Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem24 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem24 40866
Description: A sufficient condition for module being nonzero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem24 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 mod (2 · π)) ≠ 0)

Proof of Theorem fourierdlem24
StepHypRef Expression
1 0zd 11592 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℤ)
2 pire 24432 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
32renegcli 10545 . . . . . . . . 9 -π ∈ ℝ
4 iccssre 12461 . . . . . . . . 9 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
53, 2, 4mp2an 666 . . . . . . . 8 (-π[,]π) ⊆ ℝ
6 eldifi 3884 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
75, 6sseldi 3751 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ ℝ)
87adantr 466 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 2re 11293 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
109, 2remulcli 10257 . . . . . . 7 (2 · π) ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ)
12 simpr 471 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
13 2pos 11315 . . . . . . . 8 0 < 2
14 pipos 24434 . . . . . . . 8 0 < π
159, 2, 13, 14mulgt0ii 10373 . . . . . . 7 0 < (2 · π)
1615a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (2 · π))
178, 11, 12, 16divgt0d 11162 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 / (2 · π)))
1811, 16elrpd 12073 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ+)
192a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ)
2010a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ∈ ℝ)
213rexri 10300 . . . . . . . . . . . 12 -π ∈ ℝ*
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ*)
2319rexrd 10292 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ*)
24 iccleub 12435 . . . . . . . . . . 11 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝐴 ∈ (-π[,]π)) → 𝐴 ≤ π)
2522, 23, 6, 24syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ≤ π)
26 pirp 24435 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ+
27 2timesgt 40019 . . . . . . . . . . 11 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
2826, 27mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π < (2 · π))
297, 19, 20, 25, 28lelttrd 10398 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 < (2 · π))
3029adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (2 · π))
318, 11, 18, 30ltdiv1dd 12133 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < ((2 · π) / (2 · π)))
3210recni 10255 . . . . . . . 8 (2 · π) ∈ ℂ
3310, 15gt0ne0ii 10767 . . . . . . . 8 (2 · π) ≠ 0
3432, 33dividi 10961 . . . . . . 7 ((2 · π) / (2 · π)) = 1
3531, 34syl6breq 4828 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < 1)
36 0p1e1 11335 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
3735, 36syl6breqr 4829 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1))
38 btwnnz 11656 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / (2 · π)) ∧ (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
391, 17, 37, 38syl3anc 1476 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
40 simpl 468 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
417adantr 466 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
42 0red 10244 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
43 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < 𝐴)
4441, 42, 43nltled 10390 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≤ 0)
45 eldifsni 4458 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ≠ 0)
4645necomd 2998 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 0 ≠ 𝐴)
4746adantr 466 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ≠ 𝐴)
4841, 42, 44, 47leneltd 10394 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 < 0)
49 neg1z 11616 . . . . . . 7 -1 ∈ ℤ
5049a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -1 ∈ ℤ)
5133a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ≠ 0)
527, 20, 51redivcld 11056 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
5352adantr 466 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
54 1red 10258 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 1 ∈ ℝ)
557recnd 10271 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ ℂ)
5655adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5732a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℂ)
5833a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ≠ 0)
5956, 57, 58divnegd 11017 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -(𝐴 / (2 · π)) = (-𝐴 / (2 · π)))
607renegcld 10660 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 ∈ ℝ)
6160adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
6210a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ)
63 2rp 12041 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ+
64 rpmulcl 12059 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
6563, 26, 64mp2an 666 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℝ+
6665a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ+)
67 iccgelb 12436 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝐴 ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ 𝐴)
6822, 23, 6, 67syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -π ≤ 𝐴)
6919, 7, 68lenegcon1d 10812 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 ≤ π)
7060, 19, 20, 69, 28lelttrd 10398 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 < (2 · π))
7170adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < (2 · π))
7261, 62, 66, 71ltdiv1dd 12133 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 / (2 · π)) < ((2 · π) / (2 · π)))
7372, 34syl6breq 4828 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 / (2 · π)) < 1)
7459, 73eqbrtrd 4809 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -(𝐴 / (2 · π)) < 1)
7553, 54, 74ltnegcon1d 10810 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -1 < (𝐴 / (2 · π)))
767adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
77 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
7876, 66, 77divlt0gt0d 40017 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) < 0)
79 neg1cn 11327 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
80 ax-1cn 10197 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
8179, 80addcomi 10430 . . . . . . . 8 (-1 + 1) = (1 + -1)
82 1pneg1e0 11332 . . . . . . . 8 (1 + -1) = 0
8381, 82eqtr2i 2794 . . . . . . 7 0 = (-1 + 1)
8478, 83syl6breq 4828 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) < (-1 + 1))
85 btwnnz 11656 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℤ ∧ -1 < (𝐴 / (2 · π)) ∧ (𝐴 / (2 · π)) < (-1 + 1)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
8650, 75, 84, 85syl3anc 1476 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
8740, 48, 86syl2anc 567 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
8839, 87pm2.61dan 807 . . 3 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
8965a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ∈ ℝ+)
90 mod0 12884 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
917, 89, 90syl2anc 567 . . 3 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ((𝐴 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
9288, 91mtbird 314 . 2 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (𝐴 mod (2 · π)) = 0)
9392neqned 2950 1 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 mod (2 · π)) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cdif 3721  wss 3724  {csn 4317   class class class wbr 4787  (class class class)co 6794  cc 10137  cr 10138  0cc0 10139  1c1 10140   + caddc 10142   · cmul 10144  *cxr 10276   < clt 10277  cle 10278  -cneg 10470   / cdiv 10887  2c2 11273  cz 11580  +crp 12036  [,]cicc 12384   mod cmo 12877  πcpi 15004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-inf2 8703  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-pre-sup 10217  ax-addf 10218  ax-mulf 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-isom 6041  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-of 7045  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-supp 7448  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-2o 7715  df-oadd 7718  df-er 7897  df-map 8012  df-pm 8013  df-ixp 8064  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8966  df-cda 9193  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-4 11284  df-5 11285  df-6 11286  df-7 11287  df-8 11288  df-9 11289  df-n0 11496  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12037  df-xneg 12152  df-xadd 12153  df-xmul 12154  df-ioo 12385  df-ioc 12386  df-ico 12387  df-icc 12388  df-fz 12535  df-fzo 12675  df-fl 12802  df-mod 12878  df-seq 13010  df-exp 13069  df-fac 13266  df-bc 13295  df-hash 13323  df-shft 14016  df-cj 14048  df-re 14049  df-im 14050  df-sqrt 14184  df-abs 14185  df-limsup 14411  df-clim 14428  df-rlim 14429  df-sum 14626  df-ef 15005  df-sin 15007  df-cos 15008  df-pi 15010  df-struct 16067  df-ndx 16068  df-slot 16069  df-base 16071  df-sets 16072  df-ress 16073  df-plusg 16163  df-mulr 16164  df-starv 16165  df-sca 16166  df-vsca 16167  df-ip 16168  df-tset 16169  df-ple 16170  df-ds 16173  df-unif 16174  df-hom 16175  df-cco 16176  df-rest 16292  df-topn 16293  df-0g 16311  df-gsum 16312  df-topgen 16313  df-pt 16314  df-prds 16317  df-xrs 16371  df-qtop 16376  df-imas 16377  df-xps 16379  df-mre 16455  df-mrc 16456  df-acs 16458  df-mgm 17451  df-sgrp 17493  df-mnd 17504  df-submnd 17545  df-mulg 17750  df-cntz 17958  df-cmn 18403  df-psmet 19954  df-xmet 19955  df-met 19956  df-bl 19957  df-mopn 19958  df-fbas 19959  df-fg 19960  df-cnfld 19963  df-top 20920  df-topon 20937  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23851  df-dv 23852
This theorem is referenced by:  fourierdlem66  40907
  Copyright terms: Public domain W3C validator