MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  miduniq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem miduniq 27574
Description: Uniqueness of the middle point, expressed with point inversion. Theorem 7.17 of [Schwabhauser] p. 51. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
miduniq.a (𝜑𝐴𝑃)
miduniq.b (𝜑𝐵𝑃)
miduniq.x (𝜑𝑋𝑃)
miduniq.y (𝜑𝑌𝑃)
miduniq.e (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝑋) = 𝑌)
miduniq.f (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘𝑋) = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
miduniq (𝜑𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem miduniq
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3 mirval.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 miduniq.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑃)
6 miduniq.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑃)
7 miduniq.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
8 eqid 2736 . . . 4 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
9 mirval.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
10 mirval.s . . . . 5 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
11 miduniq.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
12 eqid 2736 . . . . 5 (𝑆𝐴) = (𝑆𝐴)
131, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 7mircl 27550 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑃)
14 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑆𝐵) = (𝑆𝐵)
151, 9, 3, 2, 10, 4, 7, 14, 5mirbtwn 27547 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (((𝑆𝐵)‘𝑋)𝐼𝑋))
16 miduniq.f . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘𝑋) = 𝑌)
1716oveq1d 7371 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑆𝐵)‘𝑋)𝐼𝑋) = (𝑌𝐼𝑋))
1815, 17eleqtrd 2840 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝑌𝐼𝑋))
191, 9, 3, 4, 6, 7, 5, 18tgbtwncom 27377 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
201, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 6, 7miriso 27559 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑆𝐴)‘𝑌) ((𝑆𝐴)‘𝐵)) = (𝑌 𝐵))
21 miduniq.e . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝑋) = 𝑌)
221, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 5, 21mircom 27552 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝑌) = 𝑋)
2322oveq1d 7371 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑆𝐴)‘𝑌) ((𝑆𝐴)‘𝐵)) = (𝑋 ((𝑆𝐴)‘𝐵)))
241, 9, 3, 2, 10, 4, 7, 14, 5mircgr 27546 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ((𝑆𝐵)‘𝑋)) = (𝐵 𝑋))
2516oveq2d 7372 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ((𝑆𝐵)‘𝑋)) = (𝐵 𝑌))
2624, 25eqtr3d 2778 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 𝑋) = (𝐵 𝑌))
2726eqcomd 2742 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 𝑌) = (𝐵 𝑋))
281, 9, 3, 4, 7, 6, 7, 5, 27tgcgrcomlr 27369 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 𝐵) = (𝑋 𝐵))
2920, 23, 283eqtr3rd 2785 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝐵) = (𝑋 ((𝑆𝐴)‘𝐵)))
301, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 5, 7miriso 27559 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑆𝐴)‘𝑋) ((𝑆𝐴)‘𝐵)) = (𝑋 𝐵))
3121oveq1d 7371 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑆𝐴)‘𝑋) ((𝑆𝐴)‘𝐵)) = (𝑌 ((𝑆𝐴)‘𝐵)))
321, 9, 3, 4, 7, 5, 7, 6, 26tgcgrcomlr 27369 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝐵) = (𝑌 𝐵))
3330, 31, 323eqtr3rd 2785 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 𝐵) = (𝑌 ((𝑆𝐴)‘𝐵)))
341, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 11, 9, 19, 29, 33tgidinside 27460 . . 3 (𝜑𝐵 = ((𝑆𝐴)‘𝐵))
3534eqcomd 2742 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝐵) = 𝐵)
361, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 7mirinv 27555 . 2 (𝜑 → (((𝑆𝐴)‘𝐵) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
3735, 36mpbid 231 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7356  Basecbs 17082  distcds 17141  TarskiGcstrkg 27316  Itvcitv 27322  LineGclng 27323  cgrGccgrg 27399  pInvGcmir 27541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-er 8647  df-pm 8767  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-dju 9836  df-card 9874  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-n0 12413  df-xnn0 12485  df-z 12499  df-uz 12763  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-hash 14230  df-word 14402  df-concat 14458  df-s1 14483  df-s2 14736  df-s3 14737  df-trkgc 27337  df-trkgb 27338  df-trkgcb 27339  df-trkg 27342  df-cgrg 27400  df-mir 27542
This theorem is referenced by:  miduniq1  27575  krippenlem  27579  mideu  27627  opphllem3  27638
  Copyright terms: Public domain W3C validator