Theorem mod2ile 18539

Description: The weak direction of the modular law (e.g., pmod2iN 39851) that holds in any lattice. (Contributed by NM, 11-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
modle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
modle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
modle.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
modle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
mod2ile	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ≤ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑍) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))

Proof of Theorem mod2ile

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
2		simplr3 1218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → 𝑍 ∈ 𝐵)
3		simplr2 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		simplr1 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5	2, 3, 4	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
6	1, 5	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → 𝑍 ≤ 𝑋)
8		modle.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
9		modle.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10		modle.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11		modle.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
12	8, 9, 10, 11	mod1ile 18538	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ≤ 𝑋 → (𝑍 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)) ≤ ((𝑍 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋)))
13	6, 7, 12	sylc 65	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑍 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)) ≤ ((𝑍 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
14	8, 11	latmcom 18508	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
15	1, 4, 3, 14	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
16	15	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑍) = ((𝑌 ∧ 𝑋) ∨ 𝑍))
17	8, 11	latmcl 18485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑋) ∈ 𝐵)
18	1, 3, 4, 17	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑌 ∧ 𝑋) ∈ 𝐵)
19	8, 10	latjcom 18492	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 ∧ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑌 ∧ 𝑋) ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)))
20	1, 18, 2, 19	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → ((𝑌 ∧ 𝑋) ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)))
21	16, 20	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)))
22	8, 10	latjcom 18492	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ 𝑌))
23	1, 3, 2, 22	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑌 ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ 𝑌))
24	23	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑍 ∨ 𝑌)))
25	8, 10	latjcl 18484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
26	1, 2, 3, 25	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑍 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
27	8, 11	latmcom 18508	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (𝑍 ∨ 𝑌)) = ((𝑍 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
28	1, 4, 26, 27	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ (𝑍 ∨ 𝑌)) = ((𝑍 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
29	24, 28	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑍 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
30	13, 21, 29	3brtr4d 5175	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑍) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))
31	30	ex 412	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ≤ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑍) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  joincjn 18357  meetcmee 18358  Latclat 18476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-poset 18359  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-lat 18477

This theorem is referenced by: (None)