MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylfval 24349
Description: Define the Taylor polynomial of a function. The constant Tayl is a function of five arguments: 𝑆 is the base set with respect to evaluate the derivatives (generally or ), 𝐹 is the function we are approximating, at point 𝐵, to order 𝑁. The result is a polynomial function of 𝑥.

This "extended" version of taylpfval 24355 additionally handles the case 𝑁 = +∞, in which case this is not a polynomial but an infinite series, the Taylor series of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses
Ref Expression
taylfval.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylfval.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylfval.a (𝜑𝐴𝑆)
taylfval.n (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
taylfval.b ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
taylfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
Assertion
Ref Expression
taylfval (𝜑𝑇 = 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐵   𝑘,𝐹,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem taylfval
Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylfval.t . 2 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
2 df-tayl 24345 . . . . 5 Tayl = (𝑠 ∈ {ℝ, ℂ}, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))))
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → Tayl = (𝑠 ∈ {ℝ, ℂ}, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))))))
4 eqidd 2818 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (ℕ0 ∪ {+∞}) = (ℕ0 ∪ {+∞}))
5 oveq12 6892 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹) → (𝑠 D𝑛 𝑓) = (𝑆 D𝑛 𝐹))
65ad2antlr 709 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → (𝑠 D𝑛 𝑓) = (𝑆 D𝑛 𝐹))
76fveq1d 6419 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
87dmeqd 5540 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
98iineq2dv 4746 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) = 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
107fveq1d 6419 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → (((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎))
1110oveq1d 6898 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → ((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)))
1211oveq1d 6898 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))
1312mpteq2dva 4949 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))
1413oveq2d 6899 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))) = (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))
1514xpeq2d 5353 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))) = ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))))
1615iuneq2d 4750 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))) = 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))))
174, 9, 16mpt2eq123dv 6956 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))))
18 simpr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑠 = 𝑆) → 𝑠 = 𝑆)
1918oveq2d 6899 . . . 4 ((𝜑𝑠 = 𝑆) → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
20 taylfval.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
21 cnex 10311 . . . . . 6 ℂ ∈ V
2221a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ∈ V)
23 taylfval.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
24 taylfval.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
25 elpm2r 8119 . . . . 5 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
2622, 20, 23, 24, 25syl22anc 858 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
27 nn0ex 11584 . . . . . . 7 0 ∈ V
28 snex 5111 . . . . . . 7 {+∞} ∈ V
2927, 28unex 7195 . . . . . 6 (ℕ0 ∪ {+∞}) ∈ V
30 0xr 10380 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 0 ∈ ℝ*)
32 nn0ssre 11582 . . . . . . . . . . . . 13 0 ⊆ ℝ
33 ressxr 10377 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
3432, 33sstri 3818 . . . . . . . . . . . 12 0 ⊆ ℝ*
35 pnfxr 10386 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
36 snssi 4540 . . . . . . . . . . . . 13 (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 {+∞} ⊆ ℝ*
3834, 37unssi 3998 . . . . . . . . . . 11 (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*
3938sseli 3805 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 𝑛 ∈ ℝ*)
40 elun 3963 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ {+∞}))
41 nn0ge0 11603 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑛)
42 0lepnf 12201 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ +∞
43 elsni 4398 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ {+∞} → 𝑛 = +∞)
4442, 43syl5breqr 4893 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ {+∞} → 0 ≤ 𝑛)
4541, 44jaoi 875 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ {+∞}) → 0 ≤ 𝑛)
4640, 45sylbi 208 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 0 ≤ 𝑛)
47 lbicc2 12527 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ*𝑛 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑛) → 0 ∈ (0[,]𝑛))
4831, 39, 46, 47syl3anc 1483 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 0 ∈ (0[,]𝑛))
49 0z 11673 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
50 inelcm 4240 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ (0[,]𝑛) ∧ 0 ∈ ℤ) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅)
5148, 49, 50sylancl 576 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅)
52 fvex 6430 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
5352dmex 7338 . . . . . . . . 9 dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
5453rgenw 3123 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
55 iinexg 5029 . . . . . . . 8 ((((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V)
5651, 54, 55sylancl 576 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V)
5756rgen 3121 . . . . . 6 𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
58 eqid 2817 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))))
5958mpt2exxg 7486 . . . . . 6 (((ℕ0 ∪ {+∞}) ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))) ∈ V)
6029, 57, 59mp2an 675 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))) ∈ V
6160a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))) ∈ V)
623, 17, 19, 20, 26, 61ovmpt2dx 7026 . . 3 (𝜑 → (𝑆 Tayl 𝐹) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))))))
63 simprl 778 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → 𝑛 = 𝑁)
6463oveq2d 6899 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
6564ineq1d 4023 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
66 simprr 780 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → 𝑎 = 𝐵)
6766fveq2d 6421 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵))
6867oveq1d 6898 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)))
6966oveq2d 6899 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → (𝑥𝑎) = (𝑥𝐵))
7069oveq1d 6898 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → ((𝑥𝑎)↑𝑘) = ((𝑥𝐵)↑𝑘))
7168, 70oveq12d 6901 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))
7265, 71mpteq12dv 4938 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))
7372oveq2d 6899 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘)))) = (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))))
7473xpeq2d 5353 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))) = ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))))
7574iuneq2d 4750 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁𝑎 = 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝑎)↑𝑘))))) = 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))))
76 simpr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑁)
7776oveq2d 6899 . . . . 5 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
7877ineq1d 4023 . . . 4 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
79 iineq1 4738 . . . 4 (((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
8078, 79syl 17 . . 3 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
81 taylfval.n . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
82 pnfex 10387 . . . . . . 7 +∞ ∈ V
8382elsn2 4416 . . . . . 6 (𝑁 ∈ {+∞} ↔ 𝑁 = +∞)
8483orbi2i 927 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ {+∞}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
8581, 84sylibr 225 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ {+∞}))
86 elun 3963 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ {+∞}))
8785, 86sylibr 225 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
88 taylfval.b . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
8988ralrimiva 3165 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
90 oveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 → (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
9190ineq1d 4023 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
9291neeq1d 3048 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅ ↔ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅))
9392, 51vtoclga 3476 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅)
9487, 93syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅)
95 r19.2z 4266 . . . . . 6 ((((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)) → ∃𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
9694, 89, 95syl2anc 575 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
97 elex 3417 . . . . . 6 (𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) → 𝐵 ∈ V)
9897rexlimivw 3228 . . . . 5 (∃𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) → 𝐵 ∈ V)
99 eliin 4728 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (𝐵 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)))
10096, 98, 993syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)))
10189, 100mpbird 248 . . 3 (𝜑𝐵 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
102 snssi 4540 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → {𝑥} ⊆ ℂ)
103102adantl 469 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → {𝑥} ⊆ ℂ)
10420, 23, 24, 81, 88taylfvallem 24348 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) ⊆ ℂ)
105 xpss12 5339 . . . . . . 7 (({𝑥} ⊆ ℂ ∧ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) ⊆ ℂ) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
106103, 104, 105syl2anc 575 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
107106ralrimiva 3165 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
108 iunss 4764 . . . . 5 ( 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
109107, 108sylibr 225 . . . 4 (𝜑 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
11021, 21xpex 7201 . . . . 5 (ℂ × ℂ) ∈ V
111110ssex 5010 . . . 4 ( 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ∈ V)
112109, 111syl 17 . . 3 (𝜑 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) ∈ V)
11362, 75, 80, 87, 101, 112ovmpt2dx 7026 . 2 (𝜑 → (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))))
1141, 113syl5eq 2863 1 (𝜑𝑇 = 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989  wral 3107  wrex 3108  Vcvv 3402  cun 3778  cin 3779  wss 3780  c0 4127  {csn 4381  {cpr 4383   ciun 4723   ciin 4724   class class class wbr 4855  cmpt 4934   × cxp 5322  dom cdm 5324  wf 6106  cfv 6110  (class class class)co 6883  cmpt2 6885  pm cpm 8102  cc 10228  cr 10229  0cc0 10230   · cmul 10235  +∞cpnf 10365  *cxr 10367  cle 10369  cmin 10560   / cdiv 10978  0cn0 11578  cz 11662  [,]cicc 12415  cexp 13102  !cfa 13299  fldccnfld 19973   tsums ctsu 22162   D𝑛 cdvn 23864   Tayl ctayl 24343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7188  ax-inf2 8794  ax-cnex 10286  ax-resscn 10287  ax-1cn 10288  ax-icn 10289  ax-addcl 10290  ax-addrcl 10291  ax-mulcl 10292  ax-mulrcl 10293  ax-mulcom 10294  ax-addass 10295  ax-mulass 10296  ax-distr 10297  ax-i2m1 10298  ax-1ne0 10299  ax-1rid 10300  ax-rnegex 10301  ax-rrecex 10302  ax-cnre 10303  ax-pre-lttri 10304  ax-pre-lttrn 10305  ax-pre-ltadd 10306  ax-pre-mulgt0 10307  ax-pre-sup 10308  ax-addf 10309  ax-mulf 10310
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-iin 4726  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-se 5284  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5906  df-ord 5952  df-on 5953  df-lim 5954  df-suc 5955  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fn 6113  df-f 6114  df-f1 6115  df-fo 6116  df-f1o 6117  df-fv 6118  df-isom 6119  df-riota 6844  df-ov 6886  df-oprab 6887  df-mpt2 6888  df-om 7305  df-1st 7407  df-2nd 7408  df-supp 7539  df-wrecs 7651  df-recs 7713  df-rdg 7751  df-1o 7805  df-oadd 7809  df-er 7988  df-map 8103  df-pm 8104  df-en 8202  df-dom 8203  df-sdom 8204  df-fin 8205  df-fsupp 8524  df-fi 8565  df-sup 8596  df-inf 8597  df-oi 8663  df-card 9057  df-pnf 10370  df-mnf 10371  df-xr 10372  df-ltxr 10373  df-le 10374  df-sub 10562  df-neg 10563  df-div 10979  df-nn 11315  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11579  df-z 11663  df-dec 11779  df-uz 11924  df-q 12027  df-rp 12066  df-xneg 12181  df-xadd 12182  df-xmul 12183  df-icc 12419  df-fz 12569  df-fzo 12709  df-seq 13044  df-exp 13103  df-fac 13300  df-hash 13357  df-cj 14081  df-re 14082  df-im 14083  df-sqrt 14217  df-abs 14218  df-struct 16089  df-ndx 16090  df-slot 16091  df-base 16093  df-sets 16094  df-plusg 16185  df-mulr 16186  df-starv 16187  df-tset 16191  df-ple 16192  df-ds 16194  df-unif 16195  df-rest 16307  df-topn 16308  df-0g 16326  df-gsum 16327  df-topgen 16328  df-mgm 17466  df-sgrp 17508  df-mnd 17519  df-grp 17649  df-minusg 17650  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-cring 18771  df-psmet 19965  df-xmet 19966  df-met 19967  df-bl 19968  df-mopn 19969  df-fbas 19970  df-fg 19971  df-cnfld 19974  df-top 20932  df-topon 20949  df-topsp 20971  df-bases 20984  df-cld 21057  df-ntr 21058  df-cls 21059  df-nei 21136  df-lp 21174  df-perf 21175  df-cnp 21266  df-haus 21353  df-fil 21883  df-fm 21975  df-flim 21976  df-flf 21977  df-tsms 22163  df-xms 22358  df-ms 22359  df-limc 23866  df-dv 23867  df-dvn 23868  df-tayl 24345
This theorem is referenced by:  eltayl  24350  taylf  24351  taylpfval  24355
  Copyright terms: Public domain W3C validator