Theorem limclr 45777

Description: For a limit point, both from the left and from the right, of the domain, the limit of the function exits only if the left and the right limits are equal. In this case, the three limits coincide. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limclr.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limclr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limclr.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
limclr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limclr.lp1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
limclr.lp2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
limclr.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) limℂ 𝐵))
limclr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) limℂ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
limclr	⊢ (𝜑 → (((𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐿 = 𝑅) ∧ (𝐿 = 𝑅 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))

Proof of Theorem limclr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neqne 2937	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐿 = 𝑅 → 𝐿 ≠ 𝑅)
2		limclr.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
3		limclr.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5		limclr.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
6		limclr.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
8		limclr.lp1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
10		limclr.lp2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
12		limclr.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) limℂ 𝐵))
13	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) limℂ 𝐵))
14		limclr.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) limℂ 𝐵))
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) limℂ 𝐵))
16		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → 𝐿 ≠ 𝑅)
17	2, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16	limclner 45773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → (𝐹 limℂ 𝐵) = ∅)
18		nne 2933	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅ ↔ (𝐹 limℂ 𝐵) = ∅)
19	17, 18	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → ¬ (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)
20	1, 19	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 𝑅) → ¬ (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)
21	20	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐿 = 𝑅 → ¬ (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅))
22	21	con4d 115	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅ → 𝐿 = 𝑅))
23	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 𝑅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
24	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 𝑅) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
25		retop 24677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
26	5, 25	eqeltri 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 ∈ Top
27		inss2 4187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ (-∞(,)𝐵)
28		ioossre 13309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)𝐵) ⊆ ℝ
29	27, 28	sstri 3940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ
30		uniretop 24678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
31	5	eqcomi 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝐽
32	31	unieqi 4870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ 𝐽
33	30, 32	eqtri 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
34	33	lpss 23058	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ)
35	26, 29, 34	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ
36	35, 8	sselid 3928	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
37	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 𝑅) → 𝐵 ∈ ℝ)
38	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 𝑅) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) limℂ 𝐵))
39	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 𝑅) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) limℂ 𝐵))
40		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 𝑅) → 𝐿 = 𝑅)
41	2, 23, 5, 24, 37, 38, 39, 40	limcleqr 45766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 𝑅) → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
42	41	ne0d 4291	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 𝑅) → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)
43	42	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 = 𝑅 → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅))
44	22, 43	impbid 212	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐿 = 𝑅))
45	41	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 = 𝑅 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
46	44, 45	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐿 = 𝑅) ∧ (𝐿 = 𝑅 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  ∪ cuni 4858  ran crn 5620   ↾ cres 5621  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  ℝcr 11012  +∞cpnf 11150  -∞cmnf 11151  (,)cioo 13247  TopOpenctopn 17327  topGenctg 17343  ℂ_fldccnfld 21293  Topctop 22809  limPtclp 23050   lim_ℂ climc 25791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fi 9302  df-sup 9333  df-inf 9334  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-ioo 13251  df-fz 13410  df-seq 13911  df-exp 13971  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-struct 17060  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-rest 17328  df-topn 17329  df-topgen 17349  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-cnfld 21294  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-lp 23052  df-cnp 23144  df-xms 24236  df-ms 24237  df-limc 25795

This theorem is referenced by: (None)