Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meetat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meetat2 36425
Description: The meet of any element with an atom is either the atom or zero. (Contributed by NM, 30-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
m.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
m.m = (meet‘𝐾)
m.z 0 = (0.‘𝐾)
m.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
meetat2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ((𝑋 𝑃) ∈ 𝐴 ∨ (𝑋 𝑃) = 0 ))

Proof of Theorem meetat2
StepHypRef Expression
1 m.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 m.m . . 3 = (meet‘𝐾)
3 m.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
4 m.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
51, 2, 3, 4meetat 36424 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ((𝑋 𝑃) = 𝑃 ∨ (𝑋 𝑃) = 0 ))
6 eleq1a 2906 . . . 4 (𝑃𝐴 → ((𝑋 𝑃) = 𝑃 → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐴))
763ad2ant3 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ((𝑋 𝑃) = 𝑃 → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐴))
87orim1d 962 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (((𝑋 𝑃) = 𝑃 ∨ (𝑋 𝑃) = 0 ) → ((𝑋 𝑃) ∈ 𝐴 ∨ (𝑋 𝑃) = 0 )))
95, 8mpd 15 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ((𝑋 𝑃) ∈ 𝐴 ∨ (𝑋 𝑃) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 843  w3a 1082   = wceq 1531  wcel 2108  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  meetcmee 17547  0.cp0 17639  OLcol 36302  Atomscatm 36391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-lat 17648  df-oposet 36304  df-ol 36306  df-covers 36394  df-ats 36395
This theorem is referenced by:  2at0mat0  36653  atmod1i1m  36986
  Copyright terms: Public domain W3C validator