lptre2pt - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem lptre2pt 43181

Description: If a set in the real line has a limit point than it contains two distinct points that are closer than a given distance. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lptre2pt.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
lptre2pt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
lptre2pt.x	⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ≠ ∅)
lptre2pt.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)

**Assertion**
Ref	Expression
lptre2pt	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < 𝐸))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴,𝑦 𝑥,𝐸,𝑦 𝑥,𝐽,𝑦 𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem lptre2pt Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lptre2pt.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ≠ ∅)
2		n0 4280	. . 3 ⊢ (((limPt‘𝐽)‘𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴))
3	1, 2	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴))
4		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴))
5		lptre2pt.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
6		lptre2pt.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
7	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
8		retop 23925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
9	5, 8	eqeltri 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 ∈ Top
10		uniretop 23926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
11	5	unieqi 4852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
12	10, 11	eqtr4i 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
13	12	lpss 22293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ⊆ ℝ)
14	9, 7, 13	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ⊆ ℝ)
15	14, 4	sseldd 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → 𝑤 ∈ ℝ)
16	5, 7, 15	islptre 43160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
17	4, 16	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅))
18		lptre2pt.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
19	18	rpred 12772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → 𝐸 ∈ ℝ)
21	20	rehalfcld 12220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
22	15, 21	resubcld 11403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑤 − (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 11025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑤 − (𝐸 / 2)) ∈ ℝ^*)
24	15, 21	readdcld 11004	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑤 + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
25	24	rexrd 11025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑤 + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ^*)
26	18	rphalfcld 12784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ⁺)
27	26	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ⁺)
28	15, 27	ltsubrpd 12804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑤 − (𝐸 / 2)) < 𝑤)
29	15, 27	ltaddrpd 12805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → 𝑤 < (𝑤 + (𝐸 / 2)))
30	23, 25, 15, 28, 29	eliood 43036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → 𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
31		oveq1 7282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑤 − (𝐸 / 2)) → (𝑎(,)𝑏) = ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏))
32	31	eleq2d 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑤 − (𝐸 / 2)) → (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏)))
33	31	ineq1d 4145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑤 − (𝐸 / 2)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) = (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
34	33	neeq1d 3003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑤 − (𝐸 / 2)) → (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅ ↔ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅))
35	32, 34	imbi12d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑤 − (𝐸 / 2)) → ((𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) ↔ (𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
36		oveq2 7283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (𝑤 + (𝐸 / 2)) → ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) = ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
37	36	eleq2d 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (𝑤 + (𝐸 / 2)) → (𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))))
38	36	ineq1d 4145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (𝑤 + (𝐸 / 2)) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) = (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
39	38	neeq1d 3003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (𝑤 + (𝐸 / 2)) → ((((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅ ↔ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅))
40	37, 39	imbi12d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (𝑤 + (𝐸 / 2)) → ((𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) ↔ (𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
41	35, 40	rspc2v 3570	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑤 − (𝐸 / 2)) ∈ ℝ^* ∧ (𝑤 + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ^) → (∀𝑎 ∈ ℝ^ ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) → (𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
42	23, 25, 41	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) → (𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
43	17, 30, 42	mp2d 49	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)
44		n0 4280	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
45	43, 44	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
46		elinel2 4130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑤}))
47	46	eldifad 3899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
48	47	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
49		elinel1 4129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
50	49	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
51	46	eldifbd 3900	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑤})
52	51	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑤})
53	50, 52	eldifd 3898	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}))
54	48, 53	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})))
55	54	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}))))
56	55	eximdv 1920	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}))))
57	45, 56	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})))
58		df-rex 3070	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})))
59	57, 58	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}))
60	17	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → ∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅))
61		eldifi 4061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) → 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
62		elioore 13109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ)
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) → 𝑥 ∈ ℝ)
64	63	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑥 ∈ ℝ)
65	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑤 ∈ ℝ)
66		eldifsni 4723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) → 𝑥 ≠ 𝑤)
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑥 ≠ 𝑤)
68		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
69		resubcl 11285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑤) ∈ ℝ)
70	69	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑤) ∈ ℂ)
71	70	abscld 15148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑥 − 𝑤)) ∈ ℝ)
72	68, 71	resubcld 11403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤))) ∈ ℝ)
73	72	rexrd 11025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤))) ∈ ℝ^*)
74	73	3adant3 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑤) → (𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤))) ∈ ℝ^*)
75	68, 71	readdcld 11004	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))) ∈ ℝ)
76	75	rexrd 11025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))) ∈ ℝ^*)
77	76	3adant3 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑤) → (𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))) ∈ ℝ^*)
78		simp2 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ)
79	70	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑤) → (𝑥 − 𝑤) ∈ ℂ)
80		recn 10961	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
81	80	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑤) → 𝑥 ∈ ℂ)
82	78	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑤) → 𝑤 ∈ ℂ)
83		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑤) → 𝑥 ≠ 𝑤)
84	81, 82, 83	subne0d 11341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑤) → (𝑥 − 𝑤) ≠ 0)
85	79, 84	absrpcld 15160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑤) → (abs‘(𝑥 − 𝑤)) ∈ ℝ⁺)
86	78, 85	ltsubrpd 12804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑤) → (𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤))) < 𝑤)
87	78, 85	ltaddrpd 12805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑤) → 𝑤 < (𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))
88	74, 77, 78, 86, 87	eliood 43036	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑤) → 𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))))
89	64, 65, 67, 88	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))))
90	63	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) → 𝑥 ∈ ℂ)
91	90	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑥 ∈ ℂ)
92	65	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑤 ∈ ℂ)
93	91, 92	subcld 11332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝑥 − 𝑤) ∈ ℂ)
94	93	abscld 15148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (abs‘(𝑥 − 𝑤)) ∈ ℝ)
95	65, 94	resubcld 11403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤))) ∈ ℝ)
96	95	rexrd 11025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤))) ∈ ℝ^*)
97	65, 94	readdcld 11004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))) ∈ ℝ)
98	97	rexrd 11025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))) ∈ ℝ^*)
99		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤))) → (𝑎(,)𝑏) = ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)𝑏))
100	99	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤))) → (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)𝑏)))
101	99	ineq1d 4145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤))) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) = (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
102	101	neeq1d 3003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤))) → (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅ ↔ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅))
103	100, 102	imbi12d 345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤))) → ((𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) ↔ (𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)𝑏) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
104		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))) → ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)𝑏) = ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))))
105	104	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))) → (𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)𝑏) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))))
106	104	ineq1d 4145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) = (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
107	106	neeq1d 3003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))) → ((((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅ ↔ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅))
108	105, 107	imbi12d 345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))) → ((𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)𝑏) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) ↔ (𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
109	103, 108	rspc2v 3570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤))) ∈ ℝ^* ∧ (𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))) ∈ ℝ^) → (∀𝑎 ∈ ℝ^ ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) → (𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
110	96, 98, 109	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (∀𝑎 ∈ ℝ^* ∀𝑏 ∈ ℝ^* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) → (𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
111	60, 89, 110	mp2d 49	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)
112		n0 4280	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
113	111, 112	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
114		elinel2 4130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑤}))
115	114	eldifad 3899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑦 ∈ 𝐴)
116	115	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑦 ∈ 𝐴)
117	65	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑤 ∈ ℝ)
118	64	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥 ∈ ℝ)
119		elinel1 4129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))))
120	119	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))))
121		simpl1 1190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ)
122		simpl2 1191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → 𝑥 ∈ ℝ)
123		simpl3 1192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))))
124		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → 0 ≤ (𝑥 − 𝑤))
125	122, 121	subge0d 11565	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → (0 ≤ (𝑥 − 𝑤) ↔ 𝑤 ≤ 𝑥))
126	124, 125	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → 𝑤 ≤ 𝑥)
127	121, 122, 126	abssubge0d 15143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → (abs‘(𝑥 − 𝑤)) = (𝑥 − 𝑤))
128	127	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → (𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤))) = (𝑤 − (𝑥 − 𝑤)))
129	127	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → (𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))) = (𝑤 + (𝑥 − 𝑤)))
130	128, 129	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) = ((𝑤 − (𝑥 − 𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥 − 𝑤))))
131	123, 130	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥 − 𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥 − 𝑤))))
132		elioore 13109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥 − 𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥 − 𝑤))) → 𝑦 ∈ ℝ)
133	132	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥 − 𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥 − 𝑤)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
134		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
135	69	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑤) ∈ ℝ)
136	134, 135	resubcld 11403	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 − (𝑥 − 𝑤)) ∈ ℝ)
137	136	rexrd 11025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 − (𝑥 − 𝑤)) ∈ ℝ^*)
138	137	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥 − 𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥 − 𝑤)))) → (𝑤 − (𝑥 − 𝑤)) ∈ ℝ^*)
139	134, 135	readdcld 11004	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 + (𝑥 − 𝑤)) ∈ ℝ)
140	139	rexrd 11025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 + (𝑥 − 𝑤)) ∈ ℝ^*)
141	140	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥 − 𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥 − 𝑤)))) → (𝑤 + (𝑥 − 𝑤)) ∈ ℝ^*)
142		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥 − 𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥 − 𝑤)))) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥 − 𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥 − 𝑤))))
143		iooltub 43048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 − (𝑥 − 𝑤)) ∈ ℝ^* ∧ (𝑤 + (𝑥 − 𝑤)) ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥 − 𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥 − 𝑤)))) → 𝑦 < (𝑤 + (𝑥 − 𝑤)))
144	138, 141, 142, 143	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥 − 𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥 − 𝑤)))) → 𝑦 < (𝑤 + (𝑥 − 𝑤)))
145	134	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℂ)
146	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
147	145, 146	pncan3d 11335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 + (𝑥 − 𝑤)) = 𝑥)
148	147	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥 − 𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥 − 𝑤)))) → (𝑤 + (𝑥 − 𝑤)) = 𝑥)
149	144, 148	breqtrd 5100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥 − 𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥 − 𝑤)))) → 𝑦 < 𝑥)
150	133, 149	gtned 11110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥 − 𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥 − 𝑤)))) → 𝑥 ≠ 𝑦)
151	121, 122, 131, 150	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
152		simpl1 1190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ)
153		simpl2 1191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → 𝑥 ∈ ℝ)
154		simpl3 1192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))))
155	135	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → (𝑥 − 𝑤) ∈ ℝ)
156		0red 10978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → 0 ∈ ℝ)
157		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → ¬ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤))
158	155, 156	ltnled 11122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → ((𝑥 − 𝑤) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)))
159	157, 158	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → (𝑥 − 𝑤) < 0)
160	155, 156, 159	ltled 11123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → (𝑥 − 𝑤) ≤ 0)
161	155, 160	absnidd 15125	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → (abs‘(𝑥 − 𝑤)) = -(𝑥 − 𝑤))
162	146	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → 𝑥 ∈ ℂ)
163	145	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℂ)
164	162, 163	negsubdi2d 11348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → -(𝑥 − 𝑤) = (𝑤 − 𝑥))
165	161, 164	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → (abs‘(𝑥 − 𝑤)) = (𝑤 − 𝑥))
166	165	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → (𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤))) = (𝑤 − (𝑤 − 𝑥)))
167	165	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → (𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))) = (𝑤 + (𝑤 − 𝑥)))
168	166, 167	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) = ((𝑤 − (𝑤 − 𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤 − 𝑥))))
169	168	3adantl3 1167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) = ((𝑤 − (𝑤 − 𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤 − 𝑥))))
170	154, 169	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤 − 𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤 − 𝑥))))
171		simp2 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤 − 𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤 − 𝑥)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
172	171	rexrd 11025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤 − 𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤 − 𝑥)))) → 𝑥 ∈ ℝ^*)
173		resubcl 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 − 𝑥) ∈ ℝ)
174	134, 173	readdcld 11004	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 + (𝑤 − 𝑥)) ∈ ℝ)
175	174	rexrd 11025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 + (𝑤 − 𝑥)) ∈ ℝ^*)
176	175	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤 − 𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤 − 𝑥)))) → (𝑤 + (𝑤 − 𝑥)) ∈ ℝ^*)
177		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤 − 𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤 − 𝑥)))) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤 − 𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤 − 𝑥))))
178	145, 146	nncand 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 − (𝑤 − 𝑥)) = 𝑥)
179	178	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑤 − (𝑤 − 𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤 − 𝑥))) = (𝑥(,)(𝑤 + (𝑤 − 𝑥))))
180	179	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤 − 𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤 − 𝑥)))) → ((𝑤 − (𝑤 − 𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤 − 𝑥))) = (𝑥(,)(𝑤 + (𝑤 − 𝑥))))
181	177, 180	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤 − 𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤 − 𝑥)))) → 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑤 + (𝑤 − 𝑥))))
182		ioogtlb 43033	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑤 + (𝑤 − 𝑥)) ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑤 + (𝑤 − 𝑥)))) → 𝑥 < 𝑦)
183	172, 176, 181, 182	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤 − 𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤 − 𝑥)))) → 𝑥 < 𝑦)
184	171, 183	ltned 11111	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤 − 𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤 − 𝑥)))) → 𝑥 ≠ 𝑦)
185	152, 153, 170, 184	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥 − 𝑤)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
186	151, 185	pm2.61dan 810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) → 𝑥 ≠ 𝑦)
187	117, 118, 120, 186	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥 ≠ 𝑦)
188	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥 ∈ ℝ)
189		elioore 13109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
190	119, 189	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑦 ∈ ℝ)
191	190	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑦 ∈ ℝ)
192	188, 191	resubcld 11403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
193	192	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
194	193	adantll 711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
195	194	abscld 15148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ)
196	195	adantllr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ)
197	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑥 − 𝑤)) ∈ ℝ)
198	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑤 ∈ ℝ)
199	190	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑦 ∈ ℝ)
200	198, 199	resubcld 11403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑤 − 𝑦) ∈ ℝ)
201	200	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑤 − 𝑦) ∈ ℂ)
202	201	abscld 15148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑤 − 𝑦)) ∈ ℝ)
203	202	adantlr 712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑤 − 𝑦)) ∈ ℝ)
204	197, 203	readdcld 11004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) + (abs‘(𝑤 − 𝑦))) ∈ ℝ)
205	19	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝐸 ∈ ℝ)
206	118	recnd 11003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥 ∈ ℂ)
207	190	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑦 ∈ ℂ)
208	207	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑦 ∈ ℂ)
209	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑤 ∈ ℂ)
210	206, 208, 209	abs3difd 15172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) + (abs‘(𝑤 − 𝑦))))
211	21	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
212		simpll 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝜑)
213	61	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
214	62, 146	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
215	62, 145	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → 𝑤 ∈ ℂ)
216	214, 215	abssubd 15165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑤)) = (abs‘(𝑤 − 𝑥)))
217	216	3adant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑤)) = (abs‘(𝑤 − 𝑥)))
218		simp2 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → 𝑤 ∈ ℝ)
219	19	rehalfcld 12220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
220	219	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
221		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
222	218, 220, 221	iooabslt 43037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (abs‘(𝑤 − 𝑥)) < (𝐸 / 2))
223	217, 222	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑤)) < (𝐸 / 2))
224	212, 65, 213, 223	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (abs‘(𝑥 − 𝑤)) < (𝐸 / 2))
225	224	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑥 − 𝑤)) < (𝐸 / 2))
226	212, 65, 213	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))))
227		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) → 𝑤 ∈ ℝ)
228	189	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) → 𝑦 ∈ ℝ)
229	227, 228	resubcld 11403	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) → (𝑤 − 𝑦) ∈ ℝ)
230	229	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) → (𝑤 − 𝑦) ∈ ℂ)
231	230	abscld 15148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) → (abs‘(𝑤 − 𝑦)) ∈ ℝ)
232	231	3ad2antl2 1185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) → (abs‘(𝑤 − 𝑦)) ∈ ℝ)
233	220	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
234	214, 215	subcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (𝑥 − 𝑤) ∈ ℂ)
235	234	abscld 15148	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑤)) ∈ ℝ)
236	235	3adant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑤)) ∈ ℝ)
237	236	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) → (abs‘(𝑥 − 𝑤)) ∈ ℝ)
238		simpl2 1191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) → 𝑤 ∈ ℝ)
239		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))))
240	238, 237, 239	iooabslt 43037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) → (abs‘(𝑤 − 𝑦)) < (abs‘(𝑥 − 𝑤)))
241	223	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) → (abs‘(𝑥 − 𝑤)) < (𝐸 / 2))
242	232, 237, 233, 240, 241	lttrd 11136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) → (abs‘(𝑤 − 𝑦)) < (𝐸 / 2))
243	232, 233, 242	ltled 11123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤))))) → (abs‘(𝑤 − 𝑦)) ≤ (𝐸 / 2))
244	226, 119, 243	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑤 − 𝑦)) ≤ (𝐸 / 2))
245	197, 203, 211, 211, 225, 244	ltleaddd 11596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) + (abs‘(𝑤 − 𝑦))) < ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)))
246	19	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
247	246	2halvesd 12219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
248	247	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
249	245, 248	breqtrd 5100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) + (abs‘(𝑤 − 𝑦))) < 𝐸)
250	196, 204, 205, 210, 249	lelttrd 11133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < 𝐸)
251	116, 187, 250	jca32 516	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < 𝐸)))
252	251	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < 𝐸))))
253	252	eximdv 1920	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (∃𝑦 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥 − 𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥 − 𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < 𝐸))))
254	113, 253	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < 𝐸)))
255		df-rex 3070	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < 𝐸) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < 𝐸)))
256	254, 255	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < 𝐸))
257	256	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < 𝐸)))
258	257	reximdv 3202	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < 𝐸)))
259	59, 258	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < 𝐸))
260	3, 259	exlimddv 1938	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < 𝐸))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 396 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∃wex 1782 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∀wral 3064 ∃wrex 3065 ∖ cdif 3884 ∩ cin 3886 ⊆ wss 3887 ∅c0 4256 {csn 4561 ∪ cuni 4839 class class class wbr 5074 ran crn 5590 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 ℂcc 10869 ℝcr 10870 0cc0 10871 + caddc 10874 ℝ^*cxr 11008 < clt 11009 ≤ cle 11010 − cmin 11205 -cneg 11206 / cdiv 11632 2c2 12028 ℝ⁺crp 12730 (,)cioo 13079 abscabs 14945 topGenctg 17148 Topctop 22042 limPtclp 22285

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-rep 5209 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948 ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-op 4568 df-uni 4840 df-int 4880 df-iun 4926 df-iin 4927 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-er 8498 df-map 8617 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-sup 9201 df-inf 9202 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-n0 12234 df-z 12320 df-uz 12583 df-q 12689 df-rp 12731 df-xadd 12849 df-ioo 13083 df-seq 13722 df-exp 13783 df-cj 14810 df-re 14811 df-im 14812 df-sqrt 14946 df-abs 14947 df-topgen 17154 df-psmet 20589 df-xmet 20590 df-met 20591 df-bl 20592 df-top 22043 df-topon 22060 df-bases 22096 df-cld 22170 df-ntr 22171 df-cls 22172 df-nei 22249 df-lp 22287

This theorem is referenced by: fourierdlem42 43690

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