Theorem taylfval 26291

Description: Define the Taylor polynomial of a function. The constant Tayl is a function of five arguments: 𝑆 is the base set with respect to evaluate the derivatives (generally ℝ or ℂ), 𝐹 is the function we are approximating, at point 𝐵, to order 𝑁. The result is a polynomial function of 𝑥.

This "extended" version of taylpfval 26297 additionally handles the case 𝑁 = +∞, in which case this is not a polynomial but an infinite series, the Taylor series of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
taylfval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylfval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
taylfval.n	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
taylfval.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
taylfval.t	⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
taylfval	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐵   𝑘,𝐹,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem taylfval

Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taylfval.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
2		df-tayl 26287	. . . . 5 ⊢ Tayl = (𝑠 ∈ {ℝ, ℂ}, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))))
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Tayl = (𝑠 ∈ {ℝ, ℂ}, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))))))
4		eqidd 2732	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (ℕ0 ∪ {+∞}) = (ℕ0 ∪ {+∞}))
5		oveq12 7355	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑠 D𝑛 𝑓) = (𝑆 D𝑛 𝐹))
6	5	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → (𝑠 D𝑛 𝑓) = (𝑆 D𝑛 𝐹))
7	6	fveq1d 6824	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
8	7	dmeqd 5845	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
9	8	iineq2dv 4967	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) = ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
10	7	fveq1d 6824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → (((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎))
11	10	oveq1d 7361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → ((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)))
12	11	oveq1d 7361	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))
13	12	mpteq2dva 5184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))
14	13	oveq2d 7362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))) = (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))
15	14	xpeq2d 5646	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))) = ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))))
16	15	iuneq2d 4972	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))) = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))))
17	4, 9, 16	mpoeq123dv 7421	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))))
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 = 𝑆) → 𝑠 = 𝑆)
19	18	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
20		taylfval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
21		cnex 11084	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
23		taylfval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
24		taylfval.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
25		elpm2r 8769	. . . . 5 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
26	22, 20, 23, 24, 25	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
27		nn0ex 12384	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
28		snex 5374	. . . . . . 7 ⊢ {+∞} ∈ V
29	27, 28	unex 7677	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ∪ {+∞}) ∈ V
30		0xr 11156	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
31		nn0ssre 12382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
32		ressxr 11153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
33	31, 32	sstri 3944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
34		pnfxr 11163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
35		snssi 4760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {+∞} ⊆ ℝ*
37	33, 36	unssi 4141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*
38	37	sseli 3930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 𝑛 ∈ ℝ*)
39		elun 4103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ∨ 𝑛 ∈ {+∞}))
40		nn0ge0 12403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑛)
41		0lepnf 13029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ +∞
42		elsni 4593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ {+∞} → 𝑛 = +∞)
43	41, 42	breqtrrid 5129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ {+∞} → 0 ≤ 𝑛)
44	40, 43	jaoi 857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∨ 𝑛 ∈ {+∞}) → 0 ≤ 𝑛)
45	39, 44	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 0 ≤ 𝑛)
46		lbicc2 13361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑛 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑛) → 0 ∈ (0[,]𝑛))
47	30, 38, 45, 46	mp3an2i 1468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 0 ∈ (0[,]𝑛))
48		0z 12476	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
49		inelcm 4415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ (0[,]𝑛) ∧ 0 ∈ ℤ) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅)
50	47, 48, 49	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅)
51		fvex 6835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
52	51	dmex 7839	. . . . . . . . 9 ⊢ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
53	52	rgenw 3051	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
54		iinexg 5286	. . . . . . . 8 ⊢ ((((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V) → ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V)
55	50, 53, 54	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V)
56	55	rgen 3049	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞})∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
57		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))))
58	57	mpoexxg 8007	. . . . . 6 ⊢ (((ℕ0 ∪ {+∞}) ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞})∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))) ∈ V)
59	29, 56, 58	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))) ∈ V
60	59	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))) ∈ V)
61	3, 17, 19, 20, 26, 60	ovmpodx 7497	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Tayl 𝐹) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))))
62		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → 𝑛 = 𝑁)
63	62	oveq2d 7362	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
64	63	ineq1d 4169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
65		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → 𝑎 = 𝐵)
66	65	fveq2d 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵))
67	66	oveq1d 7361	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)))
68	65	oveq2d 7362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (𝑥 − 𝑎) = (𝑥 − 𝐵))
69	68	oveq1d 7361	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘) = ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))
70	67, 69	oveq12d 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))
71	64, 70	mpteq12dv 5178	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))
72	71	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))) = (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))))
73	72	xpeq2d 5646	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))) = ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))
74	73	iuneq2d 4972	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))) = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))
75		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑁)
76	75	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
77	76	ineq1d 4169	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
78		iineq1 4959	. . . 4 ⊢ (((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) → ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
79	77, 78	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑁) → ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
80		taylfval.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
81		pnfex 11162	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ V
82	81	elsn2 4618	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {+∞} ↔ 𝑁 = +∞)
83	82	orbi2i 912	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 ∈ {+∞}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
84	80, 83	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 ∈ {+∞}))
85		elun 4103	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 ∈ {+∞}))
86	84, 85	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
87		taylfval.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
88	87	ralrimiva 3124	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
89		oveq2 7354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
90	89	ineq1d 4169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
91	90	neeq1d 2987	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅ ↔ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅))
92	91, 50	vtoclga 3532	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅)
93	86, 92	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅)
94		r19.2z 4445	. . . . . 6 ⊢ ((((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)) → ∃𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
95	93, 88, 94	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
96		elex 3457	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) → 𝐵 ∈ V)
97	96	rexlimivw 3129	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) → 𝐵 ∈ V)
98		eliin 4946	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)))
99	95, 97, 98	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)))
100	88, 99	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
101		snssi 4760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → {𝑥} ⊆ ℂ)
102	20, 23, 24, 80, 87	taylfvallem 26290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) ⊆ ℂ)
103		xpss12 5631	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥} ⊆ ℂ ∧ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) ⊆ ℂ) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
104	101, 102, 103	syl2an2 686	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
105	104	ralrimiva 3124	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
106		iunss 4994	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
107	105, 106	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
108	21, 21	xpex 7686	. . . . 5 ⊢ (ℂ × ℂ) ∈ V
109	108	ssex 5259	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ) → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ∈ V)
110	107, 109	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ∈ V)
111	61, 74, 79, 86, 100, 110	ovmpodx 7497	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))
112	1, 111	eqtrid 2778	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  {csn 4576  {cpr 4578  ∪ ciun 4941  ∩ ciin 4942   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172   × cxp 5614  dom cdm 5616  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348   ↑_pm cpm 8751  ℂcc 11001  ℝcr 11002  0cc0 11003   · cmul 11008  +∞cpnf 11140  ℝ^*cxr 11142   ≤ cle 11144   − cmin 11341   / cdiv 11771  ℕ₀cn0 12378  ℤcz 12465  [,]cicc 13245  ↑cexp 13965  !cfa 14177  ℂ_fldccnfld 21289   tsums ctsu 24039   D^𝑛 cdvn 25790   Tayl ctayl 26285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-icc 13249  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-seq 13906  df-exp 13966  df-fac 14178  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-rest 17323  df-topn 17324  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-topgen 17344  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-fbas 21286  df-fg 21287  df-cnfld 21290  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-cld 22932  df-ntr 22933  df-cls 22934  df-nei 23011  df-lp 23049  df-perf 23050  df-cnp 23141  df-haus 23228  df-fil 23759  df-fm 23851  df-flim 23852  df-flf 23853  df-tsms 24040  df-xms 24233  df-ms 24234  df-limc 25792  df-dv 25793  df-dvn 25794  df-tayl 26287

This theorem is referenced by:  eltayl  26292  taylf  26293  taylpfval  26297