Theorem limcflf 26256

Description: The limit operator can be expressed as a filter limit, from the filter of neighborhoods of 𝐵 restricted to 𝐴 ∖ {𝐵}, to the topology of the complex numbers. (If 𝐵 is not a limit point of 𝐴, then it is still formally a filter limit, but the neighborhood filter is not a proper filter in this case.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcflf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcflf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcflf.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
limcflf.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcflf.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
limcflf.l	⊢ 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
limcflf	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹 ↾ 𝐶)))

Proof of Theorem limcflf

Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑢 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑡 ∈ V
2	1	inex1 5284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∩ 𝐶) ∈ V
3	2	rgenw 3084	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝑡 ∩ 𝐶) ∈ V
4		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶)) = (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶))
5		imaeq2 6066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = (𝑡 ∩ 𝐶) → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) = ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑡 ∩ 𝐶)))
6		inss2 4137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶
7		resima2 6075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑡 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑡 ∩ 𝐶)) = (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑡 ∩ 𝐶)) = (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶))
9	5, 8	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = (𝑡 ∩ 𝐶) → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) = (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)))
10	9	sseq1d 3944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝑡 ∩ 𝐶) → (((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
11	4, 10	rexrnmptw 7127	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝑡 ∩ 𝐶) ∈ V → (∃𝑠 ∈ ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶))((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
12	3, 11	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∃𝑠 ∈ ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶))((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
13		limcflf.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)
14		fvex 6929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∈ V
15		limcflf.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
16		difss 4075	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
17	15, 16	eqsstri 3959	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐴
18		limcflf.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
19	17, 18	sstrid 3924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℂ)
20		cnex 11320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℂ ∈ V
21	20	ssex 5289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ⊆ ℂ → 𝐶 ∈ V)
22	19, 21	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
23	22	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → 𝐶 ∈ V)
24		restval 17647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) = ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶)))
25	14, 23, 24	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) = ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶)))
26	13, 25	eqtrid 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → 𝐿 = ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶)))
27	26	rexeqdv 3324	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑠 ∈ ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶))((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))
28		limcflf.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
29	28	cnfldtop 25157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 ∈ Top
30		opnneip 23492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑤) → 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}))
31	29, 30	mp3an1 1478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑤) → 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}))
32		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → 𝑡 = 𝑤)
33	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵}))
34	32, 33	ineq12d 4121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → (𝑡 ∩ 𝐶) = (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
35	34	imaeq2d 6070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) = (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
36	35	sseq1d 3944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → ((𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
37	36	rspcev 3580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
38	31, 37	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑤) ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
39	38	anasss 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
40	39	rexlimiva 3159	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
41		simprl 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}))
42	28	cnfldtopon 25156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
43	42	toponunii 23289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
44	43	neii1 23479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})) → 𝑡 ⊆ ℂ)
45	29, 41, 44	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝑡 ⊆ ℂ)
46	43	ntropn 23422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑡 ⊆ ℂ) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ∈ 𝐾)
47	29, 45, 46	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ∈ 𝐾)
48	43	lpss 23515	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
49	29, 18, 48	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
50		limcflf.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
51	49, 50	sseldd 3914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
52	51	snssd 4749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ ℂ)
53	52	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
54	43	neiint 23477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ {𝐵} ⊆ ℂ ∧ 𝑡 ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
55	29, 53, 45, 54	mp3an2i 1496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
56	41, 55	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡))
57	51	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℂ)
58		snssg 4746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
59	57, 58	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
60	56, 59	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡))
61	43	ntrss2 23430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑡 ⊆ ℂ) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ⊆ 𝑡)
62	29, 45, 61	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ⊆ 𝑡)
63		ssrin 4141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((int‘𝐾)‘𝑡) ⊆ 𝑡 → (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶) ⊆ (𝑡 ∩ 𝐶))
64		imass2 6073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶) ⊆ (𝑡 ∩ 𝐶) → (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)))
65	62, 63, 64	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)))
66		simprr 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
67	65, 66	sstrd 3923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
68		eleq2 2853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝐵 ∈ 𝑤 ↔ 𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
69	15	ineq2i 4117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∩ 𝐶) = (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))
70		ineq1 4113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝑤 ∩ 𝐶) = (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶))
71	69, 70	eqtr3id 2812	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶))
72	71	imaeq2d 6070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)))
73	72	sseq1d 3944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → ((𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
74	68, 73	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → ((𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ∧ (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)))
75	74	rspcev 3580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((int‘𝐾)‘𝑡) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ∧ (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
76	47, 60, 67, 75	syl12anc 850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
77	76	rexlimdvaa 3168	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
78	40, 77	impbid2 229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
79	12, 27, 78	3bitr4rd 315	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))
80	79	anassrs 473	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → (∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))
81	80	pm5.74da 816	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢)))
82	81	ralbidva 3187	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢)))
83	82	pm5.32da 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))))
84		limcflf.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
85	84, 18, 51, 28	ellimc2 26252	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
86	84, 18, 50, 28, 15, 13	limcflflem 26255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Fil‘𝐶))
87		fssres 6778	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℂ)
88	84, 17, 87	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℂ)
89		isflf 24367	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝐶) ∧ (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹 ↾ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))))
90	42, 86, 88, 89	mp3an2i 1496	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹 ↾ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))))
91	83, 85, 90	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹 ↾ 𝐶))))
92	91	eqrdv 2761	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹 ↾ 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092  {csn 4588   ↦ cmpt 5192  ran crn 5659   ↾ cres 5660   “ cima 5661  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237   ↾_t crest 17641  TopOpenctopn 17642  ℂ_fldccnfld 21729  Topctop 23266  TopOnctopon 23283  intcnt 23390  neicnei 23470  limPtclp 23507  Filcfil 24219   fLimf cflf 24309   lim_ℂ climc 26237

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-fz 13680  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-topgen 17664  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509  df-cnp 23601  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-xms 24694  df-ms 24695  df-limc 26241

This theorem is used by:  limcmo  26257