Theorem mod2ile 18540

Description: The weak direction of the modular law (e.g., pmod2iN 40485) that holds in any lattice. (Contributed by NM, 11-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
modle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
modle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
modle.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
modle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
mod2ile	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ≤ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑍) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))

Proof of Theorem mod2ile

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
2		simplr3 1234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → 𝑍 ∈ 𝐵)
3		simplr2 1233	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		simplr1 1232	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5	2, 3, 4	3jca 1144	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
6	1, 5	jca 520	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
7		simpr 489	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → 𝑍 ≤ 𝑋)
8		modle.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
9		modle.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10		modle.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11		modle.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
12	8, 9, 10, 11	mod1ile 18539	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ≤ 𝑋 → (𝑍 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)) ≤ ((𝑍 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋)))
13	6, 7, 12	sylc 66	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑍 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)) ≤ ((𝑍 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
14	8, 11	latmcom 18509	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
15	1, 4, 3, 14	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
16	15	oveq1d 7415	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑍) = ((𝑌 ∧ 𝑋) ∨ 𝑍))
17	8, 11	latmcl 18486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑋) ∈ 𝐵)
18	1, 3, 4, 17	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑌 ∧ 𝑋) ∈ 𝐵)
19	8, 10	latjcom 18493	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 ∧ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑌 ∧ 𝑋) ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)))
20	1, 18, 2, 19	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → ((𝑌 ∧ 𝑋) ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)))
21	16, 20	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)))
22	8, 10	latjcom 18493	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ 𝑌))
23	1, 3, 2, 22	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑌 ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ 𝑌))
24	23	oveq2d 7416	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑍 ∨ 𝑌)))
25	8, 10	latjcl 18485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
26	1, 2, 3, 25	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑍 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
27	8, 11	latmcom 18509	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (𝑍 ∨ 𝑌)) = ((𝑍 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
28	1, 4, 26, 27	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ (𝑍 ∨ 𝑌)) = ((𝑍 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
29	24, 28	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑍 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
30	13, 21, 29	3brtr4d 5137	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑍) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))
31	30	ex 417	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ≤ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑍) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  lecple 17307  joincjn 18357  meetcmee 18358  Latclat 18477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-poset 18359  df-lub 18390  df-glb 18391  df-join 18392  df-meet 18393  df-lat 18478

This theorem is referenced by: (None)