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Theorem atmod1i1m 38324
Description: Version of modular law pmod1i 38314 that holds in a Hilbert lattice, when an element meets an atom. (Contributed by NM, 2-Sep-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atmod.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atmod.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
atmod.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
atmod.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atmod1i1m (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))

Proof of Theorem atmod1i1m
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1225 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpr 486 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴)
3 simpl22 1253 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4 simpl23 1254 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
5 simpl3 1194 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍)
6 atmod.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 atmod.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 atmod.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 atmod.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
10 atmod.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
116, 7, 8, 9, 10atmod1i1 38323 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
121, 2, 3, 4, 5, 11syl131anc 1384 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
13 simp1l 1198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ 𝐾 ∈ HL)
14 hlol 37826 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ 𝐾 ∈ OL)
1615adantr 482 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
1713hllatd 37829 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
1817adantr 482 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
19 simpl22 1253 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
20 simpl23 1254 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
216, 9latmcl 18330 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
2218, 19, 20, 21syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
23 eqid 2737 . . . . 5 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
246, 8, 23olj02 37691 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
2516, 22, 24syl2anc 585 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
26 oveq1 7365 . . . 4 ((𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((0.β€˜πΎ) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
2726adantl 483 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((0.β€˜πΎ) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
28 oveq1 7365 . . . . . 6 ((𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) = ((0.β€˜πΎ) ∨ π‘Œ))
2928adantl 483 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) = ((0.β€˜πΎ) ∨ π‘Œ))
306, 8, 23olj02 37691 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ π‘Œ) = π‘Œ)
3116, 19, 30syl2anc 585 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ π‘Œ) = π‘Œ)
3229, 31eqtrd 2777 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) = π‘Œ)
3332oveq1d 7373 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) = (π‘Œ ∧ 𝑍))
3425, 27, 333eqtr4d 2787 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
35 simp21 1207 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
36 simp1r 1199 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
376, 9, 23, 10meetat2 37762 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)))
3815, 35, 36, 37syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∈ 𝐴 ∨ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ)))
3912, 34, 38mpjaodan 958 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ 𝑃) ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  lecple 17141  joincjn 18201  meetcmee 18202  0.cp0 18313  Latclat 18321  OLcol 37639  Atomscatm 37728  HLchlt 37815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262
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