Theorem mod2ile 18552

Description: The weak direction of the modular law (e.g., pmod2iN 39832) that holds in any lattice. (Contributed by NM, 11-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
modle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
modle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
modle.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
modle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
mod2ile	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ≤ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑍) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))

Proof of Theorem mod2ile

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
2		simplr3 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → 𝑍 ∈ 𝐵)
3		simplr2 1215	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		simplr1 1214	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5	2, 3, 4	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
6	1, 5	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → 𝑍 ≤ 𝑋)
8		modle.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
9		modle.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10		modle.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11		modle.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
12	8, 9, 10, 11	mod1ile 18551	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ≤ 𝑋 → (𝑍 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)) ≤ ((𝑍 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋)))
13	6, 7, 12	sylc 65	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑍 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)) ≤ ((𝑍 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
14	8, 11	latmcom 18521	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
15	1, 4, 3, 14	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
16	15	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑍) = ((𝑌 ∧ 𝑋) ∨ 𝑍))
17	8, 11	latmcl 18498	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑋) ∈ 𝐵)
18	1, 3, 4, 17	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑌 ∧ 𝑋) ∈ 𝐵)
19	8, 10	latjcom 18505	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 ∧ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑌 ∧ 𝑋) ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)))
20	1, 18, 2, 19	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → ((𝑌 ∧ 𝑋) ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)))
21	16, 20	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ (𝑌 ∧ 𝑋)))
22	8, 10	latjcom 18505	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ 𝑌))
23	1, 3, 2, 22	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑌 ∨ 𝑍) = (𝑍 ∨ 𝑌))
24	23	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑍 ∨ 𝑌)))
25	8, 10	latjcl 18497	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
26	1, 2, 3, 25	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑍 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
27	8, 11	latmcom 18521	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (𝑍 ∨ 𝑌)) = ((𝑍 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
28	1, 4, 26, 27	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ (𝑍 ∨ 𝑌)) = ((𝑍 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
29	24, 28	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑍 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋))
30	13, 21, 29	3brtr4d 5180	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑍 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑍) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))
31	30	ex 412	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ≤ 𝑋 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑍) ≤ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  joincjn 18369  meetcmee 18370  Latclat 18489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-poset 18371  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-lat 18490

This theorem is referenced by: (None)