MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcflf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcflf 25056
Description: The limit operator can be expressed as a filter limit, from the filter of neighborhoods of 𝐵 restricted to 𝐴 ∖ {𝐵}, to the topology of the complex numbers. (If 𝐵 is not a limit point of 𝐴, then it is still formally a filter limit, but the neighborhood filter is not a proper filter in this case.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcflf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcflf.b (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
limcflf.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcflf.c 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
limcflf.l 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)
Assertion
Ref Expression
limcflf (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹𝐶)))

Proof of Theorem limcflf
Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑢 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3435 . . . . . . . . . . 11 𝑡 ∈ V
21inex1 5245 . . . . . . . . . 10 (𝑡𝐶) ∈ V
32rgenw 3078 . . . . . . . . 9 𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝑡𝐶) ∈ V
4 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡𝐶)) = (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡𝐶))
5 imaeq2 5964 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝑡𝐶) → ((𝐹𝐶) “ 𝑠) = ((𝐹𝐶) “ (𝑡𝐶)))
6 inss2 4169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡𝐶) ⊆ 𝐶
7 resima2 5925 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡𝐶) ⊆ 𝐶 → ((𝐹𝐶) “ (𝑡𝐶)) = (𝐹 “ (𝑡𝐶)))
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝐶) “ (𝑡𝐶)) = (𝐹 “ (𝑡𝐶))
95, 8eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝑡𝐶) → ((𝐹𝐶) “ 𝑠) = (𝐹 “ (𝑡𝐶)))
109sseq1d 3957 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑡𝐶) → (((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢))
114, 10rexrnmptw 6968 . . . . . . . . 9 (∀𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝑡𝐶) ∈ V → (∃𝑠 ∈ ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡𝐶))((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢))
123, 11mp1i 13 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) → (∃𝑠 ∈ ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡𝐶))((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢))
13 limcflf.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)
14 fvex 6784 . . . . . . . . . . 11 ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∈ V
15 limcflf.c . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
16 difss 4071 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
1715, 16eqsstri 3960 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐶𝐴
18 limcflf.a . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
1917, 18sstrid 3937 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ⊆ ℂ)
20 cnex 10963 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ∈ V
2120ssex 5249 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ⊆ ℂ → 𝐶 ∈ V)
2219, 21syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ V)
2322ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) → 𝐶 ∈ V)
24 restval 17148 . . . . . . . . . . 11 ((((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) = ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡𝐶)))
2514, 23, 24sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) = ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡𝐶)))
2613, 25eqtrid 2792 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) → 𝐿 = ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡𝐶)))
2726rexeqdv 3348 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) → (∃𝑠𝐿 ((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑠 ∈ ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡𝐶))((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))
28 limcflf.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
2928cnfldtop 23958 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 ∈ Top
30 opnneip 22281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑤𝐾𝐵𝑤) → 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}))
3129, 30mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝐾𝐵𝑤) → 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}))
32 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑤𝑡 = 𝑤)
3315a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑤𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵}))
3432, 33ineq12d 4153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 𝑤 → (𝑡𝐶) = (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
3534imaeq2d 5968 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 𝑤 → (𝐹 “ (𝑡𝐶)) = (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
3635sseq1d 3957 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑤 → ((𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
3736rspcev 3561 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)
3831, 37sylan 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤𝐾𝐵𝑤) ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)
3938anasss 467 . . . . . . . . . 10 ((𝑤𝐾 ∧ (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)
4039rexlimiva 3212 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)
41 simprl 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}))
4228cnfldtopon 23957 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4342toponunii 22076 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ = 𝐾
4443neii1 22268 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})) → 𝑡 ⊆ ℂ)
4529, 41, 44sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝑡 ⊆ ℂ)
4643ntropn 22211 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑡 ⊆ ℂ) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ∈ 𝐾)
4729, 45, 46sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ∈ 𝐾)
4843lpss 22304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
4929, 18, 48sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
50 limcflf.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
5149, 50sseldd 3927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5251snssd 4748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → {𝐵} ⊆ ℂ)
5352ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
5443neiint 22266 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Top ∧ {𝐵} ⊆ ℂ ∧ 𝑡 ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
5529, 53, 45, 54mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
5641, 55mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡))
5751ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℂ)
58 snssg 4724 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
6056, 59mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡))
6143ntrss2 22219 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑡 ⊆ ℂ) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ⊆ 𝑡)
6229, 45, 61sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ⊆ 𝑡)
63 ssrin 4173 . . . . . . . . . . . . 13 (((int‘𝐾)‘𝑡) ⊆ 𝑡 → (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶) ⊆ (𝑡𝐶))
64 imass2 6009 . . . . . . . . . . . . 13 ((((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶) ⊆ (𝑡𝐶) → (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐹 “ (𝑡𝐶)))
6562, 63, 643syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐹 “ (𝑡𝐶)))
66 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)
6765, 66sstrd 3936 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
68 eleq2 2829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝐵𝑤𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
6915ineq2i 4149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐶) = (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))
70 ineq1 4145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝑤𝐶) = (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶))
7169, 70eqtr3id 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶))
7271imaeq2d 5968 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)))
7372sseq1d 3957 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → ((𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
7468, 73anbi12d 631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → ((𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ∧ (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)))
7574rspcev 3561 . . . . . . . . . . 11 ((((int‘𝐾)‘𝑡) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ∧ (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
7647, 60, 67, 75syl12anc 834 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
7776rexlimdvaa 3216 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) → (∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢 → ∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
7840, 77impbid2 225 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) → (∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢))
7912, 27, 783bitr4rd 312 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) → (∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑠𝐿 ((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))
8079anassrs 468 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢𝐾) ∧ 𝑥𝑢) → (∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑠𝐿 ((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))
8180pm5.74da 801 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢𝐾) → ((𝑥𝑢 → ∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) ↔ (𝑥𝑢 → ∃𝑠𝐿 ((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢)))
8281ralbidva 3122 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) ↔ ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑠𝐿 ((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢)))
8382pm5.32da 579 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑠𝐿 ((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))))
84 limcflf.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
8584, 18, 51, 28ellimc2 25052 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
8684, 18, 50, 28, 15, 13limcflflem 25055 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (Fil‘𝐶))
87 fssres 6638 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶⟶ℂ)
8884, 17, 87sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐶):𝐶⟶ℂ)
89 isflf 23155 . . . 4 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝐶) ∧ (𝐹𝐶):𝐶⟶ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑠𝐿 ((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))))
9042, 86, 88, 89mp3an2i 1465 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑠𝐿 ((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))))
9183, 85, 903bitr4d 311 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹𝐶))))
9291eqrdv 2738 1 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wral 3066  wrex 3067  Vcvv 3431  cdif 3889  cin 3891  wss 3892  {csn 4567  cmpt 5162  ran crn 5591  cres 5592  cima 5593  wf 6428  cfv 6432  (class class class)co 7272  cc 10880  t crest 17142  TopOpenctopn 17143  fldccnfld 20608  Topctop 22053  TopOnctopon 22070  intcnt 22179  neicnei 22259  limPtclp 22296  Filcfil 23007   fLimf cflf 23097   lim climc 25037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959  ax-pre-sup 10960
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-er 8490  df-map 8609  df-pm 8610  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-fi 9158  df-sup 9189  df-inf 9190  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-div 11644  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-7 12052  df-8 12053  df-9 12054  df-n0 12245  df-z 12331  df-dec 12449  df-uz 12594  df-q 12700  df-rp 12742  df-xneg 12859  df-xadd 12860  df-xmul 12861  df-fz 13251  df-seq 13733  df-exp 13794  df-cj 14821  df-re 14822  df-im 14823  df-sqrt 14957  df-abs 14958  df-struct 16859  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-plusg 16986  df-mulr 16987  df-starv 16988  df-tset 16992  df-ple 16993  df-ds 16995  df-unif 16996  df-rest 17144  df-topn 17145  df-topgen 17165  df-psmet 20600  df-xmet 20601  df-met 20602  df-bl 20603  df-mopn 20604  df-fbas 20605  df-fg 20606  df-cnfld 20609  df-top 22054  df-topon 22071  df-topsp 22093  df-bases 22107  df-cld 22181  df-ntr 22182  df-cls 22183  df-nei 22260  df-lp 22298  df-cnp 22390  df-fil 23008  df-fm 23100  df-flim 23101  df-flf 23102  df-xms 23484  df-ms 23485  df-limc 25041
This theorem is referenced by:  limcmo  25057
  Copyright terms: Public domain W3C validator