Theorem 2at0mat0 40017

Description: Special case of 2atmat0 40018 where one atom could be zero. (Contributed by NM, 30-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
2atmatz.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2atmatz.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2atmatz.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
2atmatz.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2at0mat0	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))

Proof of Theorem 2at0mat0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 772	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
2		simplr1 1222	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝐴)
3		simpr 485	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ 𝐴)
4		simplr3 1224	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))
5		simpl1 1198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝐾 ∈ HL)
6		hlol 39853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝐾 ∈ OL)
8		simpr1 1201	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
9		simpr2 1202	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
10		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11		2atmatz.j	. . . . . . . . 9 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12		2atmatz.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13	10, 11, 12	hlatjcl 39859	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
14	5, 8, 9, 13	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
15		simpl3 1200	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
16		2atmatz.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
17		2atmatz.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
18	10, 16, 17, 12	meetat2 39789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) = 0 ))
19	7, 14, 15, 18	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) = 0 ))
20	19	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) = 0 ))
21		oveq1 7363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑄))
22	11, 12	hlatjidm 39861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
23	5, 15, 22	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
24	21, 23	sylan9eqr 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) = 𝑄)
25	24	oveq1d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = (𝑄 ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)))
26	5	hllatd 39856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝐾 ∈ Lat)
27	10, 12	atbase 39781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
28	15, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
29	10, 16	latmcom 18420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))
30	26, 28, 14, 29	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑄 ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))
31	30	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑄 ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))
32	25, 31	eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))
33	32	eleq1d 2824	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ 𝐴))
34	32	eqeq1d 2741	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ↔ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) = 0 ))
35	33, 34	orbi12d 924	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ) ↔ (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) = 0 )))
36	20, 35	mpbird 258	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
37	10, 11, 12	hlatjcl 39859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
38	37	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
39	10, 16, 17, 12	meetat2 39789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) = 0 ))
40	7, 38, 9, 39	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) = 0 ))
41	40	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) = 0 ))
42		oveq1 7363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (𝑅 ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ 𝑆))
43	11, 12	hlatjidm 39861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∨ 𝑆) = 𝑆)
44	5, 9, 43	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑆 ∨ 𝑆) = 𝑆)
45	42, 44	sylan9eqr 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (𝑅 ∨ 𝑆) = 𝑆)
46	45	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆))
47	46	eleq1d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) ∈ 𝐴))
48	46	eqeq1d 2741	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) = 0 ))
49	47, 48	orbi12d 924	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) = 0 )))
50	41, 49	mpbird 258	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
51	50	adantlr 721	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
52		df-ne 2935	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 ↔ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 )
53		simpll1 1219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ HL)
54		simpll2 1220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑃 ∈ 𝐴)
55		simpll3 1221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑄 ∈ 𝐴)
56		simpr1 1201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑃 ≠ 𝑄)
57		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
58	11, 12, 57	llni2 40004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
59	53, 54, 55, 56, 58	syl31anc 1381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
60		simplr1 1222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ 𝐴)
61		simplr2 1223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑆 ∈ 𝐴)
62		simpr2 1202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑅 ≠ 𝑆)
63	11, 12, 57	llni2 40004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
64	53, 60, 61, 62, 63	syl31anc 1381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
65		simplr3 1224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))
66		simpr3 1203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )
67	16, 17, 12, 57	2llnmat 40016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴)
68	53, 59, 64, 65, 66, 67	syl32anc 1386	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴)
69	68	3exp2 1361	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑅 ≠ 𝑆 → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴))))
70	69	imp31 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴))
71	52, 70	biimtrrid 244	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → (¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴))
72	71	orrd 869	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴))
73	72	orcomd 877	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
74	51, 73	pm2.61dane 3021	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
75	36, 74	pm2.61dane 3021	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
76	1, 2, 3, 4, 75	syl13anc 1380	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
77		simpl1 1198	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝐾 ∈ HL)
78	77, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝐾 ∈ OL)
79	37	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
80		simpr1 1201	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
81	10, 16, 17, 12	meetat2 39789	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) = 0 ))
82	78, 79, 80, 81	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) = 0 ))
83	82	adantr 481	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) = 0 ))
84		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = 0 → (𝑅 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 0 ))
85	10, 12	atbase 39781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
86	80, 85	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
87	10, 11, 17	olj01 39717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 ∨ 0 ) = 𝑅)
88	78, 86, 87	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑅 ∨ 0 ) = 𝑅)
89	84, 88	sylan9eqr 2796	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (𝑅 ∨ 𝑆) = 𝑅)
90	89	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅))
91	90	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) ∈ 𝐴))
92	90	eqeq1d 2741	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) = 0 ))
93	91, 92	orbi12d 924	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) = 0 )))
94	83, 93	mpbird 258	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
95		simpr2 1202	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ))
96	76, 94, 95	mpjaodan 966	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  joincjn 18268  meetcmee 18269  0.cp0 18378  Latclat 18388  OLcol 39666  Atomscatm 39755  HLchlt 39842  LLinesclln 39983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 39668  df-ol 39670  df-oml 39671  df-covers 39758  df-ats 39759  df-atl 39790  df-cvlat 39814  df-hlat 39843  df-llines 39990

This theorem is referenced by:  2atmat0  40018  cdlemg31b0a  41187