Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1l 1225 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β§ (π β§ π) β π΄) β πΎ β HL) |
2 | | simpr 486 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β§ (π β§ π) β π΄) β (π β§ π) β π΄) |
3 | | simpl22 1253 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β§ (π β§ π) β π΄) β π β π΅) |
4 | | simpl23 1254 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β§ (π β§ π) β π΄) β π β π΅) |
5 | | simpl3 1194 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β§ (π β§ π) β π΄) β (π β§ π) β€ π) |
6 | | atmod.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
7 | | atmod.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
8 | | atmod.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
9 | | atmod.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
10 | | atmod.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
11 | 6, 7, 8, 9, 10 | atmod1i1 38323 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ ((π β§ π) β π΄ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β ((π β§ π) β¨ (π β§ π)) = (((π β§ π) β¨ π) β§ π)) |
12 | 1, 2, 3, 4, 5, 11 | syl131anc 1384 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β§ (π β§ π) β π΄) β ((π β§ π) β¨ (π β§ π)) = (((π β§ π) β¨ π) β§ π)) |
13 | | simp1l 1198 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β πΎ β HL) |
14 | | hlol 37826 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
15 | 13, 14 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β πΎ β OL) |
16 | 15 | adantr 482 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β§ (π β§ π) = (0.βπΎ)) β πΎ β OL) |
17 | 13 | hllatd 37829 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β πΎ β Lat) |
18 | 17 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β§ (π β§ π) = (0.βπΎ)) β πΎ β Lat) |
19 | | simpl22 1253 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β§ (π β§ π) = (0.βπΎ)) β π β π΅) |
20 | | simpl23 1254 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β§ (π β§ π) = (0.βπΎ)) β π β π΅) |
21 | 6, 9 | latmcl 18330 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β π΅) |
22 | 18, 19, 20, 21 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β§ (π β§ π) = (0.βπΎ)) β (π β§ π) β π΅) |
23 | | eqid 2737 |
. . . . 5
β’
(0.βπΎ) =
(0.βπΎ) |
24 | 6, 8, 23 | olj02 37691 |
. . . 4
β’ ((πΎ β OL β§ (π β§ π) β π΅) β ((0.βπΎ) β¨ (π β§ π)) = (π β§ π)) |
25 | 16, 22, 24 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β§ (π β§ π) = (0.βπΎ)) β ((0.βπΎ) β¨ (π β§ π)) = (π β§ π)) |
26 | | oveq1 7365 |
. . . 4
β’ ((π β§ π) = (0.βπΎ) β ((π β§ π) β¨ (π β§ π)) = ((0.βπΎ) β¨ (π β§ π))) |
27 | 26 | adantl 483 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β§ (π β§ π) = (0.βπΎ)) β ((π β§ π) β¨ (π β§ π)) = ((0.βπΎ) β¨ (π β§ π))) |
28 | | oveq1 7365 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π) = (0.βπΎ) β ((π β§ π) β¨ π) = ((0.βπΎ) β¨ π)) |
29 | 28 | adantl 483 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β§ (π β§ π) = (0.βπΎ)) β ((π β§ π) β¨ π) = ((0.βπΎ) β¨ π)) |
30 | 6, 8, 23 | olj02 37691 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β OL β§ π β π΅) β ((0.βπΎ) β¨ π) = π) |
31 | 16, 19, 30 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β§ (π β§ π) = (0.βπΎ)) β ((0.βπΎ) β¨ π) = π) |
32 | 29, 31 | eqtrd 2777 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β§ (π β§ π) = (0.βπΎ)) β ((π β§ π) β¨ π) = π) |
33 | 32 | oveq1d 7373 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β§ (π β§ π) = (0.βπΎ)) β (((π β§ π) β¨ π) β§ π) = (π β§ π)) |
34 | 25, 27, 33 | 3eqtr4d 2787 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β§ (π β§ π) = (0.βπΎ)) β ((π β§ π) β¨ (π β§ π)) = (((π β§ π) β¨ π) β§ π)) |
35 | | simp21 1207 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β π β π΅) |
36 | | simp1r 1199 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β π β π΄) |
37 | 6, 9, 23, 10 | meetat2 37762 |
. . 3
β’ ((πΎ β OL β§ π β π΅ β§ π β π΄) β ((π β§ π) β π΄ β¨ (π β§ π) = (0.βπΎ))) |
38 | 15, 35, 36, 37 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β ((π β§ π) β π΄ β¨ (π β§ π) = (0.βπΎ))) |
39 | 12, 34, 38 | mpjaodan 958 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β ((π β§ π) β¨ (π β§ π)) = (((π β§ π) β¨ π) β§ π)) |