Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lptre2pt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lptre2pt 41482
Description: If a set in the real line has a limit point than it contains two distinct points that are closer than a given distance. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lptre2pt.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
lptre2pt.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
lptre2pt.x (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ≠ ∅)
lptre2pt.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
lptre2pt (𝜑 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem lptre2pt
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lptre2pt.x . . 3 (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ≠ ∅)
2 n0 4230 . . 3 (((limPt‘𝐽)‘𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴))
31, 2sylib 219 . 2 (𝜑 → ∃𝑤 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴))
4 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → 𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴))
5 lptre2pt.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (topGen‘ran (,))
6 lptre2pt.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
76adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
8 retop 23053 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
95, 8eqeltri 2879 . . . . . . . . . . 11 𝐽 ∈ Top
10 uniretop 23054 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ = (topGen‘ran (,))
115unieqi 4754 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 = (topGen‘ran (,))
1210, 11eqtr4i 2822 . . . . . . . . . . . 12 ℝ = 𝐽
1312lpss 21434 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ⊆ ℝ)
149, 7, 13sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ⊆ ℝ)
1514, 4sseldd 3890 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → 𝑤 ∈ ℝ)
165, 7, 15islptre 41461 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
174, 16mpbid 233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅))
18 lptre2pt.e . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1918rpred 12281 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
2019adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → 𝐸 ∈ ℝ)
2120rehalfcld 11732 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
2215, 21resubcld 10916 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑤 − (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
2322rexrd 10537 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑤 − (𝐸 / 2)) ∈ ℝ*)
2415, 21readdcld 10516 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑤 + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
2524rexrd 10537 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑤 + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ*)
2618rphalfcld 12293 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
2726adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
2815, 27ltsubrpd 12313 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑤 − (𝐸 / 2)) < 𝑤)
2915, 27ltaddrpd 12314 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → 𝑤 < (𝑤 + (𝐸 / 2)))
3023, 25, 15, 28, 29eliood 41334 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → 𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
31 oveq1 7023 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑤 − (𝐸 / 2)) → (𝑎(,)𝑏) = ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏))
3231eleq2d 2868 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑤 − (𝐸 / 2)) → (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏)))
3331ineq1d 4108 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑤 − (𝐸 / 2)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) = (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
3433neeq1d 3043 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑤 − (𝐸 / 2)) → (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅ ↔ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅))
3532, 34imbi12d 346 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑤 − (𝐸 / 2)) → ((𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) ↔ (𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
36 oveq2 7024 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑤 + (𝐸 / 2)) → ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) = ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
3736eleq2d 2868 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝑤 + (𝐸 / 2)) → (𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))))
3836ineq1d 4108 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑤 + (𝐸 / 2)) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) = (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
3938neeq1d 3043 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝑤 + (𝐸 / 2)) → ((((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅ ↔ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅))
4037, 39imbi12d 346 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝑤 + (𝐸 / 2)) → ((𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) ↔ (𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
4135, 40rspc2v 3572 . . . . . . . 8 (((𝑤 − (𝐸 / 2)) ∈ ℝ* ∧ (𝑤 + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ*) → (∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) → (𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
4223, 25, 41syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) → (𝑤 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
4317, 30, 42mp2d 49 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)
44 n0 4230 . . . . . 6 ((((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
4543, 44sylib 219 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
46 elinel2 4094 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑤}))
4746eldifad 3871 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑥𝐴)
4847adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥𝐴)
49 elinel1 4093 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
5049adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
5146eldifbd 3872 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑤})
5251adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑤})
5350, 52eldifd 3870 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}))
5448, 53jca 512 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})))
5554ex 413 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}))))
5655eximdv 1895 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}))))
5745, 56mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})))
58 df-rex 3111 . . . 4 (∃𝑥𝐴 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})))
5957, 58sylibr 235 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → ∃𝑥𝐴 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}))
6017adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅))
61 eldifi 4024 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) → 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
62 elioore 12618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) → 𝑥 ∈ ℝ)
6463adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑥 ∈ ℝ)
6515adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑤 ∈ ℝ)
66 eldifsni 4629 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) → 𝑥𝑤)
6766adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑥𝑤)
68 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
69 resubcl 10798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥𝑤) ∈ ℝ)
7069recnd 10515 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑥𝑤) ∈ ℂ)
7170abscld 14630 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑥𝑤)) ∈ ℝ)
7268, 71resubcld 10916 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ)
7372rexrd 10537 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ*)
74733adant3 1125 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ*)
7568, 71readdcld 10516 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ)
7675rexrd 10537 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ*)
77763adant3 1125 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ*)
78 simp2 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ)
79703adant3 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → (𝑥𝑤) ∈ ℂ)
80 recn 10473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
81803ad2ant1 1126 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → 𝑥 ∈ ℂ)
8278recnd 10515 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → 𝑤 ∈ ℂ)
83 simp3 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → 𝑥𝑤)
8481, 82, 83subne0d 10854 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → (𝑥𝑤) ≠ 0)
8579, 84absrpcld 14642 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → (abs‘(𝑥𝑤)) ∈ ℝ+)
8678, 85ltsubrpd 12313 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) < 𝑤)
8778, 85ltaddrpd 12314 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → 𝑤 < (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))
8874, 77, 78, 86, 87eliood 41334 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑤) → 𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))))
8964, 65, 67, 88syl3anc 1364 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))))
9063recnd 10515 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) → 𝑥 ∈ ℂ)
9190adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑥 ∈ ℂ)
9265recnd 10515 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑤 ∈ ℂ)
9391, 92subcld 10845 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝑥𝑤) ∈ ℂ)
9493abscld 14630 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (abs‘(𝑥𝑤)) ∈ ℝ)
9565, 94resubcld 10916 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ)
9695rexrd 10537 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ*)
9765, 94readdcld 10516 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ)
9897rexrd 10537 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ*)
99 oveq1 7023 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) → (𝑎(,)𝑏) = ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏))
10099eleq2d 2868 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) → (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏)))
10199ineq1d 4108 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) = (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
102101neeq1d 3043 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) → (((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅ ↔ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅))
103100, 102imbi12d 346 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) → ((𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) ↔ (𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
104 oveq2 7024 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) → ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) = ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))))
105104eleq2d 2868 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) → (𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))))
106104ineq1d 4108 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) = (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
107106neeq1d 3043 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) → ((((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅ ↔ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅))
108105, 107imbi12d 346 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) → ((𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) ↔ (𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
109103, 108rspc2v 3572 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ* ∧ (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) ∈ ℝ*) → (∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) → (𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
11096, 98, 109syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝑤 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅) → (𝑤 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)))
11160, 89, 110mp2d 49 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅)
112 n0 4230 . . . . . . . 8 ((((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
113111, 112sylib 219 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})))
114 elinel2 4094 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝑤}))
115114eldifad 3871 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑦𝐴)
116115adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑦𝐴)
11765adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑤 ∈ ℝ)
11864adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥 ∈ ℝ)
119 elinel1 4093 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))))
120119adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))))
121 simpl1 1184 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ)
122 simpl2 1185 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑥 ∈ ℝ)
123 simpl3 1186 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))))
124 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 0 ≤ (𝑥𝑤))
125122, 121subge0d 11078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (0 ≤ (𝑥𝑤) ↔ 𝑤𝑥))
126124, 125mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑤𝑥)
127121, 122, 126abssubge0d 14625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (abs‘(𝑥𝑤)) = (𝑥𝑤))
128127oveq2d 7032 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) = (𝑤 − (𝑥𝑤)))
129127oveq2d 7032 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) = (𝑤 + (𝑥𝑤)))
130128, 129oveq12d 7034 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) = ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤))))
131123, 130eleqtrd 2885 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤))))
132 elioore 12618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤))) → 𝑦 ∈ ℝ)
1331323ad2ant3 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
134 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
13569ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥𝑤) ∈ ℝ)
136134, 135resubcld 10916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 − (𝑥𝑤)) ∈ ℝ)
137136rexrd 10537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 − (𝑥𝑤)) ∈ ℝ*)
1381373adant3 1125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → (𝑤 − (𝑥𝑤)) ∈ ℝ*)
139134, 135readdcld 10516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 + (𝑥𝑤)) ∈ ℝ)
140139rexrd 10537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 + (𝑥𝑤)) ∈ ℝ*)
1411403adant3 1125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → (𝑤 + (𝑥𝑤)) ∈ ℝ*)
142 simp3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤))))
143 iooltub 41347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 − (𝑥𝑤)) ∈ ℝ* ∧ (𝑤 + (𝑥𝑤)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → 𝑦 < (𝑤 + (𝑥𝑤)))
144138, 141, 142, 143syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → 𝑦 < (𝑤 + (𝑥𝑤)))
145134recnd 10515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℂ)
14680adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
147145, 146pncan3d 10848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 + (𝑥𝑤)) = 𝑥)
1481473adant3 1125 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → (𝑤 + (𝑥𝑤)) = 𝑥)
149144, 148breqtrd 4988 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → 𝑦 < 𝑥)
150133, 149gtned 10622 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑥𝑤))(,)(𝑤 + (𝑥𝑤)))) → 𝑥𝑦)
151121, 122, 131, 150syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑥𝑦)
152 simpl1 1184 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ)
153 simpl2 1185 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑥 ∈ ℝ)
154 simpl3 1186 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))))
155135adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (𝑥𝑤) ∈ ℝ)
156 0red 10490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 0 ∈ ℝ)
157 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤))
158155, 156ltnled 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → ((𝑥𝑤) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)))
159157, 158mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (𝑥𝑤) < 0)
160155, 156, 159ltled 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (𝑥𝑤) ≤ 0)
161155, 160absnidd 14607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (abs‘(𝑥𝑤)) = -(𝑥𝑤))
162146adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑥 ∈ ℂ)
163145adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑤 ∈ ℂ)
164162, 163negsubdi2d 10861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → -(𝑥𝑤) = (𝑤𝑥))
165161, 164eqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (abs‘(𝑥𝑤)) = (𝑤𝑥))
166165oveq2d 7032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤))) = (𝑤 − (𝑤𝑥)))
167165oveq2d 7032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → (𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))) = (𝑤 + (𝑤𝑥)))
168166, 167oveq12d 7034 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) = ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))))
1691683adantl3 1161 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) = ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))))
170154, 169eleqtrd 2885 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))))
171 simp2 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
172171rexrd 10537 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
173 resubcl 10798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤𝑥) ∈ ℝ)
174134, 173readdcld 10516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 + (𝑤𝑥)) ∈ ℝ)
175174rexrd 10537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 + (𝑤𝑥)) ∈ ℝ*)
1761753adant3 1125 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → (𝑤 + (𝑤𝑥)) ∈ ℝ*)
177 simp3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))))
178145, 146nncand 10850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑤 − (𝑤𝑥)) = 𝑥)
179178oveq1d 7031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))) = (𝑥(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))))
1801793adant3 1125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))) = (𝑥(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))))
181177, 180eleqtrd 2885 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → 𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑤 + (𝑤𝑥))))
182 ioogtlb 41331 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑤 + (𝑤𝑥)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ (𝑥(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → 𝑥 < 𝑦)
183172, 176, 181, 182syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → 𝑥 < 𝑦)
184171, 183ltned 10623 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (𝑤𝑥))(,)(𝑤 + (𝑤𝑥)))) → 𝑥𝑦)
185152, 153, 170, 184syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑥𝑤)) → 𝑥𝑦)
186151, 185pm2.61dan 809 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → 𝑥𝑦)
187117, 118, 120, 186syl3anc 1364 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥𝑦)
18863adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥 ∈ ℝ)
189 elioore 12618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
190119, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑦 ∈ ℝ)
191190adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑦 ∈ ℝ)
192188, 191resubcld 10916 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
193192recnd 10515 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
194193adantll 710 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
195194abscld 14630 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑥𝑦)) ∈ ℝ)
196195adantllr 715 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑥𝑦)) ∈ ℝ)
19794adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑥𝑤)) ∈ ℝ)
19815adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑤 ∈ ℝ)
199190adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑦 ∈ ℝ)
200198, 199resubcld 10916 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑤𝑦) ∈ ℝ)
201200recnd 10515 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑤𝑦) ∈ ℂ)
202201abscld 14630 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑤𝑦)) ∈ ℝ)
203202adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑤𝑦)) ∈ ℝ)
204197, 203readdcld 10516 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → ((abs‘(𝑥𝑤)) + (abs‘(𝑤𝑦))) ∈ ℝ)
20519ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝐸 ∈ ℝ)
206118recnd 10515 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑥 ∈ ℂ)
207190recnd 10515 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → 𝑦 ∈ ℂ)
208207adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑦 ∈ ℂ)
20992adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → 𝑤 ∈ ℂ)
210206, 208, 209abs3difd 14654 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑥𝑦)) ≤ ((abs‘(𝑥𝑤)) + (abs‘(𝑤𝑦))))
21121ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
212 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝜑)
21361adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
21462, 146sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
21562, 145sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → 𝑤 ∈ ℂ)
216214, 215abssubd 14647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (abs‘(𝑥𝑤)) = (abs‘(𝑤𝑥)))
2172163adant1 1123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (abs‘(𝑥𝑤)) = (abs‘(𝑤𝑥)))
218 simp2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → 𝑤 ∈ ℝ)
21919rehalfcld 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
2202193ad2ant1 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
221 simp3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))))
222218, 220, 221iooabslt 41335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (abs‘(𝑤𝑥)) < (𝐸 / 2))
223217, 222eqbrtrd 4984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (abs‘(𝑥𝑤)) < (𝐸 / 2))
224212, 65, 213, 223syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (abs‘(𝑥𝑤)) < (𝐸 / 2))
225224adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑥𝑤)) < (𝐸 / 2))
226212, 65, 2133jca 1121 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))))
227 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → 𝑤 ∈ ℝ)
228189adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → 𝑦 ∈ ℝ)
229227, 228resubcld 10916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (𝑤𝑦) ∈ ℝ)
230229recnd 10515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (𝑤𝑦) ∈ ℂ)
231230abscld 14630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (abs‘(𝑤𝑦)) ∈ ℝ)
2322313ad2antl2 1179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (abs‘(𝑤𝑦)) ∈ ℝ)
233220adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
234214, 215subcld 10845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (𝑥𝑤) ∈ ℂ)
235234abscld 14630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (abs‘(𝑥𝑤)) ∈ ℝ)
2362353adant1 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) → (abs‘(𝑥𝑤)) ∈ ℝ)
237236adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (abs‘(𝑥𝑤)) ∈ ℝ)
238 simpl2 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → 𝑤 ∈ ℝ)
239 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))))
240238, 237, 239iooabslt 41335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (abs‘(𝑤𝑦)) < (abs‘(𝑥𝑤)))
241223adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (abs‘(𝑥𝑤)) < (𝐸 / 2))
242232, 237, 233, 240, 241lttrd 10648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (abs‘(𝑤𝑦)) < (𝐸 / 2))
243232, 233, 242ltled 10635 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤))))) → (abs‘(𝑤𝑦)) ≤ (𝐸 / 2))
244226, 119, 243syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑤𝑦)) ≤ (𝐸 / 2))
245197, 203, 211, 211, 225, 244ltleaddd 11109 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → ((abs‘(𝑥𝑤)) + (abs‘(𝑤𝑦))) < ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)))
24619recnd 10515 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
2472462halvesd 11731 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
248247ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
249245, 248breqtrd 4988 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → ((abs‘(𝑥𝑤)) + (abs‘(𝑤𝑦))) < 𝐸)
250196, 204, 205, 210, 249lelttrd 10645 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸)
251116, 187, 250jca32 516 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤}))) → (𝑦𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸)))
252251ex 413 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → (𝑦𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸))))
253252eximdv 1895 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → (∃𝑦 𝑦 ∈ (((𝑤 − (abs‘(𝑥𝑤)))(,)(𝑤 + (abs‘(𝑥𝑤)))) ∩ (𝐴 ∖ {𝑤})) → ∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸))))
254113, 253mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → ∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸)))
255 df-rex 3111 . . . . . 6 (∃𝑦𝐴 (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸) ↔ ∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸)))
256254, 255sylibr 235 . . . . 5 (((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤})) → ∃𝑦𝐴 (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸))
257256ex 413 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) → ∃𝑦𝐴 (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸)))
258257reximdv 3236 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → (∃𝑥𝐴 𝑥 ∈ (((𝑤 − (𝐸 / 2))(,)(𝑤 + (𝐸 / 2))) ∖ {𝑤}) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸)))
25959, 258mpd 15 . 2 ((𝜑𝑤 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸))
2603, 259exlimddv 1913 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 ∧ (abs‘(𝑥𝑦)) < 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wex 1761  wcel 2081  wne 2984  wral 3105  wrex 3106  cdif 3856  cin 3858  wss 3859  c0 4211  {csn 4472   cuni 4745   class class class wbr 4962  ran crn 5444  cfv 6225  (class class class)co 7016  cc 10381  cr 10382  0cc0 10383   + caddc 10386  *cxr 10520   < clt 10521  cle 10522  cmin 10717  -cneg 10718   / cdiv 11145  2c2 11540  +crp 12239  (,)cioo 12588  abscabs 14427  topGenctg 16540  Topctop 21185  limPtclp 21426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xadd 12358  df-ioo 12592  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-topgen 16546  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-top 21186  df-topon 21203  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-lp 21428
This theorem is referenced by:  fourierdlem42  41996
  Copyright terms: Public domain W3C validator