Theorem pmod2iN 39873

Description: Dual of the modular law. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmod.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmod.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmod.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmod2iN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑍 ⊆ 𝑋 → ((𝑋 ∩ 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍))))

Proof of Theorem pmod2iN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4189	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) = (𝑌 ∩ 𝑋)
2	1	oveq1i 7420	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) + 𝑍) = ((𝑌 ∩ 𝑋) + 𝑍)
3		hllat 39386	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
4	3	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp22 1208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
6		ssinss1 4226	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ⊆ 𝐴 → (𝑌 ∩ 𝑋) ⊆ 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝑌 ∩ 𝑋) ⊆ 𝐴)
8		simp23 1209	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
9		pmod.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10		pmod.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
11	9, 10	paddcom 39837	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 ∩ 𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ∩ 𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑋)))
12	4, 7, 8, 11	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → ((𝑌 ∩ 𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑋)))
13	2, 12	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → ((𝑋 ∩ 𝑌) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑋)))
14		simp21 1207	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑆)
15	8, 5, 14	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
16		pmod.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
17	9, 16, 10	pmod1i 39872	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝑍 ⊆ 𝑋 → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑋))))
18	17	3impia 1117	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑋)))
19	15, 18	syld3an2 1413	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑋)))
20	9, 10	paddcom 39837	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑍 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑍))
21	4, 8, 5, 20	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝑍 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑍))
22	21	ineq1d 4199	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑌 + 𝑍) ∩ 𝑋))
23	13, 19, 22	3eqtr2d 2777	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → ((𝑋 ∩ 𝑌) + 𝑍) = ((𝑌 + 𝑍) ∩ 𝑋))
24		incom 4189	. . 3 ⊢ ((𝑌 + 𝑍) ∩ 𝑋) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍))
25	23, 24	eqtrdi 2787	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → ((𝑋 ∩ 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍)))
26	25	3expia 1121	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑍 ⊆ 𝑋 → ((𝑋 ∩ 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Latclat 18446  Atomscatm 39286  HLchlt 39373  PSubSpcpsubsp 39520  +_𝑃cpadd 39819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-proset 18311  df-poset 18330  df-plt 18345  df-lub 18361  df-glb 18362  df-join 18363  df-meet 18364  df-p0 18440  df-lat 18447  df-covers 39289  df-ats 39290  df-atl 39321  df-cvlat 39345  df-hlat 39374  df-psubsp 39527  df-padd 39820

This theorem is referenced by: (None)