Theorem mod2ile 18588

Description: The weak direction of the modular law (e.g., pmod2iN 40730) that holds in any lattice. (Contributed by NM, 11-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
modle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
modle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
modle.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
modle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
mod2ile	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ≤ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑍) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))

Proof of Theorem mod2ile

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
2		simplr3 1236	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → 𝑍 ∈ 𝐵)
3		simplr2 1235	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		simplr1 1234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5	2, 3, 4	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
6	1, 5	jca 521	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
7		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → 𝑍 ≤ 𝑋)
8		modle.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
9		modle.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10		modle.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11		modle.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
12	8, 9, 10, 11	mod1ile 18587	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ≤ 𝑋 → (𝑍 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)) ≤ ((𝑍 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋)))
13	6, 7, 12	sylc 66	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑍 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)) ≤ ((𝑍 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
14	8, 11	latmcom 18557	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
15	1, 4, 3, 14	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
16	15	oveq1d 7432	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑍) = ((𝑌 ∧ 𝑋) ∨ 𝑍))
17	8, 11	latmcl 18534	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑋) ∈ 𝐵)
18	1, 3, 4, 17	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑌 ∧ 𝑋) ∈ 𝐵)
19	8, 10	latjcom 18541	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 ∧ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑌 ∧ 𝑋) ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)))
20	1, 18, 2, 19	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → ((𝑌 ∧ 𝑋) ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)))
21	16, 20	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)))
22	8, 10	latjcom 18541	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ 𝑌))
23	1, 3, 2, 22	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑌 ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ 𝑌))
24	23	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑍 ∨ 𝑌)))
25	8, 10	latjcl 18533	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
26	1, 2, 3, 25	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑍 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
27	8, 11	latmcom 18557	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (𝑍 ∨ 𝑌)) = ((𝑍 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
28	1, 4, 26, 27	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ (𝑍 ∨ 𝑌)) = ((𝑍 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
29	24, 28	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑍 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
30	13, 21, 29	3brtr4d 5141	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑍) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))
31	30	ex 418	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ≤ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑍) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  lecple 17355  joincjn 18405  meetcmee 18406  Latclat 18525

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-poset 18407  df-lub 18438  df-glb 18439  df-join 18440  df-meet 18441  df-lat 18526

This theorem is used by: (None)