Theorem meetat2 39496

Description: The meet of any element with an atom is either the atom or zero. (Contributed by NM, 30-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
m.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
m.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
m.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
m.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
meetat2	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ))

Proof of Theorem meetat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		m.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
3		m.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		m.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	meetat 39495	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) = 𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ))
6		eleq1a 2829	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → ((𝑋 ∧ 𝑃) = 𝑃 → (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴))
7	6	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) = 𝑃 → (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴))
8	7	orim1d 967	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (((𝑋 ∧ 𝑃) = 𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ) → ((𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = 0 )))
9	5, 8	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  meetcmee 18233  0.cp0 18342  OLcol 39373  Atomscatm 39462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-proset 18215  df-poset 18234  df-plt 18249  df-lub 18265  df-glb 18266  df-join 18267  df-meet 18268  df-p0 18344  df-lat 18353  df-oposet 39375  df-ol 39377  df-covers 39465  df-ats 39466

This theorem is referenced by:  2at0mat0  39724  atmod1i1m  40057