Theorem limcflf 26210

Description: The limit operator can be expressed as a filter limit, from the filter of neighborhoods of 𝐵 restricted to 𝐴 ∖ {𝐵}, to the topology of the complex numbers. (If 𝐵 is not a limit point of 𝐴, then it is still formally a filter limit, but the neighborhood filter is not a proper filter in this case.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcflf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcflf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcflf.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
limcflf.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcflf.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
limcflf.l	⊢ 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
limcflf	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹 ↾ 𝐶)))

Proof of Theorem limcflf

Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑢 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑡 ∈ V
2	1	inex1 5277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∩ 𝐶) ∈ V
3	2	rgenw 3080	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝑡 ∩ 𝐶) ∈ V
4		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶)) = (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶))
5		imaeq2 6050	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = (𝑡 ∩ 𝐶) → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) = ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑡 ∩ 𝐶)))
6		inss2 4133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶
7		resima2 6059	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑡 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑡 ∩ 𝐶)) = (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑡 ∩ 𝐶)) = (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶))
9	5, 8	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = (𝑡 ∩ 𝐶) → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) = (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)))
10	9	sseq1d 3940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝑡 ∩ 𝐶) → (((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
11	4, 10	rexrnmptw 7100	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝑡 ∩ 𝐶) ∈ V → (∃𝑠 ∈ ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶))((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
12	3, 11	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∃𝑠 ∈ ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶))((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
13		limcflf.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)
14		fvex 6903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∈ V
15		limcflf.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
16		difss 4071	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
17	15, 16	eqsstri 3955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐴
18		limcflf.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
19	17, 18	sstrid 3920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℂ)
20		cnex 11288	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℂ ∈ V
21	20	ssex 5282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ⊆ ℂ → 𝐶 ∈ V)
22	19, 21	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
23	22	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → 𝐶 ∈ V)
24		restval 17606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) = ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶)))
25	14, 23, 24	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) = ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶)))
26	13, 25	eqtrid 2807	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → 𝐿 = ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶)))
27	26	rexeqdv 3320	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑠 ∈ ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶))((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))
28		limcflf.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
29	28	cnfldtop 25111	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 ∈ Top
30		opnneip 23446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑤) → 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}))
31	29, 30	mp3an1 1477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑤) → 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}))
32		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → 𝑡 = 𝑤)
33	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵}))
34	32, 33	ineq12d 4117	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → (𝑡 ∩ 𝐶) = (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
35	34	imaeq2d 6054	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) = (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
36	35	sseq1d 3940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → ((𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
37	36	rspcev 3576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
38	31, 37	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑤) ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
39	38	anasss 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
40	39	rexlimiva 3155	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
41		simprl 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}))
42	28	cnfldtopon 25110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
43	42	toponunii 23243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
44	43	neii1 23433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})) → 𝑡 ⊆ ℂ)
45	29, 41, 44	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝑡 ⊆ ℂ)
46	43	ntropn 23376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑡 ⊆ ℂ) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ∈ 𝐾)
47	29, 45, 46	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ∈ 𝐾)
48	43	lpss 23469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
49	29, 18, 48	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
50		limcflf.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
51	49, 50	sseldd 3910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
52	51	snssd 4743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ ℂ)
53	52	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
54	43	neiint 23431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ {𝐵} ⊆ ℂ ∧ 𝑡 ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
55	29, 53, 45, 54	mp3an2i 1495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
56	41, 55	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡))
57	51	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℂ)
58		snssg 4740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
59	57, 58	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
60	56, 59	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡))
61	43	ntrss2 23384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑡 ⊆ ℂ) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ⊆ 𝑡)
62	29, 45, 61	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ⊆ 𝑡)
63		ssrin 4137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((int‘𝐾)‘𝑡) ⊆ 𝑡 → (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶) ⊆ (𝑡 ∩ 𝐶))
64		imass2 6057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶) ⊆ (𝑡 ∩ 𝐶) → (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)))
65	62, 63, 64	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)))
66		simprr 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
67	65, 66	sstrd 3919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
68		eleq2 2849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝐵 ∈ 𝑤 ↔ 𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
69	15	ineq2i 4113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∩ 𝐶) = (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))
70		ineq1 4109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝑤 ∩ 𝐶) = (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶))
71	69, 70	eqtr3id 2809	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶))
72	71	imaeq2d 6054	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)))
73	72	sseq1d 3940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → ((𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
74	68, 73	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → ((𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ∧ (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)))
75	74	rspcev 3576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((int‘𝐾)‘𝑡) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ∧ (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
76	47, 60, 67, 75	syl12anc 850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
77	76	rexlimdvaa 3164	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
78	40, 77	impbid2 229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
79	12, 27, 78	3bitr4rd 315	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))
80	79	anassrs 473	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → (∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))
81	80	pm5.74da 816	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢)))
82	81	ralbidva 3183	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢)))
83	82	pm5.32da 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))))
84		limcflf.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
85	84, 18, 51, 28	ellimc2 26206	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
86	84, 18, 50, 28, 15, 13	limcflflem 26209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Fil‘𝐶))
87		fssres 6753	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℂ)
88	84, 17, 87	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℂ)
89		isflf 24321	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝐶) ∧ (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹 ↾ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))))
90	42, 86, 88, 89	mp3an2i 1495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹 ↾ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))))
91	83, 85, 90	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹 ↾ 𝐶))))
92	91	eqrdv 2758	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹 ↾ 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044   ∩ cin 4088  {csn 4584   ↦ cmpt 5185  ran crn 5652   ↾ cres 5653   “ cima 5654  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205   ↾_t crest 17600  TopOpenctopn 17601  ℂ_fldccnfld 21687  Topctop 23220  TopOnctopon 23237  intcnt 23344  neicnei 23424  limPtclp 23461  Filcfil 24173   fLimf cflf 24263   lim_ℂ climc 26191

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-fz 13647  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-struct 17334  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-rest 17602  df-topn 17603  df-topgen 17623  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-lp 23463  df-cnp 23555  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-xms 24648  df-ms 24649  df-limc 26195

This theorem is used by:  limcmo  26211