Theorem fourierdlem24 43301

Description: A sufficient condition for module being nonzero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem24	⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 mod (2 · π)) ≠ 0)

Proof of Theorem fourierdlem24

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12171	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℤ)
2		pire 25320	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
3	2	renegcli 11122	. . . . . . . . 9 ⊢ -π ∈ ℝ
4		iccssre 13000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
5	3, 2, 4	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℝ
6		eldifi 4031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
7	5, 6	sseldi 3889	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		2re 11887	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9, 2	remulcli 10832	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ)
12		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
13		2pos 11916	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
14		pipos 25322	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
15	9, 2, 13, 14	mulgt0ii 10948	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (2 · π)
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (2 · π))
17	8, 11, 12, 16	divgt0d 11750	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 / (2 · π)))
18	11, 16	elrpd 12608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ+)
19	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ)
20	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ∈ ℝ)
21	3	rexri 10874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -π ∈ ℝ*
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ*)
23	19	rexrd 10866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ*)
24		iccleub 12973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (-π[,]π)) → 𝐴 ≤ π)
25	22, 23, 6, 24	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ≤ π)
26		pirp 25323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ+
27		2timesgt 42451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
28	26, 27	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π < (2 · π))
29	7, 19, 20, 25, 28	lelttrd 10973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 < (2 · π))
30	29	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (2 · π))
31	8, 11, 18, 30	ltdiv1dd 12668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < ((2 · π) / (2 · π)))
32	10	recni 10830	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
33	10, 15	gt0ne0ii 11351	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ≠ 0
34	32, 33	dividi 11548	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · π) / (2 · π)) = 1
35	31, 34	breqtrdi 5084	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < 1)
36		0p1e1 11935	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
37	35, 36	breqtrrdi 5085	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1))
38		btwnnz 12236	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / (2 · π)) ∧ (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
39	1, 17, 37, 38	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
40		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
41	7	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
42		0red 10819	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
43		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < 𝐴)
44	41, 42, 43	nltled 10965	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≤ 0)
45		eldifsni 4693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ≠ 0)
46	45	necomd 2990	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 0 ≠ 𝐴)
47	46	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ≠ 𝐴)
48	41, 42, 44, 47	leneltd 10969	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 < 0)
49		neg1z 12196	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -1 ∈ ℤ)
51	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ≠ 0)
52	7, 20, 51	redivcld 11643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
53	52	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
54		1red 10817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 1 ∈ ℝ)
55	7	recnd 10844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ ℂ)
56	55	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
57	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℂ)
58	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ≠ 0)
59	56, 57, 58	divnegd 11604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -(𝐴 / (2 · π)) = (-𝐴 / (2 · π)))
60	7	renegcld 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 ∈ ℝ)
61	60	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
62	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ)
63		2rp 12574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ+
64		rpmulcl 12592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
65	63, 26, 64	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ+)
67		iccgelb 12974	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ 𝐴)
68	22, 23, 6, 67	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -π ≤ 𝐴)
69	19, 7, 68	lenegcon1d 11397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 ≤ π)
70	60, 19, 20, 69, 28	lelttrd 10973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 < (2 · π))
71	70	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < (2 · π))
72	61, 62, 66, 71	ltdiv1dd 12668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 / (2 · π)) < ((2 · π) / (2 · π)))
73	72, 34	breqtrdi 5084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 / (2 · π)) < 1)
74	59, 73	eqbrtrd 5065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -(𝐴 / (2 · π)) < 1)
75	53, 54, 74	ltnegcon1d 11395	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -1 < (𝐴 / (2 · π)))
76	7	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
77		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
78	76, 66, 77	divlt0gt0d 42449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) < 0)
79		neg1cn 11927	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
80		ax-1cn 10770	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
81	79, 80	addcomi 11006	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 + 1) = (1 + -1)
82		1pneg1e0 11932	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + -1) = 0
83	81, 82	eqtr2i 2763	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (-1 + 1)
84	78, 83	breqtrdi 5084	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) < (-1 + 1))
85		btwnnz 12236	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ -1 < (𝐴 / (2 · π)) ∧ (𝐴 / (2 · π)) < (-1 + 1)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
86	50, 75, 84, 85	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
87	40, 48, 86	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
88	39, 87	pm2.61dan 813	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
89	65	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ∈ ℝ+)
90		mod0 13432	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
91	7, 89, 90	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ((𝐴 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
92	88, 91	mtbird 328	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (𝐴 mod (2 · π)) = 0)
93	92	neqned 2942	1 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 mod (2 · π)) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2935   ∖ cdif 3854   ⊆ wss 3857  {csn 4531   class class class wbr 5043  (class class class)co 7202  ℂcc 10710  ℝcr 10711  0cc0 10712  1c1 10713   + caddc 10715   · cmul 10717  ℝ^*cxr 10849   < clt 10850   ≤ cle 10851  -cneg 11046   / cdiv 11472  2c2 11868  ℤcz 12159  ℝ⁺crp 12569  [,]cicc 12921   mod cmo 13425  πcpi 15609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-inf2 9245  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789  ax-pre-sup 10790  ax-addf 10791  ax-mulf 10792

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-se 5499  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-isom 6378  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-of 7458  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-supp 7893  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-2o 8192  df-er 8380  df-map 8499  df-pm 8500  df-ixp 8568  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-fsupp 8975  df-fi 9016  df-sup 9047  df-inf 9048  df-oi 9115  df-card 9538  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-div 11473  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-4 11878  df-5 11879  df-6 11880  df-7 11881  df-8 11882  df-9 11883  df-n0 12074  df-z 12160  df-dec 12277  df-uz 12422  df-q 12528  df-rp 12570  df-xneg 12687  df-xadd 12688  df-xmul 12689  df-ioo 12922  df-ioc 12923  df-ico 12924  df-icc 12925  df-fz 13079  df-fzo 13222  df-fl 13350  df-mod 13426  df-seq 13558  df-exp 13619  df-fac 13823  df-bc 13852  df-hash 13880  df-shft 14613  df-cj 14645  df-re 14646  df-im 14647  df-sqrt 14781  df-abs 14782  df-limsup 15015  df-clim 15032  df-rlim 15033  df-sum 15233  df-ef 15610  df-sin 15612  df-cos 15613  df-pi 15615  df-struct 16686  df-ndx 16687  df-slot 16688  df-base 16690  df-sets 16691  df-ress 16692  df-plusg 16780  df-mulr 16781  df-starv 16782  df-sca 16783  df-vsca 16784  df-ip 16785  df-tset 16786  df-ple 16787  df-ds 16789  df-unif 16790  df-hom 16791  df-cco 16792  df-rest 16899  df-topn 16900  df-0g 16918  df-gsum 16919  df-topgen 16920  df-pt 16921  df-prds 16924  df-xrs 16979  df-qtop 16984  df-imas 16985  df-xps 16987  df-mre 17061  df-mrc 17062  df-acs 17064  df-mgm 18086  df-sgrp 18135  df-mnd 18146  df-submnd 18191  df-mulg 18461  df-cntz 18683  df-cmn 19144  df-psmet 20327  df-xmet 20328  df-met 20329  df-bl 20330  df-mopn 20331  df-fbas 20332  df-fg 20333  df-cnfld 20336  df-top 21763  df-topon 21780  df-topsp 21802  df-bases 21815  df-cld 21888  df-ntr 21889  df-cls 21890  df-nei 21967  df-lp 22005  df-perf 22006  df-cn 22096  df-cnp 22097  df-haus 22184  df-tx 22431  df-hmeo 22624  df-fil 22715  df-fm 22807  df-flim 22808  df-flf 22809  df-xms 23190  df-ms 23191  df-tms 23192  df-cncf 23747  df-limc 24735  df-dv 24736

This theorem is referenced by:  fourierdlem66  43342