Theorem taylfval 26273

Description: Define the Taylor polynomial of a function. The constant Tayl is a function of five arguments: 𝑆 is the base set with respect to evaluate the derivatives (generally ℝ or ℂ), 𝐹 is the function we are approximating, at point 𝐵, to order 𝑁. The result is a polynomial function of 𝑥.

This "extended" version of taylpfval 26279 additionally handles the case 𝑁 = +∞, in which case this is not a polynomial but an infinite series, the Taylor series of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
taylfval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylfval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
taylfval.n	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
taylfval.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
taylfval.t	⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
taylfval	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐵   𝑘,𝐹,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem taylfval

Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taylfval.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
2		df-tayl 26269	. . . . 5 ⊢ Tayl = (𝑠 ∈ {ℝ, ℂ}, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))))
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Tayl = (𝑠 ∈ {ℝ, ℂ}, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))))))
4		eqidd 2731	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (ℕ0 ∪ {+∞}) = (ℕ0 ∪ {+∞}))
5		oveq12 7399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑠 D𝑛 𝑓) = (𝑆 D𝑛 𝐹))
6	5	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → (𝑠 D𝑛 𝑓) = (𝑆 D𝑛 𝐹))
7	6	fveq1d 6863	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
8	7	dmeqd 5872	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
9	8	iineq2dv 4984	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) = ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
10	7	fveq1d 6863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → (((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎))
11	10	oveq1d 7405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → ((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)))
12	11	oveq1d 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))
13	12	mpteq2dva 5203	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))
14	13	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))) = (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))
15	14	xpeq2d 5671	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))) = ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))))
16	15	iuneq2d 4989	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))) = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))))
17	4, 9, 16	mpoeq123dv 7467	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))))
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 = 𝑆) → 𝑠 = 𝑆)
19	18	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
20		taylfval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
21		cnex 11156	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
23		taylfval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
24		taylfval.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
25		elpm2r 8821	. . . . 5 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
26	22, 20, 23, 24, 25	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
27		nn0ex 12455	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
28		snex 5394	. . . . . . 7 ⊢ {+∞} ∈ V
29	27, 28	unex 7723	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ∪ {+∞}) ∈ V
30		0xr 11228	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
31		nn0ssre 12453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
32		ressxr 11225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
33	31, 32	sstri 3959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
34		pnfxr 11235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
35		snssi 4775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {+∞} ⊆ ℝ*
37	33, 36	unssi 4157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*
38	37	sseli 3945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 𝑛 ∈ ℝ*)
39		elun 4119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ∨ 𝑛 ∈ {+∞}))
40		nn0ge0 12474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑛)
41		0lepnf 13100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ +∞
42		elsni 4609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ {+∞} → 𝑛 = +∞)
43	41, 42	breqtrrid 5148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ {+∞} → 0 ≤ 𝑛)
44	40, 43	jaoi 857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∨ 𝑛 ∈ {+∞}) → 0 ≤ 𝑛)
45	39, 44	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 0 ≤ 𝑛)
46		lbicc2 13432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑛 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑛) → 0 ∈ (0[,]𝑛))
47	30, 38, 45, 46	mp3an2i 1468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 0 ∈ (0[,]𝑛))
48		0z 12547	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
49		inelcm 4431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ (0[,]𝑛) ∧ 0 ∈ ℤ) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅)
50	47, 48, 49	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅)
51		fvex 6874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
52	51	dmex 7888	. . . . . . . . 9 ⊢ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
53	52	rgenw 3049	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
54		iinexg 5306	. . . . . . . 8 ⊢ ((((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V) → ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V)
55	50, 53, 54	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V)
56	55	rgen 3047	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞})∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
57		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))))
58	57	mpoexxg 8057	. . . . . 6 ⊢ (((ℕ0 ∪ {+∞}) ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞})∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))) ∈ V)
59	29, 56, 58	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))) ∈ V
60	59	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))) ∈ V)
61	3, 17, 19, 20, 26, 60	ovmpodx 7543	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Tayl 𝐹) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))))
62		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → 𝑛 = 𝑁)
63	62	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
64	63	ineq1d 4185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
65		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → 𝑎 = 𝐵)
66	65	fveq2d 6865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵))
67	66	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)))
68	65	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (𝑥 − 𝑎) = (𝑥 − 𝐵))
69	68	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘) = ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))
70	67, 69	oveq12d 7408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))
71	64, 70	mpteq12dv 5197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))
72	71	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))) = (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))))
73	72	xpeq2d 5671	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))) = ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))
74	73	iuneq2d 4989	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))) = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))
75		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑁)
76	75	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
77	76	ineq1d 4185	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
78		iineq1 4976	. . . 4 ⊢ (((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) → ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
79	77, 78	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑁) → ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
80		taylfval.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
81		pnfex 11234	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ V
82	81	elsn2 4632	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {+∞} ↔ 𝑁 = +∞)
83	82	orbi2i 912	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 ∈ {+∞}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
84	80, 83	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 ∈ {+∞}))
85		elun 4119	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 ∈ {+∞}))
86	84, 85	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
87		taylfval.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
88	87	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
89		oveq2 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
90	89	ineq1d 4185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
91	90	neeq1d 2985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅ ↔ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅))
92	91, 50	vtoclga 3546	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅)
93	86, 92	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅)
94		r19.2z 4461	. . . . . 6 ⊢ ((((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)) → ∃𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
95	93, 88, 94	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
96		elex 3471	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) → 𝐵 ∈ V)
97	96	rexlimivw 3131	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) → 𝐵 ∈ V)
98		eliin 4963	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)))
99	95, 97, 98	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)))
100	88, 99	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
101		snssi 4775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → {𝑥} ⊆ ℂ)
102	20, 23, 24, 80, 87	taylfvallem 26272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) ⊆ ℂ)
103		xpss12 5656	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥} ⊆ ℂ ∧ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) ⊆ ℂ) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
104	101, 102, 103	syl2an2 686	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
105	104	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
106		iunss 5012	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
107	105, 106	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
108	21, 21	xpex 7732	. . . . 5 ⊢ (ℂ × ℂ) ∈ V
109	108	ssex 5279	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ) → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ∈ V)
110	107, 109	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ∈ V)
111	61, 74, 79, 86, 100, 110	ovmpodx 7543	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))
112	1, 111	eqtrid 2777	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  {csn 4592  {cpr 4594  ∪ ciun 4958  ∩ ciin 4959   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191   × cxp 5639  dom cdm 5641  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392   ↑_pm cpm 8803  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075   · cmul 11080  +∞cpnf 11212  ℝ^*cxr 11214   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  [,]cicc 13316  ↑cexp 14033  !cfa 14245  ℂ_fldccnfld 21271   tsums ctsu 24020   D^𝑛 cdvn 25772   Tayl ctayl 26267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-tsms 24021  df-xms 24215  df-ms 24216  df-limc 25774  df-dv 25775  df-dvn 25776  df-tayl 26269

This theorem is referenced by:  eltayl  26274  taylf  26275  taylpfval  26279