Theorem limcflflem 25916

Description: Lemma for limcflf 25917. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcflf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcflf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcflf.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
limcflf.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcflf.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
limcflf.l	⊢ 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
limcflflem	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Fil‘𝐶))

Proof of Theorem limcflflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcflf.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)
2		limcflf.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
3		limcflf.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
4	3	cnfldtop 24805	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ Top
5		limcflf.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
6	3	cnfldtopon 24804	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
7	6	toponunii 22923	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
8	7	islp 23149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
9	4, 5, 8	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
10	2, 9	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
11		limcflf.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
12	11	fveq2i 6908	. . . 4 ⊢ ((cls‘𝐾)‘𝐶) = ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))
13	10, 12	eleqtrrdi 2851	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘𝐶))
14		difss 4135	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
15	11, 14	eqsstri 4029	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐴
16	15, 5	sstrid 3994	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℂ)
17	7	lpss 23151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
18	4, 5, 17	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
19	18, 2	sseldd 3983	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
20		trnei 23901	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘𝐶) ↔ (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) ∈ (Fil‘𝐶)))
21	6, 16, 19, 20	mp3an2i 1467	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘𝐶) ↔ (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) ∈ (Fil‘𝐶)))
22	13, 21	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) ∈ (Fil‘𝐶))
23	1, 22	eqeltrid 2844	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Fil‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3947   ⊆ wss 3950  {csn 4625  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154   ↾_t crest 17466  TopOpenctopn 17467  ℂ_fldccnfld 21365  Topctop 22900  TopOnctopon 22917  clsccl 23027  neicnei 23106  limPtclp 23143  Filcfil 23854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-fz 13549  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17468  df-topn 17469  df-topgen 17489  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-fil 23855  df-xms 24331  df-ms 24332

This theorem is referenced by:  limcflf  25917  limcmo  25918