Theorem mod1ile 18537

Description: The weak direction of the modular law (e.g., pmod1i 40479, atmod1i1 40488) that holds in any lattice. (Contributed by NM, 11-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
modle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
modle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
modle.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
modle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
mod1ile	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑍 → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))

Proof of Theorem mod1ile

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝐾 ∈ Lat)
2		simplr1 1232	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simplr2 1233	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		modle.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		modle.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		modle.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	4, 5, 6	latlej1 18492	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
9		simpr 489	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍)
10	4, 6	latjcl 18483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 10	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
12		simplr3 1234	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝐵)
13		modle.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
14	4, 5, 13	latlem12 18510	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) ↔ 𝑋 ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))
15	1, 2, 11, 12, 14	syl13anc 1395	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → ((𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) ↔ 𝑋 ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))
16	8, 9, 15	mpbi2and 724	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))
17	4, 5, 6, 13	latmlej12 18523	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
18	1, 3, 12, 2, 17	syl13anc 1395	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
19	4, 5, 13	latmle2 18509	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍)
20	1, 3, 12, 19	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍)
21	4, 13	latmcl 18484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
22	1, 3, 12, 21	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
23	4, 5, 13	latlem12 18510	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑌 ∧ 𝑍) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍) ↔ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))
24	1, 22, 11, 12, 23	syl13anc 1395	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (((𝑌 ∧ 𝑍) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍) ↔ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))
25	18, 20, 24	mpbi2and 724	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))
26	4, 13	latmcl 18484	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
27	1, 11, 12, 26	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
28	4, 5, 6	latjle12 18494	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))
29	1, 2, 22, 27, 28	syl13anc 1395	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → ((𝑋 ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))
30	16, 25, 29	mpbi2and 724	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))
31	30	ex 417	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑍 → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257  lecple 17305  joincjn 18355  meetcmee 18356  Latclat 18475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-poset 18357  df-lub 18388  df-glb 18389  df-join 18390  df-meet 18391  df-lat 18476

This theorem is referenced by:  mod2ile  18538  hlmod1i  40487