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Theorem 2at0mat0 36699
 Description: Special case of 2atmat0 36700 where one atom could be zero. (Contributed by NM, 30-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
2atmatz.j = (join‘𝐾)
2atmatz.m = (meet‘𝐾)
2atmatz.z 0 = (0.‘𝐾)
2atmatz.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2at0mat0 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))

Proof of Theorem 2at0mat0
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
2 simplr1 1212 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑅𝐴)
3 simpr 488 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆𝐴) → 𝑆𝐴)
4 simplr3 1214 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆𝐴) → (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))
5 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝐾 ∈ HL)
6 hlol 36535 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝐾 ∈ OL)
8 simpr1 1191 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝑅𝐴)
9 simpr2 1192 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝑆𝐴)
10 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11 2atmatz.j . . . . . . . . 9 = (join‘𝐾)
12 2atmatz.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1310, 11, 12hlatjcl 36541 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
145, 8, 9, 13syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
15 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝑄𝐴)
16 2atmatz.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
17 2atmatz.z . . . . . . . 8 0 = (0.‘𝐾)
1810, 16, 17, 12meetat2 36471 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄𝐴) → (((𝑅 𝑆) 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 𝑆) 𝑄) = 0 ))
197, 14, 15, 18syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (((𝑅 𝑆) 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 𝑆) 𝑄) = 0 ))
2019adantr 484 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑅 𝑆) 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 𝑆) 𝑄) = 0 ))
21 oveq1 7137 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑄))
2211, 12hlatjidm 36543 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
235, 15, 22syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
2421, 23sylan9eqr 2878 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑃 𝑄) = 𝑄)
2524oveq1d 7145 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = (𝑄 (𝑅 𝑆)))
265hllatd 36538 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝐾 ∈ Lat)
2710, 12atbase 36463 . . . . . . . . . . 11 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
2815, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
2910, 16latmcom 17663 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 (𝑅 𝑆)) = ((𝑅 𝑆) 𝑄))
3026, 28, 14, 29syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑄 (𝑅 𝑆)) = ((𝑅 𝑆) 𝑄))
3130adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑄 (𝑅 𝑆)) = ((𝑅 𝑆) 𝑄))
3225, 31eqtrd 2856 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑅 𝑆) 𝑄))
3332eleq1d 2896 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑅 𝑆) 𝑄) ∈ 𝐴))
3432eqeq1d 2823 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ↔ ((𝑅 𝑆) 𝑄) = 0 ))
3533, 34orbi12d 916 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ) ↔ (((𝑅 𝑆) 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 𝑆) 𝑄) = 0 )))
3620, 35mpbird 260 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
3710, 11, 12hlatjcl 36541 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
3837adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
3910, 16, 17, 12meetat2 36471 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆𝐴) → (((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) 𝑆) = 0 ))
407, 38, 9, 39syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) 𝑆) = 0 ))
4140adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) 𝑆) = 0 ))
42 oveq1 7137 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = 𝑆 → (𝑅 𝑆) = (𝑆 𝑆))
4311, 12hlatjidm 36543 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → (𝑆 𝑆) = 𝑆)
445, 9, 43syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑆 𝑆) = 𝑆)
4542, 44sylan9eqr 2878 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (𝑅 𝑆) = 𝑆)
4645oveq2d 7146 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) 𝑆))
4746eleq1d 2896 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝐴))
4846eqeq1d 2823 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑆) = 0 ))
4947, 48orbi12d 916 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → ((((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) 𝑆) = 0 )))
5041, 49mpbird 260 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
5150adantlr 714 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
52 df-ne 3008 . . . . . . . 8 (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 ↔ ¬ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 )
53 simpll1 1209 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ HL)
54 simpll2 1210 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑃𝐴)
55 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑄𝐴)
56 simpr1 1191 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑃𝑄)
57 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
5811, 12, 57llni2 36686 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
5953, 54, 55, 56, 58syl31anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → (𝑃 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
60 simplr1 1212 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑅𝐴)
61 simplr2 1213 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑆𝐴)
62 simpr2 1192 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑅𝑆)
6311, 12, 57llni2 36686 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑅𝑆) → (𝑅 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
6453, 60, 61, 62, 63syl31anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → (𝑅 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
65 simplr3 1214 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))
66 simpr3 1193 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )
6716, 17, 12, 572llnmat 36698 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾)) ∧ ((𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆) ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴)
6853, 59, 64, 65, 66, 67syl32anc 1375 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ (𝑃𝑄𝑅𝑆 ∧ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 )) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴)
69683exp2 1351 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑃𝑄 → (𝑅𝑆 → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴))))
7069imp31 421 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑅𝑆) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ≠ 0 → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴))
7152, 70syl5bir 246 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑅𝑆) → (¬ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴))
7271orrd 860 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑅𝑆) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴))
7372orcomd 868 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑅𝑆) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
7451, 73pm2.61dane 3094 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑃𝑄) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
7536, 74pm2.61dane 3094 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
761, 2, 3, 4, 75syl13anc 1369 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆𝐴) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
77 simpl1 1188 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝐾 ∈ HL)
7877, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝐾 ∈ OL)
7937adantr 484 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
80 simpr1 1191 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝑅𝐴)
8110, 16, 17, 12meetat2 36471 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅𝐴) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) 𝑅) = 0 ))
8278, 79, 80, 81syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) 𝑅) = 0 ))
8382adantr 484 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) 𝑅) = 0 ))
84 oveq2 7138 . . . . . . 7 (𝑆 = 0 → (𝑅 𝑆) = (𝑅 0 ))
8510, 12atbase 36463 . . . . . . . . 9 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
8680, 85syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
8710, 11, 17olj01 36399 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 0 ) = 𝑅)
8878, 86, 87syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑅 0 ) = 𝑅)
8984, 88sylan9eqr 2878 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (𝑅 𝑆) = 𝑅)
9089oveq2d 7146 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) 𝑅))
9190eleq1d 2896 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝐴))
9290eqeq1d 2823 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑅) = 0 ))
9391, 92orbi12d 916 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → ((((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) 𝑅) = 0 )))
9483, 93mpbird 260 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
95 simpr2 1192 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑆𝐴𝑆 = 0 ))
9676, 94, 95mpjaodan 956 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  Basecbs 16461  joincjn 17532  meetcmee 17533  0.cp0 17625  Latclat 17633  OLcol 36348  Atomscatm 36437  HLchlt 36524  LLinesclln 36665 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-proset 17516  df-poset 17534  df-plt 17546  df-lub 17562  df-glb 17563  df-join 17564  df-meet 17565  df-p0 17627  df-lat 17634  df-clat 17696  df-oposet 36350  df-ol 36352  df-oml 36353  df-covers 36440  df-ats 36441  df-atl 36472  df-cvlat 36496  df-hlat 36525  df-llines 36672 This theorem is referenced by:  2atmat0  36700  cdlemg31b0a  37869
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