Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem24 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem24 45442
Description: A sufficient condition for module being nonzero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem24 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ (๐ด mod (2 ยท ฯ€)) โ‰  0)

Proof of Theorem fourierdlem24
StepHypRef Expression
1 0zd 12592 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
2 pire 26380 . . . . . . . . . 10 ฯ€ โˆˆ โ„
32renegcli 11543 . . . . . . . . 9 -ฯ€ โˆˆ โ„
4 iccssre 13430 . . . . . . . . 9 ((-ฯ€ โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ (-ฯ€[,]ฯ€) โІ โ„)
53, 2, 4mp2an 691 . . . . . . . 8 (-ฯ€[,]ฯ€) โІ โ„
6 eldifi 4122 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ ๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€))
75, 6sselid 3976 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
87adantr 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
9 2re 12308 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
109, 2remulcli 11252 . . . . . . 7 (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„
1110a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„)
12 simpr 484 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด)
13 2pos 12337 . . . . . . . 8 0 < 2
14 pipos 26382 . . . . . . . 8 0 < ฯ€
159, 2, 13, 14mulgt0ii 11369 . . . . . . 7 0 < (2 ยท ฯ€)
1615a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < (2 ยท ฯ€))
178, 11, 12, 16divgt0d 12171 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < (๐ด / (2 ยท ฯ€)))
1811, 16elrpd 13037 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„+)
192a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„)
2010a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„)
213rexri 11294 . . . . . . . . . . . 12 -ฯ€ โˆˆ โ„*
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ -ฯ€ โˆˆ โ„*)
2319rexrd 11286 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„*)
24 iccleub 13403 . . . . . . . . . . 11 ((-ฯ€ โˆˆ โ„* โˆง ฯ€ โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€)) โ†’ ๐ด โ‰ค ฯ€)
2522, 23, 6, 24syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ ๐ด โ‰ค ฯ€)
26 pirp 26383 . . . . . . . . . . 11 ฯ€ โˆˆ โ„+
27 2timesgt 44593 . . . . . . . . . . 11 (ฯ€ โˆˆ โ„+ โ†’ ฯ€ < (2 ยท ฯ€))
2826, 27mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ ฯ€ < (2 ยท ฯ€))
297, 19, 20, 25, 28lelttrd 11394 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ ๐ด < (2 ยท ฯ€))
3029adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด < (2 ยท ฯ€))
318, 11, 18, 30ltdiv1dd 13097 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) < ((2 ยท ฯ€) / (2 ยท ฯ€)))
3210recni 11250 . . . . . . . 8 (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚
3310, 15gt0ne0ii 11772 . . . . . . . 8 (2 ยท ฯ€) โ‰  0
3432, 33dividi 11969 . . . . . . 7 ((2 ยท ฯ€) / (2 ยท ฯ€)) = 1
3531, 34breqtrdi 5183 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) < 1)
36 0p1e1 12356 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
3735, 36breqtrrdi 5184 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) < (0 + 1))
38 btwnnz 12660 . . . . 5 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐ด / (2 ยท ฯ€)) โˆง (๐ด / (2 ยท ฯ€)) < (0 + 1)) โ†’ ยฌ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค)
391, 17, 37, 38syl3anc 1369 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ยฌ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค)
40 simpl 482 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ยฌ 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}))
417adantr 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ยฌ 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
42 0red 11239 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ยฌ 0 < ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
43 simpr 484 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ยฌ 0 < ๐ด) โ†’ ยฌ 0 < ๐ด)
4441, 42, 43nltled 11386 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ยฌ 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰ค 0)
45 eldifsni 4789 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ ๐ด โ‰  0)
4645necomd 2991 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ 0 โ‰  ๐ด)
4746adantr 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ยฌ 0 < ๐ด) โ†’ 0 โ‰  ๐ด)
4841, 42, 44, 47leneltd 11390 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ยฌ 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด < 0)
49 neg1z 12620 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„ค
5049a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ -1 โˆˆ โ„ค)
5133a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ (2 ยท ฯ€) โ‰  0)
527, 20, 51redivcld 12064 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„)
5352adantr 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„)
54 1red 11237 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
557recnd 11264 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5655adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5732a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
5833a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (2 ยท ฯ€) โ‰  0)
5956, 57, 58divnegd 12025 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ -(๐ด / (2 ยท ฯ€)) = (-๐ด / (2 ยท ฯ€)))
607renegcld 11663 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„)
6160adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„)
6210a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„)
63 2rp 13003 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„+
64 rpmulcl 13021 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„+)
6563, 26, 64mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„+
6665a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„+)
67 iccgelb 13404 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-ฯ€ โˆˆ โ„* โˆง ฯ€ โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€)) โ†’ -ฯ€ โ‰ค ๐ด)
6822, 23, 6, 67syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ -ฯ€ โ‰ค ๐ด)
6919, 7, 68lenegcon1d 11818 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ -๐ด โ‰ค ฯ€)
7060, 19, 20, 69, 28lelttrd 11394 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ -๐ด < (2 ยท ฯ€))
7170adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ -๐ด < (2 ยท ฯ€))
7261, 62, 66, 71ltdiv1dd 13097 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (-๐ด / (2 ยท ฯ€)) < ((2 ยท ฯ€) / (2 ยท ฯ€)))
7372, 34breqtrdi 5183 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (-๐ด / (2 ยท ฯ€)) < 1)
7459, 73eqbrtrd 5164 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ -(๐ด / (2 ยท ฯ€)) < 1)
7553, 54, 74ltnegcon1d 11816 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ -1 < (๐ด / (2 ยท ฯ€)))
767adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
77 simpr 484 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด < 0)
7876, 66, 77divlt0gt0d 44591 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) < 0)
79 neg1cn 12348 . . . . . . . . 9 -1 โˆˆ โ„‚
80 ax-1cn 11188 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
8179, 80addcomi 11427 . . . . . . . 8 (-1 + 1) = (1 + -1)
82 1pneg1e0 12353 . . . . . . . 8 (1 + -1) = 0
8381, 82eqtr2i 2756 . . . . . . 7 0 = (-1 + 1)
8478, 83breqtrdi 5183 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) < (-1 + 1))
85 btwnnz 12660 . . . . . 6 ((-1 โˆˆ โ„ค โˆง -1 < (๐ด / (2 ยท ฯ€)) โˆง (๐ด / (2 ยท ฯ€)) < (-1 + 1)) โ†’ ยฌ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค)
8650, 75, 84, 85syl3anc 1369 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ยฌ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค)
8740, 48, 86syl2anc 583 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ยฌ 0 < ๐ด) โ†’ ยฌ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค)
8839, 87pm2.61dan 812 . . 3 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ ยฌ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค)
8965a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„+)
90 mod0 13865 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod (2 ยท ฯ€)) = 0 โ†” (๐ด / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค))
917, 89, 90syl2anc 583 . . 3 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ ((๐ด mod (2 ยท ฯ€)) = 0 โ†” (๐ด / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค))
9288, 91mtbird 325 . 2 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ ยฌ (๐ด mod (2 ยท ฯ€)) = 0)
9392neqned 2942 1 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ (๐ด mod (2 ยท ฯ€)) โ‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935   โˆ– cdif 3941   โІ wss 3944  {csn 4624   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135  โ„*cxr 11269   < clt 11270   โ‰ค cle 11271  -cneg 11467   / cdiv 11893  2c2 12289  โ„คcz 12580  โ„+crp 12998  [,]cicc 13351   mod cmo 13858  ฯ€cpi 16034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783
This theorem is referenced by:  fourierdlem66  45483
  Copyright terms: Public domain W3C validator