Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem24 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem24 46146
Description: A sufficient condition for module being nonzero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem24 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 mod (2 · π)) ≠ 0)

Proof of Theorem fourierdlem24
StepHypRef Expression
1 0zd 12625 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℤ)
2 pire 26500 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
32renegcli 11570 . . . . . . . . 9 -π ∈ ℝ
4 iccssre 13469 . . . . . . . . 9 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
53, 2, 4mp2an 692 . . . . . . . 8 (-π[,]π) ⊆ ℝ
6 eldifi 4131 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
75, 6sselid 3981 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ ℝ)
87adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 2re 12340 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
109, 2remulcli 11277 . . . . . . 7 (2 · π) ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ)
12 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
13 2pos 12369 . . . . . . . 8 0 < 2
14 pipos 26502 . . . . . . . 8 0 < π
159, 2, 13, 14mulgt0ii 11394 . . . . . . 7 0 < (2 · π)
1615a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (2 · π))
178, 11, 12, 16divgt0d 12203 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 / (2 · π)))
1811, 16elrpd 13074 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ+)
192a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ)
2010a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ∈ ℝ)
213rexri 11319 . . . . . . . . . . . 12 -π ∈ ℝ*
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ*)
2319rexrd 11311 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ*)
24 iccleub 13442 . . . . . . . . . . 11 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝐴 ∈ (-π[,]π)) → 𝐴 ≤ π)
2522, 23, 6, 24syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ≤ π)
26 pirp 26503 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ+
27 2timesgt 45300 . . . . . . . . . . 11 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
2826, 27mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π < (2 · π))
297, 19, 20, 25, 28lelttrd 11419 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 < (2 · π))
3029adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (2 · π))
318, 11, 18, 30ltdiv1dd 13134 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < ((2 · π) / (2 · π)))
3210recni 11275 . . . . . . . 8 (2 · π) ∈ ℂ
3310, 15gt0ne0ii 11799 . . . . . . . 8 (2 · π) ≠ 0
3432, 33dividi 12000 . . . . . . 7 ((2 · π) / (2 · π)) = 1
3531, 34breqtrdi 5184 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < 1)
36 0p1e1 12388 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
3735, 36breqtrrdi 5185 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1))
38 btwnnz 12694 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / (2 · π)) ∧ (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
391, 17, 37, 38syl3anc 1373 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
40 simpl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
417adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
42 0red 11264 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
43 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < 𝐴)
4441, 42, 43nltled 11411 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≤ 0)
45 eldifsni 4790 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ≠ 0)
4645necomd 2996 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 0 ≠ 𝐴)
4746adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ≠ 𝐴)
4841, 42, 44, 47leneltd 11415 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 < 0)
49 neg1z 12653 . . . . . . 7 -1 ∈ ℤ
5049a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -1 ∈ ℤ)
5133a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ≠ 0)
527, 20, 51redivcld 12095 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
5352adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
54 1red 11262 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 1 ∈ ℝ)
557recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ ℂ)
5655adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5732a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℂ)
5833a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ≠ 0)
5956, 57, 58divnegd 12056 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -(𝐴 / (2 · π)) = (-𝐴 / (2 · π)))
607renegcld 11690 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 ∈ ℝ)
6160adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
6210a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ)
63 2rp 13039 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ+
64 rpmulcl 13058 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
6563, 26, 64mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℝ+
6665a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ+)
67 iccgelb 13443 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝐴 ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ 𝐴)
6822, 23, 6, 67syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -π ≤ 𝐴)
6919, 7, 68lenegcon1d 11845 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 ≤ π)
7060, 19, 20, 69, 28lelttrd 11419 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 < (2 · π))
7170adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < (2 · π))
7261, 62, 66, 71ltdiv1dd 13134 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 / (2 · π)) < ((2 · π) / (2 · π)))
7372, 34breqtrdi 5184 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 / (2 · π)) < 1)
7459, 73eqbrtrd 5165 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -(𝐴 / (2 · π)) < 1)
7553, 54, 74ltnegcon1d 11843 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -1 < (𝐴 / (2 · π)))
767adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
77 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
7876, 66, 77divlt0gt0d 45298 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) < 0)
79 neg1cn 12380 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
80 ax-1cn 11213 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
8179, 80addcomi 11452 . . . . . . . 8 (-1 + 1) = (1 + -1)
82 1pneg1e0 12385 . . . . . . . 8 (1 + -1) = 0
8381, 82eqtr2i 2766 . . . . . . 7 0 = (-1 + 1)
8478, 83breqtrdi 5184 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) < (-1 + 1))
85 btwnnz 12694 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℤ ∧ -1 < (𝐴 / (2 · π)) ∧ (𝐴 / (2 · π)) < (-1 + 1)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
8650, 75, 84, 85syl3anc 1373 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
8740, 48, 86syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
8839, 87pm2.61dan 813 . . 3 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
8965a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ∈ ℝ+)
90 mod0 13916 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
917, 89, 90syl2anc 584 . . 3 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ((𝐴 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
9288, 91mtbird 325 . 2 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (𝐴 mod (2 · π)) = 0)
9392neqned 2947 1 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 mod (2 · π)) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  cz 12613  +crp 13034  [,]cicc 13390   mod cmo 13909  πcpi 16102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  fourierdlem66  46187
  Copyright terms: Public domain W3C validator