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Theorem 2at0mat0 39527
Description: Special case of 2atmat0 39528 where one atom could be zero. (Contributed by NM, 30-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
2atmatz.j = (join‘𝐾)
2atmatz.m = (meet‘𝐾)
2atmatz.z 0 = (0.‘𝐾)
2atmatz.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2at0mat0 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))

Proof of Theorem 2at0mat0
StepHypRef Expression
1 simpll 767 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
2 simplr1 1216 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑅𝐴)
3 simpr 484 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑆𝐴)
4 simplr3 1218 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆𝐴) → (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))
5 simpl1 1192 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝐾 ∈ HL)
6 hlol 39362 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝐾 ∈ OL)
8 simpr1 1195 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝑅𝐴)
9 simpr2 1196 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝑆𝐴)
10 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11 2atmatz.j . . . . . . . . 9 = (join‘𝐾)
12 2atmatz.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1310, 11, 12hlatjcl 39368 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
145, 8, 9, 13syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
15 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝑄𝐴)
16 2atmatz.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
17 2atmatz.z . . . . . . . 8 0 = (0.‘𝐾)
1810, 16, 17, 12meetat2 39298 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄𝐴) → (((𝑅 𝑆) 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 𝑆) 𝑄) = 0 ))
197, 14, 15, 18syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (((𝑅 𝑆) 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 𝑆) 𝑄) = 0 ))
2019adantr 480 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑅 𝑆) 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 𝑆) 𝑄) = 0 ))
21 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑄))
2211, 12hlatjidm 39370 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
235, 15, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
2421, 23sylan9eqr 2799 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑃 𝑄) = 𝑄)
2524oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = (𝑄 (𝑅 𝑆)))
265hllatd 39365 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝐾 ∈ Lat)
2710, 12atbase 39290 . . . . . . . . . . 11 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
2815, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
2910, 16latmcom 18508 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 (𝑅 𝑆)) = ((𝑅 𝑆) 𝑄))
3026, 28, 14, 29syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑄 (𝑅 𝑆)) = ((𝑅 𝑆) 𝑄))
3130adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑄 (𝑅 𝑆)) = ((𝑅 𝑆) 𝑄))
3225, 31eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑅 𝑆) 𝑄))
3332eleq1d 2826 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑅 𝑆) 𝑄) ∈ 𝐴))
3432eqeq1d 2739 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ↔ ((𝑅 𝑆) 𝑄) = 0 ))
3533, 34orbi12d 919 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ) ↔ (((𝑅 𝑆) 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 𝑆) 𝑄) = 0 )))
3620, 35mpbird 257 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
3710, 11, 12hlatjcl 39368 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
3837adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
3910, 16, 17, 12meetat2 39298 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆𝐴) → (((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) 𝑆) = 0 ))
407, 38, 9, 39syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) 𝑆) = 0 ))
4140adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) 𝑆) = 0 ))
42 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = 𝑆 → (𝑅 𝑆) = (𝑆 𝑆))
4311, 12hlatjidm 39370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → (𝑆 𝑆) = 𝑆)
445, 9, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑆 𝑆) = 𝑆)
4542, 44sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (𝑅 𝑆) = 𝑆)
4645oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) 𝑆))
4746eleq1d 2826 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝐴))
4846eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑆) = 0 ))
4947, 48orbi12d 919 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → ((((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) 𝑆) = 0 )))
5041, 49mpbird 257 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
5150adantlr 715 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
52 df-ne 2941 . . . . . . . 8 (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 ↔ ¬ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 )
53 simpll1 1213 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ HL)
54 simpll2 1214 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑃𝐴)
55 simpll3 1215 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑄𝐴)
56 simpr1 1195 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑃𝑄)
57 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
5811, 12, 57llni2 39514 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
5953, 54, 55, 56, 58syl31anc 1375 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → (𝑃 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
60 simplr1 1216 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑅𝐴)
61 simplr2 1217 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑆𝐴)
62 simpr2 1196 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑅𝑆)
6311, 12, 57llni2 39514 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑅𝑆) → (𝑅 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
6453, 60, 61, 62, 63syl31anc 1375 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → (𝑅 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
65 simplr3 1218 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))
66 simpr3 1197 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )
6716, 17, 12, 572llnmat 39526 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾)) ∧ ((𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆) ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴)
6853, 59, 64, 65, 66, 67syl32anc 1380 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴)
69683exp2 1355 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑃𝑄 → (𝑅𝑆 → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴))))
7069imp31 417 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑅𝑆) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴))
7152, 70biimtrrid 243 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑅𝑆) → (¬ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴))
7271orrd 864 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑅𝑆) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴))
7372orcomd 872 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑅𝑆) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
7451, 73pm2.61dane 3029 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃𝑄) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
7536, 74pm2.61dane 3029 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
761, 2, 3, 4, 75syl13anc 1374 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆𝐴) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
77 simpl1 1192 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝐾 ∈ HL)
7877, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝐾 ∈ OL)
7937adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
80 simpr1 1195 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝑅𝐴)
8110, 16, 17, 12meetat2 39298 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅𝐴) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) 𝑅) = 0 ))
8278, 79, 80, 81syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) 𝑅) = 0 ))
8382adantr 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) 𝑅) = 0 ))
84 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑆 = 0 → (𝑅 𝑆) = (𝑅 0 ))
8510, 12atbase 39290 . . . . . . . . 9 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
8680, 85syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
8710, 11, 17olj01 39226 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 0 ) = 𝑅)
8878, 86, 87syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑅 0 ) = 𝑅)
8984, 88sylan9eqr 2799 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (𝑅 𝑆) = 𝑅)
9089oveq2d 7447 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) 𝑅))
9190eleq1d 2826 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝐴))
9290eqeq1d 2739 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑅) = 0 ))
9391, 92orbi12d 919 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → ((((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) 𝑅) = 0 )))
9483, 93mpbird 257 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
95 simpr2 1196 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑆𝐴𝑆 = 0 ))
9676, 94, 95mpjaodan 961 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  joincjn 18357  meetcmee 18358  0.cp0 18468  Latclat 18476  OLcol 39175  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  LLinesclln 39493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500
This theorem is referenced by:  2atmat0  39528  cdlemg31b0a  40697
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