Theorem mod1ile 18673

Description: The weak direction of the modular law (e.g., pmod1i 40999, atmod1i1 41008) that holds in any lattice. (Contributed by NM, 11-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
modle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
modle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
modle.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
modle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
mod1ile	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑍 → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))

Proof of Theorem mod1ile

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝐾 ∈ Lat)
2		simplr1 1234	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simplr2 1235	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		modle.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		modle.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		modle.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	4, 5, 6	latlej1 18628	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
9		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍)
10	4, 6	latjcl 18619	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 10	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
12		simplr3 1236	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝐵)
13		modle.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
14	4, 5, 13	latlem12 18646	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) ↔ 𝑋 ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))
15	1, 2, 11, 12, 14	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → ((𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) ↔ 𝑋 ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))
16	8, 9, 15	mpbi2and 725	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))
17	4, 5, 6, 13	latmlej12 18659	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
18	1, 3, 12, 2, 17	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
19	4, 5, 13	latmle2 18645	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍)
20	1, 3, 12, 19	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍)
21	4, 13	latmcl 18620	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
22	1, 3, 12, 21	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
23	4, 5, 13	latlem12 18646	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑌 ∧ 𝑍) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍) ↔ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))
24	1, 22, 11, 12, 23	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (((𝑌 ∧ 𝑍) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍) ↔ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))
25	18, 20, 24	mpbi2and 725	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))
26	4, 13	latmcl 18620	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
27	1, 11, 12, 26	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
28	4, 5, 6	latjle12 18630	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))
29	1, 2, 22, 27, 28	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → ((𝑋 ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))
30	16, 25, 29	mpbi2and 725	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))
31	30	ex 418	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑍 → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  lecple 17441  joincjn 18491  meetcmee 18492  Latclat 18611

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-poset 18493  df-lub 18524  df-glb 18525  df-join 18526  df-meet 18527  df-lat 18612

This theorem is used by:  mod2ile  18674  hlmod1i  41007