Theorem fourierdlem24 46574

Description: A sufficient condition for module being nonzero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem24	⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 mod (2 · π)) ≠ 0)

Proof of Theorem fourierdlem24

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12527	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℤ)
2		pire 26439	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
3	2	renegcli 11446	. . . . . . . . 9 ⊢ -π ∈ ℝ
4		iccssre 13373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
5	3, 2, 4	mp2an 698	. . . . . . . 8 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℝ
6		eldifi 4061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
7	5, 6	sselid 3913	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		2re 12246	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9, 2	remulcli 11152	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ)
12		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
13		2pos 12275	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
14		pipos 26441	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
15	9, 2, 13, 14	mulgt0ii 11270	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (2 · π)
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (2 · π))
17	8, 11, 12, 16	divgt0d 12082	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 / (2 · π)))
18	11, 16	elrpd 12974	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ+)
19	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ)
20	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ∈ ℝ)
21	3	rexri 11194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -π ∈ ℝ*
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ*)
23	19	rexrd 11186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ*)
24		iccleub 13345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (-π[,]π)) → 𝐴 ≤ π)
25	22, 23, 6, 24	syl3anc 1379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ≤ π)
26		pirp 26443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ+
27		2timesgt 45736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
28	26, 27	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π < (2 · π))
29	7, 19, 20, 25, 28	lelttrd 11295	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 < (2 · π))
30	29	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (2 · π))
31	8, 11, 18, 30	ltdiv1dd 13034	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < ((2 · π) / (2 · π)))
32	10	recni 11150	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
33	10, 15	gt0ne0ii 11677	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ≠ 0
34	32, 33	dividi 11879	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · π) / (2 · π)) = 1
35	31, 34	breqtrdi 5113	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < 1)
36		0p1e1 12289	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
37	35, 36	breqtrrdi 5114	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1))
38		btwnnz 12596	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / (2 · π)) ∧ (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
39	1, 17, 37, 38	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
40		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
41	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
42		0red 11138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
43		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < 𝐴)
44	41, 42, 43	nltled 11287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≤ 0)
45		eldifsni 4723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ≠ 0)
46	45	necomd 2989	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 0 ≠ 𝐴)
47	46	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ≠ 𝐴)
48	41, 42, 44, 47	leneltd 11291	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 < 0)
49		neg1z 12554	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -1 ∈ ℤ)
51	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ≠ 0)
52	7, 20, 51	redivcld 11974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
53	52	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
54		1red 11136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 1 ∈ ℝ)
55	7	recnd 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ ℂ)
56	55	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
57	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℂ)
58	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ≠ 0)
59	56, 57, 58	divnegd 11935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -(𝐴 / (2 · π)) = (-𝐴 / (2 · π)))
60	7	renegcld 11568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 ∈ ℝ)
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
62	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ)
63		2rp 12938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ+
64		rpmulcl 12958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
65	63, 26, 64	mp2an 698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ+)
67		iccgelb 13346	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ 𝐴)
68	22, 23, 6, 67	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -π ≤ 𝐴)
69	19, 7, 68	lenegcon1d 11723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 ≤ π)
70	60, 19, 20, 69, 28	lelttrd 11295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 < (2 · π))
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < (2 · π))
72	61, 62, 66, 71	ltdiv1dd 13034	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 / (2 · π)) < ((2 · π) / (2 · π)))
73	72, 34	breqtrdi 5113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 / (2 · π)) < 1)
74	59, 73	eqbrtrd 5094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -(𝐴 / (2 · π)) < 1)
75	53, 54, 74	ltnegcon1d 11721	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -1 < (𝐴 / (2 · π)))
76	7	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
77		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
78	76, 66, 77	divlt0gt0d 45734	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) < 0)
79		neg1cn 12135	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
80		ax-1cn 11087	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
81	79, 80	addcomi 11328	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 + 1) = (1 + -1)
82		1pneg1e0 12286	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + -1) = 0
83	81, 82	eqtr2i 2763	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (-1 + 1)
84	78, 83	breqtrdi 5113	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) < (-1 + 1))
85		btwnnz 12596	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ -1 < (𝐴 / (2 · π)) ∧ (𝐴 / (2 · π)) < (-1 + 1)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
86	50, 75, 84, 85	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
87	40, 48, 86	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
88	39, 87	pm2.61dan 818	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
89	65	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ∈ ℝ+)
90		mod0 13826	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
91	7, 89, 90	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ((𝐴 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
92	88, 91	mtbird 326	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (𝐴 mod (2 · π)) = 0)
93	92	neqned 2941	1 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 mod (2 · π)) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4555   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  -cneg 11369   / cdiv 11798  2c2 12227  ℤcz 12515  ℝ⁺crp 12933  [,]cicc 13292   mod cmo 13819  πcpi 16022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cld 23002  df-ntr 23003  df-cls 23004  df-nei 23081  df-lp 23119  df-perf 23120  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-haus 23298  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-fil 23829  df-fm 23921  df-flim 23922  df-flf 23923  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305  df-cncf 24863  df-limc 25851  df-dv 25852

This theorem is referenced by:  fourierdlem66  46615