Theorem mircom 28642

Description: Variation on mirmir 28641. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirmir.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
mircom.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mircom	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem mircom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mircom.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = 𝐶)
2	1	fveq2d 6826	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝐵)) = (𝑀‘𝐶))
3		mirval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		mirval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		mirval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		mirval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		mirval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8		mirval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		mirval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
11		mirmir.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	mirmir 28641	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝐵)) = 𝐵)
13	2, 12	eqtr3d 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  distcds 17170  TarskiGcstrkg 28406  Itvcitv 28412  LineGclng 28413  pInvGcmir 28631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-trkgc 28427  df-trkgb 28428  df-trkgcb 28429  df-trkg 28432  df-mir 28632

This theorem is referenced by:  miduniq  28664  colperpexlem3  28711  mideulem2  28713  midex  28716  opphllem1  28726  opphllem2  28727  opphllem3  28728  opphllem5  28730  opphllem6  28731  trgcopyeulem  28784