MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mod1ile Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mod1ile 18476
Description: The weak direction of the modular law (e.g., pmod1i 39258, atmod1i1 39267) that holds in any lattice. (Contributed by NM, 11-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
modle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
modle.l = (le‘𝐾)
modle.j = (join‘𝐾)
modle.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
mod1ile ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑍 → (𝑋 (𝑌 𝑍)) ((𝑋 𝑌) 𝑍)))

Proof of Theorem mod1ile
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → 𝐾 ∈ Lat)
2 simplr1 1213 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → 𝑋𝐵)
3 simplr2 1214 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → 𝑌𝐵)
4 modle.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 modle.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
6 modle.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
74, 5, 6latlej1 18431 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 (𝑋 𝑌))
81, 2, 3, 7syl3anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → 𝑋 (𝑋 𝑌))
9 simpr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → 𝑋 𝑍)
104, 6latjcl 18422 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
111, 2, 3, 10syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
12 simplr3 1215 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → 𝑍𝐵)
13 modle.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
144, 5, 13latlem12 18449 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑋 𝑍) ↔ 𝑋 ((𝑋 𝑌) 𝑍)))
151, 2, 11, 12, 14syl13anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → ((𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑋 𝑍) ↔ 𝑋 ((𝑋 𝑌) 𝑍)))
168, 9, 15mpbi2and 711 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → 𝑋 ((𝑋 𝑌) 𝑍))
174, 5, 6, 13latmlej12 18462 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵𝑋𝐵)) → (𝑌 𝑍) (𝑋 𝑌))
181, 3, 12, 2, 17syl13anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → (𝑌 𝑍) (𝑋 𝑌))
194, 5, 13latmle2 18448 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 𝑍) 𝑍)
201, 3, 12, 19syl3anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → (𝑌 𝑍) 𝑍)
214, 13latmcl 18423 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
221, 3, 12, 21syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
234, 5, 13latlem12 18449 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑌 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵)) → (((𝑌 𝑍) (𝑋 𝑌) ∧ (𝑌 𝑍) 𝑍) ↔ (𝑌 𝑍) ((𝑋 𝑌) 𝑍)))
241, 22, 11, 12, 23syl13anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → (((𝑌 𝑍) (𝑋 𝑌) ∧ (𝑌 𝑍) 𝑍) ↔ (𝑌 𝑍) ((𝑋 𝑌) 𝑍)))
2518, 20, 24mpbi2and 711 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → (𝑌 𝑍) ((𝑋 𝑌) 𝑍))
264, 13latmcl 18423 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∈ 𝐵)
271, 11, 12, 26syl3anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∈ 𝐵)
284, 5, 6latjle12 18433 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∧ (𝑌 𝑍) ((𝑋 𝑌) 𝑍)) ↔ (𝑋 (𝑌 𝑍)) ((𝑋 𝑌) 𝑍)))
291, 2, 22, 27, 28syl13anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → ((𝑋 ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∧ (𝑌 𝑍) ((𝑋 𝑌) 𝑍)) ↔ (𝑋 (𝑌 𝑍)) ((𝑋 𝑌) 𝑍)))
3016, 25, 29mpbi2and 711 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑋 𝑍) → (𝑋 (𝑌 𝑍)) ((𝑋 𝑌) 𝑍))
3130ex 412 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑍 → (𝑋 (𝑌 𝑍)) ((𝑋 𝑌) 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5142  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  lecple 17231  joincjn 18294  meetcmee 18295  Latclat 18414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-poset 18296  df-lub 18329  df-glb 18330  df-join 18331  df-meet 18332  df-lat 18415
This theorem is referenced by:  mod2ile  18477  hlmod1i  39266
  Copyright terms: Public domain W3C validator