Theorem pmod2iN 40295

Description: Dual of the modular law. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmod.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmod.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmod.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmod2iN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑍 ⊆ 𝑋 → ((𝑋 ∩ 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍))))

Proof of Theorem pmod2iN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4149	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) = (𝑌 ∩ 𝑋)
2	1	oveq1i 7377	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) + 𝑍) = ((𝑌 ∩ 𝑋) + 𝑍)
3		hllat 39809	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
4	3	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp22 1209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
6		ssinss1 4186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ⊆ 𝐴 → (𝑌 ∩ 𝑋) ⊆ 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝑌 ∩ 𝑋) ⊆ 𝐴)
8		simp23 1210	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
9		pmod.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10		pmod.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
11	9, 10	paddcom 40259	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 ∩ 𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ∩ 𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑋)))
12	4, 7, 8, 11	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → ((𝑌 ∩ 𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑋)))
13	2, 12	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → ((𝑋 ∩ 𝑌) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑋)))
14		simp21 1208	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑆)
15	8, 5, 14	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
16		pmod.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
17	9, 16, 10	pmod1i 40294	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝑍 ⊆ 𝑋 → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑋))))
18	17	3impia 1118	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑋)))
19	15, 18	syld3an2 1414	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑋)))
20	9, 10	paddcom 40259	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑍 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑍))
21	4, 8, 5, 20	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝑍 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑍))
22	21	ineq1d 4159	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑌 + 𝑍) ∩ 𝑋))
23	13, 19, 22	3eqtr2d 2777	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → ((𝑋 ∩ 𝑌) + 𝑍) = ((𝑌 + 𝑍) ∩ 𝑋))
24		incom 4149	. . 3 ⊢ ((𝑌 + 𝑍) ∩ 𝑋) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍))
25	23, 24	eqtrdi 2787	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → ((𝑋 ∩ 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍)))
26	25	3expia 1122	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑍 ⊆ 𝑋 → ((𝑋 ∩ 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Latclat 18397  Atomscatm 39709  HLchlt 39796  PSubSpcpsubsp 39942  +_𝑃cpadd 40241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-p0 18389  df-lat 18398  df-covers 39712  df-ats 39713  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797  df-psubsp 39949  df-padd 40242

This theorem is referenced by: (None)