Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmod2iN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmod2iN 39851
Description: Dual of the modular law. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmod.s 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmod.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmod2iN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑍𝑋 → ((𝑋𝑌) + 𝑍) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍))))

Proof of Theorem pmod2iN
StepHypRef Expression
1 incom 4209 . . . . . 6 (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋)
21oveq1i 7441 . . . . 5 ((𝑋𝑌) + 𝑍) = ((𝑌𝑋) + 𝑍)
3 hllat 39364 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
433ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp22 1208 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → 𝑌𝐴)
6 ssinss1 4246 . . . . . . 7 (𝑌𝐴 → (𝑌𝑋) ⊆ 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → (𝑌𝑋) ⊆ 𝐴)
8 simp23 1209 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → 𝑍𝐴)
9 pmod.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 pmod.p . . . . . . 7 + = (+𝑃𝐾)
119, 10paddcom 39815 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌𝑋) ⊆ 𝐴𝑍𝐴) → ((𝑌𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌𝑋)))
124, 7, 8, 11syl3anc 1373 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑌𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌𝑋)))
132, 12eqtrid 2789 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑋𝑌) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌𝑋)))
14 simp21 1207 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → 𝑋𝑆)
158, 5, 143jca 1129 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → (𝑍𝐴𝑌𝐴𝑋𝑆))
16 pmod.s . . . . . . 7 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
179, 16, 10pmod1i 39850 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑍𝐴𝑌𝐴𝑋𝑆)) → (𝑍𝑋 → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = (𝑍 + (𝑌𝑋))))
18173impia 1118 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑍𝐴𝑌𝐴𝑋𝑆) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = (𝑍 + (𝑌𝑋)))
1915, 18syld3an2 1413 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = (𝑍 + (𝑌𝑋)))
209, 10paddcom 39815 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍𝐴𝑌𝐴) → (𝑍 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑍))
214, 8, 5, 20syl3anc 1373 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → (𝑍 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑍))
2221ineq1d 4219 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑌 + 𝑍) ∩ 𝑋))
2313, 19, 223eqtr2d 2783 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑋𝑌) + 𝑍) = ((𝑌 + 𝑍) ∩ 𝑋))
24 incom 4209 . . 3 ((𝑌 + 𝑍) ∩ 𝑋) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍))
2523, 24eqtrdi 2793 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑋𝑌) + 𝑍) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍)))
26253expia 1122 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑍𝑋 → ((𝑋𝑌) + 𝑍) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  wss 3951  cfv 6561  (class class class)co 7431  Latclat 18476  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  PSubSpcpsubsp 39498  +𝑃cpadd 39797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-lat 18477  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-psubsp 39505  df-padd 39798
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator