MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mircom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mircom 28181
Description: Variation on mirmir 28180. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
mirval.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
mirval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
mirval.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
mirval.s 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
mirval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m 𝑀 = (π‘†β€˜π΄)
mirmir.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
mircom.1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΅) = 𝐢)
Assertion
Ref Expression
mircom (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜πΆ) = 𝐡)

Proof of Theorem mircom
StepHypRef Expression
1 mircom.1 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΅) = 𝐢)
21fveq2d 6894 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘€β€˜π΅)) = (π‘€β€˜πΆ))
3 mirval.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
4 mirval.d . . 3 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
5 mirval.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
6 mirval.l . . 3 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
7 mirval.s . . 3 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
8 mirval.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
9 mirval.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
10 mirfv.m . . 3 𝑀 = (π‘†β€˜π΄)
11 mirmir.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
123, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11mirmir 28180 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘€β€˜π΅)) = 𝐡)
132, 12eqtr3d 2772 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜πΆ) = 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  β€˜cfv 6542  Basecbs 17148  distcds 17210  TarskiGcstrkg 27945  Itvcitv 27951  LineGclng 27952  pInvGcmir 28170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-trkgc 27966  df-trkgb 27967  df-trkgcb 27968  df-trkg 27971  df-mir 28171
This theorem is referenced by:  miduniq  28203  colperpexlem3  28250  mideulem2  28252  midex  28255  opphllem1  28265  opphllem2  28266  opphllem3  28267  opphllem5  28269  opphllem6  28270  trgcopyeulem  28323
  Copyright terms: Public domain W3C validator