MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylfval 25670
Description: Define the Taylor polynomial of a function. The constant Tayl is a function of five arguments: 𝑆 is the base set with respect to evaluate the derivatives (generally ℝ or β„‚), 𝐹 is the function we are approximating, at point 𝐡, to order 𝑁. The result is a polynomial function of π‘₯.

This "extended" version of taylpfval 25676 additionally handles the case 𝑁 = +∞, in which case this is not a polynomial but an infinite series, the Taylor series of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses
Ref Expression
taylfval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
taylfval.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
taylfval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
taylfval.n (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 = +∞))
taylfval.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
taylfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
Assertion
Ref Expression
taylfval (πœ‘ β†’ 𝑇 = βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝐡   π‘˜,𝐹,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝑁,π‘₯   𝑆,π‘˜,π‘₯   π‘₯,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,π‘˜)   𝑇(π‘˜)

Proof of Theorem taylfval
Dummy variables π‘Ž 𝑛 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylfval.t . 2 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
2 df-tayl 25666 . . . . 5 Tayl = (𝑠 ∈ {ℝ, β„‚}, 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠) ↦ (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}), π‘Ž ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)))))))
32a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ Tayl = (𝑠 ∈ {ℝ, β„‚}, 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠) ↦ (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}), π‘Ž ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜))))))))
4 eqidd 2738 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (β„•0 βˆͺ {+∞}) = (β„•0 βˆͺ {+∞}))
5 oveq12 7360 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ (𝑠 D𝑛 𝑓) = (𝑆 D𝑛 𝐹))
65ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)) β†’ (𝑠 D𝑛 𝑓) = (𝑆 D𝑛 𝐹))
76fveq1d 6841 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)) β†’ ((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
87dmeqd 5859 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)) β†’ dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
98iineq2dv 4977 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜) = ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
107fveq1d 6841 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)) β†’ (((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž))
1110oveq1d 7366 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)) β†’ ((((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)))
1211oveq1d 7366 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)) β†’ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)))
1312mpteq2dva 5203 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜))) = (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜))))
1413oveq2d 7367 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)))) = (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)))))
1514xpeq2d 5661 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜))))) = ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜))))))
1615iuneq2d 4981 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜))))) = βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜))))))
174, 9, 16mpoeq123dv 7426 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}), π‘Ž ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)))))) = (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}), π‘Ž ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)))))))
18 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ 𝑠 = 𝑆)
1918oveq2d 7367 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ (β„‚ ↑pm 𝑠) = (β„‚ ↑pm 𝑆))
20 taylfval.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
21 cnex 11090 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
2221a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
23 taylfval.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
24 taylfval.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
25 elpm2r 8741 . . . . 5 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚}) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
2622, 20, 23, 24, 25syl22anc 837 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
27 nn0ex 12377 . . . . . . 7 β„•0 ∈ V
28 snex 5386 . . . . . . 7 {+∞} ∈ V
2927, 28unex 7672 . . . . . 6 (β„•0 βˆͺ {+∞}) ∈ V
30 0xr 11160 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
31 nn0ssre 12375 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 βŠ† ℝ
32 ressxr 11157 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† ℝ*
3331, 32sstri 3951 . . . . . . . . . . . 12 β„•0 βŠ† ℝ*
34 pnfxr 11167 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
35 snssi 4766 . . . . . . . . . . . . 13 (+∞ ∈ ℝ* β†’ {+∞} βŠ† ℝ*)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 {+∞} βŠ† ℝ*
3733, 36unssi 4143 . . . . . . . . . . 11 (β„•0 βˆͺ {+∞}) βŠ† ℝ*
3837sseli 3938 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ 𝑛 ∈ ℝ*)
39 elun 4106 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}) ↔ (𝑛 ∈ β„•0 ∨ 𝑛 ∈ {+∞}))
40 nn0ge0 12396 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝑛)
41 0lepnf 13007 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≀ +∞
42 elsni 4601 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ {+∞} β†’ 𝑛 = +∞)
4341, 42breqtrrid 5141 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ {+∞} β†’ 0 ≀ 𝑛)
4440, 43jaoi 855 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„•0 ∨ 𝑛 ∈ {+∞}) β†’ 0 ≀ 𝑛)
4539, 44sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ 0 ≀ 𝑛)
46 lbicc2 13335 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑛 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑛) β†’ 0 ∈ (0[,]𝑛))
4730, 38, 45, 46mp3an2i 1466 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ 0 ∈ (0[,]𝑛))
48 0z 12468 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„€
49 inelcm 4422 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ (0[,]𝑛) ∧ 0 ∈ β„€) β†’ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) β‰  βˆ…)
5047, 48, 49sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) β‰  βˆ…)
51 fvex 6852 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ V
5251dmex 7840 . . . . . . . . 9 dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ V
5352rgenw 3066 . . . . . . . 8 βˆ€π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ V
54 iinexg 5296 . . . . . . . 8 ((((0[,]𝑛) ∩ β„€) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ V) β†’ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ V)
5550, 53, 54sylancl 586 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ V)
5655rgen 3064 . . . . . 6 βˆ€π‘› ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞})∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ V
57 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}), π‘Ž ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)))))) = (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}), π‘Ž ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜))))))
5857mpoexxg 8000 . . . . . 6 (((β„•0 βˆͺ {+∞}) ∈ V ∧ βˆ€π‘› ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞})∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ V) β†’ (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}), π‘Ž ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)))))) ∈ V)
5929, 56, 58mp2an 690 . . . . 5 (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}), π‘Ž ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)))))) ∈ V
6059a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}), π‘Ž ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)))))) ∈ V)
613, 17, 19, 20, 26, 60ovmpodx 7500 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 Tayl 𝐹) = (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}), π‘Ž ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)))))))
62 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ 𝑛 = 𝑁)
6362oveq2d 7367 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
6463ineq1d 4169 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) = ((0[,]𝑁) ∩ β„€))
65 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ π‘Ž = 𝐡)
6665fveq2d 6843 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅))
6766oveq1d 7366 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)))
6865oveq2d 7367 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ (π‘₯ βˆ’ π‘Ž) = (π‘₯ βˆ’ 𝐡))
6968oveq1d 7366 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜) = ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))
7067, 69oveq12d 7369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))
7164, 70mpteq12dv 5194 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜))) = (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))
7271oveq2d 7367 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)))) = (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))))
7372xpeq2d 5661 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜))))) = ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))))
7473iuneq2d 4981 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜))))) = βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))))
75 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑁) β†’ 𝑛 = 𝑁)
7675oveq2d 7367 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑁) β†’ (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
7776ineq1d 4169 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑁) β†’ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) = ((0[,]𝑁) ∩ β„€))
78 iineq1 4969 . . . 4 (((0[,]𝑛) ∩ β„€) = ((0[,]𝑁) ∩ β„€) β†’ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) = ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
7977, 78syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑁) β†’ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) = ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
80 taylfval.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 = +∞))
81 pnfex 11166 . . . . . . 7 +∞ ∈ V
8281elsn2 4623 . . . . . 6 (𝑁 ∈ {+∞} ↔ 𝑁 = +∞)
8382orbi2i 911 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 ∈ {+∞}) ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 = +∞))
8480, 83sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 ∈ {+∞}))
85 elun 4106 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}) ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 ∈ {+∞}))
8684, 85sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}))
87 taylfval.b . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
8887ralrimiva 3141 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
89 oveq2 7359 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 β†’ (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
9089ineq1d 4169 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) = ((0[,]𝑁) ∩ β„€))
9190neeq1d 3001 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 β†’ (((0[,]𝑛) ∩ β„€) β‰  βˆ… ↔ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) β‰  βˆ…))
9291, 50vtoclga 3532 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) β‰  βˆ…)
9386, 92syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) β‰  βˆ…)
94 r19.2z 4450 . . . . . 6 ((((0[,]𝑁) ∩ β„€) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
9593, 88, 94syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
96 elex 3461 . . . . . 6 (𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) β†’ 𝐡 ∈ V)
9796rexlimivw 3146 . . . . 5 (βˆƒπ‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) β†’ 𝐡 ∈ V)
98 eliin 4957 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ (𝐡 ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)))
9995, 97, 983syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)))
10088, 99mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
101 snssi 4766 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ {π‘₯} βŠ† β„‚)
10220, 23, 24, 80, 87taylfvallem 25669 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))) βŠ† β„‚)
103 xpss12 5646 . . . . . . 7 (({π‘₯} βŠ† β„‚ ∧ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))) βŠ† β„‚) β†’ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
104101, 102, 103syl2an2 684 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
105104ralrimiva 3141 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
106 iunss 5003 . . . . 5 (βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
107105, 106sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
10821, 21xpex 7679 . . . . 5 (β„‚ Γ— β„‚) ∈ V
109108ssex 5276 . . . 4 (βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) ∈ V)
110107, 109syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) ∈ V)
11161, 74, 79, 86, 100, 110ovmpodx 7500 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡) = βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))))
1121, 111eqtrid 2789 1 (πœ‘ β†’ 𝑇 = βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3443   βˆͺ cun 3906   ∩ cin 3907   βŠ† wss 3908  βˆ…c0 4280  {csn 4584  {cpr 4586  βˆͺ ciun 4952  βˆ© ciin 4953   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   Γ— cxp 5629  dom cdm 5631  βŸΆwf 6489  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   ∈ cmpo 7353   ↑pm cpm 8724  β„‚cc 11007  β„cr 11008  0cc0 11009   Β· cmul 11014  +∞cpnf 11144  β„*cxr 11146   ≀ cle 11148   βˆ’ cmin 11343   / cdiv 11770  β„•0cn0 12371  β„€cz 12457  [,]cicc 13221  β†‘cexp 13921  !cfa 14127  β„‚fldccnfld 20749   tsums ctsu 23429   D𝑛 cdvn 25180   Tayl ctayl 25664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-icc 13225  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-exp 13922  df-fac 14128  df-hash 14185  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-rest 17264  df-topn 17265  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-topgen 17285  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-cntz 19056  df-cmn 19523  df-abl 19524  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-cring 19921  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-fbas 20746  df-fg 20747  df-cnfld 20750  df-top 22195  df-topon 22212  df-topsp 22234  df-bases 22248  df-cld 22322  df-ntr 22323  df-cls 22324  df-nei 22401  df-lp 22439  df-perf 22440  df-cnp 22531  df-haus 22618  df-fil 23149  df-fm 23241  df-flim 23242  df-flf 23243  df-tsms 23430  df-xms 23625  df-ms 23626  df-limc 25182  df-dv 25183  df-dvn 25184  df-tayl 25666
This theorem is referenced by:  eltayl  25671  taylf  25672  taylpfval  25676
  Copyright terms: Public domain W3C validator