Theorem 2at0mat0 39482

Description: Special case of 2atmat0 39483 where one atom could be zero. (Contributed by NM, 30-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
2atmatz.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2atmatz.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2atmatz.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
2atmatz.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2at0mat0	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))

Proof of Theorem 2at0mat0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
2		simplr1 1215	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝐴)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ 𝐴)
4		simplr3 1217	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))
5		simpl1 1191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝐾 ∈ HL)
6		hlol 39317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝐾 ∈ OL)
8		simpr1 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
9		simpr2 1195	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
10		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11		2atmatz.j	. . . . . . . . 9 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12		2atmatz.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13	10, 11, 12	hlatjcl 39323	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
14	5, 8, 9, 13	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
15		simpl3 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
16		2atmatz.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
17		2atmatz.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
18	10, 16, 17, 12	meetat2 39253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) = 0 ))
19	7, 14, 15, 18	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) = 0 ))
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) = 0 ))
21		oveq1 7455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑄))
22	11, 12	hlatjidm 39325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
23	5, 15, 22	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
24	21, 23	sylan9eqr 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) = 𝑄)
25	24	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = (𝑄 ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)))
26	5	hllatd 39320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝐾 ∈ Lat)
27	10, 12	atbase 39245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
28	15, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
29	10, 16	latmcom 18533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))
30	26, 28, 14, 29	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑄 ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑄 ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))
32	25, 31	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))
33	32	eleq1d 2829	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ 𝐴))
34	32	eqeq1d 2742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ↔ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) = 0 ))
35	33, 34	orbi12d 917	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ) ↔ (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) = 0 )))
36	20, 35	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
37	10, 11, 12	hlatjcl 39323	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
38	37	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
39	10, 16, 17, 12	meetat2 39253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) = 0 ))
40	7, 38, 9, 39	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) = 0 ))
41	40	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) = 0 ))
42		oveq1 7455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (𝑅 ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ 𝑆))
43	11, 12	hlatjidm 39325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∨ 𝑆) = 𝑆)
44	5, 9, 43	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑆 ∨ 𝑆) = 𝑆)
45	42, 44	sylan9eqr 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (𝑅 ∨ 𝑆) = 𝑆)
46	45	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆))
47	46	eleq1d 2829	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) ∈ 𝐴))
48	46	eqeq1d 2742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) = 0 ))
49	47, 48	orbi12d 917	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) = 0 )))
50	41, 49	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
51	50	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
52		df-ne 2947	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 ↔ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 )
53		simpll1 1212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ HL)
54		simpll2 1213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑃 ∈ 𝐴)
55		simpll3 1214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑄 ∈ 𝐴)
56		simpr1 1194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑃 ≠ 𝑄)
57		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
58	11, 12, 57	llni2 39469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
59	53, 54, 55, 56, 58	syl31anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
60		simplr1 1215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ 𝐴)
61		simplr2 1216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑆 ∈ 𝐴)
62		simpr2 1195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑅 ≠ 𝑆)
63	11, 12, 57	llni2 39469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
64	53, 60, 61, 62, 63	syl31anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
65		simplr3 1217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))
66		simpr3 1196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )
67	16, 17, 12, 57	2llnmat 39481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴)
68	53, 59, 64, 65, 66, 67	syl32anc 1378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴)
69	68	3exp2 1354	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑅 ≠ 𝑆 → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴))))
70	69	imp31 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴))
71	52, 70	biimtrrid 243	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → (¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴))
72	71	orrd 862	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴))
73	72	orcomd 870	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
74	51, 73	pm2.61dane 3035	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
75	36, 74	pm2.61dane 3035	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
76	1, 2, 3, 4, 75	syl13anc 1372	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
77		simpl1 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝐾 ∈ HL)
78	77, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝐾 ∈ OL)
79	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
80		simpr1 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
81	10, 16, 17, 12	meetat2 39253	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) = 0 ))
82	78, 79, 80, 81	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) = 0 ))
83	82	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) = 0 ))
84		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = 0 → (𝑅 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 0 ))
85	10, 12	atbase 39245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
86	80, 85	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
87	10, 11, 17	olj01 39181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 ∨ 0 ) = 𝑅)
88	78, 86, 87	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑅 ∨ 0 ) = 𝑅)
89	84, 88	sylan9eqr 2802	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (𝑅 ∨ 𝑆) = 𝑅)
90	89	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅))
91	90	eleq1d 2829	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) ∈ 𝐴))
92	90	eqeq1d 2742	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) = 0 ))
93	91, 92	orbi12d 917	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) = 0 )))
94	83, 93	mpbird 257	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
95		simpr2 1195	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ))
96	76, 94, 95	mpjaodan 959	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  joincjn 18381  meetcmee 18382  0.cp0 18493  Latclat 18501  OLcol 39130  Atomscatm 39219  HLchlt 39306  LLinesclln 39448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-llines 39455

This theorem is referenced by:  2atmat0  39483  cdlemg31b0a  40652