Theorem taylfval 25098

Description: Define the Taylor polynomial of a function. The constant Tayl is a function of five arguments: 𝑆 is the base set with respect to evaluate the derivatives (generally ℝ or ℂ), 𝐹 is the function we are approximating, at point 𝐵, to order 𝑁. The result is a polynomial function of 𝑥.

This "extended" version of taylpfval 25104 additionally handles the case 𝑁 = +∞, in which case this is not a polynomial but an infinite series, the Taylor series of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
taylfval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylfval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
taylfval.n	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
taylfval.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
taylfval.t	⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
taylfval	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐵   𝑘,𝐹,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem taylfval

Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taylfval.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
2		df-tayl 25094	. . . . 5 ⊢ Tayl = (𝑠 ∈ {ℝ, ℂ}, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))))
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Tayl = (𝑠 ∈ {ℝ, ℂ}, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))))))
4		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (ℕ0 ∪ {+∞}) = (ℕ0 ∪ {+∞}))
5		oveq12 7173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑠 D𝑛 𝑓) = (𝑆 D𝑛 𝐹))
6	5	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → (𝑠 D𝑛 𝑓) = (𝑆 D𝑛 𝐹))
7	6	fveq1d 6670	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
8	7	dmeqd 5742	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
9	8	iineq2dv 4903	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) = ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
10	7	fveq1d 6670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → (((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎))
11	10	oveq1d 7179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → ((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)))
12	11	oveq1d 7179	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))
13	12	mpteq2dva 5122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))
14	13	oveq2d 7180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))) = (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))
15	14	xpeq2d 5549	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))) = ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))))
16	15	iuneq2d 4907	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))) = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))))
17	4, 9, 16	mpoeq123dv 7237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))))
18		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 = 𝑆) → 𝑠 = 𝑆)
19	18	oveq2d 7180	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
20		taylfval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
21		cnex 10689	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
23		taylfval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
24		taylfval.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
25		elpm2r 8448	. . . . 5 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
26	22, 20, 23, 24, 25	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
27		nn0ex 11975	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
28		snex 5295	. . . . . . 7 ⊢ {+∞} ∈ V
29	27, 28	unex 7481	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ∪ {+∞}) ∈ V
30		0xr 10759	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
31		nn0ssre 11973	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
32		ressxr 10756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
33	31, 32	sstri 3884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
34		pnfxr 10766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
35		snssi 4693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {+∞} ⊆ ℝ*
37	33, 36	unssi 4073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*
38	37	sseli 3871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 𝑛 ∈ ℝ*)
39		elun 4037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ∨ 𝑛 ∈ {+∞}))
40		nn0ge0 11994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑛)
41		0lepnf 12603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ +∞
42		elsni 4530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ {+∞} → 𝑛 = +∞)
43	41, 42	breqtrrid 5065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ {+∞} → 0 ≤ 𝑛)
44	40, 43	jaoi 856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∨ 𝑛 ∈ {+∞}) → 0 ≤ 𝑛)
45	39, 44	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 0 ≤ 𝑛)
46		lbicc2 12931	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑛 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑛) → 0 ∈ (0[,]𝑛))
47	30, 38, 45, 46	mp3an2i 1467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 0 ∈ (0[,]𝑛))
48		0z 12066	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
49		inelcm 4351	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ (0[,]𝑛) ∧ 0 ∈ ℤ) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅)
50	47, 48, 49	sylancl 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅)
51		fvex 6681	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
52	51	dmex 7635	. . . . . . . . 9 ⊢ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
53	52	rgenw 3065	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
54		iinexg 5206	. . . . . . . 8 ⊢ ((((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V) → ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V)
55	50, 53, 54	sylancl 589	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V)
56	55	rgen 3063	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞})∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
57		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))))
58	57	mpoexxg 7792	. . . . . 6 ⊢ (((ℕ0 ∪ {+∞}) ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞})∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))) ∈ V)
59	29, 56, 58	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))) ∈ V
60	59	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))) ∈ V)
61	3, 17, 19, 20, 26, 60	ovmpodx 7310	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Tayl 𝐹) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))))
62		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → 𝑛 = 𝑁)
63	62	oveq2d 7180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
64	63	ineq1d 4100	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
65		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → 𝑎 = 𝐵)
66	65	fveq2d 6672	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵))
67	66	oveq1d 7179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)))
68	65	oveq2d 7180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (𝑥 − 𝑎) = (𝑥 − 𝐵))
69	68	oveq1d 7179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘) = ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))
70	67, 69	oveq12d 7182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))
71	64, 70	mpteq12dv 5112	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))
72	71	oveq2d 7180	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))) = (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))))
73	72	xpeq2d 5549	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))) = ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))
74	73	iuneq2d 4907	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))) = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))
75		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑁)
76	75	oveq2d 7180	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
77	76	ineq1d 4100	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
78		iineq1 4895	. . . 4 ⊢ (((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) → ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
79	77, 78	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑁) → ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
80		taylfval.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
81		pnfex 10765	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ V
82	81	elsn2 4552	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {+∞} ↔ 𝑁 = +∞)
83	82	orbi2i 912	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 ∈ {+∞}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
84	80, 83	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 ∈ {+∞}))
85		elun 4037	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 ∈ {+∞}))
86	84, 85	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
87		taylfval.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
88	87	ralrimiva 3096	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
89		oveq2 7172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
90	89	ineq1d 4100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
91	90	neeq1d 2993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅ ↔ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅))
92	91, 50	vtoclga 3477	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅)
93	86, 92	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅)
94		r19.2z 4378	. . . . . 6 ⊢ ((((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)) → ∃𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
95	93, 88, 94	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
96		elex 3415	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) → 𝐵 ∈ V)
97	96	rexlimivw 3191	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) → 𝐵 ∈ V)
98		eliin 4883	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)))
99	95, 97, 98	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)))
100	88, 99	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
101		snssi 4693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → {𝑥} ⊆ ℂ)
102	20, 23, 24, 80, 87	taylfvallem 25097	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) ⊆ ℂ)
103		xpss12 5534	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥} ⊆ ℂ ∧ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) ⊆ ℂ) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
104	101, 102, 103	syl2an2 686	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
105	104	ralrimiva 3096	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
106		iunss 4928	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
107	105, 106	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
108	21, 21	xpex 7488	. . . . 5 ⊢ (ℂ × ℂ) ∈ V
109	108	ssex 5186	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ) → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ∈ V)
110	107, 109	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ∈ V)
111	61, 74, 79, 86, 100, 110	ovmpodx 7310	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))
112	1, 111	syl5eq 2785	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3054  Vcvv 3397   ∪ cun 3839   ∩ cin 3840   ⊆ wss 3841  ∅c0 4209  {csn 4513  {cpr 4515  ∪ ciun 4878  ∩ ciin 4879   class class class wbr 5027   ↦ cmpt 5107   × cxp 5517  dom cdm 5519  ⟶wf 6329  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164   ∈ cmpo 7166   ↑_pm cpm 8431  ℂcc 10606  ℝcr 10607  0cc0 10608   · cmul 10613  +∞cpnf 10743  ℝ^*cxr 10745   ≤ cle 10747   − cmin 10941   / cdiv 11368  ℕ₀cn0 11969  ℤcz 12055  [,]cicc 12817  ↑cexp 13514  !cfa 13718  ℂ_fldccnfld 20210   tsums ctsu 22870   D^𝑛 cdvn 24608   Tayl ctayl 25092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686  ax-addf 10687  ax-mulf 10688

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-seq 13454  df-exp 13515  df-fac 13719  df-hash 13776  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-rest 16792  df-topn 16793  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-topgen 16813  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-abl 19020  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-cring 19412  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-fbas 20207  df-fg 20208  df-cnfld 20211  df-top 21638  df-topon 21655  df-topsp 21677  df-bases 21690  df-cld 21763  df-ntr 21764  df-cls 21765  df-nei 21842  df-lp 21880  df-perf 21881  df-cnp 21972  df-haus 22059  df-fil 22590  df-fm 22682  df-flim 22683  df-flf 22684  df-tsms 22871  df-xms 23066  df-ms 23067  df-limc 24610  df-dv 24611  df-dvn 24612  df-tayl 25094

This theorem is referenced by:  eltayl  25099  taylf  25100  taylpfval  25104