Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limclr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limclr 43797
Description: For a limit point, both from the left and from the right, of the domain, the limit of the function exits only if the left and the right limits are equal. In this case, the three limits coincide. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limclr.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limclr.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limclr.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
limclr.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limclr.lp1 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
limclr.lp2 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
limclr.l (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
limclr.r (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
Assertion
Ref Expression
limclr (𝜑 → (((𝐹 lim 𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐿 = 𝑅) ∧ (𝐿 = 𝑅𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))))

Proof of Theorem limclr
StepHypRef Expression
1 neqne 2949 . . . . . 6 𝐿 = 𝑅𝐿𝑅)
2 limclr.k . . . . . . . 8 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
3 limclr.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
43adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿𝑅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5 limclr.j . . . . . . . 8 𝐽 = (topGen‘ran (,))
6 limclr.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
76adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿𝑅) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
8 limclr.lp1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
98adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿𝑅) → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
10 limclr.lp2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
1110adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿𝑅) → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
12 limclr.l . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
1312adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿𝑅) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
14 limclr.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
1514adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿𝑅) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
16 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿𝑅) → 𝐿𝑅)
172, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16limclner 43793 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿𝑅) → (𝐹 lim 𝐵) = ∅)
18 nne 2945 . . . . . . 7 (¬ (𝐹 lim 𝐵) ≠ ∅ ↔ (𝐹 lim 𝐵) = ∅)
1917, 18sylibr 233 . . . . . 6 ((𝜑𝐿𝑅) → ¬ (𝐹 lim 𝐵) ≠ ∅)
201, 19sylan2 593 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 𝑅) → ¬ (𝐹 lim 𝐵) ≠ ∅)
2120ex 413 . . . 4 (𝜑 → (¬ 𝐿 = 𝑅 → ¬ (𝐹 lim 𝐵) ≠ ∅))
2221con4d 115 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 lim 𝐵) ≠ ∅ → 𝐿 = 𝑅))
233adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 = 𝑅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
246adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 = 𝑅) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
25 retop 24077 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
265, 25eqeltri 2834 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ Top
27 inss2 4187 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ (-∞(,)𝐵)
28 ioossre 13279 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)𝐵) ⊆ ℝ
2927, 28sstri 3951 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ
30 uniretop 24078 . . . . . . . . . . 11 ℝ = (topGen‘ran (,))
315eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = 𝐽
3231unieqi 4876 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘ran (,)) = 𝐽
3330, 32eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ℝ = 𝐽
3433lpss 22445 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ)
3526, 29, 34mp2an 690 . . . . . . . 8 ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ
3635, 8sselid 3940 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3736adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 = 𝑅) → 𝐵 ∈ ℝ)
3812adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 = 𝑅) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
3914adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 = 𝑅) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
40 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 = 𝑅) → 𝐿 = 𝑅)
412, 23, 5, 24, 37, 38, 39, 40limcleqr 43786 . . . . 5 ((𝜑𝐿 = 𝑅) → 𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
4241ne0d 4293 . . . 4 ((𝜑𝐿 = 𝑅) → (𝐹 lim 𝐵) ≠ ∅)
4342ex 413 . . 3 (𝜑 → (𝐿 = 𝑅 → (𝐹 lim 𝐵) ≠ ∅))
4422, 43impbid 211 . 2 (𝜑 → ((𝐹 lim 𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐿 = 𝑅))
4541ex 413 . 2 (𝜑 → (𝐿 = 𝑅𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵)))
4644, 45jca 512 1 (𝜑 → (((𝐹 lim 𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐿 = 𝑅) ∧ (𝐿 = 𝑅𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  cin 3907  wss 3908  c0 4280   cuni 4863  ran crn 5632  cres 5633  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  cc 11007  cr 11008  +∞cpnf 11144  -∞cmnf 11145  (,)cioo 13218  TopOpenctopn 17263  topGenctg 17279  fldccnfld 20749  Topctop 22194  limPtclp 22437   lim climc 25178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-ioo 13222  df-fz 13379  df-seq 13861  df-exp 13922  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-struct 16979  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-rest 17264  df-topn 17265  df-topgen 17285  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-cnfld 20750  df-top 22195  df-topon 22212  df-topsp 22234  df-bases 22248  df-cld 22322  df-ntr 22323  df-cls 22324  df-nei 22401  df-lp 22439  df-cnp 22531  df-xms 23625  df-ms 23626  df-limc 25182
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator