Theorem limcflflem 25044

Description: Lemma for limcflf 25045. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcflf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcflf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcflf.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
limcflf.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcflf.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
limcflf.l	⊢ 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
limcflflem	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Fil‘𝐶))

Proof of Theorem limcflflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcflf.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)
2		limcflf.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
3		limcflf.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
4	3	cnfldtop 23947	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ Top
5		limcflf.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
6	3	cnfldtopon 23946	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
7	6	toponunii 22065	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
8	7	islp 22291	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
9	4, 5, 8	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
10	2, 9	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
11		limcflf.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
12	11	fveq2i 6777	. . . 4 ⊢ ((cls‘𝐾)‘𝐶) = ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))
13	10, 12	eleqtrrdi 2850	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘𝐶))
14		difss 4066	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
15	11, 14	eqsstri 3955	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐴
16	15, 5	sstrid 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℂ)
17	7	lpss 22293	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
18	4, 5, 17	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
19	18, 2	sseldd 3922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
20		trnei 23043	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘𝐶) ↔ (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) ∈ (Fil‘𝐶)))
21	6, 16, 19, 20	mp3an2i 1465	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘𝐶) ↔ (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) ∈ (Fil‘𝐶)))
22	13, 21	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) ∈ (Fil‘𝐶))
23	1, 22	eqeltrid 2843	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Fil‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  {csn 4561  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869   ↾_t crest 17131  TopOpenctopn 17132  ℂ_fldccnfld 20597  Topctop 22042  TopOnctopon 22059  clsccl 22169  neicnei 22248  limPtclp 22285  Filcfil 22996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-rest 17133  df-topn 17134  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-fil 22997  df-xms 23473  df-ms 23474

This theorem is referenced by:  limcflf  25045  limcmo  25046