Theorem mod1ile 18450

Description: The weak direction of the modular law (e.g., pmod1i 40308, atmod1i1 40317) that holds in any lattice. (Contributed by NM, 11-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
modle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
modle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
modle.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
modle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
mod1ile	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑍 → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))

Proof of Theorem mod1ile

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝐾 ∈ Lat)
2		simplr1 1217	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simplr2 1218	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		modle.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		modle.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		modle.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	4, 5, 6	latlej1 18405	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
9		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍)
10	4, 6	latjcl 18396	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 10	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
12		simplr3 1219	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝐵)
13		modle.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
14	4, 5, 13	latlem12 18423	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) ↔ 𝑋 ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))
15	1, 2, 11, 12, 14	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → ((𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) ↔ 𝑋 ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))
16	8, 9, 15	mpbi2and 713	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))
17	4, 5, 6, 13	latmlej12 18436	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
18	1, 3, 12, 2, 17	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
19	4, 5, 13	latmle2 18422	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍)
20	1, 3, 12, 19	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍)
21	4, 13	latmcl 18397	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
22	1, 3, 12, 21	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
23	4, 5, 13	latlem12 18423	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑌 ∧ 𝑍) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍) ↔ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))
24	1, 22, 11, 12, 23	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (((𝑌 ∧ 𝑍) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ 𝑍) ↔ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))
25	18, 20, 24	mpbi2and 713	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))
26	4, 13	latmcl 18397	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
27	1, 11, 12, 26	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
28	4, 5, 6	latjle12 18407	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))
29	1, 2, 22, 27, 28	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → ((𝑋 ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))
30	16, 25, 29	mpbi2and 713	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍))
31	30	ex 412	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑍 → (𝑋 ∨ (𝑌 ∧ 𝑍)) ≤ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  lecple 17218  joincjn 18268  meetcmee 18269  Latclat 18388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-poset 18270  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-lat 18389

This theorem is referenced by:  mod2ile  18451  hlmod1i  40316