Theorem limclr 46193

Description: For a limit point, both from the left and from the right, of the domain, the limit of the function exits only if the left and the right limits are equal. In this case, the three limits coincide. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limclr.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limclr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limclr.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
limclr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limclr.lp1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
limclr.lp2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
limclr.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) limℂ 𝐵))
limclr.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) limℂ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
limclr	⊢ (𝜑 → (((𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐿 = 𝑅) ∧ (𝐿 = 𝑅 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))

Proof of Theorem limclr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neqne 2964	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐿 = 𝑅 → 𝐿 ≠ 𝑅)
2		limclr.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
3		limclr.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
4	3	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5		limclr.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
6		limclr.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
7	6	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
8		limclr.lp1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
9	8	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
10		limclr.lp2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
11	10	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
12		limclr.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) limℂ 𝐵))
13	12	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) limℂ 𝐵))
14		limclr.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) limℂ 𝐵))
15	14	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) limℂ 𝐵))
16		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → 𝐿 ≠ 𝑅)
17	2, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16	limclner 46189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → (𝐹 limℂ 𝐵) = ∅)
18		nne 2960	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅ ↔ (𝐹 limℂ 𝐵) = ∅)
19	17, 18	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≠ 𝑅) → ¬ (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)
20	1, 19	sylan2 602	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 𝑅) → ¬ (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)
21	20	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐿 = 𝑅 → ¬ (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅))
22	21	con4d 115	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅ → 𝐿 = 𝑅))
23	3	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 𝑅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
24	6	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 𝑅) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
25		retop 24801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
26	5, 25	eqeltri 2857	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 ∈ Top
27		inss2 4189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ (-∞(,)𝐵)
28		ioossre 13408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)𝐵) ⊆ ℝ
29	27, 28	sstri 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ
30		uniretop 24802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
31	5	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝐽
32	31	unieqi 4876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ 𝐽
33	30, 32	eqtri 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
34	33	lpss 23182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ)
35	26, 29, 34	mp2an 702	. . . . . . . 8 ⊢ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ
36	35, 8	sselid 3934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
37	36	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 𝑅) → 𝐵 ∈ ℝ)
38	12	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 𝑅) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) limℂ 𝐵))
39	14	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 𝑅) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) limℂ 𝐵))
40		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 𝑅) → 𝐿 = 𝑅)
41	2, 23, 5, 24, 37, 38, 39, 40	limcleqr 46182	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 𝑅) → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
42	41	ne0d 4294	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 𝑅) → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)
43	42	ex 416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 = 𝑅 → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅))
44	22, 43	impbid 214	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐿 = 𝑅))
45	41	ex 416	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 = 𝑅 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
46	44, 45	jca 519	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐿 = 𝑅) ∧ (𝐿 = 𝑅 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ∪ cuni 4864  ran crn 5646   ↾ cres 5647  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  ℝcr 11069  +∞cpnf 11210  -∞cmnf 11211  (,)cioo 13346  TopOpenctopn 17433  topGenctg 17449  ℂ_fldccnfld 21404  Topctop 22933  limPtclp 23174   lim_ℂ climc 25904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-fz 13510  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-rest 17434  df-topn 17435  df-topgen 17455  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-cnfld 21405  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cld 23059  df-ntr 23060  df-cls 23061  df-nei 23138  df-lp 23176  df-cnp 23268  df-xms 24360  df-ms 24361  df-limc 25908

This theorem is referenced by: (None)