Theorem limcflf 26008

Description: The limit operator can be expressed as a filter limit, from the filter of neighborhoods of 𝐵 restricted to 𝐴 ∖ {𝐵}, to the topology of the complex numbers. (If 𝐵 is not a limit point of 𝐴, then it is still formally a filter limit, but the neighborhood filter is not a proper filter in this case.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcflf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcflf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcflf.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
limcflf.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcflf.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
limcflf.l	⊢ 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
limcflf	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹 ↾ 𝐶)))

Proof of Theorem limcflf

Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑢 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑡 ∈ V
2	1	inex1 5288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∩ 𝐶) ∈ V
3	2	rgenw 3089	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝑡 ∩ 𝐶) ∈ V
4		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶)) = (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶))
5		imaeq2 6059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = (𝑡 ∩ 𝐶) → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) = ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑡 ∩ 𝐶)))
6		inss2 4198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶
7		resima2 6016	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑡 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑡 ∩ 𝐶)) = (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑡 ∩ 𝐶)) = (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶))
9	5, 8	eqtrdi 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = (𝑡 ∩ 𝐶) → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) = (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)))
10	9	sseq1d 3976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝑡 ∩ 𝐶) → (((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
11	4, 10	rexrnmptw 7091	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝑡 ∩ 𝐶) ∈ V → (∃𝑠 ∈ ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶))((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
12	3, 11	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∃𝑠 ∈ ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶))((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
13		limcflf.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)
14		fvex 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∈ V
15		limcflf.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
16		difss 4098	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
17	15, 16	eqsstri 3991	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐴
18		limcflf.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
19	17, 18	sstrid 3956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℂ)
20		cnex 11180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℂ ∈ V
21	20	ssex 5292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ⊆ ℂ → 𝐶 ∈ V)
22	19, 21	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
23	22	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → 𝐶 ∈ V)
24		restval 17478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) = ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶)))
25	14, 23, 24	sylancr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) = ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶)))
26	13, 25	eqtrid 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → 𝐿 = ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶)))
27	26	rexeqdv 3330	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑠 ∈ ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡 ∩ 𝐶))((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))
28		limcflf.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
29	28	cnfldtop 24908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 ∈ Top
30		opnneip 23244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑤) → 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}))
31	29, 30	mp3an1 1474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑤) → 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}))
32		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → 𝑡 = 𝑤)
33	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵}))
34	32, 33	ineq12d 4182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → (𝑡 ∩ 𝐶) = (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
35	34	imaeq2d 6063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) = (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
36	35	sseq1d 3976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑤 → ((𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
37	36	rspcev 3590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
38	31, 37	sylan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑤) ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
39	38	anasss 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
40	39	rexlimiva 3164	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
41		simprl 782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}))
42	28	cnfldtopon 24907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
43	42	toponunii 23041	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
44	43	neii1 23231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})) → 𝑡 ⊆ ℂ)
45	29, 41, 44	sylancr 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝑡 ⊆ ℂ)
46	43	ntropn 23174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑡 ⊆ ℂ) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ∈ 𝐾)
47	29, 45, 46	sylancr 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ∈ 𝐾)
48	43	lpss 23267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
49	29, 18, 48	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
50		limcflf.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
51	49, 50	sseldd 3946	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
52	51	snssd 4757	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ ℂ)
53	52	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
54	43	neiint 23229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ {𝐵} ⊆ ℂ ∧ 𝑡 ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
55	29, 53, 45, 54	mp3an2i 1492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
56	41, 55	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡))
57	51	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℂ)
58		snssg 4754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
59	57, 58	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
60	56, 59	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡))
61	43	ntrss2 23182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑡 ⊆ ℂ) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ⊆ 𝑡)
62	29, 45, 61	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ⊆ 𝑡)
63		ssrin 4202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((int‘𝐾)‘𝑡) ⊆ 𝑡 → (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶) ⊆ (𝑡 ∩ 𝐶))
64		imass2 6105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶) ⊆ (𝑡 ∩ 𝐶) → (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)))
65	62, 63, 64	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)))
66		simprr 784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
67	65, 66	sstrd 3955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
68		eleq2 2858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝐵 ∈ 𝑤 ↔ 𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
69	15	ineq2i 4178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∩ 𝐶) = (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))
70		ineq1 4174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝑤 ∩ 𝐶) = (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶))
71	69, 70	eqtr3id 2818	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶))
72	71	imaeq2d 6063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)))
73	72	sseq1d 3976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → ((𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
74	68, 73	anbi12d 643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → ((𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ∧ (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)))
75	74	rspcev 3590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((int‘𝐾)‘𝑡) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ∧ (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
76	47, 60, 67, 75	syl12anc 849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
77	76	rexlimdvaa 3173	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
78	40, 77	impbid2 229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡 ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
79	12, 27, 78	3bitr4rd 315	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)) → (∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))
80	79	anassrs 472	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → (∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))
81	80	pm5.74da 815	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢)))
82	81	ralbidva 3192	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢)))
83	82	pm5.32da 589	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))))
84		limcflf.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
85	84, 18, 51, 28	ellimc2 26004	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ 𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
86	84, 18, 50, 28, 15, 13	limcflflem 26007	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Fil‘𝐶))
87		fssres 6745	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℂ)
88	84, 17, 87	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℂ)
89		isflf 24118	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝐶) ∧ (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹 ↾ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))))
90	42, 86, 88, 89	mp3an2i 1492	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹 ↾ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 ((𝐹 ↾ 𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))))
91	83, 85, 90	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹 ↾ 𝐶))))
92	91	eqrdv 2767	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹 ↾ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  {csn 4594   ↦ cmpt 5196  ran crn 5663   ↾ cres 5664   “ cima 5665  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11097   ↾_t crest 17472  TopOpenctopn 17473  ℂ_fldccnfld 21490  Topctop 23018  TopOnctopon 23035  intcnt 23142  neicnei 23222  limPtclp 23259  Filcfil 23970   fLimf cflf 24060   lim_ℂ climc 25989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-fz 13535  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-rest 17474  df-topn 17475  df-topgen 17495  df-psmet 21482  df-xmet 21483  df-met 21484  df-bl 21485  df-mopn 21486  df-fbas 21487  df-fg 21488  df-cnfld 21491  df-top 23019  df-topon 23036  df-topsp 23058  df-bases 23071  df-cld 23144  df-ntr 23145  df-cls 23146  df-nei 23223  df-lp 23261  df-cnp 23353  df-fil 23971  df-fm 24063  df-flim 24064  df-flf 24065  df-xms 24445  df-ms 24446  df-limc 25993

This theorem is referenced by:  limcmo  26009