Theorem limclr 46352

Description: For a limit point, both from the left and from the right, of the domain, the limit of the function exits only if the left and the right limits are equal. In this case, the three limits coincide. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limclr.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limclr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limclr.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
limclr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limclr.lp1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
limclr.lp2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
limclr.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) limℂ 𝐵))
limclr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) limℂ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
limclr	⊢ (𝜑 → (((𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐿 = 𝑅) ∧ (𝐿 = 𝑅 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))

Proof of Theorem limclr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neqne 2966	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐿 = 𝑅 → 𝐿 ≠ 𝑅)
2		limclr.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
3		limclr.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
4	3	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5		limclr.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
6		limclr.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
7	6	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
8		limclr.lp1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
9	8	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
10		limclr.lp2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
11	10	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
12		limclr.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) limℂ 𝐵))
13	12	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) limℂ 𝐵))
14		limclr.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) limℂ 𝐵))
15	14	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) limℂ 𝐵))
16		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → 𝐿 ≠ 𝑅)
17	2, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16	limclner 46348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → (𝐹 limℂ 𝐵) = ∅)
18		nne 2962	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅ ↔ (𝐹 limℂ 𝐵) = ∅)
19	17, 18	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → ¬ (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)
20	1, 19	sylan2 604	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 𝑅) → ¬ (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)
21	20	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐿 = 𝑅 → ¬ (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅))
22	21	con4d 116	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅ → 𝐿 = 𝑅))
23	3	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 𝑅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
24	6	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 𝑅) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
25		retop 24899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
26	5, 25	eqeltri 2859	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 ∈ Top
27		inss2 4191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ (-∞(,)𝐵)
28		ioossre 13435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)𝐵) ⊆ ℝ
29	27, 28	sstri 3947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ
30		uniretop 24900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
31	5	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝐽
32	31	unieqi 4885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ 𝐽
33	30, 32	eqtri 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
34	33	lpss 23280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ)
35	26, 29, 34	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ
36	35, 8	sselid 3936	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
37	36	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 𝑅) → 𝐵 ∈ ℝ)
38	12	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 𝑅) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) limℂ 𝐵))
39	14	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 𝑅) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) limℂ 𝐵))
40		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 𝑅) → 𝐿 = 𝑅)
41	2, 23, 5, 24, 37, 38, 39, 40	limcleqr 46341	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 𝑅) → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
42	41	ne0d 4296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 𝑅) → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)
43	42	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 = 𝑅 → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅))
44	22, 43	impbid 215	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐿 = 𝑅))
45	41	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 = 𝑅 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
46	44, 45	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐿 = 𝑅) ∧ (𝐿 = 𝑅 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  ∪ cuni 4873  ran crn 5664   ↾ cres 5665  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  (,)cioo 13373  TopOpenctopn 17475  topGenctg 17491  ℂ_fldccnfld 21503  Topctop 23031  limPtclp 23272   lim_ℂ climc 26002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-fz 13537  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-struct 17208  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-rest 17476  df-topn 17477  df-topgen 17497  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274  df-cnp 23366  df-xms 24458  df-ms 24459  df-limc 26006

This theorem is referenced by: (None)