Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmod2iN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmod2iN 39354
Description: Dual of the modular law. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmod.s 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmod.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmod2iN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑍𝑋 → ((𝑋𝑌) + 𝑍) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍))))

Proof of Theorem pmod2iN
StepHypRef Expression
1 incom 4203 . . . . . 6 (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋)
21oveq1i 7436 . . . . 5 ((𝑋𝑌) + 𝑍) = ((𝑌𝑋) + 𝑍)
3 hllat 38867 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
433ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp22 1204 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → 𝑌𝐴)
6 ssinss1 4240 . . . . . . 7 (𝑌𝐴 → (𝑌𝑋) ⊆ 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → (𝑌𝑋) ⊆ 𝐴)
8 simp23 1205 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → 𝑍𝐴)
9 pmod.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 pmod.p . . . . . . 7 + = (+𝑃𝐾)
119, 10paddcom 39318 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌𝑋) ⊆ 𝐴𝑍𝐴) → ((𝑌𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌𝑋)))
124, 7, 8, 11syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑌𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌𝑋)))
132, 12eqtrid 2780 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑋𝑌) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌𝑋)))
14 simp21 1203 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → 𝑋𝑆)
158, 5, 143jca 1125 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → (𝑍𝐴𝑌𝐴𝑋𝑆))
16 pmod.s . . . . . . 7 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
179, 16, 10pmod1i 39353 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑍𝐴𝑌𝐴𝑋𝑆)) → (𝑍𝑋 → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = (𝑍 + (𝑌𝑋))))
18173impia 1114 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑍𝐴𝑌𝐴𝑋𝑆) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = (𝑍 + (𝑌𝑋)))
1915, 18syld3an2 1408 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = (𝑍 + (𝑌𝑋)))
209, 10paddcom 39318 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍𝐴𝑌𝐴) → (𝑍 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑍))
214, 8, 5, 20syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → (𝑍 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑍))
2221ineq1d 4213 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑌 + 𝑍) ∩ 𝑋))
2313, 19, 223eqtr2d 2774 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑋𝑌) + 𝑍) = ((𝑌 + 𝑍) ∩ 𝑋))
24 incom 4203 . . 3 ((𝑌 + 𝑍) ∩ 𝑋) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍))
2523, 24eqtrdi 2784 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑋𝑌) + 𝑍) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍)))
26253expia 1118 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑍𝑋 → ((𝑋𝑌) + 𝑍) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3948  wss 3949  cfv 6553  (class class class)co 7426  Latclat 18430  Atomscatm 38767  HLchlt 38854  PSubSpcpsubsp 39001  +𝑃cpadd 39300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-lat 18431  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-psubsp 39008  df-padd 39301
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator