Theorem lpbl 24625

Description: Every ball around a limit point 𝑃 of a subset 𝑆 includes a member of 𝑆 (even if 𝑃 ∉ 𝑆). (Contributed by NM, 9-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopni.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lpbl	⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐽   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋

Proof of Theorem lpbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 4174	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
2	1	neeq1d 3023	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) → ((𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ ↔ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
3		simpl3 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆))
4		simpl1 1208	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		mopni.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
6	5	mopntop 24562	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
7	4, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐽 ∈ Top)
8		simpl2 1209	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
9	5	mopnuni 24563	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
10	4, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
11	8, 10	sseqtrd 3981	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
12		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
13	12	lpss 23264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ⊆ ∪ 𝐽)
14	7, 11, 13	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ⊆ ∪ 𝐽)
15	14, 3	sseldd 3946	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
16	12	islp2 23267	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
17	7, 11, 15, 16	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
18	3, 17	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
19	15, 10	eleqtrrd 2872	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ 𝑋)
20		simpr 489	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
21	5	blnei 24624	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
22	4, 19, 20, 21	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
23	2, 18, 22	rspcdva 3591	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
24		elin 3929	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ↔ (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})))
25		eldifi 4093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) → 𝑥 ∈ 𝑆)
26	25	anim2i 628	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆))
27	26	ancomd 466	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)))
28	24, 27	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)))
29	28	eximi 1862	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)))
30		n0 4314	. . 3 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
31		df-rex 3096	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)))
32	29, 30, 31	3imtr4i 295	. 2 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
33	23, 32	syl 18	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ∖ cdif 3910   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  {csn 4591  ∪ cuni 4873  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ℝ⁺crp 13012  ∞Metcxmet 21472  ballcbl 21474  MetOpencmopn 21477  Topctop 23015  neicnei 23219  limPtclp 23256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-topgen 17492  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-top 23016  df-topon 23033  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-lp 23258

This theorem is referenced by:  limcrecl  46232