Theorem mod2ile 18417

Description: The weak direction of the modular law (e.g., pmod2iN 40105) that holds in any lattice. (Contributed by NM, 11-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
modle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
modle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
modle.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
modle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
mod2ile	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ≤ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑍) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))

Proof of Theorem mod2ile

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
2		simplr3 1218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → 𝑍 ∈ 𝐵)
3		simplr2 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		simplr1 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5	2, 3, 4	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
6	1, 5	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → 𝑍 ≤ 𝑋)
8		modle.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
9		modle.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10		modle.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11		modle.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
12	8, 9, 10, 11	mod1ile 18416	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ≤ 𝑋 → (𝑍 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)) ≤ ((𝑍 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋)))
13	6, 7, 12	sylc 65	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑍 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)) ≤ ((𝑍 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
14	8, 11	latmcom 18386	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
15	1, 4, 3, 14	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
16	15	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑍) = ((𝑌 ∧ 𝑋) ∨ 𝑍))
17	8, 11	latmcl 18363	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑋) ∈ 𝐵)
18	1, 3, 4, 17	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑌 ∧ 𝑋) ∈ 𝐵)
19	8, 10	latjcom 18370	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 ∧ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑌 ∧ 𝑋) ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)))
20	1, 18, 2, 19	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → ((𝑌 ∧ 𝑋) ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)))
21	16, 20	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)))
22	8, 10	latjcom 18370	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ 𝑌))
23	1, 3, 2, 22	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑌 ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ 𝑌))
24	23	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑍 ∨ 𝑌)))
25	8, 10	latjcl 18362	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
26	1, 2, 3, 25	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑍 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
27	8, 11	latmcom 18386	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (𝑍 ∨ 𝑌)) = ((𝑍 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
28	1, 4, 26, 27	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ (𝑍 ∨ 𝑌)) = ((𝑍 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
29	24, 28	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑍 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
30	13, 21, 29	3brtr4d 5130	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑍) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))
31	30	ex 412	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ≤ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑍) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  lecple 17184  joincjn 18234  meetcmee 18235  Latclat 18354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-poset 18236  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-lat 18355

This theorem is referenced by: (None)