Theorem 2at0mat0 36655

Description: Special case of 2atmat0 36656 where one atom could be zero. (Contributed by NM, 30-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
2atmatz.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2atmatz.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2atmatz.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
2atmatz.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2at0mat0	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))

Proof of Theorem 2at0mat0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 765	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
2		simplr1 1211	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝐴)
3		simpr 487	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ 𝐴)
4		simplr3 1213	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))
5		simpl1 1187	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝐾 ∈ HL)
6		hlol 36491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝐾 ∈ OL)
8		simpr1 1190	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
9		simpr2 1191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
10		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11		2atmatz.j	. . . . . . . . 9 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12		2atmatz.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13	10, 11, 12	hlatjcl 36497	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
14	5, 8, 9, 13	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
15		simpl3 1189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
16		2atmatz.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
17		2atmatz.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
18	10, 16, 17, 12	meetat2 36427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) = 0 ))
19	7, 14, 15, 18	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) = 0 ))
20	19	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) = 0 ))
21		oveq1 7157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑄))
22	11, 12	hlatjidm 36499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
23	5, 15, 22	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
24	21, 23	sylan9eqr 2878	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) = 𝑄)
25	24	oveq1d 7165	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = (𝑄 ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)))
26	5	hllatd 36494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝐾 ∈ Lat)
27	10, 12	atbase 36419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
28	15, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
29	10, 16	latmcom 17679	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))
30	26, 28, 14, 29	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑄 ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))
31	30	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑄 ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))
32	25, 31	eqtrd 2856	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))
33	32	eleq1d 2897	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ 𝐴))
34	32	eqeq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ↔ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) = 0 ))
35	33, 34	orbi12d 915	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ) ↔ (((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) = 0 )))
36	20, 35	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
37	10, 11, 12	hlatjcl 36497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
38	37	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
39	10, 16, 17, 12	meetat2 36427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) = 0 ))
40	7, 38, 9, 39	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) = 0 ))
41	40	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) = 0 ))
42		oveq1 7157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (𝑅 ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ 𝑆))
43	11, 12	hlatjidm 36499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∨ 𝑆) = 𝑆)
44	5, 9, 43	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑆 ∨ 𝑆) = 𝑆)
45	42, 44	sylan9eqr 2878	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (𝑅 ∨ 𝑆) = 𝑆)
46	45	oveq2d 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆))
47	46	eleq1d 2897	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) ∈ 𝐴))
48	46	eqeq1d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) = 0 ))
49	47, 48	orbi12d 915	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆) = 0 )))
50	41, 49	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
51	50	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑅 = 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
52		df-ne 3017	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 ↔ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 )
53		simpll1 1208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ HL)
54		simpll2 1209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑃 ∈ 𝐴)
55		simpll3 1210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑄 ∈ 𝐴)
56		simpr1 1190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑃 ≠ 𝑄)
57		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
58	11, 12, 57	llni2 36642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
59	53, 54, 55, 56, 58	syl31anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
60		simplr1 1211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ 𝐴)
61		simplr2 1212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑆 ∈ 𝐴)
62		simpr2 1191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → 𝑅 ≠ 𝑆)
63	11, 12, 57	llni2 36642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
64	53, 60, 61, 62, 63	syl31anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
65		simplr3 1213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))
66		simpr3 1192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )
67	16, 17, 12, 57	2llnmat 36654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴)
68	53, 59, 64, 65, 66, 67	syl32anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 )) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴)
69	68	3exp2 1350	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑅 ≠ 𝑆 → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴))))
70	69	imp31 420	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≠ 0 → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴))
71	52, 70	syl5bir 245	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → (¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴))
72	71	orrd 859	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴))
73	72	orcomd 867	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
74	51, 73	pm2.61dane 3104	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
75	36, 74	pm2.61dane 3104	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
76	1, 2, 3, 4, 75	syl13anc 1368	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
77		simpl1 1187	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝐾 ∈ HL)
78	77, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝐾 ∈ OL)
79	37	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
80		simpr1 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
81	10, 16, 17, 12	meetat2 36427	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) = 0 ))
82	78, 79, 80, 81	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) = 0 ))
83	82	adantr 483	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) = 0 ))
84		oveq2 7158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = 0 → (𝑅 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 0 ))
85	10, 12	atbase 36419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
86	80, 85	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
87	10, 11, 17	olj01 36355	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 ∨ 0 ) = 𝑅)
88	78, 86, 87	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑅 ∨ 0 ) = 𝑅)
89	84, 88	sylan9eqr 2878	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (𝑅 ∨ 𝑆) = 𝑅)
90	89	oveq2d 7166	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅))
91	90	eleq1d 2897	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) ∈ 𝐴))
92	90	eqeq1d 2823	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) = 0 ))
93	91, 92	orbi12d 915	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅) = 0 )))
94	83, 93	mpbird 259	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) ∧ 𝑆 = 0 ) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))
95		simpr2 1191	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ))
96	76, 94, 95	mpjaodan 955	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≠ (𝑅 ∨ 𝑆))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  joincjn 17548  meetcmee 17549  0.cp0 17641  Latclat 17649  OLcol 36304  Atomscatm 36393  HLchlt 36480  LLinesclln 36621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-lat 17650  df-clat 17712  df-oposet 36306  df-ol 36308  df-oml 36309  df-covers 36396  df-ats 36397  df-atl 36428  df-cvlat 36452  df-hlat 36481  df-llines 36628

This theorem is referenced by:  2atmat0  36656  cdlemg31b0a  37825