Proof of Theorem mod1ile
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpll 764 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝐾 ∈ Lat) |
2 | | simplr1 1214 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝐵) |
3 | | simplr2 1215 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑌 ∈ 𝐵) |
4 | | modle.b |
. . . . . 6
⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾) |
5 | | modle.l |
. . . . . 6
⊢ ≤ =
(le‘𝐾) |
6 | | modle.j |
. . . . . 6
⊢ ∨ =
(join‘𝐾) |
7 | 4, 5, 6 | latlej1 18166 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌)) |
8 | 1, 2, 3, 7 | syl3anc 1370 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌)) |
9 | | simpr 485 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍) |
10 | 4, 6 | latjcl 18157 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) |
11 | 1, 2, 3, 10 | syl3anc 1370 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) |
12 | | simplr3 1216 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝐵) |
13 | | modle.m |
. . . . . 6
⊢ ∧ =
(meet‘𝐾) |
14 | 4, 5, 13 | latlem12 18184 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) ↔ 𝑋 ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))) |
15 | 1, 2, 11, 12, 14 | syl13anc 1371 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → ((𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) ↔ 𝑋 ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))) |
16 | 8, 9, 15 | mpbi2and 709 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)) |
17 | 4, 5, 6, 13 | latmlej12 18197 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌)) |
18 | 1, 3, 12, 2, 17 | syl13anc 1371 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌)) |
19 | 4, 5, 13 | latmle2 18183 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍) |
20 | 1, 3, 12, 19 | syl3anc 1370 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍) |
21 | 4, 13 | latmcl 18158 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵) |
22 | 1, 3, 12, 21 | syl3anc 1370 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵) |
23 | 4, 5, 13 | latlem12 18184 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑌 ∧ 𝑍) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍) ↔ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))) |
24 | 1, 22, 11, 12, 23 | syl13anc 1371 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (((𝑌 ∧ 𝑍) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍) ↔ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))) |
25 | 18, 20, 24 | mpbi2and 709 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)) |
26 | 4, 13 | latmcl 18158 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∈ 𝐵) |
27 | 1, 11, 12, 26 | syl3anc 1370 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∈ 𝐵) |
28 | 4, 5, 6 | latjle12 18168 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))) |
29 | 1, 2, 22, 27, 28 | syl13anc 1371 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → ((𝑋 ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))) |
30 | 16, 25, 29 | mpbi2and 709 |
. 2
⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)) |
31 | 30 | ex 413 |
1
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑍 → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))) |