 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑡 ≠ (0g‘𝑈))
59	1, 2, 3, 4, 7, 50, 22, 23, 24	hdmapeq0 42480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑡 = (0g‘𝑈)))
60	59	necon3bid 3004	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → ((((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ≠ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)))
61	58, 60	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡) ≠ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
62	21, 26, 12, 13, 50, 52, 54, 57, 25, 61	lvecvscan2 21205	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (((𝐺‘(𝑋 · 𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) = (((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑡)) ↔ (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))))
63	49, 62	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑡 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)))
64	63	rexlimdv3a 3170	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝑈)𝑡 ≠ (0g‘𝑈) → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌))))
65	6, 64	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)))
66	1, 2, 10, 11, 14, 5, 15	hgmapcl 42525	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝐵)
67	1, 2, 10, 11, 14, 5, 18	hgmapcl 42525	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ∈ 𝐵)
68	1, 2, 10, 11, 35, 7, 12, 27, 5, 66, 67	lcdsmul 42238	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)(.r‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))(𝐺‘𝑌)) = ((𝐺‘𝑌) · (𝐺‘𝑋)))
69	65, 68	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐺‘𝑌) · (𝐺‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  ._rcmulr 17301  Scalarcsca 17303   ·_𝑠 cvsca 17304  0_gc0g 17482  LModclmod 20950  LVecclvec 21192  HLchlt 39986  LHypclh 40620  DVecHcdvh 41714  LCDualclcd 42222  HDMapchdma 42428  HGMapchg 42519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-riotaBAD 39589

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-0g 17484  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18374  df-lub 18390  df-glb 18391  df-join 18392  df-meet 18393  df-p0 18469  df-p1 18470  df-lat 18478  df-clat 18545  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-subg 19180  df-cntz 19378  df-oppg 19407  df-lsm 19697  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-invr 20461  df-dvr 20474  df-nzr 20587  df-rlreg 20770  df-domn 20771  df-drng 20806  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-lsp 21062  df-lvec 21193  df-lsatoms 39612  df-lshyp 39613  df-lcv 39655  df-lfl 39694  df-lkr 39722  df-ldual 39760  df-oposet 39812  df-ol 39814  df-oml 39815  df-covers 39902  df-ats 39903  df-atl 39934  df-cvlat 39958  df-hlat 39987  df-llines 40134  df-lplanes 40135  df-lvols 40136  df-lines 40137  df-psubsp 40139  df-pmap 40140  df-padd 40432  df-lhyp 40624  df-laut 40625  df-ldil 40740  df-ltrn 40741  df-trl 40795  df-tgrp 41379  df-tendo 41391  df-edring 41393  df-dveca 41639  df-disoa 41665  df-dvech 41715  df-dib 41775  df-dic 41809  df-dih 41865  df-doch 41984  df-djh 42031  df-lcdual 42223  df-mapd 42261  df-hvmap 42393  df-hdmap1 42429  df-hdmap 42430  df-hgmap 42520

This theorem is referenced by:  hgmapvvlem1  42559  hdmapglem7  42565  hlhilsrnglem  42589