MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lpbl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lpbl 24019
Description: Every ball around a limit point 𝑃 of a subset 𝑆 includes a member of 𝑆 (even if 𝑃 βˆ‰ 𝑆). (Contributed by NM, 9-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
lpbl (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑋
Proof of Theorem lpbl
StepHypRef Expression
1 ineq1 4205 . . . 4 (π‘₯ = (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β†’ (π‘₯ ∩ (𝑆 βˆ– {𝑃})) = ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑃})))
21neeq1d 3000 . . 3 (π‘₯ = (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β†’ ((π‘₯ ∩ (𝑆 βˆ– {𝑃})) β‰  βˆ… ↔ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑃})) β‰  βˆ…))
3 simpl3 1193 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†))
4 simpl1 1191 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
5 mopni.1 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
65mopntop 23953 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
74, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝐽 ∈ Top)
8 simpl2 1192 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
95mopnuni 23954 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
104, 9syl 17 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
118, 10sseqtrd 4022 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
12 eqid 2732 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1312lpss 22653 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† βˆͺ 𝐽)
147, 11, 13syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† βˆͺ 𝐽)
1514, 3sseldd 3983 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽)
1612islp2 22656 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑃 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(π‘₯ ∩ (𝑆 βˆ– {𝑃})) β‰  βˆ…))
177, 11, 15, 16syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(π‘₯ ∩ (𝑆 βˆ– {𝑃})) β‰  βˆ…))
183, 17mpbid 231 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(π‘₯ ∩ (𝑆 βˆ– {𝑃})) β‰  βˆ…)
1915, 10eleqtrrd 2836 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
20 simpr 485 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
215blnei 24018 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}))
224, 19, 20, 21syl3anc 1371 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}))
232, 18, 22rspcdva 3613 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑃})) β‰  βˆ…)
24 elin 3964 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑃})) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆ– {𝑃})))
25 eldifi 4126 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝑆 βˆ– {𝑃}) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
2625anim2i 617 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆ– {𝑃})) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))
2726ancomd 462 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆ– {𝑃})) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)))
2824, 27sylbi 216 . . . 4 (π‘₯ ∈ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑃})) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)))
2928eximi 1837 . . 3 (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑃})) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)))
30 n0 4346 . . 3 (((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑃})) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑃})))
31 df-rex 3071 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)))
3229, 30, 313imtr4i 291 . 2 (((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑆 βˆ– {𝑃})) β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅))
3323, 32syl 17 1 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„+crp 12976  βˆžMetcxmet 20935  ballcbl 20937  MetOpencmopn 20940  Topctop 22402  neicnei 22608  limPtclp 22645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647
This theorem is referenced by:  limcrecl  44430
  Copyright terms: Public domain W3C validator