MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcflflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcflflem 25642
Description: Lemma for limcflf 25643. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcflf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcflf.b (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
limcflf.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcflf.c 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
limcflf.l 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)
Assertion
Ref Expression
limcflflem (𝜑𝐿 ∈ (Fil‘𝐶))

Proof of Theorem limcflflem
StepHypRef Expression
1 limcflf.l . 2 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)
2 limcflf.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
3 limcflf.k . . . . . . 7 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
43cnfldtop 24533 . . . . . 6 𝐾 ∈ Top
5 limcflf.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
63cnfldtopon 24532 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
76toponunii 22651 . . . . . . 7 ℂ = 𝐾
87islp 22877 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
94, 5, 8sylancr 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
102, 9mpbid 231 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
11 limcflf.c . . . . 5 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
1211fveq2i 6894 . . . 4 ((cls‘𝐾)‘𝐶) = ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))
1310, 12eleqtrrdi 2843 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘𝐶))
14 difss 4131 . . . . . 6 (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
1511, 14eqsstri 4016 . . . . 5 𝐶𝐴
1615, 5sstrid 3993 . . . 4 (𝜑𝐶 ⊆ ℂ)
177lpss 22879 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
184, 5, 17sylancr 586 . . . . 5 (𝜑 → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
1918, 2sseldd 3983 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
20 trnei 23629 . . . 4 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘𝐶) ↔ (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) ∈ (Fil‘𝐶)))
216, 16, 19, 20mp3an2i 1465 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘𝐶) ↔ (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) ∈ (Fil‘𝐶)))
2213, 21mpbid 231 . 2 (𝜑 → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) ∈ (Fil‘𝐶))
231, 22eqeltrid 2836 1 (𝜑𝐿 ∈ (Fil‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1540  wcel 2105  cdif 3945  wss 3948  {csn 4628  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11114  t crest 17373  TopOpenctopn 17374  fldccnfld 21148  Topctop 22628  TopOnctopon 22645  clsccl 22755  neicnei 22834  limPtclp 22871  Filcfil 23582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-fz 13492  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-rest 17375  df-topn 17376  df-topgen 17396  df-psmet 21140  df-xmet 21141  df-met 21142  df-bl 21143  df-mopn 21144  df-fbas 21145  df-cnfld 21149  df-top 22629  df-topon 22646  df-topsp 22668  df-bases 22682  df-cld 22756  df-ntr 22757  df-cls 22758  df-nei 22835  df-lp 22873  df-fil 23583  df-xms 24059  df-ms 24060
This theorem is referenced by:  limcflf  25643  limcmo  25644
  Copyright terms: Public domain W3C validator