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Theorem atmod1i1m 39242
Description: Version of modular law pmod1i 39232 that holds in a Hilbert lattice, when an element meets an atom. (Contributed by NM, 2-Sep-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atmod.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atmod.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
atmod.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
atmod.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atmod1i1m (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
Proof of Theorem atmod1i1m
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1221 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpr 484 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴)
3 simpl22 1249 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4 simpl23 1250 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
5 simpl3 1190 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍)
6 atmod.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 atmod.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 atmod.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 atmod.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
10 atmod.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
116, 7, 8, 9, 10atmod1i1 39241 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
121, 2, 3, 4, 5, 11syl131anc 1380 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
13 simp1l 1194 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ 𝐾 ∈ HL)
14 hlol 38744 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ 𝐾 ∈ OL)
1615adantr 480 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
1713hllatd 38747 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
1817adantr 480 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
19 simpl22 1249 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
20 simpl23 1250 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
216, 9latmcl 18405 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
2218, 19, 20, 21syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
23 eqid 2726 . . . . 5 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
246, 8, 23olj02 38609 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
2516, 22, 24syl2anc 583 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
26 oveq1 7412 . . . 4 ((𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((0.β€˜πΎ) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
2726adantl 481 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((0.β€˜πΎ) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
28 oveq1 7412 . . . . . 6 ((𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) = ((0.β€˜πΎ) ∨ π‘Œ))
2928adantl 481 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) = ((0.β€˜πΎ) ∨ π‘Œ))
306, 8, 23olj02 38609 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ π‘Œ) = π‘Œ)
3116, 19, 30syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ π‘Œ) = π‘Œ)
3229, 31eqtrd 2766 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) = π‘Œ)
3332oveq1d 7420 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
3425, 27, 333eqtr4d 2776 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
35 simp21 1203 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
36 simp1r 1195 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
376, 9, 23, 10meetat2 38680 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)))
3815, 35, 36, 37syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)))
3912, 34, 38mpjaodan 955 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  0.cp0 18388  Latclat 18396  OLcol 38557  Atomscatm 38646  HLchlt 38733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180
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