Theorem atmod1i1m 40482

Description: Version of modular law pmod1i 40472 that holds in a Hilbert lattice, when an element meets an atom. (Contributed by NM, 2-Sep-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
atmod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atmod.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
atmod.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
atmod.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atmod1i1m	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) → ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))

Proof of Theorem atmod1i1m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1l 1238	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpr 488	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴)
3		simpl22 1266	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		simpl23 1267	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		simpl3 1207	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍)
6		atmod.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		atmod.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8		atmod.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		atmod.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
10		atmod.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11	6, 7, 8, 9, 10	atmod1i1 40481	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) → ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))
12	1, 2, 3, 4, 5, 11	syl131anc 1402	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))
13		simp1l 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) → 𝐾 ∈ HL)
14		hlol 39985	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) → 𝐾 ∈ OL)
16	15	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OL)
17	13	hllatd 39988	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) → 𝐾 ∈ Lat)
18	17	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Lat)
19		simpl22 1266	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.‘𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
20		simpl23 1267	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.‘𝐾)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
21	6, 9	latmcl 18472	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1390	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.‘𝐾)) → (𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
23		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
24	6, 8, 23	olj02 39850	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾) ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = (𝑌 ∧ 𝑍))
25	16, 22, 24	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.‘𝐾)) → ((0.‘𝐾) ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = (𝑌 ∧ 𝑍))
26		oveq1 7403	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∧ 𝑃) = (0.‘𝐾) → ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = ((0.‘𝐾) ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)))
27	26	adantl 485	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = ((0.‘𝐾) ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)))
28		oveq1 7403	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∧ 𝑃) = (0.‘𝐾) → ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ 𝑌) = ((0.‘𝐾) ∨ 𝑌))
29	28	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ 𝑌) = ((0.‘𝐾) ∨ 𝑌))
30	6, 8, 23	olj02 39850	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾) ∨ 𝑌) = 𝑌)
31	16, 19, 30	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.‘𝐾)) → ((0.‘𝐾) ∨ 𝑌) = 𝑌)
32	29, 31	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ 𝑌) = 𝑌)
33	32	oveq1d 7411	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.‘𝐾)) → (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) = (𝑌 ∧ 𝑍))
34	25, 27, 33	3eqtr4d 2807	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))
35		simp21 1220	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝐵)
36		simp1r 1212	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) → 𝑃 ∈ 𝐴)
37	6, 9, 23, 10	meetat2 39921	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.‘𝐾)))
38	15, 35, 36, 37	syl3anc 1390	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) → ((𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.‘𝐾)))
39	12, 34, 38	mpjaodan 971	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≤ 𝑍) → ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) = (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  lecple 17293  joincjn 18343  meetcmee 18344  0.cp0 18453  Latclat 18463  OLcol 39798  Atomscatm 39887  HLchlt 39974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-proset 18326  df-poset 18345  df-plt 18360  df-lub 18376  df-glb 18377  df-join 18378  df-meet 18379  df-p0 18455  df-lat 18464  df-clat 18531  df-oposet 39800  df-ol 39802  df-oml 39803  df-covers 39890  df-ats 39891  df-atl 39922  df-cvlat 39946  df-hlat 39975  df-psubsp 40127  df-pmap 40128  df-padd 40420

This theorem is referenced by:  dalawlem3  40497  dalawlem6  40500