Theorem limcflf 25916

Description: The limit operator can be expressed as a filter limit, from the filter of neighborhoods of 𝐵 restricted to 𝐴 ∖ {𝐵}, to the topology of the complex numbers. (If 𝐵 is not a limit point of 𝐴, then it is still formally a filter limit, but the neighborhood filter is not a proper filter in this case.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcflf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcflf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcflf.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
limcflf.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcflf.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
limcflf.l	⊢ 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
limcflf	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹 ↾ 𝐶)))

Proof of Theorem limcflf

Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑢 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑡 ∈ V
2	1	inex1 5317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∩ 𝐶) ∈ V
3	2	rgenw 3065	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝑡 ∩ 𝐶) ∈ V
4		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶)) = (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶))
5		imaeq2 6074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = (𝑡 ∩ 𝐶) → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) = ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑡 ∩ 𝐶)))
6		inss2 4238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶
7		resima2 6034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑡 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑡 ∩ 𝐶)) = (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑡 ∩ 𝐶)) = (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶))
9	5, 8	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = (𝑡 ∩ 𝐶) → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) = (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)))
10	9	sseq1d 4015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝑡 ∩ 𝐶) → (((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
11	4, 10	rexrnmptw 7115	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝑡 ∩ 𝐶) ∈ V → (∃𝑠 ∈ ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶))((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
12	3, 11	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∃𝑠 ∈ ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶))((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
13		limcflf.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)
14		fvex 6919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∈ V
15		limcflf.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
16		difss 4136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
17	15, 16	eqsstri 4030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐴
18		limcflf.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
19	17, 18	sstrid 3995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℂ)
20		cnex 11236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℂ ∈ V
21	20	ssex 5321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ⊆ ℂ → 𝐶 ∈ V)
22	19, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
23	22	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → 𝐶 ∈ V)
24		restval 17471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) = ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶)))
25	14, 23, 24	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) = ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶)))
26	13, 25	eqtrid 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → 𝐿 = ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶)))
27	26	rexeqdv 3327	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑠 ∈ ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶))((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))
28		limcflf.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
29	28	cnfldtop 24804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 ∈ Top
30		opnneip 23127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑤) → 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}))
31	29, 30	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑤) → 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}))
32		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → 𝑡 = 𝑤)
33	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵}))
34	32, 33	ineq12d 4221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → (𝑡 ∩ 𝐶) = (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
35	34	imaeq2d 6078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) = (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
36	35	sseq1d 4015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → ((𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
37	36	rspcev 3622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
38	31, 37	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑤) ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
39	38	anasss 466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
40	39	rexlimiva 3147	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
41		simprl 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}))
42	28	cnfldtopon 24803	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
43	42	toponunii 22922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
44	43	neii1 23114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})) → 𝑡 ⊆ ℂ)
45	29, 41, 44	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝑡 ⊆ ℂ)
46	43	ntropn 23057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑡 ⊆ ℂ) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ∈ 𝐾)
47	29, 45, 46	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ∈ 𝐾)
48	43	lpss 23150	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
49	29, 18, 48	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
50		limcflf.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
51	49, 50	sseldd 3984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
52	51	snssd 4809	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ ℂ)
53	52	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
54	43	neiint 23112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ {𝐵} ⊆ ℂ ∧ 𝑡 ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
55	29, 53, 45, 54	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
56	41, 55	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡))
57	51	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℂ)
58		snssg 4783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
60	56, 59	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡))
61	43	ntrss2 23065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑡 ⊆ ℂ) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ⊆ 𝑡)
62	29, 45, 61	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ⊆ 𝑡)
63		ssrin 4242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((int‘𝐾)‘𝑡) ⊆ 𝑡 → (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶) ⊆ (𝑡 ∩ 𝐶))
64		imass2 6120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶) ⊆ (𝑡 ∩ 𝐶) → (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)))
65	62, 63, 64	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)))
66		simprr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
67	65, 66	sstrd 3994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
68		eleq2 2830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝐵 ∈ 𝑤 ↔ 𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
69	15	ineq2i 4217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∩ 𝐶) = (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))
70		ineq1 4213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝑤 ∩ 𝐶) = (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶))
71	69, 70	eqtr3id 2791	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶))
72	71	imaeq2d 6078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)))
73	72	sseq1d 4015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → ((𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
74	68, 73	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → ((𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ∧ (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)))
75	74	rspcev 3622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((int‘𝐾)‘𝑡) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ∧ (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
76	47, 60, 67, 75	syl12anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
77	76	rexlimdvaa 3156	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
78	40, 77	impbid2 226	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
79	12, 27, 78	3bitr4rd 312	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))
80	79	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → (∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))
81	80	pm5.74da 804	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢)))
82	81	ralbidva 3176	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢)))
83	82	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))))
84		limcflf.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
85	84, 18, 51, 28	ellimc2 25912	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
86	84, 18, 50, 28, 15, 13	limcflflem 25915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Fil‘𝐶))
87		fssres 6774	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℂ)
88	84, 17, 87	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℂ)
89		isflf 24001	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝐶) ∧ (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹 ↾ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))))
90	42, 86, 88, 89	mp3an2i 1468	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹 ↾ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))))
91	83, 85, 90	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹 ↾ 𝐶))))
92	91	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹 ↾ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  {csn 4626   ↦ cmpt 5225  ran crn 5686   ↾ cres 5687   “ cima 5688  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   ↾_t crest 17465  TopOpenctopn 17466  ℂ_fldccnfld 21364  Topctop 22899  TopOnctopon 22916  intcnt 23025  neicnei 23105  limPtclp 23142  Filcfil 23853   fLimf cflf 23943   lim_ℂ climc 25897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-cnp 23236  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-limc 25901

This theorem is referenced by:  limcmo  25917