Theorem taylfval 24554

Description: Define the Taylor polynomial of a function. The constant Tayl is a function of five arguments: 𝑆 is the base set with respect to evaluate the derivatives (generally ℝ or ℂ), 𝐹 is the function we are approximating, at point 𝐵, to order 𝑁. The result is a polynomial function of 𝑥.

This "extended" version of taylpfval 24560 additionally handles the case 𝑁 = +∞, in which case this is not a polynomial but an infinite series, the Taylor series of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
taylfval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylfval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
taylfval.n	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
taylfval.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
taylfval.t	⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
taylfval	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐵   𝑘,𝐹,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem taylfval

Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taylfval.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
2		df-tayl 24550	. . . . 5 ⊢ Tayl = (𝑠 ∈ {ℝ, ℂ}, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))))
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Tayl = (𝑠 ∈ {ℝ, ℂ}, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))))))
4		eqidd 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (ℕ0 ∪ {+∞}) = (ℕ0 ∪ {+∞}))
5		oveq12 6933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑠 D𝑛 𝑓) = (𝑆 D𝑛 𝐹))
6	5	ad2antlr 717	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → (𝑠 D𝑛 𝑓) = (𝑆 D𝑛 𝐹))
7	6	fveq1d 6450	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
8	7	dmeqd 5573	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
9	8	iineq2dv 4778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) = ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
10	7	fveq1d 6450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → (((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎))
11	10	oveq1d 6939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → ((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)))
12	11	oveq1d 6939	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))
13	12	mpteq2dva 4981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))
14	13	oveq2d 6940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))) = (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))
15	14	xpeq2d 5387	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))) = ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))))
16	15	iuneq2d 4782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))) = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))))
17	4, 9, 16	mpt2eq123dv 6996	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))))
18		simpr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 = 𝑆) → 𝑠 = 𝑆)
19	18	oveq2d 6940	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
20		taylfval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
21		cnex 10355	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
23		taylfval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
24		taylfval.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
25		elpm2r 8160	. . . . 5 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
26	22, 20, 23, 24, 25	syl22anc 829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
27		nn0ex 11653	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
28		snex 5142	. . . . . . 7 ⊢ {+∞} ∈ V
29	27, 28	unex 7235	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ∪ {+∞}) ∈ V
30		0xr 10425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 0 ∈ ℝ*)
32		nn0ssre 11650	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
33		ressxr 10422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
34	32, 33	sstri 3830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
35		pnfxr 10432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
36		snssi 4572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {+∞} ⊆ ℝ*
38	34, 37	unssi 4011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*
39	38	sseli 3817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 𝑛 ∈ ℝ*)
40		elun 3976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ∨ 𝑛 ∈ {+∞}))
41		nn0ge0 11673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑛)
42		0lepnf 12281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ +∞
43		elsni 4415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ {+∞} → 𝑛 = +∞)
44	42, 43	syl5breqr 4926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ {+∞} → 0 ≤ 𝑛)
45	41, 44	jaoi 846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∨ 𝑛 ∈ {+∞}) → 0 ≤ 𝑛)
46	40, 45	sylbi 209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 0 ≤ 𝑛)
47		lbicc2 12606	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑛 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑛) → 0 ∈ (0[,]𝑛))
48	31, 39, 46, 47	syl3anc 1439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 0 ∈ (0[,]𝑛))
49		0z 11743	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
50		inelcm 4257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ (0[,]𝑛) ∧ 0 ∈ ℤ) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅)
51	48, 49, 50	sylancl 580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅)
52		fvex 6461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
53	52	dmex 7380	. . . . . . . . 9 ⊢ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
54	53	rgenw 3106	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
55		iinexg 5060	. . . . . . . 8 ⊢ ((((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V) → ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V)
56	51, 54, 55	sylancl 580	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V)
57	56	rgen 3104	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞})∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
58		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))))
59	58	mpt2exxg 7526	. . . . . 6 ⊢ (((ℕ0 ∪ {+∞}) ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞})∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))) ∈ V)
60	29, 57, 59	mp2an 682	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))) ∈ V
61	60	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))) ∈ V)
62	3, 17, 19, 20, 26, 61	ovmpt2dx 7066	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Tayl 𝐹) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))))
63		simprl 761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → 𝑛 = 𝑁)
64	63	oveq2d 6940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
65	64	ineq1d 4036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
66		simprr 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → 𝑎 = 𝐵)
67	66	fveq2d 6452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵))
68	67	oveq1d 6939	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)))
69	66	oveq2d 6940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (𝑥 − 𝑎) = (𝑥 − 𝐵))
70	69	oveq1d 6939	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘) = ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))
71	68, 70	oveq12d 6942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))
72	65, 71	mpteq12dv 4971	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))
73	72	oveq2d 6940	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))) = (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))))
74	73	xpeq2d 5387	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))) = ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))
75	74	iuneq2d 4782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))) = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))
76		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑁)
77	76	oveq2d 6940	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
78	77	ineq1d 4036	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
79		iineq1 4770	. . . 4 ⊢ (((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) → ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
80	78, 79	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑁) → ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
81		taylfval.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
82		pnfex 10431	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ V
83	82	elsn2 4433	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {+∞} ↔ 𝑁 = +∞)
84	83	orbi2i 899	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 ∈ {+∞}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
85	81, 84	sylibr 226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 ∈ {+∞}))
86		elun 3976	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 ∈ {+∞}))
87	85, 86	sylibr 226	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
88		taylfval.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
89	88	ralrimiva 3148	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
90		oveq2 6932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
91	90	ineq1d 4036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
92	91	neeq1d 3028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅ ↔ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅))
93	92, 51	vtoclga 3474	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅)
94	87, 93	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅)
95		r19.2z 4283	. . . . . 6 ⊢ ((((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)) → ∃𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
96	94, 89, 95	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
97		elex 3414	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) → 𝐵 ∈ V)
98	97	rexlimivw 3211	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) → 𝐵 ∈ V)
99		eliin 4760	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)))
100	96, 98, 99	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)))
101	89, 100	mpbird 249	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
102		snssi 4572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → {𝑥} ⊆ ℂ)
103	102	adantl 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → {𝑥} ⊆ ℂ)
104	20, 23, 24, 81, 88	taylfvallem 24553	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) ⊆ ℂ)
105		xpss12 5372	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥} ⊆ ℂ ∧ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) ⊆ ℂ) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
106	103, 104, 105	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
107	106	ralrimiva 3148	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
108		iunss 4796	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
109	107, 108	sylibr 226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
110	21, 21	xpex 7242	. . . . 5 ⊢ (ℂ × ℂ) ∈ V
111	110	ssex 5041	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ) → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ∈ V)
112	109, 111	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ∈ V)
113	62, 75, 80, 87, 101, 112	ovmpt2dx 7066	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))
114	1, 113	syl5eq 2826	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 836   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∀wral 3090  ∃wrex 3091  Vcvv 3398   ∪ cun 3790   ∩ cin 3791   ⊆ wss 3792  ∅c0 4141  {csn 4398  {cpr 4400  ∪ ciun 4755  ∩ ciin 4756   class class class wbr 4888   ↦ cmpt 4967   × cxp 5355  dom cdm 5357  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924   ↦ cmpt2 6926   ↑_pm cpm 8143  ℂcc 10272  ℝcr 10273  0cc0 10274   · cmul 10279  +∞cpnf 10410  ℝ^*cxr 10412   ≤ cle 10414   − cmin 10608   / cdiv 11034  ℕ₀cn0 11646  ℤcz 11732  [,]cicc 12494  ↑cexp 13182  !cfa 13382  ℂ_fldccnfld 20146   tsums ctsu 22341   D^𝑛 cdvn 24069   Tayl ctayl 24548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-q 12100  df-rp 12142  df-xneg 12261  df-xadd 12262  df-xmul 12263  df-icc 12498  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-seq 13124  df-exp 13183  df-fac 13383  df-hash 13440  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-starv 16357  df-tset 16361  df-ple 16362  df-ds 16364  df-unif 16365  df-rest 16473  df-topn 16474  df-0g 16492  df-gsum 16493  df-topgen 16494  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-grp 17816  df-minusg 17817  df-cntz 18137  df-cmn 18585  df-abl 18586  df-mgp 18881  df-ur 18893  df-ring 18940  df-cring 18941  df-psmet 20138  df-xmet 20139  df-met 20140  df-bl 20141  df-mopn 20142  df-fbas 20143  df-fg 20144  df-cnfld 20147  df-top 21110  df-topon 21127  df-topsp 21149  df-bases 21162  df-cld 21235  df-ntr 21236  df-cls 21237  df-nei 21314  df-lp 21352  df-perf 21353  df-cnp 21444  df-haus 21531  df-fil 22062  df-fm 22154  df-flim 22155  df-flf 22156  df-tsms 22342  df-xms 22537  df-ms 22538  df-limc 24071  df-dv 24072  df-dvn 24073  df-tayl 24550

This theorem is referenced by:  eltayl  24555  taylf  24556  taylpfval  24560