Theorem limcflflem 24478

Description: Lemma for limcflf 24479. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcflf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcflf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcflf.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
limcflf.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcflf.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
limcflf.l	⊢ 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
limcflflem	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Fil‘𝐶))

Proof of Theorem limcflflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcflf.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)
2		limcflf.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
3		limcflf.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
4	3	cnfldtop 23392	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ Top
5		limcflf.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
6	3	cnfldtopon 23391	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
7	6	toponunii 21524	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
8	7	islp 21748	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
9	4, 5, 8	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
10	2, 9	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
11		limcflf.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
12	11	fveq2i 6673	. . . 4 ⊢ ((cls‘𝐾)‘𝐶) = ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))
13	10, 12	eleqtrrdi 2924	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘𝐶))
14		difss 4108	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
15	11, 14	eqsstri 4001	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐴
16	15, 5	sstrid 3978	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℂ)
17	7	lpss 21750	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
18	4, 5, 17	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
19	18, 2	sseldd 3968	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
20		trnei 22500	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘𝐶) ↔ (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) ∈ (Fil‘𝐶)))
21	6, 16, 19, 20	mp3an2i 1462	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘𝐶) ↔ (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) ∈ (Fil‘𝐶)))
22	13, 21	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) ∈ (Fil‘𝐶))
23	1, 22	eqeltrid 2917	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Fil‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3933   ⊆ wss 3936  {csn 4567  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535   ↾_t crest 16694  TopOpenctopn 16695  ℂ_fldccnfld 20545  Topctop 21501  TopOnctopon 21518  clsccl 21626  neicnei 21705  limPtclp 21742  Filcfil 22453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-fz 12894  df-seq 13371  df-exp 13431  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-rest 16696  df-topn 16697  df-topgen 16717  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-fil 22454  df-xms 22930  df-ms 22931

This theorem is referenced by:  limcflf  24479  limcmo  24480