Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem24 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem24 45332
Description: A sufficient condition for module being nonzero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem24 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 mod (2 · π)) ≠ 0)

Proof of Theorem fourierdlem24
StepHypRef Expression
1 0zd 12567 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℤ)
2 pire 26310 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
32renegcli 11518 . . . . . . . . 9 -π ∈ ℝ
4 iccssre 13403 . . . . . . . . 9 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
53, 2, 4mp2an 689 . . . . . . . 8 (-π[,]π) ⊆ ℝ
6 eldifi 4118 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
75, 6sselid 3972 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ ℝ)
87adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 2re 12283 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
109, 2remulcli 11227 . . . . . . 7 (2 · π) ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ)
12 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
13 2pos 12312 . . . . . . . 8 0 < 2
14 pipos 26312 . . . . . . . 8 0 < π
159, 2, 13, 14mulgt0ii 11344 . . . . . . 7 0 < (2 · π)
1615a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (2 · π))
178, 11, 12, 16divgt0d 12146 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 / (2 · π)))
1811, 16elrpd 13010 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ+)
192a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ)
2010a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ∈ ℝ)
213rexri 11269 . . . . . . . . . . . 12 -π ∈ ℝ*
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ*)
2319rexrd 11261 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ*)
24 iccleub 13376 . . . . . . . . . . 11 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝐴 ∈ (-π[,]π)) → 𝐴 ≤ π)
2522, 23, 6, 24syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ≤ π)
26 pirp 26313 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ+
27 2timesgt 44483 . . . . . . . . . . 11 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
2826, 27mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π < (2 · π))
297, 19, 20, 25, 28lelttrd 11369 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 < (2 · π))
3029adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (2 · π))
318, 11, 18, 30ltdiv1dd 13070 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < ((2 · π) / (2 · π)))
3210recni 11225 . . . . . . . 8 (2 · π) ∈ ℂ
3310, 15gt0ne0ii 11747 . . . . . . . 8 (2 · π) ≠ 0
3432, 33dividi 11944 . . . . . . 7 ((2 · π) / (2 · π)) = 1
3531, 34breqtrdi 5179 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < 1)
36 0p1e1 12331 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
3735, 36breqtrrdi 5180 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1))
38 btwnnz 12635 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / (2 · π)) ∧ (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
391, 17, 37, 38syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
40 simpl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
417adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
42 0red 11214 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
43 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < 𝐴)
4441, 42, 43nltled 11361 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≤ 0)
45 eldifsni 4785 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ≠ 0)
4645necomd 2988 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 0 ≠ 𝐴)
4746adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ≠ 𝐴)
4841, 42, 44, 47leneltd 11365 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 < 0)
49 neg1z 12595 . . . . . . 7 -1 ∈ ℤ
5049a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -1 ∈ ℤ)
5133a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ≠ 0)
527, 20, 51redivcld 12039 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
5352adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
54 1red 11212 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 1 ∈ ℝ)
557recnd 11239 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ ℂ)
5655adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5732a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℂ)
5833a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ≠ 0)
5956, 57, 58divnegd 12000 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -(𝐴 / (2 · π)) = (-𝐴 / (2 · π)))
607renegcld 11638 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 ∈ ℝ)
6160adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
6210a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ)
63 2rp 12976 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ+
64 rpmulcl 12994 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
6563, 26, 64mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℝ+
6665a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ+)
67 iccgelb 13377 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝐴 ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ 𝐴)
6822, 23, 6, 67syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -π ≤ 𝐴)
6919, 7, 68lenegcon1d 11793 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 ≤ π)
7060, 19, 20, 69, 28lelttrd 11369 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 < (2 · π))
7170adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < (2 · π))
7261, 62, 66, 71ltdiv1dd 13070 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 / (2 · π)) < ((2 · π) / (2 · π)))
7372, 34breqtrdi 5179 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 / (2 · π)) < 1)
7459, 73eqbrtrd 5160 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -(𝐴 / (2 · π)) < 1)
7553, 54, 74ltnegcon1d 11791 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -1 < (𝐴 / (2 · π)))
767adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
77 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
7876, 66, 77divlt0gt0d 44481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) < 0)
79 neg1cn 12323 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
80 ax-1cn 11164 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
8179, 80addcomi 11402 . . . . . . . 8 (-1 + 1) = (1 + -1)
82 1pneg1e0 12328 . . . . . . . 8 (1 + -1) = 0
8381, 82eqtr2i 2753 . . . . . . 7 0 = (-1 + 1)
8478, 83breqtrdi 5179 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) < (-1 + 1))
85 btwnnz 12635 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℤ ∧ -1 < (𝐴 / (2 · π)) ∧ (𝐴 / (2 · π)) < (-1 + 1)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
8650, 75, 84, 85syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
8740, 48, 86syl2anc 583 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
8839, 87pm2.61dan 810 . . 3 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
8965a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ∈ ℝ+)
90 mod0 13838 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
917, 89, 90syl2anc 583 . . 3 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ((𝐴 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
9288, 91mtbird 325 . 2 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (𝐴 mod (2 · π)) = 0)
9392neqned 2939 1 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 mod (2 · π)) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  cdif 3937  wss 3940  {csn 4620   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  *cxr 11244   < clt 11245  cle 11246  -cneg 11442   / cdiv 11868  2c2 12264  cz 12555  +crp 12971  [,]cicc 13324   mod cmo 13831  πcpi 16007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lp 22962  df-perf 22963  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-haus 23141  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-cncf 24720  df-limc 25717  df-dv 25718
This theorem is referenced by:  fourierdlem66  45373
  Copyright terms: Public domain W3C validator