Theorem pmod2iN 40683

Description: Dual of the modular law. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmod.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmod.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmod.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmod2iN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑍 ⊆ 𝑋 → ((𝑋 ∩ 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍))))

Proof of Theorem pmod2iN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4162	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) = (𝑌 ∩ 𝑋)
2	1	oveq1i 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) + 𝑍) = ((𝑌 ∩ 𝑋) + 𝑍)
3		hllat 40197	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
4	3	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp22 1226	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
6		ssinss1 4198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ⊆ 𝐴 → (𝑌 ∩ 𝑋) ⊆ 𝐴)
7	5, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝑌 ∩ 𝑋) ⊆ 𝐴)
8		simp23 1227	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
9		pmod.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10		pmod.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
11	9, 10	paddcom 40647	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 ∩ 𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ∩ 𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑋)))
12	4, 7, 8, 11	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → ((𝑌 ∩ 𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑋)))
13	2, 12	eqtrid 2812	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → ((𝑋 ∩ 𝑌) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑋)))
14		simp21 1225	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑆)
15	8, 5, 14	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
16		pmod.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
17	9, 16, 10	pmod1i 40682	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝑍 ⊆ 𝑋 → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑋))))
18	17	3impia 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑋)))
19	15, 18	syld3an2 1438	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑋)))
20	9, 10	paddcom 40647	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑍 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑍))
21	4, 8, 5, 20	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → (𝑍 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑍))
22	21	ineq1d 4172	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑌 + 𝑍) ∩ 𝑋))
23	13, 19, 22	3eqtr2d 2806	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → ((𝑋 ∩ 𝑌) + 𝑍) = ((𝑌 + 𝑍) ∩ 𝑋))
24		incom 4162	. . 3 ⊢ ((𝑌 + 𝑍) ∩ 𝑋) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍))
25	23, 24	eqtrdi 2816	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑋) → ((𝑋 ∩ 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍)))
26	25	3expia 1139	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑍 ⊆ 𝑋 → ((𝑋 ∩ 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Latclat 18511  Atomscatm 40097  HLchlt 40184  PSubSpcpsubsp 40330  +_𝑃cpadd 40629

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-proset 18374  df-poset 18393  df-plt 18408  df-lub 18424  df-glb 18425  df-join 18426  df-meet 18427  df-p0 18503  df-lat 18512  df-covers 40100  df-ats 40101  df-atl 40132  df-cvlat 40156  df-hlat 40185  df-psubsp 40337  df-padd 40630

This theorem is used by: (None)