Theorem mircom 28689

Description: Variation on mirmir 28688. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirmir.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
mircom.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mircom	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem mircom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mircom.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = 𝐶)
2	1	fveq2d 6924	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝐵)) = (𝑀‘𝐶))
3		mirval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		mirval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		mirval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		mirval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		mirval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8		mirval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		mirval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
11		mirmir.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	mirmir 28688	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝐵)) = 𝐵)
13	2, 12	eqtr3d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  distcds 17320  TarskiGcstrkg 28453  Itvcitv 28459  LineGclng 28460  pInvGcmir 28678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-trkgc 28474  df-trkgb 28475  df-trkgcb 28476  df-trkg 28479  df-mir 28679

This theorem is referenced by:  miduniq  28711  colperpexlem3  28758  mideulem2  28760  midex  28763  opphllem1  28773  opphllem2  28774  opphllem3  28775  opphllem5  28777  opphllem6  28778  trgcopyeulem  28831