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Theorem atmod1i1m 39387
Description: Version of modular law pmod1i 39377 that holds in a Hilbert lattice, when an element meets an atom. (Contributed by NM, 2-Sep-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atmod.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atmod.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
atmod.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
atmod.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atmod1i1m (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
Proof of Theorem atmod1i1m
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1221 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpr 483 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴)
3 simpl22 1249 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4 simpl23 1250 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
5 simpl3 1190 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍)
6 atmod.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 atmod.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 atmod.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 atmod.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
10 atmod.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
116, 7, 8, 9, 10atmod1i1 39386 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
121, 2, 3, 4, 5, 11syl131anc 1380 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
13 simp1l 1194 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ 𝐾 ∈ HL)
14 hlol 38889 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ 𝐾 ∈ OL)
1615adantr 479 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
1713hllatd 38892 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
1817adantr 479 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
19 simpl22 1249 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
20 simpl23 1250 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
216, 9latmcl 18431 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
2218, 19, 20, 21syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
23 eqid 2725 . . . . 5 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
246, 8, 23olj02 38754 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
2516, 22, 24syl2anc 582 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
26 oveq1 7423 . . . 4 ((𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((0.β€˜πΎ) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
2726adantl 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((0.β€˜πΎ) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
28 oveq1 7423 . . . . . 6 ((𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) = ((0.β€˜πΎ) ∨ π‘Œ))
2928adantl 480 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) = ((0.β€˜πΎ) ∨ π‘Œ))
306, 8, 23olj02 38754 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ π‘Œ) = π‘Œ)
3116, 19, 30syl2anc 582 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ π‘Œ) = π‘Œ)
3229, 31eqtrd 2765 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) = π‘Œ)
3332oveq1d 7431 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
3425, 27, 333eqtr4d 2775 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
35 simp21 1203 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
36 simp1r 1195 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
376, 9, 23, 10meetat2 38825 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)))
3815, 35, 36, 37syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)))
3912, 34, 38mpjaodan 956 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  lecple 17239  joincjn 18302  meetcmee 18303  0.cp0 18414  Latclat 18422  OLcol 38702  Atomscatm 38791  HLchlt 38878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325
This theorem is referenced by:  dalawlem3  39402  dalawlem6  39405
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