MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylfval 25871
Description: Define the Taylor polynomial of a function. The constant Tayl is a function of five arguments: 𝑆 is the base set with respect to evaluate the derivatives (generally ℝ or β„‚), 𝐹 is the function we are approximating, at point 𝐡, to order 𝑁. The result is a polynomial function of π‘₯.

This "extended" version of taylpfval 25877 additionally handles the case 𝑁 = +∞, in which case this is not a polynomial but an infinite series, the Taylor series of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses
Ref Expression
taylfval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
taylfval.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
taylfval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
taylfval.n (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 = +∞))
taylfval.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
taylfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
Assertion
Ref Expression
taylfval (πœ‘ β†’ 𝑇 = βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝐡   π‘˜,𝐹,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝑁,π‘₯   𝑆,π‘˜,π‘₯   π‘₯,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,π‘˜)   𝑇(π‘˜)

Proof of Theorem taylfval
Dummy variables π‘Ž 𝑛 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylfval.t . 2 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
2 df-tayl 25867 . . . . 5 Tayl = (𝑠 ∈ {ℝ, β„‚}, 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠) ↦ (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}), π‘Ž ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)))))))
32a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ Tayl = (𝑠 ∈ {ℝ, β„‚}, 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠) ↦ (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}), π‘Ž ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜))))))))
4 eqidd 2734 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (β„•0 βˆͺ {+∞}) = (β„•0 βˆͺ {+∞}))
5 oveq12 7418 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ (𝑠 D𝑛 𝑓) = (𝑆 D𝑛 𝐹))
65ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)) β†’ (𝑠 D𝑛 𝑓) = (𝑆 D𝑛 𝐹))
76fveq1d 6894 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)) β†’ ((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
87dmeqd 5906 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)) β†’ dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
98iineq2dv 5023 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜) = ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
107fveq1d 6894 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)) β†’ (((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž))
1110oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)) β†’ ((((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)))
1211oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)) β†’ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)))
1312mpteq2dva 5249 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜))) = (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜))))
1413oveq2d 7425 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)))) = (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)))))
1514xpeq2d 5707 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜))))) = ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜))))))
1615iuneq2d 5027 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜))))) = βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜))))))
174, 9, 16mpoeq123dv 7484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}), π‘Ž ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)))))) = (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}), π‘Ž ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)))))))
18 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ 𝑠 = 𝑆)
1918oveq2d 7425 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ (β„‚ ↑pm 𝑠) = (β„‚ ↑pm 𝑆))
20 taylfval.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
21 cnex 11191 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
2221a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
23 taylfval.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
24 taylfval.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
25 elpm2r 8839 . . . . 5 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚}) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
2622, 20, 23, 24, 25syl22anc 838 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
27 nn0ex 12478 . . . . . . 7 β„•0 ∈ V
28 snex 5432 . . . . . . 7 {+∞} ∈ V
2927, 28unex 7733 . . . . . 6 (β„•0 βˆͺ {+∞}) ∈ V
30 0xr 11261 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
31 nn0ssre 12476 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 βŠ† ℝ
32 ressxr 11258 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† ℝ*
3331, 32sstri 3992 . . . . . . . . . . . 12 β„•0 βŠ† ℝ*
34 pnfxr 11268 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
35 snssi 4812 . . . . . . . . . . . . 13 (+∞ ∈ ℝ* β†’ {+∞} βŠ† ℝ*)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 {+∞} βŠ† ℝ*
3733, 36unssi 4186 . . . . . . . . . . 11 (β„•0 βˆͺ {+∞}) βŠ† ℝ*
3837sseli 3979 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ 𝑛 ∈ ℝ*)
39 elun 4149 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}) ↔ (𝑛 ∈ β„•0 ∨ 𝑛 ∈ {+∞}))
40 nn0ge0 12497 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝑛)
41 0lepnf 13112 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≀ +∞
42 elsni 4646 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ {+∞} β†’ 𝑛 = +∞)
4341, 42breqtrrid 5187 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ {+∞} β†’ 0 ≀ 𝑛)
4440, 43jaoi 856 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„•0 ∨ 𝑛 ∈ {+∞}) β†’ 0 ≀ 𝑛)
4539, 44sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ 0 ≀ 𝑛)
46 lbicc2 13441 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑛 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑛) β†’ 0 ∈ (0[,]𝑛))
4730, 38, 45, 46mp3an2i 1467 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ 0 ∈ (0[,]𝑛))
48 0z 12569 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„€
49 inelcm 4465 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ (0[,]𝑛) ∧ 0 ∈ β„€) β†’ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) β‰  βˆ…)
5047, 48, 49sylancl 587 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) β‰  βˆ…)
51 fvex 6905 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ V
5251dmex 7902 . . . . . . . . 9 dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ V
5352rgenw 3066 . . . . . . . 8 βˆ€π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ V
54 iinexg 5342 . . . . . . . 8 ((((0[,]𝑛) ∩ β„€) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ V) β†’ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ V)
5550, 53, 54sylancl 587 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ V)
5655rgen 3064 . . . . . 6 βˆ€π‘› ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞})∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ V
57 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}), π‘Ž ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)))))) = (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}), π‘Ž ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜))))))
5857mpoexxg 8062 . . . . . 6 (((β„•0 βˆͺ {+∞}) ∈ V ∧ βˆ€π‘› ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞})∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ V) β†’ (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}), π‘Ž ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)))))) ∈ V)
5929, 56, 58mp2an 691 . . . . 5 (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}), π‘Ž ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)))))) ∈ V
6059a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}), π‘Ž ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)))))) ∈ V)
613, 17, 19, 20, 26, 60ovmpodx 7559 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 Tayl 𝐹) = (𝑛 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}), π‘Ž ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)))))))
62 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ 𝑛 = 𝑁)
6362oveq2d 7425 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
6463ineq1d 4212 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) = ((0[,]𝑁) ∩ β„€))
65 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ π‘Ž = 𝐡)
6665fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅))
6766oveq1d 7424 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)))
6865oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ (π‘₯ βˆ’ π‘Ž) = (π‘₯ βˆ’ 𝐡))
6968oveq1d 7424 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜) = ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))
7067, 69oveq12d 7427 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))
7164, 70mpteq12dv 5240 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜))) = (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))
7271oveq2d 7425 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜)))) = (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))))
7372xpeq2d 5707 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜))))) = ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))))
7473iuneq2d 5027 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ π‘Ž = 𝐡)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π‘Ž) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ π‘Ž)β†‘π‘˜))))) = βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))))
75 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑁) β†’ 𝑛 = 𝑁)
7675oveq2d 7425 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑁) β†’ (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
7776ineq1d 4212 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑁) β†’ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) = ((0[,]𝑁) ∩ β„€))
78 iineq1 5015 . . . 4 (((0[,]𝑛) ∩ β„€) = ((0[,]𝑁) ∩ β„€) β†’ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) = ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
7977, 78syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑁) β†’ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑛) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) = ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
80 taylfval.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 = +∞))
81 pnfex 11267 . . . . . . 7 +∞ ∈ V
8281elsn2 4668 . . . . . 6 (𝑁 ∈ {+∞} ↔ 𝑁 = +∞)
8382orbi2i 912 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 ∈ {+∞}) ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 = +∞))
8480, 83sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 ∈ {+∞}))
85 elun 4149 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}) ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 ∈ {+∞}))
8684, 85sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}))
87 taylfval.b . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
8887ralrimiva 3147 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
89 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 β†’ (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
9089ineq1d 4212 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((0[,]𝑛) ∩ β„€) = ((0[,]𝑁) ∩ β„€))
9190neeq1d 3001 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 β†’ (((0[,]𝑛) ∩ β„€) β‰  βˆ… ↔ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) β‰  βˆ…))
9291, 50vtoclga 3566 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) β‰  βˆ…)
9386, 92syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) β‰  βˆ…)
94 r19.2z 4495 . . . . . 6 ((((0[,]𝑁) ∩ β„€) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
9593, 88, 94syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
96 elex 3493 . . . . . 6 (𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) β†’ 𝐡 ∈ V)
9796rexlimivw 3152 . . . . 5 (βˆƒπ‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) β†’ 𝐡 ∈ V)
98 eliin 5003 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ (𝐡 ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)))
9995, 97, 983syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)))
10088, 99mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ∩ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
101 snssi 4812 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ {π‘₯} βŠ† β„‚)
10220, 23, 24, 80, 87taylfvallem 25870 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))) βŠ† β„‚)
103 xpss12 5692 . . . . . . 7 (({π‘₯} βŠ† β„‚ ∧ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))) βŠ† β„‚) β†’ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
104101, 102, 103syl2an2 685 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
105104ralrimiva 3147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
106 iunss 5049 . . . . 5 (βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
107105, 106sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
10821, 21xpex 7740 . . . . 5 (β„‚ Γ— β„‚) ∈ V
109108ssex 5322 . . . 4 (βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) ∈ V)
110107, 109syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) ∈ V)
11161, 74, 79, 86, 100, 110ovmpodx 7559 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡) = βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))))
1121, 111eqtrid 2785 1 (πœ‘ β†’ 𝑇 = βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629  {cpr 4631  βˆͺ ciun 4998  βˆ© ciin 4999   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411   ↑pm cpm 8821  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  [,]cicc 13327  β†‘cexp 14027  !cfa 14233  β„‚fldccnfld 20944   tsums ctsu 23630   D𝑛 cdvn 25381   Tayl ctayl 25865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-tsms 23631  df-xms 23826  df-ms 23827  df-limc 25383  df-dv 25384  df-dvn 25385  df-tayl 25867
This theorem is referenced by:  eltayl  25872  taylf  25873  taylpfval  25877
  Copyright terms: Public domain W3C validator