Theorem 2at0mat0 39526

Description: Special case of 2atmat0 39527 where one atom could be zero. (Contributed by NM, 30-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
2atmatz.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2atmatz.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2atmatz.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
2atmatz.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2at0mat0	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))

Proof of Theorem 2at0mat0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
2		simplr1 1216	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝐴)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ 𝐴)
4		simplr3 1218	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))
5		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝐾 ∈ HL)
6		hlol 39361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝐾 ∈ OL)
8		simpr1 1195	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
9		simpr2 1196	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
10		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11		2atmatz.j	. . . . . . . . 9 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12		2atmatz.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13	10, 11, 12	hlatjcl 39367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
14	5, 8, 9, 13	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
15		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
16		2atmatz.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
17		2atmatz.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
18	10, 16, 17, 12	meetat2 39297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) = 0 ))
19	7, 14, 15, 18	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) = 0 ))
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) = 0 ))
21		oveq1 7397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑄))
22	11, 12	hlatjidm 39369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
23	5, 15, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
24	21, 23	sylan9eqr 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) = 𝑄)
25	24	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = (𝑄 ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)))
26	5	hllatd 39364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝐾 ∈ Lat)
27	10, 12	atbase 39289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
28	15, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
29	10, 16	latmcom 18429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))
30	26, 28, 14, 29	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑄 ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑄 ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))
32	25, 31	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))
33	32	eleq1d 2814	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ 𝐴))
34	32	eqeq1d 2732	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ↔ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) = 0 ))
35	33, 34	orbi12d 918	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ) ↔ (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) = 0 )))
36	20, 35	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
37	10, 11, 12	hlatjcl 39367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
38	37	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
39	10, 16, 17, 12	meetat2 39297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) = 0 ))
40	7, 38, 9, 39	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) = 0 ))
41	40	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) = 0 ))
42		oveq1 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (𝑅 ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ 𝑆))
43	11, 12	hlatjidm 39369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∨ 𝑆) = 𝑆)
44	5, 9, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑆 ∨ 𝑆) = 𝑆)
45	42, 44	sylan9eqr 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (𝑅 ∨ 𝑆) = 𝑆)
46	45	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆))
47	46	eleq1d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) ∈ 𝐴))
48	46	eqeq1d 2732	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) = 0 ))
49	47, 48	orbi12d 918	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) = 0 )))
50	41, 49	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
51	50	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
52		df-ne 2927	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 ↔ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 )
53		simpll1 1213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ HL)
54		simpll2 1214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑃 ∈ 𝐴)
55		simpll3 1215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑄 ∈ 𝐴)
56		simpr1 1195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑃 ≠ 𝑄)
57		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
58	11, 12, 57	llni2 39513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
59	53, 54, 55, 56, 58	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
60		simplr1 1216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ 𝐴)
61		simplr2 1217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑆 ∈ 𝐴)
62		simpr2 1196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑅 ≠ 𝑆)
63	11, 12, 57	llni2 39513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
64	53, 60, 61, 62, 63	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
65		simplr3 1218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))
66		simpr3 1197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )
67	16, 17, 12, 57	2llnmat 39525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴)
68	53, 59, 64, 65, 66, 67	syl32anc 1380	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴)
69	68	3exp2 1355	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑅 ≠ 𝑆 → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴))))
70	69	imp31 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴))
71	52, 70	biimtrrid 243	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → (¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴))
72	71	orrd 863	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴))
73	72	orcomd 871	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
74	51, 73	pm2.61dane 3013	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
75	36, 74	pm2.61dane 3013	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
76	1, 2, 3, 4, 75	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
77		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝐾 ∈ HL)
78	77, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝐾 ∈ OL)
79	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
80		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
81	10, 16, 17, 12	meetat2 39297	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) = 0 ))
82	78, 79, 80, 81	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) = 0 ))
83	82	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) = 0 ))
84		oveq2 7398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = 0 → (𝑅 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 0 ))
85	10, 12	atbase 39289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
86	80, 85	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
87	10, 11, 17	olj01 39225	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 ∨ 0 ) = 𝑅)
88	78, 86, 87	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑅 ∨ 0 ) = 𝑅)
89	84, 88	sylan9eqr 2787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (𝑅 ∨ 𝑆) = 𝑅)
90	89	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅))
91	90	eleq1d 2814	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) ∈ 𝐴))
92	90	eqeq1d 2732	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) = 0 ))
93	91, 92	orbi12d 918	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) = 0 )))
94	83, 93	mpbird 257	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
95		simpr2 1196	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ))
96	76, 94, 95	mpjaodan 960	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  joincjn 18279  meetcmee 18280  0.cp0 18389  Latclat 18397  OLcol 39174  Atomscatm 39263  HLchlt 39350  LLinesclln 39492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-proset 18262  df-poset 18281  df-plt 18296  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-p0 18391  df-lat 18398  df-clat 18465  df-oposet 39176  df-ol 39178  df-oml 39179  df-covers 39266  df-ats 39267  df-atl 39298  df-cvlat 39322  df-hlat 39351  df-llines 39499

This theorem is referenced by:  2atmat0  39527  cdlemg31b0a  40696