Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem24 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem24 44833
Description: A sufficient condition for module being nonzero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem24 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ (๐ด mod (2 ยท ฯ€)) โ‰  0)

Proof of Theorem fourierdlem24
StepHypRef Expression
1 0zd 12566 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
2 pire 25959 . . . . . . . . . 10 ฯ€ โˆˆ โ„
32renegcli 11517 . . . . . . . . 9 -ฯ€ โˆˆ โ„
4 iccssre 13402 . . . . . . . . 9 ((-ฯ€ โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ (-ฯ€[,]ฯ€) โŠ† โ„)
53, 2, 4mp2an 690 . . . . . . . 8 (-ฯ€[,]ฯ€) โŠ† โ„
6 eldifi 4125 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ ๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€))
75, 6sselid 3979 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
87adantr 481 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
9 2re 12282 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
109, 2remulcli 11226 . . . . . . 7 (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„
1110a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„)
12 simpr 485 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด)
13 2pos 12311 . . . . . . . 8 0 < 2
14 pipos 25961 . . . . . . . 8 0 < ฯ€
159, 2, 13, 14mulgt0ii 11343 . . . . . . 7 0 < (2 ยท ฯ€)
1615a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < (2 ยท ฯ€))
178, 11, 12, 16divgt0d 12145 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < (๐ด / (2 ยท ฯ€)))
1811, 16elrpd 13009 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„+)
192a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„)
2010a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„)
213rexri 11268 . . . . . . . . . . . 12 -ฯ€ โˆˆ โ„*
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ -ฯ€ โˆˆ โ„*)
2319rexrd 11260 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„*)
24 iccleub 13375 . . . . . . . . . . 11 ((-ฯ€ โˆˆ โ„* โˆง ฯ€ โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€)) โ†’ ๐ด โ‰ค ฯ€)
2522, 23, 6, 24syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ ๐ด โ‰ค ฯ€)
26 pirp 25962 . . . . . . . . . . 11 ฯ€ โˆˆ โ„+
27 2timesgt 43984 . . . . . . . . . . 11 (ฯ€ โˆˆ โ„+ โ†’ ฯ€ < (2 ยท ฯ€))
2826, 27mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ ฯ€ < (2 ยท ฯ€))
297, 19, 20, 25, 28lelttrd 11368 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ ๐ด < (2 ยท ฯ€))
3029adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด < (2 ยท ฯ€))
318, 11, 18, 30ltdiv1dd 13069 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) < ((2 ยท ฯ€) / (2 ยท ฯ€)))
3210recni 11224 . . . . . . . 8 (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚
3310, 15gt0ne0ii 11746 . . . . . . . 8 (2 ยท ฯ€) โ‰  0
3432, 33dividi 11943 . . . . . . 7 ((2 ยท ฯ€) / (2 ยท ฯ€)) = 1
3531, 34breqtrdi 5188 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) < 1)
36 0p1e1 12330 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
3735, 36breqtrrdi 5189 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) < (0 + 1))
38 btwnnz 12634 . . . . 5 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐ด / (2 ยท ฯ€)) โˆง (๐ด / (2 ยท ฯ€)) < (0 + 1)) โ†’ ยฌ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค)
391, 17, 37, 38syl3anc 1371 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ยฌ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค)
40 simpl 483 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ยฌ 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}))
417adantr 481 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ยฌ 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
42 0red 11213 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ยฌ 0 < ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
43 simpr 485 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ยฌ 0 < ๐ด) โ†’ ยฌ 0 < ๐ด)
4441, 42, 43nltled 11360 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ยฌ 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰ค 0)
45 eldifsni 4792 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ ๐ด โ‰  0)
4645necomd 2996 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ 0 โ‰  ๐ด)
4746adantr 481 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ยฌ 0 < ๐ด) โ†’ 0 โ‰  ๐ด)
4841, 42, 44, 47leneltd 11364 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ยฌ 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด < 0)
49 neg1z 12594 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„ค
5049a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ -1 โˆˆ โ„ค)
5133a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ (2 ยท ฯ€) โ‰  0)
527, 20, 51redivcld 12038 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„)
5352adantr 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„)
54 1red 11211 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
557recnd 11238 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5655adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5732a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
5833a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (2 ยท ฯ€) โ‰  0)
5956, 57, 58divnegd 11999 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ -(๐ด / (2 ยท ฯ€)) = (-๐ด / (2 ยท ฯ€)))
607renegcld 11637 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„)
6160adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„)
6210a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„)
63 2rp 12975 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„+
64 rpmulcl 12993 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„+)
6563, 26, 64mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„+
6665a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„+)
67 iccgelb 13376 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-ฯ€ โˆˆ โ„* โˆง ฯ€ โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ (-ฯ€[,]ฯ€)) โ†’ -ฯ€ โ‰ค ๐ด)
6822, 23, 6, 67syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ -ฯ€ โ‰ค ๐ด)
6919, 7, 68lenegcon1d 11792 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ -๐ด โ‰ค ฯ€)
7060, 19, 20, 69, 28lelttrd 11368 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ -๐ด < (2 ยท ฯ€))
7170adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ -๐ด < (2 ยท ฯ€))
7261, 62, 66, 71ltdiv1dd 13069 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (-๐ด / (2 ยท ฯ€)) < ((2 ยท ฯ€) / (2 ยท ฯ€)))
7372, 34breqtrdi 5188 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (-๐ด / (2 ยท ฯ€)) < 1)
7459, 73eqbrtrd 5169 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ -(๐ด / (2 ยท ฯ€)) < 1)
7553, 54, 74ltnegcon1d 11790 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ -1 < (๐ด / (2 ยท ฯ€)))
767adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
77 simpr 485 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด < 0)
7876, 66, 77divlt0gt0d 43982 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) < 0)
79 neg1cn 12322 . . . . . . . . 9 -1 โˆˆ โ„‚
80 ax-1cn 11164 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
8179, 80addcomi 11401 . . . . . . . 8 (-1 + 1) = (1 + -1)
82 1pneg1e0 12327 . . . . . . . 8 (1 + -1) = 0
8381, 82eqtr2i 2761 . . . . . . 7 0 = (-1 + 1)
8478, 83breqtrdi 5188 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) < (-1 + 1))
85 btwnnz 12634 . . . . . 6 ((-1 โˆˆ โ„ค โˆง -1 < (๐ด / (2 ยท ฯ€)) โˆง (๐ด / (2 ยท ฯ€)) < (-1 + 1)) โ†’ ยฌ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค)
8650, 75, 84, 85syl3anc 1371 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ยฌ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค)
8740, 48, 86syl2anc 584 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โˆง ยฌ 0 < ๐ด) โ†’ ยฌ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค)
8839, 87pm2.61dan 811 . . 3 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ ยฌ (๐ด / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค)
8965a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„+)
90 mod0 13837 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod (2 ยท ฯ€)) = 0 โ†” (๐ด / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค))
917, 89, 90syl2anc 584 . . 3 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ ((๐ด mod (2 ยท ฯ€)) = 0 โ†” (๐ด / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ค))
9288, 91mtbird 324 . 2 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ ยฌ (๐ด mod (2 ยท ฯ€)) = 0)
9392neqned 2947 1 (๐ด โˆˆ ((-ฯ€[,]ฯ€) โˆ– {0}) โ†’ (๐ด mod (2 ยท ฯ€)) โ‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   โˆ– cdif 3944   โŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111  โ„*cxr 11243   < clt 11244   โ‰ค cle 11245  -cneg 11441   / cdiv 11867  2c2 12263  โ„คcz 12554  โ„+crp 12970  [,]cicc 13323   mod cmo 13830  ฯ€cpi 16006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375
This theorem is referenced by:  fourierdlem66  44874
  Copyright terms: Public domain W3C validator