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Theorem 2at0mat0 38909
Description: Special case of 2atmat0 38910 where one atom could be zero. (Contributed by NM, 30-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
2atmatz.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2atmatz.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2atmatz.z 0 = (0.β€˜πΎ)
2atmatz.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2at0mat0 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))

Proof of Theorem 2at0mat0
StepHypRef Expression
1 simpll 764 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
2 simplr1 1212 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
3 simpr 484 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
4 simplr3 1214 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))
5 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
6 hlol 38744 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝐾 ∈ OL)
8 simpr1 1191 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
9 simpr2 1192 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
10 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
11 2atmatz.j . . . . . . . . 9 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
12 2atmatz.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
1310, 11, 12hlatjcl 38750 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
145, 8, 9, 13syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
15 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
16 2atmatz.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
17 2atmatz.z . . . . . . . 8 0 = (0.β€˜πΎ)
1810, 16, 17, 12meetat2 38680 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) = 0 ))
197, 14, 15, 18syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) = 0 ))
2019adantr 480 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) = 0 ))
21 oveq1 7412 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 𝑄 β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑄))
2211, 12hlatjidm 38752 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
235, 15, 22syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
2421, 23sylan9eqr 2788 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = 𝑄)
2524oveq1d 7420 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = (𝑄 ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)))
265hllatd 38747 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2710, 12atbase 38672 . . . . . . . . . . 11 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2815, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2910, 16latmcom 18428 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑄 ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))
3026, 28, 14, 29syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ (𝑄 ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))
3130adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ (𝑄 ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))
3225, 31eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))
3332eleq1d 2812 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ 𝐴))
3432eqeq1d 2728 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ↔ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) = 0 ))
3533, 34orbi12d 915 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ) ↔ (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) = 0 )))
3620, 35mpbird 257 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
3710, 11, 12hlatjcl 38750 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3837adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3910, 16, 17, 12meetat2 38680 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) = 0 ))
407, 38, 9, 39syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) = 0 ))
4140adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) = 0 ))
42 oveq1 7412 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = 𝑆 β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ 𝑆))
4311, 12hlatjidm 38752 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 ∨ 𝑆) = 𝑆)
445, 9, 43syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ (𝑆 ∨ 𝑆) = 𝑆)
4542, 44sylan9eqr 2788 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) = 𝑆)
4645oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆))
4746eleq1d 2812 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) ∈ 𝐴))
4846eqeq1d 2728 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) = 0 ))
4947, 48orbi12d 915 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) = 0 )))
5041, 49mpbird 257 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
5150adantlr 712 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑅 = 𝑆) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
52 df-ne 2935 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) β‰  0 ↔ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 )
53 simpll1 1209 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 β‰  𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) β‰  0 )) β†’ 𝐾 ∈ HL)
54 simpll2 1210 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 β‰  𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) β‰  0 )) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
55 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 β‰  𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) β‰  0 )) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
56 simpr1 1191 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 β‰  𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) β‰  0 )) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
57 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (LLinesβ€˜πΎ) = (LLinesβ€˜πΎ)
5811, 12, 57llni2 38896 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
5953, 54, 55, 56, 58syl31anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 β‰  𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) β‰  0 )) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
60 simplr1 1212 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 β‰  𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) β‰  0 )) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
61 simplr2 1213 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 β‰  𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) β‰  0 )) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
62 simpr2 1192 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 β‰  𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) β‰  0 )) β†’ 𝑅 β‰  𝑆)
6311, 12, 57llni2 38896 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 β‰  𝑆) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
6453, 60, 61, 62, 63syl31anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 β‰  𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) β‰  0 )) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
65 simplr3 1214 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 β‰  𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) β‰  0 )) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))
66 simpr3 1193 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 β‰  𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) β‰  0 )) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) β‰  0 )
6716, 17, 12, 572llnmat 38908 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (LLinesβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) β‰  0 )) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴)
6853, 59, 64, 65, 66, 67syl32anc 1375 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 β‰  𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) β‰  0 )) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴)
69683exp2 1351 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 β†’ (𝑅 β‰  𝑆 β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) β‰  0 β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴))))
7069imp31 417 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) β‰  0 β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴))
7152, 70biimtrrid 242 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆) β†’ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴))
7271orrd 860 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴))
7372orcomd 868 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
7451, 73pm2.61dane 3023 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
7536, 74pm2.61dane 3023 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
761, 2, 3, 4, 75syl13anc 1369 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
77 simpl1 1188 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
7877, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝐾 ∈ OL)
7937adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
80 simpr1 1191 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
8110, 16, 17, 12meetat2 38680 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) = 0 ))
8278, 79, 80, 81syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) = 0 ))
8382adantr 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) = 0 ))
84 oveq2 7413 . . . . . . 7 (𝑆 = 0 β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 0 ))
8510, 12atbase 38672 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8680, 85syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8710, 11, 17olj01 38608 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑅 ∨ 0 ) = 𝑅)
8878, 86, 87syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ (𝑅 ∨ 0 ) = 𝑅)
8984, 88sylan9eqr 2788 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) = 𝑅)
9089oveq2d 7421 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅))
9190eleq1d 2812 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) ∈ 𝐴))
9290eqeq1d 2728 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) = 0 ))
9391, 92orbi12d 915 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) = 0 )))
9483, 93mpbird 257 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
95 simpr2 1192 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ))
9676, 94, 95mpjaodan 955 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  joincjn 18276  meetcmee 18277  0.cp0 18388  Latclat 18396  OLcol 38557  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LLinesclln 38875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882
This theorem is referenced by:  2atmat0  38910  cdlemg31b0a  40079
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