Theorem mircom 26457

Description: Variation on mirmir 26456. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirmir.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
mircom.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mircom	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem mircom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mircom.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = 𝐶)
2	1	fveq2d 6649	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝐵)) = (𝑀‘𝐶))
3		mirval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		mirval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		mirval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		mirval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		mirval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8		mirval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		mirval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
11		mirmir.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	mirmir 26456	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝐵)) = 𝐵)
13	2, 12	eqtr3d 2835	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  Basecbs 16475  distcds 16566  TarskiGcstrkg 26224  Itvcitv 26230  LineGclng 26231  pInvGcmir 26446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-trkgc 26242  df-trkgb 26243  df-trkgcb 26244  df-trkg 26247  df-mir 26447

This theorem is referenced by:  miduniq  26479  colperpexlem3  26526  mideulem2  26528  midex  26531  opphllem1  26541  opphllem2  26542  opphllem3  26543  opphllem5  26545  opphllem6  26546  trgcopyeulem  26599