Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lptre2pt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lptre2pt 43871
Description: If a set in the real line has a limit point than it contains two distinct points that are closer than a given distance. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lptre2pt.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
lptre2pt.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
lptre2pt.x (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ≠ ∅)
lptre2pt.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
lptre2pt (𝜑 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem lptre2pt
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lptre2pt.x . . 3 (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ≠ ∅)
2 n0 4306 . . 3 (((limPt‘𝐽)‘𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴))
31, 2sylib 217 . 2 (𝜑 → ∃𝑤 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴))
4 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴))
5 lptre2pt.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (topGen‘ran (,))
6 lptre2pt.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
76adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
8 retop 24125 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
95, 8eqeltri 2834 . . . . . . . . . . 11 𝐽 ∈ Top
10 uniretop 24126 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ = (topGen‘ran (,))
115unieqi 4878 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 = (topGen‘ran (,))
1210, 11eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . . 12 ℝ = 𝐽
1312lpss 22493 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ⊆ ℝ)
149, 7, 13sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ⊆ ℝ)
1514, 4sseldd 3945 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → 𝑤 ∈ ℝ)
165, 7, 15islptre 43850 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
174, 16mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅))
18 lptre2pt.e . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1918rpred 12957 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
2019adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → 𝐸 ∈ ℝ)
2120rehalfcld 12400 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
2215, 21resubcld 11583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑤 − (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
2322rexrd 11205 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑤 − (𝐸 / 2)) ∈ ℝ*)
2415, 21readdcld 11184 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑤 + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
2524rexrd 11205 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑤 + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ*)
2618rphalfcld 12969 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
2726adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
2815, 27ltsubrpd 12989 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑤 − (𝐸 / 2)) < 𝑤)
2915, 27ltaddrpd 12990 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → 𝑤 < (𝑤 + (𝐸 / 2)))
3023, 25, 15, 28, 29eliood 43726 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → 𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
31 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑤 − (𝐸 / 2)) → (𝑎(,)𝑏) = ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏))
3231eleq2d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑤 − (𝐸 / 2)) → (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏)))
3331ineq1d 4171 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑤 − (𝐸 / 2)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) = (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
3433neeq1d 3003 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑤 − (𝐸 / 2)) → (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅ ↔ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅))
3532, 34imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑤 − (𝐸 / 2)) → ((𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) ↔ (𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
36 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑤 + (𝐸 / 2)) → ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) = ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
3736eleq2d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝑤 + (𝐸 / 2)) → (𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))))
3836ineq1d 4171 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑤 + (𝐸 / 2)) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) = (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
3938neeq1d 3003 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝑤 + (𝐸 / 2)) → ((((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅ ↔ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅))
4037, 39imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝑤 + (𝐸 / 2)) → ((𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) ↔ (𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
4135, 40rspc2v 3590 . . . . . . . 8 (((𝑤 − (𝐸 / 2)) ∈ ℝ* ∧ (𝑤 + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ*) → (∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) → (𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
4223, 25, 41syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) → (𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
4317, 30, 42mp2d 49 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)
44 n0 4306 . . . . . 6 ((((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
4543, 44sylib 217 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
46 elinel2 4156 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑤}))
4746eldifad 3922 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑥𝐴)
4847adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥𝐴)
49 elinel1 4155 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
5049adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
5146eldifbd 3923 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑤})
5251adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑤})
5350, 52eldifd 3921 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}))
5448, 53jca 512 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})))
5554ex 413 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}))))
5655eximdv 1920 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}))))
5745, 56mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})))
58 df-rex 3074 . . . 4 (∃𝑥𝐴 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})))
5957, 58sylibr 233 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → ∃𝑥𝐴 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}))
6017adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅))
61 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) → 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
62 elioore 13294 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) → 𝑥 ∈ ℝ)
6463adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑥 ∈ ℝ)
6515adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑤 ∈ ℝ)
66 eldifsni 4750 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) → 𝑥𝑤)
6766adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑥𝑤)
68 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
69 resubcl 11465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥𝑤) ∈ ℝ)
7069recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥𝑤) ∈ ℂ)
7170abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑥𝑤)) ∈ ℝ)
7268, 71resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ)
7372rexrd 11205 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ*)
74733adant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ*)
7568, 71readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ)
7675rexrd 11205 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ*)
77763adant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ*)
78 simp2 1137 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ)
79703adant3 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → (𝑥𝑤) ∈ ℂ)
80 recn 11141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
81803ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → 𝑥 ∈ ℂ)
8278recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → 𝑤 ∈ ℂ)
83 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → 𝑥𝑤)
8481, 82, 83subne0d 11521 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → (𝑥𝑤) ≠ 0)
8579, 84absrpcld 15333 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → (abs‘(𝑥𝑤)) ∈ ℝ+)
8678, 85ltsubrpd 12989 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) < 𝑤)
8778, 85ltaddrpd 12990 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → 𝑤 < (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))
8874, 77, 78, 86, 87eliood 43726 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → 𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))))
8964, 65, 67, 88syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))))
9063recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) → 𝑥 ∈ ℂ)
9190adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑥 ∈ ℂ)
9265recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑤 ∈ ℂ)
9391, 92subcld 11512 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝑥𝑤) ∈ ℂ)
9493abscld 15321 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (abs‘(𝑥𝑤)) ∈ ℝ)
9565, 94resubcld 11583 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ)
9695rexrd 11205 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ*)
9765, 94readdcld 11184 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ)
9897rexrd 11205 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ*)
99 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) → (𝑎(,)𝑏) = ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏))
10099eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) → (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏)))
10199ineq1d 4171 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) = (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
102101neeq1d 3003 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) → (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅ ↔ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅))
103100, 102imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) → ((𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) ↔ (𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
104 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) → ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) = ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))))
105104eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) → (𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))))
106104ineq1d 4171 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) = (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
107106neeq1d 3003 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) → ((((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅ ↔ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅))
108105, 107imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) → ((𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) ↔ (𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
109103, 108rspc2v 3590 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ* ∧ (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ*) → (∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) → (𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
11096, 98, 109syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) → (𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
11160, 89, 110mp2d 49 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)
112 n0 4306 . . . . . . . 8 ((((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
113111, 112sylib 217 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
114 elinel2 4156 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑤}))
115114eldifad 3922 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑦𝐴)
116115adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑦𝐴)
11765adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑤 ∈ ℝ)
11864adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥 ∈ ℝ)
119 elinel1 4155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))))
120119adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))))
121 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ)
122 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑥 ∈ ℝ)
123 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))))
124 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 0 ≤ (𝑥𝑤))
125122, 121subge0d 11745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (0 ≤ (𝑥𝑤) ↔ 𝑤𝑥))
126124, 125mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑤𝑥)
127121, 122, 126abssubge0d 15316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (abs‘(𝑥𝑤)) = (𝑥𝑤))
128127oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) = (𝑤 − (𝑥𝑤)))
129127oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) = (𝑤 + (𝑥𝑤)))
130128, 129oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) = ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤))))
131123, 130eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤))))
132 elioore 13294 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤))) → 𝑦 ∈ ℝ)
1331323ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
134 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
13569ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥𝑤) ∈ ℝ)
136134, 135resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 − (𝑥𝑤)) ∈ ℝ)
137136rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 − (𝑥𝑤)) ∈ ℝ*)
1381373adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → (𝑤 − (𝑥𝑤)) ∈ ℝ*)
139134, 135readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 + (𝑥𝑤)) ∈ ℝ)
140139rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 + (𝑥𝑤)) ∈ ℝ*)
1411403adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → (𝑤 + (𝑥𝑤)) ∈ ℝ*)
142 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤))))
143 iooltub 43738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 − (𝑥𝑤)) ∈ ℝ* ∧ (𝑤 + (𝑥𝑤)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → 𝑦 < (𝑤 + (𝑥𝑤)))
144138, 141, 142, 143syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → 𝑦 < (𝑤 + (𝑥𝑤)))
145134recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℂ)
14680adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
147145, 146pncan3d 11515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 + (𝑥𝑤)) = 𝑥)
1481473adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → (𝑤 + (𝑥𝑤)) = 𝑥)
149144, 148breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → 𝑦 < 𝑥)
150133, 149gtned 11290 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → 𝑥𝑦)
151121, 122, 131, 150syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑥𝑦)
152 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ)
153 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑥 ∈ ℝ)
154 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))))
155135adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (𝑥𝑤) ∈ ℝ)
156 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 0 ∈ ℝ)
157 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤))
158155, 156ltnled 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → ((𝑥𝑤) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)))
159157, 158mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (𝑥𝑤) < 0)
160155, 156, 159ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (𝑥𝑤) ≤ 0)
161155, 160absnidd 15298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (abs‘(𝑥𝑤)) = -(𝑥𝑤))
162146adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑥 ∈ ℂ)
163145adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑤 ∈ ℂ)
164162, 163negsubdi2d 11528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → -(𝑥𝑤) = (𝑤𝑥))
165161, 164eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (abs‘(𝑥𝑤)) = (𝑤𝑥))
166165oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) = (𝑤 − (𝑤𝑥)))
167165oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) = (𝑤 + (𝑤𝑥)))
168166, 167oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) = ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))))
1691683adantl3 1168 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) = ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))))
170154, 169eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))))
171 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
172171rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
173 resubcl 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤𝑥) ∈ ℝ)
174134, 173readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 + (𝑤𝑥)) ∈ ℝ)
175174rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 + (𝑤𝑥)) ∈ ℝ*)
1761753adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → (𝑤 + (𝑤𝑥)) ∈ ℝ*)
177 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))))
178145, 146nncand 11517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 − (𝑤𝑥)) = 𝑥)
179178oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))) = (𝑥(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))))
1801793adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))) = (𝑥(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))))
181177, 180eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))))
182 ioogtlb 43723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑤 + (𝑤𝑥)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → 𝑥 < 𝑦)
183172, 176, 181, 182syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → 𝑥 < 𝑦)
184171, 183ltned 11291 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → 𝑥𝑦)
185152, 153, 170, 184syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑥𝑦)
186151, 185pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → 𝑥𝑦)
187117, 118, 120, 186syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥𝑦)
18863adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥 ∈ ℝ)
189 elioore 13294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
190119, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑦 ∈ ℝ)
191190adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑦 ∈ ℝ)
192188, 191resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
193192recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
194193adantll 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
195194abscld 15321 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑥𝑦)) ∈ ℝ)
196195adantllr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑥𝑦)) ∈ ℝ)
19794adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑥𝑤)) ∈ ℝ)
19815adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑤 ∈ ℝ)
199190adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑦 ∈ ℝ)
200198, 199resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑤𝑦) ∈ ℝ)
201200recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑤𝑦) ∈ ℂ)
202201abscld 15321 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑤𝑦)) ∈ ℝ)
203202adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑤𝑦)) ∈ ℝ)
204197, 203readdcld 11184 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → ((abs‘(𝑥𝑤)) + (abs‘(𝑤𝑦))) ∈ ℝ)
20519ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝐸 ∈ ℝ)
206118recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥 ∈ ℂ)
207190recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑦 ∈ ℂ)
208207adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑦 ∈ ℂ)
20992adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑤 ∈ ℂ)
210206, 208, 209abs3difd 15345 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑥𝑦)) ≤ ((abs‘(𝑥𝑤)) + (abs‘(𝑤𝑦))))
21121ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
212 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝜑)
21361adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
21462, 146sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
21562, 145sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → 𝑤 ∈ ℂ)
216214, 215abssubd 15338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (abs‘(𝑥𝑤)) = (abs‘(𝑤𝑥)))
2172163adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (abs‘(𝑥𝑤)) = (abs‘(𝑤𝑥)))
218 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → 𝑤 ∈ ℝ)
21919rehalfcld 12400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
2202193ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
221 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
222218, 220, 221iooabslt 43727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (abs‘(𝑤𝑥)) < (𝐸 / 2))
223217, 222eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (abs‘(𝑥𝑤)) < (𝐸 / 2))
224212, 65, 213, 223syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (abs‘(𝑥𝑤)) < (𝐸 / 2))
225224adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑥𝑤)) < (𝐸 / 2))
226212, 65, 2133jca 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))))
227 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → 𝑤 ∈ ℝ)
228189adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → 𝑦 ∈ ℝ)
229227, 228resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (𝑤𝑦) ∈ ℝ)
230229recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (𝑤𝑦) ∈ ℂ)
231230abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (abs‘(𝑤𝑦)) ∈ ℝ)
2322313ad2antl2 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (abs‘(𝑤𝑦)) ∈ ℝ)
233220adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
234214, 215subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (𝑥𝑤) ∈ ℂ)
235234abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (abs‘(𝑥𝑤)) ∈ ℝ)
2362353adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (abs‘(𝑥𝑤)) ∈ ℝ)
237236adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (abs‘(𝑥𝑤)) ∈ ℝ)
238 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → 𝑤 ∈ ℝ)
239 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))))
240238, 237, 239iooabslt 43727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (abs‘(𝑤𝑦)) < (abs‘(𝑥𝑤)))
241223adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (abs‘(𝑥𝑤)) < (𝐸 / 2))
242232, 237, 233, 240, 241lttrd 11316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (abs‘(𝑤𝑦)) < (𝐸 / 2))
243232, 233, 242ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (abs‘(𝑤𝑦)) ≤ (𝐸 / 2))
244226, 119, 243syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑤𝑦)) ≤ (𝐸 / 2))
245197, 203, 211, 211, 225, 244ltleaddd 11776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → ((abs‘(𝑥𝑤)) + (abs‘(𝑤𝑦))) < ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)))
24619recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
2472462halvesd 12399 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
248247ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
249245, 248breqtrd 5131 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → ((abs‘(𝑥𝑤)) + (abs‘(𝑤𝑦))) < 𝐸)
250196, 204, 205, 210, 249lelttrd 11313 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸)
251116, 187, 250jca32 516 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑦𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸)))
252251ex 413 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → (𝑦𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸))))
253252eximdv 1920 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (∃𝑦 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → ∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸))))
254113, 253mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → ∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸)))
255 df-rex 3074 . . . . . 6 (∃𝑦𝐴 (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸) ↔ ∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸)))
256254, 255sylibr 233 . . . . 5 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → ∃𝑦𝐴 (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸))
257256ex 413 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) → ∃𝑦𝐴 (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸)))
258257reximdv 3167 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (∃𝑥𝐴 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸)))
25959, 258mpd 15 . 2 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸))
2603, 259exlimddv 1938 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  c0 4282  {csn 4586   cuni 4865   class class class wbr 5105  ran crn 5634  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  +crp 12915  (,)cioo 13264  abscabs 15119  topGenctg 17319  Topctop 22242  limPtclp 22485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ioo 13268  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487
This theorem is referenced by:  fourierdlem42  44380
  Copyright terms: Public domain W3C validator