MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ang180lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ang180lem1 26303
Description: Lemma for ang180 26308. Show that the "revolution number" ๐‘ is an integer, using efeq1 26028 to show that since the product of the three arguments ๐ด, 1 / (1 โˆ’ ๐ด), (๐ด โˆ’ 1) / ๐ด is -1, the sum of the logarithms must be an integer multiple of 2ฯ€i away from ฯ€i = log(-1). (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ang.1 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
ang180lem1.2 ๐‘‡ = (((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด))
ang180lem1.3 ๐‘ = (((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (1 / 2))
Assertion
Ref Expression
ang180lem1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‡ / i) โˆˆ โ„))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด
Allowed substitution hints:   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem ang180lem1
StepHypRef Expression
1 picn 25960 . . . . . . 7 ฯ€ โˆˆ โ„‚
2 2re 12282 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
3 pire 25959 . . . . . . . . . 10 ฯ€ โˆˆ โ„
42, 3remulcli 11226 . . . . . . . . 9 (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„
54recni 11224 . . . . . . . 8 (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚
6 2pos 12311 . . . . . . . . . 10 0 < 2
7 pipos 25961 . . . . . . . . . 10 0 < ฯ€
82, 3, 6, 7mulgt0ii 11343 . . . . . . . . 9 0 < (2 ยท ฯ€)
94, 8gt0ne0ii 11746 . . . . . . . 8 (2 ยท ฯ€) โ‰  0
105, 9pm3.2i 471 . . . . . . 7 ((2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ฯ€) โ‰  0)
11 ax-icn 11165 . . . . . . . 8 i โˆˆ โ„‚
12 ine0 11645 . . . . . . . 8 i โ‰  0
1311, 12pm3.2i 471 . . . . . . 7 (i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0)
14 divcan5 11912 . . . . . . 7 ((ฯ€ โˆˆ โ„‚ โˆง ((2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ฯ€) โ‰  0) โˆง (i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0)) โ†’ ((i ยท ฯ€) / (i ยท (2 ยท ฯ€))) = (ฯ€ / (2 ยท ฯ€)))
151, 10, 13, 14mp3an 1461 . . . . . 6 ((i ยท ฯ€) / (i ยท (2 ยท ฯ€))) = (ฯ€ / (2 ยท ฯ€))
163, 7gt0ne0ii 11746 . . . . . . 7 ฯ€ โ‰  0
17 recdiv 11916 . . . . . . 7 ((((2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ฯ€) โ‰  0) โˆง (ฯ€ โˆˆ โ„‚ โˆง ฯ€ โ‰  0)) โ†’ (1 / ((2 ยท ฯ€) / ฯ€)) = (ฯ€ / (2 ยท ฯ€)))
185, 9, 1, 16, 17mp4an 691 . . . . . 6 (1 / ((2 ยท ฯ€) / ฯ€)) = (ฯ€ / (2 ยท ฯ€))
192recni 11224 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„‚
2019, 1, 16divcan4i 11957 . . . . . . 7 ((2 ยท ฯ€) / ฯ€) = 2
2120oveq2i 7416 . . . . . 6 (1 / ((2 ยท ฯ€) / ฯ€)) = (1 / 2)
2215, 18, 213eqtr2i 2766 . . . . 5 ((i ยท ฯ€) / (i ยท (2 ยท ฯ€))) = (1 / 2)
2322oveq2i 7416 . . . 4 ((๐‘‡ / (i ยท (2 ยท ฯ€))) โˆ’ ((i ยท ฯ€) / (i ยท (2 ยท ฯ€)))) = ((๐‘‡ / (i ยท (2 ยท ฯ€))) โˆ’ (1 / 2))
24 ang180lem1.2 . . . . . 6 ๐‘‡ = (((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด))
25 ax-1cn 11164 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
26 simp1 1136 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
27 subcl 11455 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2825, 26, 27sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
29 simp3 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐ด โ‰  1)
3029necomd 2996 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ 1 โ‰  ๐ด)
31 subeq0 11482 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) = 0 โ†” 1 = ๐ด))
3225, 26, 31sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) = 0 โ†” 1 = ๐ด))
3332necon3bid 2985 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) โ‰  0 โ†” 1 โ‰  ๐ด))
3430, 33mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
3528, 34reccld 11979 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
3628, 34recne0d 11980 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โ‰  0)
3735, 36logcld 26070 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
38 subcl 11455 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
3926, 25, 38sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
40 simp2 1137 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐ด โ‰  0)
4139, 26, 40divcld 11986 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
42 subeq0 11482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) = 0 โ†” ๐ด = 1))
4326, 25, 42sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) = 0 โ†” ๐ด = 1))
4443necon3bid 2985 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) โ‰  0 โ†” ๐ด โ‰  1))
4529, 44mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โ‰  0)
4639, 26, 45, 40divne0d 12002 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด) โ‰  0)
4741, 46logcld 26070 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
4837, 47addcld 11229 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
4926, 40logcld 26070 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
5048, 49addcld 11229 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
5124, 50eqeltrid 2837 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
5211, 1mulcli 11217 . . . . . 6 (i ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚
5352a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (i ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
5411, 5mulcli 11217 . . . . . 6 (i ยท (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚
5554a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (i ยท (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
5611, 5, 12, 9mulne0i 11853 . . . . . 6 (i ยท (2 ยท ฯ€)) โ‰  0
5756a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (i ยท (2 ยท ฯ€)) โ‰  0)
5851, 53, 55, 57divsubdird 12025 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐‘‡ โˆ’ (i ยท ฯ€)) / (i ยท (2 ยท ฯ€))) = ((๐‘‡ / (i ยท (2 ยท ฯ€))) โˆ’ ((i ยท ฯ€) / (i ยท (2 ยท ฯ€)))))
59 ang180lem1.3 . . . . 5 ๐‘ = (((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (1 / 2))
6013a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0))
6110a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ฯ€) โ‰  0))
62 divdiv1 11921 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง (i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0) โˆง ((2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ฯ€) โ‰  0)) โ†’ ((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) = (๐‘‡ / (i ยท (2 ยท ฯ€))))
6351, 60, 61, 62syl3anc 1371 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) = (๐‘‡ / (i ยท (2 ยท ฯ€))))
6463oveq1d 7420 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (1 / 2)) = ((๐‘‡ / (i ยท (2 ยท ฯ€))) โˆ’ (1 / 2)))
6559, 64eqtrid 2784 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐‘ = ((๐‘‡ / (i ยท (2 ยท ฯ€))) โˆ’ (1 / 2)))
6623, 58, 653eqtr4a 2798 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐‘‡ โˆ’ (i ยท ฯ€)) / (i ยท (2 ยท ฯ€))) = ๐‘)
67 efsub 16039 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜(๐‘‡ โˆ’ (i ยท ฯ€))) = ((expโ€˜๐‘‡) / (expโ€˜(i ยท ฯ€))))
6851, 52, 67sylancl 586 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (expโ€˜(๐‘‡ โˆ’ (i ยท ฯ€))) = ((expโ€˜๐‘‡) / (expโ€˜(i ยท ฯ€))))
69 efipi 25974 . . . . . . 7 (expโ€˜(i ยท ฯ€)) = -1
7069oveq2i 7416 . . . . . 6 ((expโ€˜๐‘‡) / (expโ€˜(i ยท ฯ€))) = ((expโ€˜๐‘‡) / -1)
7124fveq2i 6891 . . . . . . . . 9 (expโ€˜๐‘‡) = (expโ€˜(((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด)))
72 efadd 16033 . . . . . . . . . . 11 ((((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜(((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด))) = ((expโ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) ยท (expโ€˜(logโ€˜๐ด))))
7348, 49, 72syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (expโ€˜(((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด))) = ((expโ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) ยท (expโ€˜(logโ€˜๐ด))))
74 efadd 16033 . . . . . . . . . . . . 13 (((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) = ((expโ€˜(logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด)))) ยท (expโ€˜(logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))))
7537, 47, 74syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (expโ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) = ((expโ€˜(logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด)))) ยท (expโ€˜(logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))))
76 eflog 26076 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด)))) = (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
7735, 36, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด)))) = (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
78 eflog 26076 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด) โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) = ((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))
7941, 46, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) = ((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))
8077, 79oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((expโ€˜(logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด)))) ยท (expโ€˜(logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) = ((1 / (1 โˆ’ ๐ด)) ยท ((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))
8135, 41mulcomd 11231 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((1 / (1 โˆ’ ๐ด)) ยท ((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)) = (((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด) ยท (1 / (1 โˆ’ ๐ด))))
8225a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
8382, 28, 34div2negd 12001 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (-1 / -(1 โˆ’ ๐ด)) = (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
84 negsubdi2 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ -(1 โˆ’ ๐ด) = (๐ด โˆ’ 1))
8525, 26, 84sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ -(1 โˆ’ ๐ด) = (๐ด โˆ’ 1))
8685oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (-1 / -(1 โˆ’ ๐ด)) = (-1 / (๐ด โˆ’ 1)))
8783, 86eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) = (-1 / (๐ด โˆ’ 1)))
8887oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด) ยท (1 / (1 โˆ’ ๐ด))) = (((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด) ยท (-1 / (๐ด โˆ’ 1))))
89 neg1cn 12322 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 โˆˆ โ„‚
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
9190, 39, 26, 45, 40dmdcand 12015 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด) ยท (-1 / (๐ด โˆ’ 1))) = (-1 / ๐ด))
9281, 88, 913eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((1 / (1 โˆ’ ๐ด)) ยท ((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)) = (-1 / ๐ด))
9375, 80, 923eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (expโ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) = (-1 / ๐ด))
94 eflog 26076 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐ด)) = ๐ด)
9526, 40, 94syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐ด)) = ๐ด)
9693, 95oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((expโ€˜((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด)))) ยท (expโ€˜(logโ€˜๐ด))) = ((-1 / ๐ด) ยท ๐ด))
9790, 26, 40divcan1d 11987 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((-1 / ๐ด) ยท ๐ด) = -1)
9873, 96, 973eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (expโ€˜(((logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) + (logโ€˜((๐ด โˆ’ 1) / ๐ด))) + (logโ€˜๐ด))) = -1)
9971, 98eqtrid 2784 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (expโ€˜๐‘‡) = -1)
10099oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((expโ€˜๐‘‡) / -1) = (-1 / -1))
101 neg1ne0 12324 . . . . . . . 8 -1 โ‰  0
10289, 101dividi 11943 . . . . . . 7 (-1 / -1) = 1
103100, 102eqtrdi 2788 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((expโ€˜๐‘‡) / -1) = 1)
10470, 103eqtrid 2784 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((expโ€˜๐‘‡) / (expโ€˜(i ยท ฯ€))) = 1)
10568, 104eqtrd 2772 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (expโ€˜(๐‘‡ โˆ’ (i ยท ฯ€))) = 1)
106 subcl 11455 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‡ โˆ’ (i ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
10751, 52, 106sylancl 586 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐‘‡ โˆ’ (i ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
108 efeq1 26028 . . . . 5 ((๐‘‡ โˆ’ (i ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((expโ€˜(๐‘‡ โˆ’ (i ยท ฯ€))) = 1 โ†” ((๐‘‡ โˆ’ (i ยท ฯ€)) / (i ยท (2 ยท ฯ€))) โˆˆ โ„ค))
109107, 108syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((expโ€˜(๐‘‡ โˆ’ (i ยท ฯ€))) = 1 โ†” ((๐‘‡ โˆ’ (i ยท ฯ€)) / (i ยท (2 ยท ฯ€))) โˆˆ โ„ค))
110105, 109mpbid 231 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐‘‡ โˆ’ (i ยท ฯ€)) / (i ยท (2 ยท ฯ€))) โˆˆ โ„ค)
11166, 110eqeltrrd 2834 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
11211a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
11312a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ i โ‰  0)
11451, 112, 113divcld 11986 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐‘‡ / i) โˆˆ โ„‚)
1155a1i 11 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
1169a1i 11 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (2 ยท ฯ€) โ‰  0)
117114, 115, 116divcan1d 11987 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) ยท (2 ยท ฯ€)) = (๐‘‡ / i))
11859oveq1i 7415 . . . . . 6 (๐‘ + (1 / 2)) = ((((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (1 / 2)) + (1 / 2))
119114, 115, 116divcld 11986 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
120 halfre 12422 . . . . . . . 8 (1 / 2) โˆˆ โ„
121120recni 11224 . . . . . . 7 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
122 npcan 11465 . . . . . . 7 ((((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)))
123119, 121, 122sylancl 586 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆ’ (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)))
124118, 123eqtrid 2784 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐‘ + (1 / 2)) = ((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)))
125111zred 12662 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
126 readdcl 11189 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ + (1 / 2)) โˆˆ โ„)
127125, 120, 126sylancl 586 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐‘ + (1 / 2)) โˆˆ โ„)
128124, 127eqeltrrd 2834 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„)
129 remulcl 11191 . . . 4 ((((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) ยท (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„)
130128, 4, 129sylancl 586 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (((๐‘‡ / i) / (2 ยท ฯ€)) ยท (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„)
131117, 130eqeltrrd 2834 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐‘‡ / i) โˆˆ โ„)
132111, 131jca 512 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‡ / i) โˆˆ โ„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   โˆ– cdif 3944  {csn 4627  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  ici 11108   + caddc 11109   ยท cmul 11111   โˆ’ cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  2c2 12263  โ„คcz 12554  โ„‘cim 15041  expce 16001  ฯ€cpi 16006  logclog 26054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056
This theorem is referenced by:  ang180lem2  26304  ang180lem3  26305
  Copyright terms: Public domain W3C validator