Theorem limcflflem 24949

Description: Lemma for limcflf 24950. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcflf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcflf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcflf.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
limcflf.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcflf.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
limcflf.l	⊢ 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
limcflflem	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Fil‘𝐶))

Proof of Theorem limcflflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcflf.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)
2		limcflf.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
3		limcflf.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
4	3	cnfldtop 23853	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ Top
5		limcflf.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
6	3	cnfldtopon 23852	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
7	6	toponunii 21973	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
8	7	islp 22199	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
9	4, 5, 8	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
10	2, 9	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
11		limcflf.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
12	11	fveq2i 6759	. . . 4 ⊢ ((cls‘𝐾)‘𝐶) = ((cls‘𝐾)‘(𝐴 ∖ {𝐵}))
13	10, 12	eleqtrrdi 2850	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘𝐶))
14		difss 4062	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
15	11, 14	eqsstri 3951	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐴
16	15, 5	sstrid 3928	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℂ)
17	7	lpss 22201	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
18	4, 5, 17	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
19	18, 2	sseldd 3918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
20		trnei 22951	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘𝐶) ↔ (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) ∈ (Fil‘𝐶)))
21	6, 16, 19, 20	mp3an2i 1464	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((cls‘𝐾)‘𝐶) ↔ (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) ∈ (Fil‘𝐶)))
22	13, 21	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) ∈ (Fil‘𝐶))
23	1, 22	eqeltrid 2843	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Fil‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   ↾_t crest 17048  TopOpenctopn 17049  ℂ_fldccnfld 20510  Topctop 21950  TopOnctopon 21967  clsccl 22077  neicnei 22156  limPtclp 22193  Filcfil 22904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-rest 17050  df-topn 17051  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-fil 22905  df-xms 23381  df-ms 23382

This theorem is referenced by:  limcflf  24950  limcmo  24951