Theorem fourierdlem24 46132

Description: A sufficient condition for module being nonzero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem24	⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 mod (2 · π)) ≠ 0)

Proof of Theorem fourierdlem24

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12502	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℤ)
2		pire 26383	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
3	2	renegcli 11444	. . . . . . . . 9 ⊢ -π ∈ ℝ
4		iccssre 13351	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
5	3, 2, 4	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℝ
6		eldifi 4084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
7	5, 6	sselid 3935	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		2re 12221	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9, 2	remulcli 11150	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ)
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
13		2pos 12250	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
14		pipos 26385	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
15	9, 2, 13, 14	mulgt0ii 11268	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (2 · π)
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (2 · π))
17	8, 11, 12, 16	divgt0d 12079	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 / (2 · π)))
18	11, 16	elrpd 12953	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ+)
19	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ)
20	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ∈ ℝ)
21	3	rexri 11192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -π ∈ ℝ*
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ*)
23	19	rexrd 11184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ*)
24		iccleub 13323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (-π[,]π)) → 𝐴 ≤ π)
25	22, 23, 6, 24	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ≤ π)
26		pirp 26387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ+
27		2timesgt 45290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
28	26, 27	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π < (2 · π))
29	7, 19, 20, 25, 28	lelttrd 11293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 < (2 · π))
30	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (2 · π))
31	8, 11, 18, 30	ltdiv1dd 13013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < ((2 · π) / (2 · π)))
32	10	recni 11148	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
33	10, 15	gt0ne0ii 11675	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ≠ 0
34	32, 33	dividi 11876	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · π) / (2 · π)) = 1
35	31, 34	breqtrdi 5136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < 1)
36		0p1e1 12264	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
37	35, 36	breqtrrdi 5137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1))
38		btwnnz 12571	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / (2 · π)) ∧ (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
39	1, 17, 37, 38	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
40		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
41	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
42		0red 11137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
43		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < 𝐴)
44	41, 42, 43	nltled 11285	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≤ 0)
45		eldifsni 4744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ≠ 0)
46	45	necomd 2980	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 0 ≠ 𝐴)
47	46	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ≠ 𝐴)
48	41, 42, 44, 47	leneltd 11289	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 < 0)
49		neg1z 12530	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -1 ∈ ℤ)
51	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ≠ 0)
52	7, 20, 51	redivcld 11971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
53	52	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
54		1red 11135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 1 ∈ ℝ)
55	7	recnd 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ ℂ)
56	55	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
57	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℂ)
58	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ≠ 0)
59	56, 57, 58	divnegd 11932	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -(𝐴 / (2 · π)) = (-𝐴 / (2 · π)))
60	7	renegcld 11566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 ∈ ℝ)
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
62	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ)
63		2rp 12917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ+
64		rpmulcl 12937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
65	63, 26, 64	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ+)
67		iccgelb 13324	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ 𝐴)
68	22, 23, 6, 67	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -π ≤ 𝐴)
69	19, 7, 68	lenegcon1d 11721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 ≤ π)
70	60, 19, 20, 69, 28	lelttrd 11293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 < (2 · π))
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < (2 · π))
72	61, 62, 66, 71	ltdiv1dd 13013	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 / (2 · π)) < ((2 · π) / (2 · π)))
73	72, 34	breqtrdi 5136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 / (2 · π)) < 1)
74	59, 73	eqbrtrd 5117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -(𝐴 / (2 · π)) < 1)
75	53, 54, 74	ltnegcon1d 11719	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -1 < (𝐴 / (2 · π)))
76	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
77		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
78	76, 66, 77	divlt0gt0d 45288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) < 0)
79		neg1cn 12132	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
80		ax-1cn 11086	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
81	79, 80	addcomi 11326	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 + 1) = (1 + -1)
82		1pneg1e0 12261	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + -1) = 0
83	81, 82	eqtr2i 2753	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (-1 + 1)
84	78, 83	breqtrdi 5136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) < (-1 + 1))
85		btwnnz 12571	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ -1 < (𝐴 / (2 · π)) ∧ (𝐴 / (2 · π)) < (-1 + 1)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
86	50, 75, 84, 85	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
87	40, 48, 86	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
88	39, 87	pm2.61dan 812	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
89	65	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ∈ ℝ+)
90		mod0 13799	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
91	7, 89, 90	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ((𝐴 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
92	88, 91	mtbird 325	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (𝐴 mod (2 · π)) = 0)
93	92	neqned 2932	1 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 mod (2 · π)) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  {csn 4579   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169  -cneg 11367   / cdiv 11796  2c2 12202  ℤcz 12490  ℝ⁺crp 12912  [,]cicc 13270   mod cmo 13792  πcpi 15992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-q 12869  df-rp 12913  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13271  df-ioc 13272  df-ico 13273  df-icc 13274  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-fl 13715  df-mod 13793  df-seq 13928  df-exp 13988  df-fac 14200  df-bc 14229  df-hash 14257  df-shft 14993  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-limsup 15397  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15613  df-ef 15993  df-sin 15995  df-cos 15996  df-pi 15998  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-starv 17195  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-ip 17198  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ds 17202  df-unif 17203  df-hom 17204  df-cco 17205  df-rest 17345  df-topn 17346  df-0g 17364  df-gsum 17365  df-topgen 17366  df-pt 17367  df-prds 17370  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18677  df-mulg 18966  df-cntz 19215  df-cmn 19680  df-psmet 21272  df-xmet 21273  df-met 21274  df-bl 21275  df-mopn 21276  df-fbas 21277  df-fg 21278  df-cnfld 21281  df-top 22798  df-topon 22815  df-topsp 22837  df-bases 22850  df-cld 22923  df-ntr 22924  df-cls 22925  df-nei 23002  df-lp 23040  df-perf 23041  df-cn 23131  df-cnp 23132  df-haus 23219  df-tx 23466  df-hmeo 23659  df-fil 23750  df-fm 23842  df-flim 23843  df-flf 23844  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cncf 24788  df-limc 25784  df-dv 25785

This theorem is referenced by:  fourierdlem66  46173