Theorem fourierdlem24 46146

Description: A sufficient condition for module being nonzero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem24	⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 mod (2 · π)) ≠ 0)

Proof of Theorem fourierdlem24

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12625	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℤ)
2		pire 26500	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
3	2	renegcli 11570	. . . . . . . . 9 ⊢ -π ∈ ℝ
4		iccssre 13469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
5	3, 2, 4	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℝ
6		eldifi 4131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
7	5, 6	sselid 3981	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		2re 12340	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9, 2	remulcli 11277	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ)
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
13		2pos 12369	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
14		pipos 26502	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < π
15	9, 2, 13, 14	mulgt0ii 11394	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (2 · π)
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (2 · π))
17	8, 11, 12, 16	divgt0d 12203	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 / (2 · π)))
18	11, 16	elrpd 13074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ+)
19	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ)
20	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ∈ ℝ)
21	3	rexri 11319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -π ∈ ℝ*
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ*)
23	19	rexrd 11311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ*)
24		iccleub 13442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (-π[,]π)) → 𝐴 ≤ π)
25	22, 23, 6, 24	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ≤ π)
26		pirp 26503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ+
27		2timesgt 45300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
28	26, 27	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π < (2 · π))
29	7, 19, 20, 25, 28	lelttrd 11419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 < (2 · π))
30	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (2 · π))
31	8, 11, 18, 30	ltdiv1dd 13134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < ((2 · π) / (2 · π)))
32	10	recni 11275	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
33	10, 15	gt0ne0ii 11799	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ≠ 0
34	32, 33	dividi 12000	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · π) / (2 · π)) = 1
35	31, 34	breqtrdi 5184	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < 1)
36		0p1e1 12388	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
37	35, 36	breqtrrdi 5185	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1))
38		btwnnz 12694	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / (2 · π)) ∧ (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
39	1, 17, 37, 38	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
40		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
41	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
42		0red 11264	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
43		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < 𝐴)
44	41, 42, 43	nltled 11411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≤ 0)
45		eldifsni 4790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ≠ 0)
46	45	necomd 2996	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 0 ≠ 𝐴)
47	46	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ≠ 𝐴)
48	41, 42, 44, 47	leneltd 11415	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 < 0)
49		neg1z 12653	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -1 ∈ ℤ)
51	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ≠ 0)
52	7, 20, 51	redivcld 12095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
53	52	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
54		1red 11262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 1 ∈ ℝ)
55	7	recnd 11289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ ℂ)
56	55	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
57	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℂ)
58	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ≠ 0)
59	56, 57, 58	divnegd 12056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -(𝐴 / (2 · π)) = (-𝐴 / (2 · π)))
60	7	renegcld 11690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 ∈ ℝ)
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
62	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ)
63		2rp 13039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ+
64		rpmulcl 13058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
65	63, 26, 64	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ+)
67		iccgelb 13443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ 𝐴)
68	22, 23, 6, 67	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -π ≤ 𝐴)
69	19, 7, 68	lenegcon1d 11845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 ≤ π)
70	60, 19, 20, 69, 28	lelttrd 11419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 < (2 · π))
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < (2 · π))
72	61, 62, 66, 71	ltdiv1dd 13134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 / (2 · π)) < ((2 · π) / (2 · π)))
73	72, 34	breqtrdi 5184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 / (2 · π)) < 1)
74	59, 73	eqbrtrd 5165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -(𝐴 / (2 · π)) < 1)
75	53, 54, 74	ltnegcon1d 11843	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -1 < (𝐴 / (2 · π)))
76	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
77		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
78	76, 66, 77	divlt0gt0d 45298	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) < 0)
79		neg1cn 12380	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
80		ax-1cn 11213	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
81	79, 80	addcomi 11452	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 + 1) = (1 + -1)
82		1pneg1e0 12385	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + -1) = 0
83	81, 82	eqtr2i 2766	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (-1 + 1)
84	78, 83	breqtrdi 5184	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) < (-1 + 1))
85		btwnnz 12694	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ -1 < (𝐴 / (2 · π)) ∧ (𝐴 / (2 · π)) < (-1 + 1)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
86	50, 75, 84, 85	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
87	40, 48, 86	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
88	39, 87	pm2.61dan 813	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
89	65	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ∈ ℝ+)
90		mod0 13916	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
91	7, 89, 90	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ((𝐴 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
92	88, 91	mtbird 325	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (𝐴 mod (2 · π)) = 0)
93	92	neqned 2947	1 ⊢ (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 mod (2 · π)) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  ℤcz 12613  ℝ⁺crp 13034  [,]cicc 13390   mod cmo 13909  πcpi 16102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902

This theorem is referenced by:  fourierdlem66  46187