Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmod2iN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmod2iN 36430
Description: Dual of the modular law. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmod.s 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmod.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmod2iN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑍𝑋 → ((𝑋𝑌) + 𝑍) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍))))

Proof of Theorem pmod2iN
StepHypRef Expression
1 incom 4068 . . . . . 6 (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋)
21oveq1i 6988 . . . . 5 ((𝑋𝑌) + 𝑍) = ((𝑌𝑋) + 𝑍)
3 hllat 35944 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
433ad2ant1 1113 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp22 1187 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → 𝑌𝐴)
6 ssinss1 4103 . . . . . . 7 (𝑌𝐴 → (𝑌𝑋) ⊆ 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → (𝑌𝑋) ⊆ 𝐴)
8 simp23 1188 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → 𝑍𝐴)
9 pmod.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 pmod.p . . . . . . 7 + = (+𝑃𝐾)
119, 10paddcom 36394 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌𝑋) ⊆ 𝐴𝑍𝐴) → ((𝑌𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌𝑋)))
124, 7, 8, 11syl3anc 1351 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑌𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌𝑋)))
132, 12syl5eq 2826 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑋𝑌) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌𝑋)))
14 simp21 1186 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → 𝑋𝑆)
158, 5, 143jca 1108 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → (𝑍𝐴𝑌𝐴𝑋𝑆))
16 pmod.s . . . . . . 7 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
179, 16, 10pmod1i 36429 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑍𝐴𝑌𝐴𝑋𝑆)) → (𝑍𝑋 → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = (𝑍 + (𝑌𝑋))))
18173impia 1097 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑍𝐴𝑌𝐴𝑋𝑆) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = (𝑍 + (𝑌𝑋)))
1915, 18syld3an2 1391 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = (𝑍 + (𝑌𝑋)))
209, 10paddcom 36394 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍𝐴𝑌𝐴) → (𝑍 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑍))
214, 8, 5, 20syl3anc 1351 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → (𝑍 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑍))
2221ineq1d 4077 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑌 + 𝑍) ∩ 𝑋))
2313, 19, 223eqtr2d 2820 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑋𝑌) + 𝑍) = ((𝑌 + 𝑍) ∩ 𝑋))
24 incom 4068 . . 3 ((𝑌 + 𝑍) ∩ 𝑋) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍))
2523, 24syl6eq 2830 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑋𝑌) + 𝑍) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍)))
26253expia 1101 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑍𝑋 → ((𝑋𝑌) + 𝑍) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  cin 3830  wss 3831  cfv 6190  (class class class)co 6978  Latclat 17516  Atomscatm 35844  HLchlt 35931  PSubSpcpsubsp 36077  +𝑃cpadd 36376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-id 5313  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-proset 17399  df-poset 17417  df-plt 17429  df-lub 17445  df-glb 17446  df-join 17447  df-meet 17448  df-p0 17510  df-lat 17517  df-covers 35847  df-ats 35848  df-atl 35879  df-cvlat 35903  df-hlat 35932  df-psubsp 36084  df-padd 36377
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator