Theorem fourierdlem24 47142

Description: A sufficient condition for module being nonzero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem24	⊢ (𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 mod (2 · π)) ≠ 0)

Proof of Theorem fourierdlem24

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12706	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℤ)
2		pire 26784	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
3	2	renegcli 11620	. . . . . . . . 9 ⊢ -π ∈ ℝ
4		iccssre 13561	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ( -π[,]π) ⊆ ℝ)
5	3, 2, 4	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ ( -π[,]π) ⊆ ℝ
6		eldifi 4078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ ( -π[,]π))
7	5, 6	sselid 3927	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		2re 12418	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9, 2	remulcli 11326	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ)
12		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
13		2pos 12448	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
14		pipos 26788	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
15	9, 2, 13, 14	mulgt0ii 11444	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (2 · π)
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (2 · π))
17	8, 11, 12, 16	divgt0d 12253	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 / (2 · π)))
18	11, 16	elrpd 13162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ+)
19	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ)
20	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ∈ ℝ)
21	3	rexri 11368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -π ∈ ℝ*
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ*)
23	19	rexrd 11360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ*)
24		iccleub 13533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ( -π[,]π)) → 𝐴 ≤ π)
25	22, 23, 6, 24	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ≤ π)
26		pirp 26791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ+
27		2timesgt 46305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
28	26, 27	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) → π < (2 · π))
29	7, 19, 20, 25, 28	lelttrd 11469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 < (2 · π))
30	29	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (2 · π))
31	8, 11, 18, 30	ltdiv1dd 13222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < ((2 · π) / (2 · π)))
32	10	recni 11324	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
33	10, 15	gt0ne0ii 11853	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ≠ 0
34	32, 33	dividi 12051	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · π) / (2 · π)) = 1
35	31, 34	breqtrdi 5146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < 1)
36		0p1e1 12464	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
37	35, 36	breqtrrdi 5147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1))
38		btwnnz 12776	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / (2 · π)) ∧ (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
39	1, 17, 37, 38	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
40		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}))
41	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
42		0red 11312	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
43		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < 𝐴)
44	41, 42, 43	nltled 11461	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≤ 0)
45		eldifsni 4753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ≠ 0)
46	45	necomd 3011	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) → 0 ≠ 𝐴)
47	46	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ≠ 𝐴)
48	41, 42, 44, 47	leneltd 11465	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 < 0)
49		neg1z 12733	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -1 ∈ ℤ)
51	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ≠ 0)
52	7, 20, 51	redivcld 12146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
53	52	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
54		1red 11310	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 1 ∈ ℝ)
55	7	recnd 11338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ ℂ)
56	55	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
57	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℂ)
58	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ≠ 0)
59	56, 57, 58	divnegd 12107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -(𝐴 / (2 · π)) = ( -𝐴 / (2 · π)))
60	7	renegcld 11744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 ∈ ℝ)
61	60	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
62	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ)
63		2rp 13126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ+
64		rpmulcl 13146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
65	63, 26, 64	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ+)
67		iccgelb 13534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( -π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ( -π[,]π)) → -π ≤ 𝐴)
68	22, 23, 6, 67	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) → -π ≤ 𝐴)
69	19, 7, 68	lenegcon1d 11899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 ≤ π)
70	60, 19, 20, 69, 28	lelttrd 11469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 < (2 · π))
71	70	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < (2 · π))
72	61, 62, 66, 71	ltdiv1dd 13222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → ( -𝐴 / (2 · π)) < ((2 · π) / (2 · π)))
73	72, 34	breqtrdi 5146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → ( -𝐴 / (2 · π)) < 1)
74	59, 73	eqbrtrd 5127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -(𝐴 / (2 · π)) < 1)
75	53, 54, 74	ltnegcon1d 11897	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -1 < (𝐴 / (2 · π)))
76	7	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
77		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
78	76, 66, 77	divlt0gt0d 46303	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) < 0)
79		neg1cn 12306	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
80		ax-1cn 11259	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
81	79, 80	addcomi 11502	. . . . . . . 8 ⊢ ( -1 + 1) = (1 + -1)
82		1pneg1e0 12461	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + -1) = 0
83	81, 82	eqtr2i 2785	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ( -1 + 1)
84	78, 83	breqtrdi 5146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) < ( -1 + 1))
85		btwnnz 12776	. . . . . 6 ⊢ (( -1 ∈ ℤ ∧ -1 < (𝐴 / (2 · π)) ∧ (𝐴 / (2 · π)) < ( -1 + 1)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
86	50, 75, 84, 85	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
87	40, 48, 86	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
88	39, 87	pm2.61dan 825	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
89	65	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ∈ ℝ+)
90		mod0 14017	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
91	7, 89, 90	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) → ((𝐴 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
92	88, 91	mtbird 328	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (𝐴 mod (2 · π)) = 0)
93	92	neqned 2963	1 ⊢ (𝐴 ∈ (( -π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 mod (2 · π)) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3914  {csn 4584   class class class wbr 5103  (class class class)co 7421  ℂcc 11199  ℝcr 11200  0cc0 11201  1c1 11202   + caddc 11204   · cmul 11206  ℝ^*cxr 11343   < clt 11344   ≤ cle 11345   -cneg 11543   / cdiv 11974  2c2 12398  ℤcz 12694  ℝ⁺crp 13121  [,]cicc 13480   mod cmo 14010  πcpi 16233

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279  ax-addf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8179  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-fi 9404  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-xneg 13242  df-xadd 13243  df-xmul 13244  df-ioo 13481  df-ioc 13482  df-ico 13483  df-icc 13484  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-mod 14011  df-seq 14146  df-exp 14206  df-fac 14419  df-bc 14448  df-hash 14476  df-shft 15221  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-limsup 15639  df-clim 15656  df-rlim 15657  df-sum 15855  df-ef 16234  df-sin 16236  df-cos 16237  df-pi 16239  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-starv 17444  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-unif 17452  df-hom 17453  df-cco 17454  df-rest 17594  df-topn 17595  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-topgen 17615  df-pt 17616  df-prds 17619  df-xrs 17675  df-qtop 17680  df-imas 17681  df-xps 17683  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-mulg 19279  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-psmet 21671  df-xmet 21672  df-met 21673  df-bl 21674  df-mopn 21675  df-fbas 21676  df-fg 21677  df-cnfld 21680  df-top 23213  df-topon 23230  df-topsp 23252  df-bases 23265  df-cld 23338  df-ntr 23339  df-cls 23340  df-nei 23417  df-lp 23455  df-perf 23456  df-cn 23546  df-cnp 23547  df-haus 23634  df-tx 23882  df-hmeo 24075  df-fil 24166  df-fm 24258  df-flim 24259  df-flf 24260  df-xms 24640  df-ms 24641  df-tms 24642  df-cncf 25200  df-limc 26187  df-dv 26188

This theorem is used by:  fourierdlem66  47183