Theorem limcflf 25789

Description: The limit operator can be expressed as a filter limit, from the filter of neighborhoods of 𝐵 restricted to 𝐴 ∖ {𝐵}, to the topology of the complex numbers. (If 𝐵 is not a limit point of 𝐴, then it is still formally a filter limit, but the neighborhood filter is not a proper filter in this case.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcflf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcflf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcflf.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
limcflf.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcflf.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
limcflf.l	⊢ 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
limcflf	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹 ↾ 𝐶)))

Proof of Theorem limcflf

Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑢 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑡 ∈ V
2	1	inex1 5275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∩ 𝐶) ∈ V
3	2	rgenw 3049	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝑡 ∩ 𝐶) ∈ V
4		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶)) = (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶))
5		imaeq2 6030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = (𝑡 ∩ 𝐶) → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) = ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑡 ∩ 𝐶)))
6		inss2 4204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶
7		resima2 5990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑡 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑡 ∩ 𝐶)) = (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑡 ∩ 𝐶)) = (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶))
9	5, 8	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = (𝑡 ∩ 𝐶) → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) = (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)))
10	9	sseq1d 3981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝑡 ∩ 𝐶) → (((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
11	4, 10	rexrnmptw 7070	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝑡 ∩ 𝐶) ∈ V → (∃𝑠 ∈ ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶))((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
12	3, 11	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∃𝑠 ∈ ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶))((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
13		limcflf.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)
14		fvex 6874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∈ V
15		limcflf.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
16		difss 4102	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
17	15, 16	eqsstri 3996	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐴
18		limcflf.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
19	17, 18	sstrid 3961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℂ)
20		cnex 11156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℂ ∈ V
21	20	ssex 5279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ⊆ ℂ → 𝐶 ∈ V)
22	19, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
23	22	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → 𝐶 ∈ V)
24		restval 17396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) = ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶)))
25	14, 23, 24	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) = ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶)))
26	13, 25	eqtrid 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → 𝐿 = ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶)))
27	26	rexeqdv 3302	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑠 ∈ ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶))((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))
28		limcflf.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
29	28	cnfldtop 24678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 ∈ Top
30		opnneip 23013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑤) → 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}))
31	29, 30	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑤) → 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}))
32		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → 𝑡 = 𝑤)
33	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵}))
34	32, 33	ineq12d 4187	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → (𝑡 ∩ 𝐶) = (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
35	34	imaeq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) = (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
36	35	sseq1d 3981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → ((𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
37	36	rspcev 3591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
38	31, 37	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑤) ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
39	38	anasss 466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
40	39	rexlimiva 3127	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
41		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}))
42	28	cnfldtopon 24677	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
43	42	toponunii 22810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
44	43	neii1 23000	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})) → 𝑡 ⊆ ℂ)
45	29, 41, 44	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝑡 ⊆ ℂ)
46	43	ntropn 22943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑡 ⊆ ℂ) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ∈ 𝐾)
47	29, 45, 46	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ∈ 𝐾)
48	43	lpss 23036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
49	29, 18, 48	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
50		limcflf.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
51	49, 50	sseldd 3950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
52	51	snssd 4776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ ℂ)
53	52	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
54	43	neiint 22998	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ {𝐵} ⊆ ℂ ∧ 𝑡 ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
55	29, 53, 45, 54	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
56	41, 55	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡))
57	51	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℂ)
58		snssg 4750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
60	56, 59	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡))
61	43	ntrss2 22951	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑡 ⊆ ℂ) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ⊆ 𝑡)
62	29, 45, 61	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ⊆ 𝑡)
63		ssrin 4208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((int‘𝐾)‘𝑡) ⊆ 𝑡 → (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶) ⊆ (𝑡 ∩ 𝐶))
64		imass2 6076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶) ⊆ (𝑡 ∩ 𝐶) → (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)))
65	62, 63, 64	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)))
66		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
67	65, 66	sstrd 3960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
68		eleq2 2818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝐵 ∈ 𝑤 ↔ 𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
69	15	ineq2i 4183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∩ 𝐶) = (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))
70		ineq1 4179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝑤 ∩ 𝐶) = (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶))
71	69, 70	eqtr3id 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶))
72	71	imaeq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)))
73	72	sseq1d 3981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → ((𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
74	68, 73	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → ((𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ∧ (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)))
75	74	rspcev 3591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((int‘𝐾)‘𝑡) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ∧ (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
76	47, 60, 67, 75	syl12anc 836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
77	76	rexlimdvaa 3136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
78	40, 77	impbid2 226	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
79	12, 27, 78	3bitr4rd 312	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))
80	79	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → (∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))
81	80	pm5.74da 803	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢)))
82	81	ralbidva 3155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢)))
83	82	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))))
84		limcflf.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
85	84, 18, 51, 28	ellimc2 25785	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
86	84, 18, 50, 28, 15, 13	limcflflem 25788	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Fil‘𝐶))
87		fssres 6729	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℂ)
88	84, 17, 87	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℂ)
89		isflf 23887	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝐶) ∧ (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹 ↾ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))))
90	42, 86, 88, 89	mp3an2i 1468	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹 ↾ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))))
91	83, 85, 90	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹 ↾ 𝐶))))
92	91	eqrdv 2728	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹 ↾ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  {csn 4592   ↦ cmpt 5191  ran crn 5642   ↾ cres 5643   “ cima 5644  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073   ↾_t crest 17390  TopOpenctopn 17391  ℂ_fldccnfld 21271  Topctop 22787  TopOnctopon 22804  intcnt 22911  neicnei 22991  limPtclp 23028  Filcfil 23739   fLimf cflf 23829   lim_ℂ climc 25770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-rest 17392  df-topn 17393  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-cnp 23122  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-limc 25774

This theorem is referenced by:  limcmo  25790