Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limclr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limclr 42312
 Description: For a limit point, both from the left and from the right, of the domain, the limit of the function exits only if the left and the right limits are equal. In this case, the three limits coincide. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limclr.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limclr.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limclr.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
limclr.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limclr.lp1 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
limclr.lp2 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
limclr.l (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
limclr.r (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
Assertion
Ref Expression
limclr (𝜑 → (((𝐹 lim 𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐿 = 𝑅) ∧ (𝐿 = 𝑅𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))))

Proof of Theorem limclr
StepHypRef Expression
1 neqne 2995 . . . . . 6 𝐿 = 𝑅𝐿𝑅)
2 limclr.k . . . . . . . 8 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
3 limclr.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
43adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿𝑅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5 limclr.j . . . . . . . 8 𝐽 = (topGen‘ran (,))
6 limclr.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
76adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿𝑅) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
8 limclr.lp1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
98adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿𝑅) → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
10 limclr.lp2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
1110adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿𝑅) → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
12 limclr.l . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
1312adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿𝑅) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
14 limclr.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
1514adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿𝑅) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
16 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿𝑅) → 𝐿𝑅)
172, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16limclner 42308 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿𝑅) → (𝐹 lim 𝐵) = ∅)
18 nne 2991 . . . . . . 7 (¬ (𝐹 lim 𝐵) ≠ ∅ ↔ (𝐹 lim 𝐵) = ∅)
1917, 18sylibr 237 . . . . . 6 ((𝜑𝐿𝑅) → ¬ (𝐹 lim 𝐵) ≠ ∅)
201, 19sylan2 595 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 𝑅) → ¬ (𝐹 lim 𝐵) ≠ ∅)
2120ex 416 . . . 4 (𝜑 → (¬ 𝐿 = 𝑅 → ¬ (𝐹 lim 𝐵) ≠ ∅))
2221con4d 115 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 lim 𝐵) ≠ ∅ → 𝐿 = 𝑅))
233adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 = 𝑅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
246adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 = 𝑅) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
25 retop 23374 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
265, 25eqeltri 2886 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ Top
27 inss2 4156 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ (-∞(,)𝐵)
28 ioossre 12788 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)𝐵) ⊆ ℝ
2927, 28sstri 3924 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ
30 uniretop 23375 . . . . . . . . . . 11 ℝ = (topGen‘ran (,))
315eqcomi 2807 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = 𝐽
3231unieqi 4813 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘ran (,)) = 𝐽
3330, 32eqtri 2821 . . . . . . . . . 10 ℝ = 𝐽
3433lpss 21754 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ)
3526, 29, 34mp2an 691 . . . . . . . 8 ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ
3635, 8sseldi 3913 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3736adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 = 𝑅) → 𝐵 ∈ ℝ)
3812adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 = 𝑅) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
3914adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 = 𝑅) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
40 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 = 𝑅) → 𝐿 = 𝑅)
412, 23, 5, 24, 37, 38, 39, 40limcleqr 42301 . . . . 5 ((𝜑𝐿 = 𝑅) → 𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
4241ne0d 4251 . . . 4 ((𝜑𝐿 = 𝑅) → (𝐹 lim 𝐵) ≠ ∅)
4342ex 416 . . 3 (𝜑 → (𝐿 = 𝑅 → (𝐹 lim 𝐵) ≠ ∅))
4422, 43impbid 215 . 2 (𝜑 → ((𝐹 lim 𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐿 = 𝑅))
4541ex 416 . 2 (𝜑 → (𝐿 = 𝑅𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵)))
4644, 45jca 515 1 (𝜑 → (((𝐹 lim 𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐿 = 𝑅) ∧ (𝐿 = 𝑅𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  ∪ cuni 4800  ran crn 5520   ↾ cres 5521  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10526  ℝcr 10527  +∞cpnf 10663  -∞cmnf 10664  (,)cioo 12728  TopOpenctopn 16689  topGenctg 16705  ℂfldccnfld 20094  Topctop 21505  limPtclp 21746   limℂ climc 24472 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-pm 8394  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-fi 8861  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-z 11972  df-dec 12089  df-uz 12234  df-q 12339  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-fz 12888  df-seq 13367  df-exp 13428  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-rest 16690  df-topn 16691  df-topgen 16711  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-cnfld 20095  df-top 21506  df-topon 21523  df-topsp 21545  df-bases 21558  df-cld 21631  df-ntr 21632  df-cls 21633  df-nei 21710  df-lp 21748  df-cnp 21840  df-xms 22934  df-ms 22935  df-limc 24476 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator