MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  miduniq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem miduniq 26483
Description: Uniqueness of the middle point, expressed with point inversion. Theorem 7.17 of [Schwabhauser] p. 51. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
miduniq.a (𝜑𝐴𝑃)
miduniq.b (𝜑𝐵𝑃)
miduniq.x (𝜑𝑋𝑃)
miduniq.y (𝜑𝑌𝑃)
miduniq.e (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝑋) = 𝑌)
miduniq.f (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘𝑋) = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
miduniq (𝜑𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem miduniq
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3 mirval.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 miduniq.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑃)
6 miduniq.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑃)
7 miduniq.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
8 eqid 2801 . . . 4 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
9 mirval.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
10 mirval.s . . . . 5 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
11 miduniq.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
12 eqid 2801 . . . . 5 (𝑆𝐴) = (𝑆𝐴)
131, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 7mircl 26459 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑃)
14 eqid 2801 . . . . . . 7 (𝑆𝐵) = (𝑆𝐵)
151, 9, 3, 2, 10, 4, 7, 14, 5mirbtwn 26456 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (((𝑆𝐵)‘𝑋)𝐼𝑋))
16 miduniq.f . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘𝑋) = 𝑌)
1716oveq1d 7154 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑆𝐵)‘𝑋)𝐼𝑋) = (𝑌𝐼𝑋))
1815, 17eleqtrd 2895 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝑌𝐼𝑋))
191, 9, 3, 4, 6, 7, 5, 18tgbtwncom 26286 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
201, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 6, 7miriso 26468 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑆𝐴)‘𝑌) ((𝑆𝐴)‘𝐵)) = (𝑌 𝐵))
21 miduniq.e . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝑋) = 𝑌)
221, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 5, 21mircom 26461 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝑌) = 𝑋)
2322oveq1d 7154 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑆𝐴)‘𝑌) ((𝑆𝐴)‘𝐵)) = (𝑋 ((𝑆𝐴)‘𝐵)))
241, 9, 3, 2, 10, 4, 7, 14, 5mircgr 26455 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ((𝑆𝐵)‘𝑋)) = (𝐵 𝑋))
2516oveq2d 7155 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ((𝑆𝐵)‘𝑋)) = (𝐵 𝑌))
2624, 25eqtr3d 2838 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 𝑋) = (𝐵 𝑌))
2726eqcomd 2807 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 𝑌) = (𝐵 𝑋))
281, 9, 3, 4, 7, 6, 7, 5, 27tgcgrcomlr 26278 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 𝐵) = (𝑋 𝐵))
2920, 23, 283eqtr3rd 2845 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝐵) = (𝑋 ((𝑆𝐴)‘𝐵)))
301, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 5, 7miriso 26468 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑆𝐴)‘𝑋) ((𝑆𝐴)‘𝐵)) = (𝑋 𝐵))
3121oveq1d 7154 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑆𝐴)‘𝑋) ((𝑆𝐴)‘𝐵)) = (𝑌 ((𝑆𝐴)‘𝐵)))
321, 9, 3, 4, 7, 5, 7, 6, 26tgcgrcomlr 26278 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝐵) = (𝑌 𝐵))
3330, 31, 323eqtr3rd 2845 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 𝐵) = (𝑌 ((𝑆𝐴)‘𝐵)))
341, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 11, 9, 19, 29, 33tgidinside 26369 . . 3 (𝜑𝐵 = ((𝑆𝐴)‘𝐵))
3534eqcomd 2807 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝐵) = 𝐵)
361, 9, 3, 2, 10, 4, 11, 12, 7mirinv 26464 . 2 (𝜑 → (((𝑆𝐴)‘𝐵) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
3735, 36mpbid 235 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2112  cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16479  distcds 16570  TarskiGcstrkg 26228  Itvcitv 26234  LineGclng 26235  cgrGccgrg 26308  pInvGcmir 26450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-hash 13691  df-word 13862  df-concat 13918  df-s1 13945  df-s2 14205  df-s3 14206  df-trkgc 26246  df-trkgb 26247  df-trkgcb 26248  df-trkg 26251  df-cgrg 26309  df-mir 26451
This theorem is referenced by:  miduniq1  26484  krippenlem  26488  mideu  26536  opphllem3  26547
  Copyright terms: Public domain W3C validator