Theorem taylfval 26418

Description: Define the Taylor polynomial of a function. The constant Tayl is a function of five arguments: 𝑆 is the base set with respect to evaluate the derivatives (generally ℝ or ℂ), 𝐹 is the function we are approximating, at point 𝐵, to order 𝑁. The result is a polynomial function of 𝑥.

This "extended" version of taylpfval 26424 additionally handles the case 𝑁 = +∞, in which case this is not a polynomial but an infinite series, the Taylor series of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
taylfval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylfval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
taylfval.n	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
taylfval.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
taylfval.t	⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
taylfval	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐵   𝑘,𝐹,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem taylfval

Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taylfval.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
2		df-tayl 26414	. . . . 5 ⊢ Tayl = (𝑠 ∈ {ℝ, ℂ}, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))))
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Tayl = (𝑠 ∈ {ℝ, ℂ}, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))))))
4		eqidd 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (ℕ0 ∪ {+∞}) = (ℕ0 ∪ {+∞}))
5		oveq12 7457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑠 D𝑛 𝑓) = (𝑆 D𝑛 𝐹))
6	5	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → (𝑠 D𝑛 𝑓) = (𝑆 D𝑛 𝐹))
7	6	fveq1d 6922	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
8	7	dmeqd 5930	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
9	8	iineq2dv 5040	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) = ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
10	7	fveq1d 6922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → (((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎))
11	10	oveq1d 7463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → ((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)))
12	11	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)) → (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))
13	12	mpteq2dva 5266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))
14	13	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))) = (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))
15	14	xpeq2d 5730	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))) = ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))))
16	15	iuneq2d 5045	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))) = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))))
17	4, 9, 16	mpoeq123dv 7525	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑠 D𝑛 𝑓)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))))
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 = 𝑆) → 𝑠 = 𝑆)
19	18	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
20		taylfval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
21		cnex 11265	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
23		taylfval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
24		taylfval.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
25		elpm2r 8903	. . . . 5 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
26	22, 20, 23, 24, 25	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
27		nn0ex 12559	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
28		snex 5451	. . . . . . 7 ⊢ {+∞} ∈ V
29	27, 28	unex 7779	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ∪ {+∞}) ∈ V
30		0xr 11337	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
31		nn0ssre 12557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
32		ressxr 11334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
33	31, 32	sstri 4018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
34		pnfxr 11344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
35		snssi 4833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {+∞} ⊆ ℝ*
37	33, 36	unssi 4214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*
38	37	sseli 4004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 𝑛 ∈ ℝ*)
39		elun 4176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ∨ 𝑛 ∈ {+∞}))
40		nn0ge0 12578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑛)
41		0lepnf 13195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ +∞
42		elsni 4665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ {+∞} → 𝑛 = +∞)
43	41, 42	breqtrrid 5204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ {+∞} → 0 ≤ 𝑛)
44	40, 43	jaoi 856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∨ 𝑛 ∈ {+∞}) → 0 ≤ 𝑛)
45	39, 44	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 0 ≤ 𝑛)
46		lbicc2 13524	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑛 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑛) → 0 ∈ (0[,]𝑛))
47	30, 38, 45, 46	mp3an2i 1466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → 0 ∈ (0[,]𝑛))
48		0z 12650	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
49		inelcm 4488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ (0[,]𝑛) ∧ 0 ∈ ℤ) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅)
50	47, 48, 49	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅)
51		fvex 6933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
52	51	dmex 7949	. . . . . . . . 9 ⊢ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
53	52	rgenw 3071	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
54		iinexg 5366	. . . . . . . 8 ⊢ ((((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V) → ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V)
55	50, 53, 54	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V)
56	55	rgen 3069	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞})∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V
57		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))))
58	57	mpoexxg 8116	. . . . . 6 ⊢ (((ℕ0 ∪ {+∞}) ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞})∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))) ∈ V)
59	29, 56, 58	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))) ∈ V
60	59	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))) ∈ V)
61	3, 17, 19, 20, 26, 60	ovmpodx 7601	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Tayl 𝐹) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}), 𝑎 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))))))
62		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → 𝑛 = 𝑁)
63	62	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
64	63	ineq1d 4240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
65		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → 𝑎 = 𝐵)
66	65	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵))
67	66	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)))
68	65	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (𝑥 − 𝑎) = (𝑥 − 𝐵))
69	68	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘) = ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))
70	67, 69	oveq12d 7466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))
71	64, 70	mpteq12dv 5257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))
72	71	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘)))) = (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))))
73	72	xpeq2d 5730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))) = ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))
74	73	iuneq2d 5045	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑎 = 𝐵)) → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝑎) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝑎)↑𝑘))))) = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))
75		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑁)
76	75	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
77	76	ineq1d 4240	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
78		iineq1 5032	. . . 4 ⊢ (((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) → ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
79	77, 78	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑁) → ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑛) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
80		taylfval.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
81		pnfex 11343	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ V
82	81	elsn2 4687	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {+∞} ↔ 𝑁 = +∞)
83	82	orbi2i 911	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 ∈ {+∞}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
84	80, 83	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 ∈ {+∞}))
85		elun 4176	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 ∈ {+∞}))
86	84, 85	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
87		taylfval.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
88	87	ralrimiva 3152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
89		oveq2 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (0[,]𝑛) = (0[,]𝑁))
90	89	ineq1d 4240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((0[,]𝑛) ∩ ℤ) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
91	90	neeq1d 3006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((0[,]𝑛) ∩ ℤ) ≠ ∅ ↔ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅))
92	91, 50	vtoclga 3589	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅)
93	86, 92	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅)
94		r19.2z 4518	. . . . . 6 ⊢ ((((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)) → ∃𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
95	93, 88, 94	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
96		elex 3509	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) → 𝐵 ∈ V)
97	96	rexlimivw 3157	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) → 𝐵 ∈ V)
98		eliin 5020	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)))
99	95, 97, 98	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)))
100	88, 99	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
101		snssi 4833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → {𝑥} ⊆ ℂ)
102	20, 23, 24, 80, 87	taylfvallem 26417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) ⊆ ℂ)
103		xpss12 5715	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥} ⊆ ℂ ∧ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) ⊆ ℂ) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
104	101, 102, 103	syl2an2 685	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
105	104	ralrimiva 3152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
106		iunss 5068	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
107	105, 106	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ))
108	21, 21	xpex 7788	. . . . 5 ⊢ (ℂ × ℂ) ∈ V
109	108	ssex 5339	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ⊆ (ℂ × ℂ) → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ∈ V)
110	107, 109	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) ∈ V)
111	61, 74, 79, 86, 100, 110	ovmpodx 7601	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))
112	1, 111	eqtrid 2792	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ∪ cun 3974   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  {csn 4648  {cpr 4650  ∪ ciun 5015  ∩ ciin 5016   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  dom cdm 5700  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450   ↑_pm cpm 8885  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184   · cmul 11189  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  [,]cicc 13410  ↑cexp 14112  !cfa 14322  ℂ_fldccnfld 21387   tsums ctsu 24155   D^𝑛 cdvn 25919   Tayl ctayl 26412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-tsms 24156  df-xms 24351  df-ms 24352  df-limc 25921  df-dv 25922  df-dvn 25923  df-tayl 26414

This theorem is referenced by:  eltayl  26419  taylf  26420  taylpfval  26424