Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpll 766 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β¨ π = 0 ) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π β π΄) β (πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄)) |
2 | | simplr1 1216 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β¨ π = 0 ) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π β π΄) β π
β π΄) |
3 | | simpr 486 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β¨ π = 0 ) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π β π΄) β π β π΄) |
4 | | simplr3 1218 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β¨ π = 0 ) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (π
β¨ π)) |
5 | | simpl1 1192 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β πΎ β HL) |
6 | | hlol 37852 |
. . . . . . . 8
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
7 | 5, 6 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β πΎ β OL) |
8 | | simpr1 1195 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β π
β π΄) |
9 | | simpr2 1196 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β π β π΄) |
10 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . 9
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
11 | | 2atmatz.j |
. . . . . . . . 9
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
12 | | 2atmatz.a |
. . . . . . . . 9
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
13 | 10, 11, 12 | hlatjcl 37858 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
14 | 5, 8, 9, 13 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
15 | | simpl3 1194 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β π β π΄) |
16 | | 2atmatz.m |
. . . . . . . 8
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
17 | | 2atmatz.z |
. . . . . . . 8
β’ 0 =
(0.βπΎ) |
18 | 10, 16, 17, 12 | meetat2 37788 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β OL β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β π΄) β (((π
β¨ π) β§ π) β π΄ β¨ ((π
β¨ π) β§ π) = 0 )) |
19 | 7, 14, 15, 18 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β (((π
β¨ π) β§ π) β π΄ β¨ ((π
β¨ π) β§ π) = 0 )) |
20 | 19 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π = π) β (((π
β¨ π) β§ π) β π΄ β¨ ((π
β¨ π) β§ π) = 0 )) |
21 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
22 | 11, 12 | hlatjidm 37860 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄) β (π β¨ π) = π) |
23 | 5, 15, 22 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β (π β¨ π) = π) |
24 | 21, 23 | sylan9eqr 2799 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π = π) β (π β¨ π) = π) |
25 | 24 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π = π) β ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = (π β§ (π
β¨ π))) |
26 | 5 | hllatd 37855 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β πΎ β Lat) |
27 | 10, 12 | atbase 37780 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
28 | 15, 27 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
29 | 10, 16 | latmcom 18359 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) β (π β§ (π
β¨ π)) = ((π
β¨ π) β§ π)) |
30 | 26, 28, 14, 29 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β (π β§ (π
β¨ π)) = ((π
β¨ π) β§ π)) |
31 | 30 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π = π) β (π β§ (π
β¨ π)) = ((π
β¨ π) β§ π)) |
32 | 25, 31 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π = π) β ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = ((π
β¨ π) β§ π)) |
33 | 32 | eleq1d 2823 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π = π) β (((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄ β ((π
β¨ π) β§ π) β π΄)) |
34 | 32 | eqeq1d 2739 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π = π) β (((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = 0 β ((π
β¨ π) β§ π) = 0 )) |
35 | 33, 34 | orbi12d 918 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π = π) β ((((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄ β¨ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = 0 ) β (((π
β¨ π) β§ π) β π΄ β¨ ((π
β¨ π) β§ π) = 0 ))) |
36 | 20, 35 | mpbird 257 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π = π) β (((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄ β¨ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = 0 )) |
37 | 10, 11, 12 | hlatjcl 37858 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
38 | 37 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
39 | 10, 16, 17, 12 | meetat2 37788 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β OL β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β π΄) β (((π β¨ π) β§ π) β π΄ β¨ ((π β¨ π) β§ π) = 0 )) |
40 | 7, 38, 9, 39 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β (((π β¨ π) β§ π) β π΄ β¨ ((π β¨ π) β§ π) = 0 )) |
41 | 40 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π
= π) β (((π β¨ π) β§ π) β π΄ β¨ ((π β¨ π) β§ π) = 0 )) |
42 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π
= π β (π
β¨ π) = (π β¨ π)) |
43 | 11, 12 | hlatjidm 37860 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄) β (π β¨ π) = π) |
44 | 5, 9, 43 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β (π β¨ π) = π) |
45 | 42, 44 | sylan9eqr 2799 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π
= π) β (π
β¨ π) = π) |
46 | 45 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π
= π) β ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = ((π β¨ π) β§ π)) |
47 | 46 | eleq1d 2823 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π
= π) β (((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄ β ((π β¨ π) β§ π) β π΄)) |
48 | 46 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π
= π) β (((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = 0 β ((π β¨ π) β§ π) = 0 )) |
49 | 47, 48 | orbi12d 918 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π
= π) β ((((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄ β¨ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = 0 ) β (((π β¨ π) β§ π) β π΄ β¨ ((π β¨ π) β§ π) = 0 ))) |
50 | 41, 49 | mpbird 257 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π
= π) β (((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄ β¨ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = 0 )) |
51 | 50 | adantlr 714 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π β π) β§ π
= π) β (((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄ β¨ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = 0 )) |
52 | | df-ne 2945 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β 0 β Β¬ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = 0 ) |
53 | | simpll1 1213 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ (π β π β§ π
β π β§ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β 0 )) β πΎ β HL) |
54 | | simpll2 1214 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ (π β π β§ π
β π β§ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β 0 )) β π β π΄) |
55 | | simpll3 1215 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ (π β π β§ π
β π β§ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β 0 )) β π β π΄) |
56 | | simpr1 1195 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ (π β π β§ π
β π β§ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β 0 )) β π β π) |
57 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(LLinesβπΎ) =
(LLinesβπΎ) |
58 | 11, 12, 57 | llni2 38004 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β¨ π) β (LLinesβπΎ)) |
59 | 53, 54, 55, 56, 58 | syl31anc 1374 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ (π β π β§ π
β π β§ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β 0 )) β (π β¨ π) β (LLinesβπΎ)) |
60 | | simplr1 1216 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ (π β π β§ π
β π β§ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β 0 )) β π
β π΄) |
61 | | simplr2 1217 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ (π β π β§ π
β π β§ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β 0 )) β π β π΄) |
62 | | simpr2 1196 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ (π β π β§ π
β π β§ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β 0 )) β π
β π) |
63 | 11, 12, 57 | llni2 38004 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β§ π
β π) β (π
β¨ π) β (LLinesβπΎ)) |
64 | 53, 60, 61, 62, 63 | syl31anc 1374 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ (π β π β§ π
β π β§ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β 0 )) β (π
β¨ π) β (LLinesβπΎ)) |
65 | | simplr3 1218 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ (π β π β§ π
β π β§ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β 0 )) β (π β¨ π) β (π
β¨ π)) |
66 | | simpr3 1197 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ (π β π β§ π
β π β§ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β 0 )) β ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β 0 ) |
67 | 16, 17, 12, 57 | 2llnmat 38016 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ (π β¨ π) β (LLinesβπΎ) β§ (π
β¨ π) β (LLinesβπΎ)) β§ ((π β¨ π) β (π
β¨ π) β§ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β 0 )) β ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄) |
68 | 53, 59, 64, 65, 66, 67 | syl32anc 1379 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ (π β π β§ π
β π β§ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β 0 )) β ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄) |
69 | 68 | 3exp2 1355 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β (π β π β (π
β π β (((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β 0 β ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄)))) |
70 | 69 | imp31 419 |
. . . . . . . 8
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π β π) β§ π
β π) β (((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β 0 β ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄)) |
71 | 52, 70 | biimtrrid 242 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π β π) β§ π
β π) β (Β¬ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = 0 β ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄)) |
72 | 71 | orrd 862 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π β π) β§ π
β π) β (((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = 0 β¨ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄)) |
73 | 72 | orcomd 870 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π β π) β§ π
β π) β (((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄ β¨ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = 0 )) |
74 | 51, 73 | pm2.61dane 3033 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π β π) β (((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄ β¨ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = 0 )) |
75 | 36, 74 | pm2.61dane 3033 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β (((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄ β¨ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = 0 )) |
76 | 1, 2, 3, 4, 75 | syl13anc 1373 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β¨ π = 0 ) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π β π΄) β (((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄ β¨ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = 0 )) |
77 | | simpl1 1192 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β¨ π = 0 ) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β πΎ β HL) |
78 | 77, 6 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β¨ π = 0 ) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β πΎ β OL) |
79 | 37 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β¨ π = 0 ) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
80 | | simpr1 1195 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β¨ π = 0 ) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β π
β π΄) |
81 | 10, 16, 17, 12 | meetat2 37788 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β OL β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π
β π΄) β (((π β¨ π) β§ π
) β π΄ β¨ ((π β¨ π) β§ π
) = 0 )) |
82 | 78, 79, 80, 81 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β¨ π = 0 ) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β (((π β¨ π) β§ π
) β π΄ β¨ ((π β¨ π) β§ π
) = 0 )) |
83 | 82 | adantr 482 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β¨ π = 0 ) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π = 0 ) β (((π β¨ π) β§ π
) β π΄ β¨ ((π β¨ π) β§ π
) = 0 )) |
84 | | oveq2 7370 |
. . . . . . 7
β’ (π = 0 β (π
β¨ π) = (π
β¨ 0 )) |
85 | 10, 12 | atbase 37780 |
. . . . . . . . 9
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
86 | 80, 85 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β¨ π = 0 ) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β π
β (BaseβπΎ)) |
87 | 10, 11, 17 | olj01 37716 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β OL β§ π
β (BaseβπΎ)) β (π
β¨ 0 ) = π
) |
88 | 78, 86, 87 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β¨ π = 0 ) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β (π
β¨ 0 ) = π
) |
89 | 84, 88 | sylan9eqr 2799 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β¨ π = 0 ) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π = 0 ) β (π
β¨ π) = π
) |
90 | 89 | oveq2d 7378 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β¨ π = 0 ) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π = 0 ) β ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = ((π β¨ π) β§ π
)) |
91 | 90 | eleq1d 2823 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β¨ π = 0 ) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π = 0 ) β (((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄ β ((π β¨ π) β§ π
) β π΄)) |
92 | 90 | eqeq1d 2739 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β¨ π = 0 ) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π = 0 ) β (((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = 0 β ((π β¨ π) β§ π
) = 0 )) |
93 | 91, 92 | orbi12d 918 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β¨ π = 0 ) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π = 0 ) β ((((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄ β¨ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = 0 ) β (((π β¨ π) β§ π
) β π΄ β¨ ((π β¨ π) β§ π
) = 0 ))) |
94 | 83, 93 | mpbird 257 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β¨ π = 0 ) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β§ π = 0 ) β (((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄ β¨ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = 0 )) |
95 | | simpr2 1196 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β¨ π = 0 ) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β (π β π΄ β¨ π = 0 )) |
96 | 76, 94, 95 | mpjaodan 958 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ (π β π΄ β¨ π = 0 ) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β (((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄ β¨ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = 0 )) |