Theorem miduniq 28711

Description: Uniqueness of the middle point, expressed with point inversion. Theorem 7.17 of [Schwabhauser] p. 51. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
miduniq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
miduniq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
miduniq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
miduniq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
miduniq.e	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝑋) = 𝑌)
miduniq.f	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝑋) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
miduniq	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem miduniq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		mirval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		miduniq.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
6		miduniq.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
7		miduniq.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
9		mirval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		mirval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
11		miduniq.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐴)
13	1, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 7	mircl 28687	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑃)
14		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘𝐵)
15	1, 9, 3, 2, 10, 4, 7, 14, 5	mirbtwn 28684	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (((𝑆‘𝐵)‘𝑋)𝐼𝑋))
16		miduniq.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝑋) = 𝑌)
17	16	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐵)‘𝑋)𝐼𝑋) = (𝑌𝐼𝑋))
18	15, 17	eleqtrd 2846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑌𝐼𝑋))
19	1, 9, 3, 4, 6, 7, 5, 18	tgbtwncom 28514	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
20	1, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 6, 7	miriso 28696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐴)‘𝑌) − ((𝑆‘𝐴)‘𝐵)) = (𝑌 − 𝐵))
21		miduniq.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝑋) = 𝑌)
22	1, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 5, 21	mircom 28689	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝑌) = 𝑋)
23	22	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐴)‘𝑌) − ((𝑆‘𝐴)‘𝐵)) = (𝑋 − ((𝑆‘𝐴)‘𝐵)))
24	1, 9, 3, 2, 10, 4, 7, 14, 5	mircgr 28683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((𝑆‘𝐵)‘𝑋)) = (𝐵 − 𝑋))
25	16	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((𝑆‘𝐵)‘𝑋)) = (𝐵 − 𝑌))
26	24, 25	eqtr3d 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) = (𝐵 − 𝑌))
27	26	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) = (𝐵 − 𝑋))
28	1, 9, 3, 4, 7, 6, 7, 5, 27	tgcgrcomlr 28506	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐵) = (𝑋 − 𝐵))
29	20, 23, 28	3eqtr3rd 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐵) = (𝑋 − ((𝑆‘𝐴)‘𝐵)))
30	1, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 5, 7	miriso 28696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐴)‘𝑋) − ((𝑆‘𝐴)‘𝐵)) = (𝑋 − 𝐵))
31	21	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐴)‘𝑋) − ((𝑆‘𝐴)‘𝐵)) = (𝑌 − ((𝑆‘𝐴)‘𝐵)))
32	1, 9, 3, 4, 7, 5, 7, 6, 26	tgcgrcomlr 28506	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐵) = (𝑌 − 𝐵))
33	30, 31, 32	3eqtr3rd 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐵) = (𝑌 − ((𝑆‘𝐴)‘𝐵)))
34	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 11, 9, 19, 29, 33	tgidinside 28597	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((𝑆‘𝐴)‘𝐵))
35	34	eqcomd 2746	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)‘𝐵) = 𝐵)
36	1, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 7	mirinv 28692	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐴)‘𝐵) = 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
37	35, 36	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  distcds 17320  TarskiGcstrkg 28453  Itvcitv 28459  LineGclng 28460  cgrGccgrg 28536  pInvGcmir 28678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-s1 14644  df-s2 14897  df-s3 14898  df-trkgc 28474  df-trkgb 28475  df-trkgcb 28476  df-trkg 28479  df-cgrg 28537  df-mir 28679

This theorem is referenced by:  miduniq1  28712  krippenlem  28716  mideu  28764  opphllem3  28775