Theorem miduniq 26036

Description: Uniqueness of the middle point, expressed with point inversion. Theorem 7.17 of [Schwabhauser] p. 51. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
miduniq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
miduniq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
miduniq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
miduniq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
miduniq.e	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝑋) = 𝑌)
miduniq.f	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝑋) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
miduniq	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem miduniq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		mirval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		miduniq.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
6		miduniq.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
7		miduniq.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		eqid 2777	. . . 4 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
9		mirval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		mirval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
11		miduniq.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		eqid 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐴)
13	1, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 7	mircl 26012	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑃)
14		eqid 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘𝐵)
15	1, 9, 3, 2, 10, 4, 7, 14, 5	mirbtwn 26009	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (((𝑆‘𝐵)‘𝑋)𝐼𝑋))
16		miduniq.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝑋) = 𝑌)
17	16	oveq1d 6937	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐵)‘𝑋)𝐼𝑋) = (𝑌𝐼𝑋))
18	15, 17	eleqtrd 2860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑌𝐼𝑋))
19	1, 9, 3, 4, 6, 7, 5, 18	tgbtwncom 25839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
20	1, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 6, 7	miriso 26021	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐴)‘𝑌) − ((𝑆‘𝐴)‘𝐵)) = (𝑌 − 𝐵))
21		miduniq.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝑋) = 𝑌)
22	1, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 5, 21	mircom 26014	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝑌) = 𝑋)
23	22	oveq1d 6937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐴)‘𝑌) − ((𝑆‘𝐴)‘𝐵)) = (𝑋 − ((𝑆‘𝐴)‘𝐵)))
24	1, 9, 3, 2, 10, 4, 7, 14, 5	mircgr 26008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((𝑆‘𝐵)‘𝑋)) = (𝐵 − 𝑋))
25	16	oveq2d 6938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((𝑆‘𝐵)‘𝑋)) = (𝐵 − 𝑌))
26	24, 25	eqtr3d 2815	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) = (𝐵 − 𝑌))
27	26	eqcomd 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) = (𝐵 − 𝑋))
28	1, 9, 3, 4, 7, 6, 7, 5, 27	tgcgrcomlr 25831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐵) = (𝑋 − 𝐵))
29	20, 23, 28	3eqtr3rd 2822	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐵) = (𝑋 − ((𝑆‘𝐴)‘𝐵)))
30	1, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 5, 7	miriso 26021	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐴)‘𝑋) − ((𝑆‘𝐴)‘𝐵)) = (𝑋 − 𝐵))
31	21	oveq1d 6937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐴)‘𝑋) − ((𝑆‘𝐴)‘𝐵)) = (𝑌 − ((𝑆‘𝐴)‘𝐵)))
32	1, 9, 3, 4, 7, 5, 7, 6, 26	tgcgrcomlr 25831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐵) = (𝑌 − 𝐵))
33	30, 31, 32	3eqtr3rd 2822	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐵) = (𝑌 − ((𝑆‘𝐴)‘𝐵)))
34	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 11, 9, 19, 29, 33	tgidinside 25922	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((𝑆‘𝐴)‘𝐵))
35	34	eqcomd 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝐵) = 𝐵)
36	1, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 7	mirinv 26017	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐴)‘𝐵) = 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
37	35, 36	mpbid 224	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  distcds 16347  TarskiGcstrkg 25781  Itvcitv 25787  LineGclng 25788  cgrGccgrg 25861  pInvGcmir 26003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-hash 13436  df-word 13600  df-concat 13661  df-s1 13686  df-s2 13999  df-s3 14000  df-trkgc 25799  df-trkgb 25800  df-trkgcb 25801  df-trkg 25804  df-cgrg 25862  df-mir 26004

This theorem is referenced by:  miduniq1  26037  krippenlem  26041  mideu  26086  opphllem3  26097