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Theorem atmod1i1m 38717
Description: Version of modular law pmod1i 38707 that holds in a Hilbert lattice, when an element meets an atom. (Contributed by NM, 2-Sep-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atmod.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atmod.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
atmod.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
atmod.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atmod1i1m (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
Proof of Theorem atmod1i1m
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1224 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpr 485 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴)
3 simpl22 1252 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4 simpl23 1253 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
5 simpl3 1193 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍)
6 atmod.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 atmod.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 atmod.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 atmod.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
10 atmod.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
116, 7, 8, 9, 10atmod1i1 38716 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
121, 2, 3, 4, 5, 11syl131anc 1383 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
13 simp1l 1197 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ 𝐾 ∈ HL)
14 hlol 38219 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ 𝐾 ∈ OL)
1615adantr 481 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
1713hllatd 38222 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
1817adantr 481 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
19 simpl22 1252 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
20 simpl23 1253 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
216, 9latmcl 18389 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
2218, 19, 20, 21syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
23 eqid 2732 . . . . 5 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
246, 8, 23olj02 38084 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
2516, 22, 24syl2anc 584 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
26 oveq1 7412 . . . 4 ((𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((0.β€˜πΎ) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
2726adantl 482 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((0.β€˜πΎ) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
28 oveq1 7412 . . . . . 6 ((𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) = ((0.β€˜πΎ) ∨ π‘Œ))
2928adantl 482 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) = ((0.β€˜πΎ) ∨ π‘Œ))
306, 8, 23olj02 38084 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ π‘Œ) = π‘Œ)
3116, 19, 30syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ π‘Œ) = π‘Œ)
3229, 31eqtrd 2772 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) = π‘Œ)
3332oveq1d 7420 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
3425, 27, 333eqtr4d 2782 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
35 simp21 1206 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
36 simp1r 1198 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
376, 9, 23, 10meetat2 38155 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)))
3815, 35, 36, 37syl3anc 1371 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)))
3912, 34, 38mpjaodan 957 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  0.cp0 18372  Latclat 18380  OLcol 38032  Atomscatm 38121  HLchlt 38208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655
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