MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mod1ile Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mod1ile 18455
Description: The weak direction of the modular law (e.g., pmod1i 39231, atmod1i1 39240) that holds in any lattice. (Contributed by NM, 11-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
modle.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
modle.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
modle.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
modle.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
mod1ile ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)))
Proof of Theorem mod1ile
StepHypRef Expression
1 simpll 764 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2 simplr1 1212 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 simplr2 1213 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4 modle.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 modle.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 modle.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
74, 5, 6latlej1 18410 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ))
81, 2, 3, 7syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ))
9 simpr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ 𝑋 ≀ 𝑍)
104, 6latjcl 18401 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
111, 2, 3, 10syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
12 simplr3 1214 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
13 modle.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
144, 5, 13latlem12 18428 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) ↔ 𝑋 ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)))
151, 2, 11, 12, 14syl13anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) ↔ 𝑋 ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)))
168, 9, 15mpbi2and 709 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ 𝑋 ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
174, 5, 6, 13latmlej12 18441 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ))
181, 3, 12, 2, 17syl13anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ))
194, 5, 13latmle2 18427 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ 𝑍)
201, 3, 12, 19syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ 𝑍)
214, 13latmcl 18402 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
221, 3, 12, 21syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
234, 5, 13latlem12 18428 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ 𝑍) ↔ (π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)))
241, 22, 11, 12, 23syl13anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ (((π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ 𝑍) ↔ (π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)))
2518, 20, 24mpbi2and 709 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
264, 13latmcl 18402 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
271, 11, 12, 26syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
284, 5, 6latjle12 18412 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)))
291, 2, 22, 27, 28syl13anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)))
3016, 25, 29mpbi2and 709 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
3130ex 412 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  lecple 17210  joincjn 18273  meetcmee 18274  Latclat 18393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-poset 18275  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-lat 18394
This theorem is referenced by:  mod2ile  18456  hlmod1i  39239
  Copyright terms: Public domain W3C validator