MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylfval 24554
Description: Define the Taylor polynomial of a function. The constant Tayl is a function of five arguments: 𝑆 is the base set with respect to evaluate the derivatives (generally or ), 𝐹 is the function we are approximating, at point 𝐵, to order 𝑁. The result is a polynomial function of 𝑥.

This "extended" version of taylpfval 24560 additionally handles the case 𝑁 = +∞, in which case this is not a polynomial but an infinite series, the Taylor series of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses
Ref Expression
taylfval.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylfval.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylfval.a (𝜑𝐴𝑆)
taylfval.n (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
taylfval.b ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
taylfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
Assertion
Ref Expression
taylfval (𝜑𝑇 = 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐵   𝑘,𝐹,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem taylfval
Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylfval.t . 2 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
2 df-tayl 24550 . . . . 5 Tayl = (𝑠 ∈ {ℝ, ℂ}, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))))
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → Tayl = (𝑠 ∈ {ℝ, ℂ}, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))))))
4 eqidd 2779 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (ℕ0 ∪ {+∞}) = (ℕ0 ∪ {+∞}))
5 oveq12 6933 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹) → (𝑠 D𝑛 𝑓) = (𝑆 D𝑛 𝐹))
65ad2antlr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → (𝑠 D𝑛 𝑓) = (𝑆 D𝑛 𝐹))
76fveq1d 6450 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
87dmeqd 5573 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
98iineq2dv 4778 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) = 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
107fveq1d 6450 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → (((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎))
1110oveq1d 6939 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → ((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)))
1211oveq1d 6939 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))
1312mpteq2dva 4981 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))
1413oveq2d 6940 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))) = (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))
1514xpeq2d 5387 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))) = ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))))
1615iuneq2d 4782 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))) = 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))))
174, 9, 16mpt2eq123dv 6996 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))))
18 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑠 = 𝑆) → 𝑠 = 𝑆)
1918oveq2d 6940 . . . 4 ((𝜑𝑠 = 𝑆) → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
20 taylfval.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
21 cnex 10355 . . . . . 6 ℂ ∈ V
2221a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ∈ V)
23 taylfval.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
24 taylfval.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
25 elpm2r 8160 . . . . 5 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
2622, 20, 23, 24, 25syl22anc 829 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
27 nn0ex 11653 . . . . . . 7 0 ∈ V
28 snex 5142 . . . . . . 7 {+∞} ∈ V
2927, 28unex 7235 . . . . . 6 (ℕ0 ∪ {+∞}) ∈ V
30 0xr 10425 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 0 ∈ ℝ*)
32 nn0ssre 11650 . . . . . . . . . . . . 13 0 ⊆ ℝ
33 ressxr 10422 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
3432, 33sstri 3830 . . . . . . . . . . . 12 0 ⊆ ℝ*
35 pnfxr 10432 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
36 snssi 4572 . . . . . . . . . . . . 13 (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 {+∞} ⊆ ℝ*
3834, 37unssi 4011 . . . . . . . . . . 11 (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*
3938sseli 3817 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 𝑛 ∈ ℝ*)
40 elun 3976 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ {+∞}))
41 nn0ge0 11673 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑛)
42 0lepnf 12281 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ +∞
43 elsni 4415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ {+∞} → 𝑛 = +∞)
4442, 43syl5breqr 4926 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ {+∞} → 0 ≤ 𝑛)
4541, 44jaoi 846 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ {+∞}) → 0 ≤ 𝑛)
4640, 45sylbi 209 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 0 ≤ 𝑛)
47 lbicc2 12606 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ*𝑛 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑛) → 0 ∈ (0[,]𝑛))
4831, 39, 46, 47syl3anc 1439 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 0 ∈ (0[,]𝑛))
49 0z 11743 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
50 inelcm 4257 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ (0[,]𝑛) ∧ 0 ∈ ℤ) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅)
5148, 49, 50sylancl 580 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅)
52 fvex 6461 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
5352dmex 7380 . . . . . . . . 9 dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
5453rgenw 3106 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
55 iinexg 5060 . . . . . . . 8 ((((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V)
5651, 54, 55sylancl 580 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V)
5756rgen 3104 . . . . . 6 𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
58 eqid 2778 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))))
5958mpt2exxg 7526 . . . . . 6 (((ℕ0 ∪ {+∞}) ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))) ∈ V)
6029, 57, 59mp2an 682 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))) ∈ V
6160a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))) ∈ V)
623, 17, 19, 20, 26, 61ovmpt2dx 7066 . . 3 (𝜑 → (𝑆 Tayl 𝐹) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))))
63 simprl 761 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → 𝑛 = 𝑁)
6463oveq2d 6940 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
6564ineq1d 4036 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
66 simprr 763 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → 𝑎 = 𝐵)
6766fveq2d 6452 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵))
6867oveq1d 6939 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)))
6966oveq2d 6940 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → (𝑥𝑎) = (𝑥𝐵))
7069oveq1d 6939 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → ((𝑥𝑎)↑𝑘) = ((𝑥𝐵)↑𝑘))
7168, 70oveq12d 6942 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))
7265, 71mpteq12dv 4971 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))
7372oveq2d 6940 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))) = (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))))
7473xpeq2d 5387 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))) = ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))))
7574iuneq2d 4782 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))) = 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))))
76 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑁)
7776oveq2d 6940 . . . . 5 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
7877ineq1d 4036 . . . 4 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
79 iineq1 4770 . . . 4 (((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
8078, 79syl 17 . . 3 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
81 taylfval.n . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
82 pnfex 10431 . . . . . . 7 +∞ ∈ V
8382elsn2 4433 . . . . . 6 (𝑁 ∈ {+∞} ↔ 𝑁 = +∞)
8483orbi2i 899 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ {+∞}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
8581, 84sylibr 226 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ {+∞}))
86 elun 3976 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ {+∞}))
8785, 86sylibr 226 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
88 taylfval.b . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
8988ralrimiva 3148 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
90 oveq2 6932 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 → (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
9190ineq1d 4036 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
9291neeq1d 3028 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅ ↔ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅))
9392, 51vtoclga 3474 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅)
9487, 93syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅)
95 r19.2z 4283 . . . . . 6 ((((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)) → ∃𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
9694, 89, 95syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
97 elex 3414 . . . . . 6 (𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) → 𝐵 ∈ V)
9897rexlimivw 3211 . . . . 5 (∃𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) → 𝐵 ∈ V)
99 eliin 4760 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (𝐵 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)))
10096, 98, 993syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)))
10189, 100mpbird 249 . . 3 (𝜑𝐵 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
102 snssi 4572 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → {𝑥} ⊆ ℂ)
103102adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → {𝑥} ⊆ ℂ)
10420, 23, 24, 81, 88taylfvallem 24553 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) ⊆ ℂ)
105 xpss12 5372 . . . . . . 7 (({𝑥} ⊆ ℂ ∧ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) ⊆ ℂ) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
106103, 104, 105syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
107106ralrimiva 3148 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
108 iunss 4796 . . . . 5 ( 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
109107, 108sylibr 226 . . . 4 (𝜑 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
11021, 21xpex 7242 . . . . 5 (ℂ × ℂ) ∈ V
111110ssex 5041 . . . 4 ( 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ∈ V)
112109, 111syl 17 . . 3 (𝜑 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ∈ V)
11362, 75, 80, 87, 101, 112ovmpt2dx 7066 . 2 (𝜑 → (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))))
1141, 113syl5eq 2826 1 (𝜑𝑇 = 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wo 836   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  wrex 3091  Vcvv 3398  cun 3790  cin 3791  wss 3792  c0 4141  {csn 4398  {cpr 4400   ciun 4755   ciin 4756   class class class wbr 4888  cmpt 4967   × cxp 5355  dom cdm 5357  wf 6133  cfv 6137  (class class class)co 6924  cmpt2 6926  pm cpm 8143  cc 10272  cr 10273  0cc0 10274   · cmul 10279  +∞cpnf 10410  *cxr 10412  cle 10414  cmin 10608   / cdiv 11034  0cn0 11646  cz 11732  [,]cicc 12494  cexp 13182  !cfa 13382  fldccnfld 20146   tsums ctsu 22341   D𝑛 cdvn 24069   Tayl ctayl 24548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-q 12100  df-rp 12142  df-xneg 12261  df-xadd 12262  df-xmul 12263  df-icc 12498  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-seq 13124  df-exp 13183  df-fac 13383  df-hash 13440  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-starv 16357  df-tset 16361  df-ple 16362  df-ds 16364  df-unif 16365  df-rest 16473  df-topn 16474  df-0g 16492  df-gsum 16493  df-topgen 16494  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-grp 17816  df-minusg 17817  df-cntz 18137  df-cmn 18585  df-abl 18586  df-mgp 18881  df-ur 18893  df-ring 18940  df-cring 18941  df-psmet 20138  df-xmet 20139  df-met 20140  df-bl 20141  df-mopn 20142  df-fbas 20143  df-fg 20144  df-cnfld 20147  df-top 21110  df-topon 21127  df-topsp 21149  df-bases 21162  df-cld 21235  df-ntr 21236  df-cls 21237  df-nei 21314  df-lp 21352  df-perf 21353  df-cnp 21444  df-haus 21531  df-fil 22062  df-fm 22154  df-flim 22155  df-flf 22156  df-tsms 22342  df-xms 22537  df-ms 22538  df-limc 24071  df-dv 24072  df-dvn 24073  df-tayl 24550
This theorem is referenced by:  eltayl  24555  taylf  24556  taylpfval  24560
  Copyright terms: Public domain W3C validator