Theorem lpbl 24877

Description: Every ball around a limit point 𝑃 of a subset 𝑆 includes a member of 𝑆 (even if 𝑃 ∉ 𝑆). (Contributed by NM, 9-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopni.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lpbl	⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐽   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋

Proof of Theorem lpbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 4113	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
2	1	neeq1d 3018	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) → ((𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ ↔ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
3		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆))
4		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		mopni.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
6	5	mopntop 24814	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
7	4, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐽 ∈ Top)
8		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
9	5	mopnuni 24815	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
10	4, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
11	8, 10	sseqtrd 3949	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
12		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
13	12	lpss 23515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ⊆ ∪ 𝐽)
14	7, 11, 13	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ⊆ ∪ 𝐽)
15	14, 3	sseldd 3914	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
16	12	islp2 23518	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
17	7, 11, 15, 16	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
18	3, 17	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
19	15, 10	eleqtrrd 2867	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ 𝑋)
20		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
21	5	blnei 24876	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
22	4, 19, 20, 21	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
23	2, 18, 22	rspcdva 3581	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
24		elin 4096	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ↔ (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})))
25		eldifi 4070	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) → 𝑥 ∈ 𝑆)
26	25	anim2i 629	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆))
27	26	ancomd 467	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)))
28	24, 27	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)))
29	28	eximi 1868	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)))
30		n0 4303	. . 3 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
31		df-rex 3091	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)))
32	29, 30, 31	3imtr4i 295	. 2 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
33	23, 32	syl 18	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  {csn 4588  ∪ cuni 4872  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝ⁺crp 13160  ∞Metcxmet 21714  ballcbl 21716  MetOpencmopn 21719  Topctop 23266  neicnei 23470  limPtclp 23507

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-topgen 17664  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-top 23267  df-topon 23284  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509

This theorem is used by:  limcrecl  46914