MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mod2ile Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mod2ile 18426
Description: The weak direction of the modular law (e.g., pmod2iN 38509) that holds in any lattice. (Contributed by NM, 11-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
modle.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
modle.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
modle.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
modle.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
mod2ile ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑍 ≀ 𝑋 β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑍) ≀ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍))))
Proof of Theorem mod2ile
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑍 ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2 simplr3 1217 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑍 ≀ 𝑋) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
3 simplr2 1216 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑍 ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4 simplr1 1215 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑍 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
52, 3, 43jca 1128 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑍 ≀ 𝑋) β†’ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡))
61, 5jca 512 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑍 ≀ 𝑋) β†’ (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)))
7 simpr 485 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑍 ≀ 𝑋) β†’ 𝑍 ≀ 𝑋)
8 modle.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
9 modle.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
10 modle.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
11 modle.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
128, 9, 10, 11mod1ile 18425 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑍 ≀ 𝑋 β†’ (𝑍 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑋)) ≀ ((𝑍 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋)))
136, 7, 12sylc 65 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑍 ≀ 𝑋) β†’ (𝑍 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑋)) ≀ ((𝑍 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋))
148, 11latmcom 18395 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑋))
151, 4, 3, 14syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑍 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑋))
1615oveq1d 7405 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑍 ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑍) = ((π‘Œ ∧ 𝑋) ∨ 𝑍))
178, 11latmcl 18372 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑋) ∈ 𝐡)
181, 3, 4, 17syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑍 ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑋) ∈ 𝐡)
198, 10latjcom 18379 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Œ ∧ 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘Œ ∧ 𝑋) ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑋)))
201, 18, 2, 19syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑍 ≀ 𝑋) β†’ ((π‘Œ ∧ 𝑋) ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑋)))
2116, 20eqtrd 2771 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑍 ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑋)))
228, 10latjcom 18379 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ π‘Œ))
231, 3, 2, 22syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑍 ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ π‘Œ))
2423oveq2d 7406 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑍 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑍 ∨ π‘Œ)))
258, 10latjcl 18371 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑍 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
261, 2, 3, 25syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑍 ≀ 𝑋) β†’ (𝑍 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
278, 11latmcom 18395 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ (𝑍 ∨ π‘Œ)) = ((𝑍 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋))
281, 4, 26, 27syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑍 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ (𝑍 ∨ π‘Œ)) = ((𝑍 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋))
2924, 28eqtrd 2771 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑍 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍)) = ((𝑍 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋))
3013, 21, 293brtr4d 5170 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑍 ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑍) ≀ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
3130ex 413 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑍 ≀ 𝑋 β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑍) ≀ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5138  β€˜cfv 6529  (class class class)co 7390  Basecbs 17123  lecple 17183  joincjn 18243  meetcmee 18244  Latclat 18363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-poset 18245  df-lub 18278  df-glb 18279  df-join 18280  df-meet 18281  df-lat 18364
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator