Theorem miduniq 26950

Description: Uniqueness of the middle point, expressed with point inversion. Theorem 7.17 of [Schwabhauser] p. 51. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
miduniq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
miduniq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
miduniq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
miduniq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
miduniq.e	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝑋) = 𝑌)
miduniq.f	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝑋) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
miduniq	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem miduniq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		mirval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		miduniq.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
6		miduniq.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
7		miduniq.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
9		mirval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		mirval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
11		miduniq.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐴)
13	1, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 7	mircl 26926	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑃)
14		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘𝐵)
15	1, 9, 3, 2, 10, 4, 7, 14, 5	mirbtwn 26923	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (((𝑆‘𝐵)‘𝑋)𝐼𝑋))
16		miduniq.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝑋) = 𝑌)
17	16	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐵)‘𝑋)𝐼𝑋) = (𝑌𝐼𝑋))
18	15, 17	eleqtrd 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑌𝐼𝑋))
19	1, 9, 3, 4, 6, 7, 5, 18	tgbtwncom 26753	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
20	1, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 6, 7	miriso 26935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐴)‘𝑌) − ((𝑆‘𝐴)‘𝐵)) = (𝑌 − 𝐵))
21		miduniq.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝑋) = 𝑌)
22	1, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 5, 21	mircom 26928	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝑌) = 𝑋)
23	22	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐴)‘𝑌) − ((𝑆‘𝐴)‘𝐵)) = (𝑋 − ((𝑆‘𝐴)‘𝐵)))
24	1, 9, 3, 2, 10, 4, 7, 14, 5	mircgr 26922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((𝑆‘𝐵)‘𝑋)) = (𝐵 − 𝑋))
25	16	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((𝑆‘𝐵)‘𝑋)) = (𝐵 − 𝑌))
26	24, 25	eqtr3d 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) = (𝐵 − 𝑌))
27	26	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) = (𝐵 − 𝑋))
28	1, 9, 3, 4, 7, 6, 7, 5, 27	tgcgrcomlr 26745	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐵) = (𝑋 − 𝐵))
29	20, 23, 28	3eqtr3rd 2787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐵) = (𝑋 − ((𝑆‘𝐴)‘𝐵)))
30	1, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 5, 7	miriso 26935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐴)‘𝑋) − ((𝑆‘𝐴)‘𝐵)) = (𝑋 − 𝐵))
31	21	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐴)‘𝑋) − ((𝑆‘𝐴)‘𝐵)) = (𝑌 − ((𝑆‘𝐴)‘𝐵)))
32	1, 9, 3, 4, 7, 5, 7, 6, 26	tgcgrcomlr 26745	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐵) = (𝑌 − 𝐵))
33	30, 31, 32	3eqtr3rd 2787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐵) = (𝑌 − ((𝑆‘𝐴)‘𝐵)))
34	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 11, 9, 19, 29, 33	tgidinside 26836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((𝑆‘𝐴)‘𝐵))
35	34	eqcomd 2744	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝐵) = 𝐵)
36	1, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 7	mirinv 26931	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐴)‘𝐵) = 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
37	35, 36	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  distcds 16897  TarskiGcstrkg 26693  Itvcitv 26699  LineGclng 26700  cgrGccgrg 26775  pInvGcmir 26917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-s2 14489  df-s3 14490  df-trkgc 26713  df-trkgb 26714  df-trkgcb 26715  df-trkg 26718  df-cgrg 26776  df-mir 26918

This theorem is referenced by:  miduniq1  26951  krippenlem  26955  mideu  27003  opphllem3  27014