Theorem mod1ile 17707

Description: The weak direction of the modular law (e.g., pmod1i 37144, atmod1i1 37153) that holds in any lattice. (Contributed by NM, 11-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
modle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
modle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
modle.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
modle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
mod1ile	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑍 → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))

Proof of Theorem mod1ile

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝐾 ∈ Lat)
2		simplr1 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simplr2 1213	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		modle.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		modle.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		modle.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	4, 5, 6	latlej1 17662	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
9		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍)
10	4, 6	latjcl 17653	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 10	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
12		simplr3 1214	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝐵)
13		modle.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
14	4, 5, 13	latlem12 17680	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) ↔ 𝑋 ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))
15	1, 2, 11, 12, 14	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → ((𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) ↔ 𝑋 ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))
16	8, 9, 15	mpbi2and 711	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))
17	4, 5, 6, 13	latmlej12 17693	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
18	1, 3, 12, 2, 17	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
19	4, 5, 13	latmle2 17679	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍)
20	1, 3, 12, 19	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍)
21	4, 13	latmcl 17654	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
22	1, 3, 12, 21	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
23	4, 5, 13	latlem12 17680	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑌 ∧ 𝑍) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍) ↔ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))
24	1, 22, 11, 12, 23	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (((𝑌 ∧ 𝑍) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍) ↔ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))
25	18, 20, 24	mpbi2and 711	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))
26	4, 13	latmcl 17654	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
27	1, 11, 12, 26	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
28	4, 5, 6	latjle12 17664	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))
29	1, 2, 22, 27, 28	syl13anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → ((𝑋 ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))
30	16, 25, 29	mpbi2and 711	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))
31	30	ex 416	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑍 → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  lecple 16564  joincjn 17546  meetcmee 17547  Latclat 17647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-poset 17548  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-lat 17648

This theorem is referenced by:  mod2ile  17708  hlmod1i  37152