Theorem limcflflem 26108

Description: Lemma for limcflf 26109. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcflf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcflf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcflf.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
limcflf.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcflf.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
limcflf.l	⊢ 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
limcflflem	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Fil‘𝐶))

Proof of Theorem limcflflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcflf.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)
2		limcflf.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
3		limcflf.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
4	3	cnfldtop 25010	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ Top
5		limcflf.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
6	3	cnfldtopon 25009	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
7	6	toponunii 23142	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
8	7	islp 23366	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
9	4, 5, 8	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
10	2, 9	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
11		limcflf.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
12	11	fveq2i 6882	. . . 4 ⊢ ((cls‘𝐾)‘𝐶) = ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))
13	10, 12	eleqtrrdi 2871	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘𝐶))
14		difss 4083	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
15	11, 14	eqsstri 3977	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐴
16	15, 5	sstrid 3942	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℂ)
17	7	lpss 23368	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
18	4, 5, 17	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
19	18, 2	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
20		trnei 24119	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘𝐶) ↔ (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) ∈ (Fil‘𝐶)))
21	6, 16, 19, 20	mp3an2i 1495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘𝐶) ↔ (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) ∈ (Fil‘𝐶)))
22	13, 21	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) ∈ (Fil‘𝐶))
23	1, 22	eqeltrid 2864	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Fil‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11123   ↾_t crest 17506  TopOpenctopn 17507  ℂ_fldccnfld 21586  Topctop 23119  TopOnctopon 23136  clsccl 23244  neicnei 23323  limPtclp 23360  Filcfil 24072

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-xmul 13166  df-fz 13563  df-seq 14067  df-exp 14127  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-struct 17240  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-starv 17358  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-unif 17366  df-rest 17508  df-topn 17509  df-topgen 17529  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-lp 23362  df-fil 24073  df-xms 24547  df-ms 24548

This theorem is used by:  limcflf  26109  limcmo  26110