MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mod1ile Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mod1ile 18446
Description: The weak direction of the modular law (e.g., pmod1i 38719, atmod1i1 38728) that holds in any lattice. (Contributed by NM, 11-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
modle.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
modle.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
modle.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
modle.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
mod1ile ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)))
Proof of Theorem mod1ile
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2 simplr1 1216 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 simplr2 1217 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4 modle.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 modle.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 modle.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
74, 5, 6latlej1 18401 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ))
81, 2, 3, 7syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ))
9 simpr 486 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ 𝑋 ≀ 𝑍)
104, 6latjcl 18392 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
111, 2, 3, 10syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
12 simplr3 1218 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
13 modle.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
144, 5, 13latlem12 18419 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) ↔ 𝑋 ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)))
151, 2, 11, 12, 14syl13anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) ↔ 𝑋 ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)))
168, 9, 15mpbi2and 711 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ 𝑋 ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
174, 5, 6, 13latmlej12 18432 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ))
181, 3, 12, 2, 17syl13anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ))
194, 5, 13latmle2 18418 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ 𝑍)
201, 3, 12, 19syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ 𝑍)
214, 13latmcl 18393 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
221, 3, 12, 21syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
234, 5, 13latlem12 18419 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ 𝑍) ↔ (π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)))
241, 22, 11, 12, 23syl13anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ (((π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ 𝑍) ↔ (π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)))
2518, 20, 24mpbi2and 711 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
264, 13latmcl 18393 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
271, 11, 12, 26syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
284, 5, 6latjle12 18403 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)))
291, 2, 22, 27, 28syl13anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ ((𝑋 ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)))
3016, 25, 29mpbi2and 711 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
3130ex 414 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264  meetcmee 18265  Latclat 18384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-poset 18266  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-lat 18385
This theorem is referenced by:  mod2ile  18447  hlmod1i  38727
  Copyright terms: Public domain W3C validator