Theorem mircom 25974

Description: Variation on mirmir 25973. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirmir.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
mircom.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mircom	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem mircom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mircom.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = 𝐶)
2	1	fveq2d 6436	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝐵)) = (𝑀‘𝐶))
3		mirval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		mirval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		mirval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		mirval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		mirval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8		mirval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		mirval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
11		mirmir.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	mirmir 25973	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝐵)) = 𝐵)
13	2, 12	eqtr3d 2862	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ‘cfv 6122  Basecbs 16221  distcds 16313  TarskiGcstrkg 25741  Itvcitv 25747  LineGclng 25748  pInvGcmir 25963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pr 5126

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-trkgc 25759  df-trkgb 25760  df-trkgcb 25761  df-trkg 25764  df-mir 25964

This theorem is referenced by:  miduniq  25996  colperpexlem3  26040  mideulem2  26042  midex  26045  opphllem1  26055  opphllem2  26056  opphllem3  26057  opphllem5  26059  opphllem6  26060  trgcopyeulem  26113