Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lptre2pt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lptre2pt 40385
Description: If a set in the real line has a limit point than it contains two distinct points that are closer than a given distance. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lptre2pt.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
lptre2pt.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
lptre2pt.x (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ≠ ∅)
lptre2pt.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
lptre2pt (𝜑 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem lptre2pt
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lptre2pt.x . . 3 (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ≠ ∅)
2 n0 4079 . . 3 (((limPt‘𝐽)‘𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴))
31, 2sylib 208 . 2 (𝜑 → ∃𝑤 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴))
4 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴))
5 lptre2pt.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (topGen‘ran (,))
6 lptre2pt.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
76adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
8 retop 22785 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
95, 8eqeltri 2846 . . . . . . . . . . 11 𝐽 ∈ Top
10 uniretop 22786 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ = (topGen‘ran (,))
115unieqi 4584 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 = (topGen‘ran (,))
1210, 11eqtr4i 2796 . . . . . . . . . . . 12 ℝ = 𝐽
1312lpss 21167 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ⊆ ℝ)
149, 7, 13sylancr 575 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ⊆ ℝ)
1514, 4sseldd 3753 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → 𝑤 ∈ ℝ)
165, 7, 15islptre 40364 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
174, 16mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅))
18 lptre2pt.e . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1918rpred 12075 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
2019adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → 𝐸 ∈ ℝ)
2120rehalfcld 11486 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
2215, 21resubcld 10664 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑤 − (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
2322rexrd 10295 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑤 − (𝐸 / 2)) ∈ ℝ*)
2415, 21readdcld 10275 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑤 + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
2524rexrd 10295 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑤 + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ*)
2618rphalfcld 12087 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
2726adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
2815, 27ltsubrpd 12107 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑤 − (𝐸 / 2)) < 𝑤)
2915, 27ltaddrpd 12108 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → 𝑤 < (𝑤 + (𝐸 / 2)))
3023, 25, 15, 28, 29eliood 40236 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → 𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
31 oveq1 6803 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑤 − (𝐸 / 2)) → (𝑎(,)𝑏) = ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏))
3231eleq2d 2836 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑤 − (𝐸 / 2)) → (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏)))
3331ineq1d 3964 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑤 − (𝐸 / 2)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) = (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
3433neeq1d 3002 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑤 − (𝐸 / 2)) → (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅ ↔ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅))
3532, 34imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑤 − (𝐸 / 2)) → ((𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) ↔ (𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
36 oveq2 6804 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑤 + (𝐸 / 2)) → ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) = ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
3736eleq2d 2836 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝑤 + (𝐸 / 2)) → (𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))))
3836ineq1d 3964 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑤 + (𝐸 / 2)) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) = (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
3938neeq1d 3002 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝑤 + (𝐸 / 2)) → ((((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅ ↔ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅))
4037, 39imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝑤 + (𝐸 / 2)) → ((𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) ↔ (𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
4135, 40rspc2v 3472 . . . . . . . 8 (((𝑤 − (𝐸 / 2)) ∈ ℝ* ∧ (𝑤 + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ*) → (∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) → (𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
4223, 25, 41syl2anc 573 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) → (𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
4317, 30, 42mp2d 49 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)
44 n0 4079 . . . . . 6 ((((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
4543, 44sylib 208 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
46 elinel2 3951 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑤}))
4746eldifad 3735 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑥𝐴)
4847adantl 467 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥𝐴)
49 elinel1 3950 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
5049adantl 467 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
5146eldifbd 3736 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑤})
5251adantl 467 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑤})
5350, 52eldifd 3734 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}))
5448, 53jca 501 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})))
5554ex 397 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}))))
5655eximdv 1998 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}))))
5745, 56mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})))
58 df-rex 3067 . . . 4 (∃𝑥𝐴 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})))
5957, 58sylibr 224 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → ∃𝑥𝐴 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}))
6017adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅))
61 eldifi 3883 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) → 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
62 elioore 12410 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) → 𝑥 ∈ ℝ)
6463adantl 467 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑥 ∈ ℝ)
6515adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑤 ∈ ℝ)
66 eldifsni 4458 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) → 𝑥𝑤)
6766adantl 467 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑥𝑤)
68 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
69 resubcl 10551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥𝑤) ∈ ℝ)
7069recnd 10274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥𝑤) ∈ ℂ)
7170abscld 14383 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑥𝑤)) ∈ ℝ)
7268, 71resubcld 10664 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ)
7372rexrd 10295 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ*)
74733adant3 1126 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ*)
7568, 71readdcld 10275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ)
7675rexrd 10295 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ*)
77763adant3 1126 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ*)
78 simp2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ)
79703adant3 1126 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → (𝑥𝑤) ∈ ℂ)
80 recn 10232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
81803ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → 𝑥 ∈ ℂ)
8278recnd 10274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → 𝑤 ∈ ℂ)
83 simp3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → 𝑥𝑤)
8481, 82, 83subne0d 10607 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → (𝑥𝑤) ≠ 0)
8579, 84absrpcld 14395 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → (abs‘(𝑥𝑤)) ∈ ℝ+)
8678, 85ltsubrpd 12107 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) < 𝑤)
8778, 85ltaddrpd 12108 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → 𝑤 < (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))
8874, 77, 78, 86, 87eliood 40236 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → 𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))))
8964, 65, 67, 88syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))))
9063recnd 10274 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) → 𝑥 ∈ ℂ)
9190adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑥 ∈ ℂ)
9265recnd 10274 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑤 ∈ ℂ)
9391, 92subcld 10598 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝑥𝑤) ∈ ℂ)
9493abscld 14383 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (abs‘(𝑥𝑤)) ∈ ℝ)
9565, 94resubcld 10664 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ)
9695rexrd 10295 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ*)
9765, 94readdcld 10275 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ)
9897rexrd 10295 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ*)
99 oveq1 6803 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) → (𝑎(,)𝑏) = ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏))
10099eleq2d 2836 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) → (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏)))
10199ineq1d 3964 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) = (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
102101neeq1d 3002 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) → (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅ ↔ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅))
103100, 102imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) → ((𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) ↔ (𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
104 oveq2 6804 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) → ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) = ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))))
105104eleq2d 2836 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) → (𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))))
106104ineq1d 3964 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) = (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
107106neeq1d 3002 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) → ((((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅ ↔ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅))
108105, 107imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) → ((𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) ↔ (𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
109103, 108rspc2v 3472 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ* ∧ (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ*) → (∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) → (𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
11096, 98, 109syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) → (𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
11160, 89, 110mp2d 49 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)
112 n0 4079 . . . . . . . 8 ((((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
113111, 112sylib 208 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
114 elinel2 3951 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑤}))
115114eldifad 3735 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑦𝐴)
116115adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑦𝐴)
11765adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑤 ∈ ℝ)
11864adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥 ∈ ℝ)
119 elinel1 3950 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))))
120119adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))))
121 simpl1 1227 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ)
122 simpl2 1229 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑥 ∈ ℝ)
123 simpl3 1231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))))
124 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 0 ≤ (𝑥𝑤))
125122, 121subge0d 10823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (0 ≤ (𝑥𝑤) ↔ 𝑤𝑥))
126124, 125mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑤𝑥)
127121, 122, 126abssubge0d 14378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (abs‘(𝑥𝑤)) = (𝑥𝑤))
128127oveq2d 6812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) = (𝑤 − (𝑥𝑤)))
129127oveq2d 6812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) = (𝑤 + (𝑥𝑤)))
130128, 129oveq12d 6814 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) = ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤))))
131123, 130eleqtrd 2852 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤))))
132 elioore 12410 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤))) → 𝑦 ∈ ℝ)
1331323ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
134 simpl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
13569ancoms 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥𝑤) ∈ ℝ)
136134, 135resubcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 − (𝑥𝑤)) ∈ ℝ)
137136rexrd 10295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 − (𝑥𝑤)) ∈ ℝ*)
1381373adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → (𝑤 − (𝑥𝑤)) ∈ ℝ*)
139134, 135readdcld 10275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 + (𝑥𝑤)) ∈ ℝ)
140139rexrd 10295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 + (𝑥𝑤)) ∈ ℝ*)
1411403adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → (𝑤 + (𝑥𝑤)) ∈ ℝ*)
142 simp3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤))))
143 iooltub 40250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 − (𝑥𝑤)) ∈ ℝ* ∧ (𝑤 + (𝑥𝑤)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → 𝑦 < (𝑤 + (𝑥𝑤)))
144138, 141, 142, 143syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → 𝑦 < (𝑤 + (𝑥𝑤)))
145134recnd 10274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℂ)
14680adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
147145, 146pncan3d 10601 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 + (𝑥𝑤)) = 𝑥)
1481473adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → (𝑤 + (𝑥𝑤)) = 𝑥)
149144, 148breqtrd 4813 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → 𝑦 < 𝑥)
150133, 149gtned 10378 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → 𝑥𝑦)
151121, 122, 131, 150syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑥𝑦)
152 simpl1 1227 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ)
153 simpl2 1229 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑥 ∈ ℝ)
154 simpl3 1231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))))
155135adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (𝑥𝑤) ∈ ℝ)
156 0red 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 0 ∈ ℝ)
157 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤))
158155, 156ltnled 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → ((𝑥𝑤) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)))
159157, 158mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (𝑥𝑤) < 0)
160155, 156, 159ltled 10391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (𝑥𝑤) ≤ 0)
161155, 160absnidd 14360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (abs‘(𝑥𝑤)) = -(𝑥𝑤))
162146adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑥 ∈ ℂ)
163145adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑤 ∈ ℂ)
164162, 163negsubdi2d 10614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → -(𝑥𝑤) = (𝑤𝑥))
165161, 164eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (abs‘(𝑥𝑤)) = (𝑤𝑥))
166165oveq2d 6812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) = (𝑤 − (𝑤𝑥)))
167165oveq2d 6812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) = (𝑤 + (𝑤𝑥)))
168166, 167oveq12d 6814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) = ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))))
1691683adantl3 1173 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) = ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))))
170154, 169eleqtrd 2852 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))))
171 simp2 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
172171rexrd 10295 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
173 resubcl 10551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤𝑥) ∈ ℝ)
174134, 173readdcld 10275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 + (𝑤𝑥)) ∈ ℝ)
175174rexrd 10295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 + (𝑤𝑥)) ∈ ℝ*)
1761753adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → (𝑤 + (𝑤𝑥)) ∈ ℝ*)
177 simp3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))))
178145, 146nncand 10603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 − (𝑤𝑥)) = 𝑥)
179178oveq1d 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))) = (𝑥(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))))
1801793adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))) = (𝑥(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))))
181177, 180eleqtrd 2852 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))))
182 ioogtlb 40233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑤 + (𝑤𝑥)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → 𝑥 < 𝑦)
183172, 176, 181, 182syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → 𝑥 < 𝑦)
184171, 183ltned 10379 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → 𝑥𝑦)
185152, 153, 170, 184syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑥𝑦)
186151, 185pm2.61dan 814 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → 𝑥𝑦)
187117, 118, 120, 186syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥𝑦)
18863adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥 ∈ ℝ)
189 elioore 12410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
190119, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑦 ∈ ℝ)
191190adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑦 ∈ ℝ)
192188, 191resubcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
193192recnd 10274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
194193adantll 693 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
195194abscld 14383 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑥𝑦)) ∈ ℝ)
196195adantllr 698 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑥𝑦)) ∈ ℝ)
19794adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑥𝑤)) ∈ ℝ)
19815adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑤 ∈ ℝ)
199190adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑦 ∈ ℝ)
200198, 199resubcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑤𝑦) ∈ ℝ)
201200recnd 10274 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑤𝑦) ∈ ℂ)
202201abscld 14383 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑤𝑦)) ∈ ℝ)
203202adantlr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑤𝑦)) ∈ ℝ)
204197, 203readdcld 10275 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → ((abs‘(𝑥𝑤)) + (abs‘(𝑤𝑦))) ∈ ℝ)
20519ad3antrrr 709 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝐸 ∈ ℝ)
206118recnd 10274 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥 ∈ ℂ)
207190recnd 10274 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑦 ∈ ℂ)
208207adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑦 ∈ ℂ)
20992adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑤 ∈ ℂ)
210206, 208, 209abs3difd 14407 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑥𝑦)) ≤ ((abs‘(𝑥𝑤)) + (abs‘(𝑤𝑦))))
21121ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
212 simpll 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝜑)
21361adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
21462, 146sylan2 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
21562, 145sylan2 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → 𝑤 ∈ ℂ)
216214, 215abssubd 14400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (abs‘(𝑥𝑤)) = (abs‘(𝑤𝑥)))
2172163adant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (abs‘(𝑥𝑤)) = (abs‘(𝑤𝑥)))
218 simp2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → 𝑤 ∈ ℝ)
21919rehalfcld 11486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
2202193ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
221 simp3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
222218, 220, 221iooabslt 40237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (abs‘(𝑤𝑥)) < (𝐸 / 2))
223217, 222eqbrtrd 4809 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (abs‘(𝑥𝑤)) < (𝐸 / 2))
224212, 65, 213, 223syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (abs‘(𝑥𝑤)) < (𝐸 / 2))
225224adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑥𝑤)) < (𝐸 / 2))
226212, 65, 2133jca 1122 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))))
227 simpl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → 𝑤 ∈ ℝ)
228189adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → 𝑦 ∈ ℝ)
229227, 228resubcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (𝑤𝑦) ∈ ℝ)
230229recnd 10274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (𝑤𝑦) ∈ ℂ)
231230abscld 14383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (abs‘(𝑤𝑦)) ∈ ℝ)
2322313ad2antl2 1201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (abs‘(𝑤𝑦)) ∈ ℝ)
233220adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
234214, 215subcld 10598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (𝑥𝑤) ∈ ℂ)
235234abscld 14383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (abs‘(𝑥𝑤)) ∈ ℝ)
2362353adant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (abs‘(𝑥𝑤)) ∈ ℝ)
237236adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (abs‘(𝑥𝑤)) ∈ ℝ)
238 simpl2 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → 𝑤 ∈ ℝ)
239 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))))
240238, 237, 239iooabslt 40237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (abs‘(𝑤𝑦)) < (abs‘(𝑥𝑤)))
241223adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (abs‘(𝑥𝑤)) < (𝐸 / 2))
242232, 237, 233, 240, 241lttrd 10404 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (abs‘(𝑤𝑦)) < (𝐸 / 2))
243232, 233, 242ltled 10391 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (abs‘(𝑤𝑦)) ≤ (𝐸 / 2))
244226, 119, 243syl2an 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑤𝑦)) ≤ (𝐸 / 2))
245197, 203, 211, 211, 225, 244ltleaddd 10854 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → ((abs‘(𝑥𝑤)) + (abs‘(𝑤𝑦))) < ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)))
24619recnd 10274 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
2472462halvesd 11485 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
248247ad3antrrr 709 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
249245, 248breqtrd 4813 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → ((abs‘(𝑥𝑤)) + (abs‘(𝑤𝑦))) < 𝐸)
250196, 204, 205, 210, 249lelttrd 10401 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸)
251116, 187, 250jca32 505 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑦𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸)))
252251ex 397 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → (𝑦𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸))))
253252eximdv 1998 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (∃𝑦 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → ∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸))))
254113, 253mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → ∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸)))
255 df-rex 3067 . . . . . 6 (∃𝑦𝐴 (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸) ↔ ∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸)))
256254, 255sylibr 224 . . . . 5 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → ∃𝑦𝐴 (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸))
257256ex 397 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) → ∃𝑦𝐴 (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸)))
258257reximdv 3164 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (∃𝑥𝐴 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸)))
25959, 258mpd 15 . 2 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸))
2603, 259exlimddv 2015 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  cdif 3720  cin 3722  wss 3723  c0 4063  {csn 4317   cuni 4575   class class class wbr 4787  ran crn 5251  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  cr 10141  0cc0 10142   + caddc 10145  *cxr 10279   < clt 10280  cle 10281  cmin 10472  -cneg 10473   / cdiv 10890  2c2 11276  +crp 12035  (,)cioo 12380  abscabs 14182  topGenctg 16306  Topctop 20918  limPtclp 21159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xadd 12152  df-ioo 12384  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161
This theorem is referenced by:  fourierdlem42  40878
  Copyright terms: Public domain W3C validator