Theorem meetat2 39760

Description: The meet of any element with an atom is either the atom or zero. (Contributed by NM, 30-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
m.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
m.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
m.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
m.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
meetat2	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ))

Proof of Theorem meetat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		m.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
3		m.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		m.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	meetat 39759	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) = 𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ))
6		eleq1a 2832	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → ((𝑋 ∧ 𝑃) = 𝑃 → (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴))
7	6	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) = 𝑃 → (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴))
8	7	orim1d 968	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (((𝑋 ∧ 𝑃) = 𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ) → ((𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = 0 )))
9	5, 8	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  meetcmee 18272  0.cp0 18381  OLcol 39637  Atomscatm 39726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-proset 18254  df-poset 18273  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-lat 18392  df-oposet 39639  df-ol 39641  df-covers 39729  df-ats 39730

This theorem is referenced by:  2at0mat0  39988  atmod1i1m  40321