MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ang180lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ang180lem1 26867
Description: Lemma for ang180 26872. Show that the "revolution number" 𝑁 is an integer, using efeq1 26585 to show that since the product of the three arguments 𝐴, 1 / (1 − 𝐴), (𝐴 − 1) / 𝐴 is -1, the sum of the logarithms must be an integer multiple of 2πi away from πi = log(-1). (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ang.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
ang180lem1.2 𝑇 = (((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))
ang180lem1.3 𝑁 = (((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2))
Assertion
Ref Expression
ang180lem1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑇 / i) ∈ ℝ))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ang180lem1
StepHypRef Expression
1 picn 26516 . . . . . . 7 π ∈ ℂ
2 2re 12338 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3 pire 26515 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
42, 3remulcli 11275 . . . . . . . . 9 (2 · π) ∈ ℝ
54recni 11273 . . . . . . . 8 (2 · π) ∈ ℂ
6 2pos 12367 . . . . . . . . . 10 0 < 2
7 pipos 26517 . . . . . . . . . 10 0 < π
82, 3, 6, 7mulgt0ii 11392 . . . . . . . . 9 0 < (2 · π)
94, 8gt0ne0ii 11797 . . . . . . . 8 (2 · π) ≠ 0
105, 9pm3.2i 470 . . . . . . 7 ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0)
11 ax-icn 11212 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
12 ine0 11696 . . . . . . . 8 i ≠ 0
1311, 12pm3.2i 470 . . . . . . 7 (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)
14 divcan5 11967 . . . . . . 7 ((π ∈ ℂ ∧ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((i · π) / (i · (2 · π))) = (π / (2 · π)))
151, 10, 13, 14mp3an 1460 . . . . . 6 ((i · π) / (i · (2 · π))) = (π / (2 · π))
163, 7gt0ne0ii 11797 . . . . . . 7 π ≠ 0
17 recdiv 11971 . . . . . . 7 ((((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → (1 / ((2 · π) / π)) = (π / (2 · π)))
185, 9, 1, 16, 17mp4an 693 . . . . . 6 (1 / ((2 · π) / π)) = (π / (2 · π))
192recni 11273 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
2019, 1, 16divcan4i 12012 . . . . . . 7 ((2 · π) / π) = 2
2120oveq2i 7442 . . . . . 6 (1 / ((2 · π) / π)) = (1 / 2)
2215, 18, 213eqtr2i 2769 . . . . 5 ((i · π) / (i · (2 · π))) = (1 / 2)
2322oveq2i 7442 . . . 4 ((𝑇 / (i · (2 · π))) − ((i · π) / (i · (2 · π)))) = ((𝑇 / (i · (2 · π))) − (1 / 2))
24 ang180lem1.2 . . . . . 6 𝑇 = (((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))
25 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
26 simp1 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
27 subcl 11505 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
2825, 26, 27sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
29 simp3 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ≠ 1)
3029necomd 2994 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 ≠ 𝐴)
31 subeq0 11533 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
3225, 26, 31sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
3332necon3bid 2983 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 − 𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐴))
3430, 33mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 − 𝐴) ≠ 0)
3528, 34reccld 12034 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
3628, 34recne0d 12035 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 / (1 − 𝐴)) ≠ 0)
3735, 36logcld 26627 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (log‘(1 / (1 − 𝐴))) ∈ ℂ)
38 subcl 11505 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
3926, 25, 38sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
40 simp2 1136 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 ≠ 0)
4139, 26, 40divcld 12041 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) / 𝐴) ∈ ℂ)
42 subeq0 11533 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
4326, 25, 42sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
4443necon3bid 2983 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 1))
4529, 44mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝐴 − 1) ≠ 0)
4639, 26, 45, 40divne0d 12057 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝐴 − 1) / 𝐴) ≠ 0)
4741, 46logcld 26627 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)) ∈ ℂ)
4837, 47addcld 11278 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) ∈ ℂ)
4926, 40logcld 26627 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
5048, 49addcld 11278 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
5124, 50eqeltrid 2843 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑇 ∈ ℂ)
5211, 1mulcli 11266 . . . . . 6 (i · π) ∈ ℂ
5352a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (i · π) ∈ ℂ)
5411, 5mulcli 11266 . . . . . 6 (i · (2 · π)) ∈ ℂ
5554a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
5611, 5, 12, 9mulne0i 11904 . . . . . 6 (i · (2 · π)) ≠ 0
5756a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (i · (2 · π)) ≠ 0)
5851, 53, 55, 57divsubdird 12080 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝑇 − (i · π)) / (i · (2 · π))) = ((𝑇 / (i · (2 · π))) − ((i · π) / (i · (2 · π)))))
59 ang180lem1.3 . . . . 5 𝑁 = (((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2))
6013a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0))
6110a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0))
62 divdiv1 11976 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) ∧ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0)) → ((𝑇 / i) / (2 · π)) = (𝑇 / (i · (2 · π))))
6351, 60, 61, 62syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝑇 / i) / (2 · π)) = (𝑇 / (i · (2 · π))))
6463oveq1d 7446 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) = ((𝑇 / (i · (2 · π))) − (1 / 2)))
6559, 64eqtrid 2787 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑁 = ((𝑇 / (i · (2 · π))) − (1 / 2)))
6623, 58, 653eqtr4a 2801 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝑇 − (i · π)) / (i · (2 · π))) = 𝑁)
67 efsub 16133 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (exp‘(𝑇 − (i · π))) = ((exp‘𝑇) / (exp‘(i · π))))
6851, 52, 67sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (exp‘(𝑇 − (i · π))) = ((exp‘𝑇) / (exp‘(i · π))))
69 efipi 26530 . . . . . . 7 (exp‘(i · π)) = -1
7069oveq2i 7442 . . . . . 6 ((exp‘𝑇) / (exp‘(i · π))) = ((exp‘𝑇) / -1)
7124fveq2i 6910 . . . . . . . . 9 (exp‘𝑇) = (exp‘(((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴)))
72 efadd 16127 . . . . . . . . . . 11 ((((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘(((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))) = ((exp‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) · (exp‘(log‘𝐴))))
7348, 49, 72syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (exp‘(((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))) = ((exp‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) · (exp‘(log‘𝐴))))
74 efadd 16127 . . . . . . . . . . . . 13 (((log‘(1 / (1 − 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) = ((exp‘(log‘(1 / (1 − 𝐴)))) · (exp‘(log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))))
7537, 47, 74syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (exp‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) = ((exp‘(log‘(1 / (1 − 𝐴)))) · (exp‘(log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))))
76 eflog 26633 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 / (1 − 𝐴)) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 / (1 − 𝐴)))) = (1 / (1 − 𝐴)))
7735, 36, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (exp‘(log‘(1 / (1 − 𝐴)))) = (1 / (1 − 𝐴)))
78 eflog 26633 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 − 1) / 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 1) / 𝐴) ≠ 0) → (exp‘(log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) = ((𝐴 − 1) / 𝐴))
7941, 46, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (exp‘(log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) = ((𝐴 − 1) / 𝐴))
8077, 79oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((exp‘(log‘(1 / (1 − 𝐴)))) · (exp‘(log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) = ((1 / (1 − 𝐴)) · ((𝐴 − 1) / 𝐴)))
8135, 41mulcomd 11280 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 / (1 − 𝐴)) · ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (((𝐴 − 1) / 𝐴) · (1 / (1 − 𝐴))))
8225a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 1 ∈ ℂ)
8382, 28, 34div2negd 12056 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-1 / -(1 − 𝐴)) = (1 / (1 − 𝐴)))
84 negsubdi2 11566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → -(1 − 𝐴) = (𝐴 − 1))
8525, 26, 84sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -(1 − 𝐴) = (𝐴 − 1))
8685oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (-1 / -(1 − 𝐴)) = (-1 / (𝐴 − 1)))
8783, 86eqtr3d 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (1 / (1 − 𝐴)) = (-1 / (𝐴 − 1)))
8887oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((𝐴 − 1) / 𝐴) · (1 / (1 − 𝐴))) = (((𝐴 − 1) / 𝐴) · (-1 / (𝐴 − 1))))
89 neg1cn 12378 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℂ
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → -1 ∈ ℂ)
9190, 39, 26, 45, 40dmdcand 12070 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((𝐴 − 1) / 𝐴) · (-1 / (𝐴 − 1))) = (-1 / 𝐴))
9281, 88, 913eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((1 / (1 − 𝐴)) · ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (-1 / 𝐴))
9375, 80, 923eqtrd 2779 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (exp‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) = (-1 / 𝐴))
94 eflog 26633 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
9526, 40, 94syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
9693, 95oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((exp‘((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴)))) · (exp‘(log‘𝐴))) = ((-1 / 𝐴) · 𝐴))
9790, 26, 40divcan1d 12042 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((-1 / 𝐴) · 𝐴) = -1)
9873, 96, 973eqtrd 2779 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (exp‘(((log‘(1 / (1 − 𝐴))) + (log‘((𝐴 − 1) / 𝐴))) + (log‘𝐴))) = -1)
9971, 98eqtrid 2787 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (exp‘𝑇) = -1)
10099oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((exp‘𝑇) / -1) = (-1 / -1))
101 neg1ne0 12380 . . . . . . . 8 -1 ≠ 0
10289, 101dividi 11998 . . . . . . 7 (-1 / -1) = 1
103100, 102eqtrdi 2791 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((exp‘𝑇) / -1) = 1)
10470, 103eqtrid 2787 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((exp‘𝑇) / (exp‘(i · π))) = 1)
10568, 104eqtrd 2775 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (exp‘(𝑇 − (i · π))) = 1)
106 subcl 11505 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (𝑇 − (i · π)) ∈ ℂ)
10751, 52, 106sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑇 − (i · π)) ∈ ℂ)
108 efeq1 26585 . . . . 5 ((𝑇 − (i · π)) ∈ ℂ → ((exp‘(𝑇 − (i · π))) = 1 ↔ ((𝑇 − (i · π)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
109107, 108syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((exp‘(𝑇 − (i · π))) = 1 ↔ ((𝑇 − (i · π)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
110105, 109mpbid 232 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝑇 − (i · π)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ)
11166, 110eqeltrrd 2840 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
11211a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → i ∈ ℂ)
11312a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → i ≠ 0)
11451, 112, 113divcld 12041 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑇 / i) ∈ ℂ)
1155a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (2 · π) ∈ ℂ)
1169a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (2 · π) ≠ 0)
117114, 115, 116divcan1d 12042 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((𝑇 / i) / (2 · π)) · (2 · π)) = (𝑇 / i))
11859oveq1i 7441 . . . . . 6 (𝑁 + (1 / 2)) = ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) + (1 / 2))
119114, 115, 116divcld 12041 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝑇 / i) / (2 · π)) ∈ ℂ)
120 halfre 12478 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ
121120recni 11273 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
122 npcan 11515 . . . . . . 7 ((((𝑇 / i) / (2 · π)) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑇 / i) / (2 · π)))
123119, 121, 122sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((((𝑇 / i) / (2 · π)) − (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑇 / i) / (2 · π)))
124118, 123eqtrid 2787 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑁 + (1 / 2)) = ((𝑇 / i) / (2 · π)))
125111zred 12720 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝑁 ∈ ℝ)
126 readdcl 11236 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
127125, 120, 126sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
128124, 127eqeltrrd 2840 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → ((𝑇 / i) / (2 · π)) ∈ ℝ)
129 remulcl 11238 . . . 4 ((((𝑇 / i) / (2 · π)) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (((𝑇 / i) / (2 · π)) · (2 · π)) ∈ ℝ)
130128, 4, 129sylancl 586 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (((𝑇 / i) / (2 · π)) · (2 · π)) ∈ ℝ)
131117, 130eqeltrrd 2840 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑇 / i) ∈ ℝ)
132111, 131jca 511 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 1) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑇 / i) ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  cz 12611  cim 15134  expce 16094  πcpi 16099  logclog 26611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613
This theorem is referenced by:  ang180lem2  26868  ang180lem3  26869
  Copyright terms: Public domain W3C validator