Theorem sinaover2ne0 46614

Description: If 𝐴 in (0, 2π) then sin(𝐴 / 2) is not 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sinaover2ne0	⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)

Proof of Theorem sinaover2ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13412	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11247	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		2cnd 12329	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 2 ∈ ℂ)
4		picn 26636	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → π ∈ ℂ)
6		2ne0 12357	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 2 ≠ 0)
8		pire 26634	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
9		pipos 26638	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
10	8, 9	gt0ne0ii 11760	. . . . . 6 ⊢ π ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → π ≠ 0)
12	2, 3, 5, 7, 11	divdiv1d 12032	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ((𝐴 / 2) / π) = (𝐴 / (2 · π)))
13		0zd 12613	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 0 ∈ ℤ)
14		2re 12325	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14, 8	remulcli 11235	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (2 · π) ∈ ℝ)
17		0xr 11266	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 0 ∈ ℝ*)
19	16	rexrd 11269	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (2 · π) ∈ ℝ*)
20		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
21		ioogtlb 46243	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π))) → 0 < 𝐴)
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 0 < 𝐴)
23		2pos 12355	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
24	14, 8, 23, 9	mulgt0ii 11353	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (2 · π)
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 0 < (2 · π))
26	1, 16, 22, 25	divgt0d 12160	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 0 < (𝐴 / (2 · π)))
27		1rp 13030	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 1 ∈ ℝ+)
29	16, 25	elrpd 13067	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (2 · π) ∈ ℝ+)
30	2	div1d 11993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (𝐴 / 1) = 𝐴)
31		iooltub 46258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π))) → 𝐴 < (2 · π))
32	18, 19, 20, 31	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 𝐴 < (2 · π))
33	30, 32	eqbrtrd 5136	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (𝐴 / 1) < (2 · π))
34	1, 28, 29, 33	ltdiv23d 13137	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (𝐴 / (2 · π)) < 1)
35		1e0p1 12768	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0 + 1)
36	34, 35	breqtrdi 5155	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1))
37		btwnnz 12682	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / (2 · π)) ∧ (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
38	13, 26, 36, 37	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
39	12, 38	eqneltrd 2886	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ¬ ((𝐴 / 2) / π) ∈ ℤ)
40	2	halfcld 12499	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
41		sineq0 26704	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2)) = 0 ↔ ((𝐴 / 2) / π) ∈ ℤ))
42	40, 41	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ((sin‘(𝐴 / 2)) = 0 ↔ ((𝐴 / 2) / π) ∈ ℤ))
43	39, 42	mtbird 328	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ¬ (sin‘(𝐴 / 2)) = 0)
44	43	neqned 2968	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   class class class wbr 5112  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  ℝ^*cxr 11252   < clt 11253   / cdiv 11881  2c2 12305  ℤcz 12601  ℝ⁺crp 13026  (,)cioo 13382  sincsin 16127  πcpi 16130

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-inf2 9612  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-fi 9373  df-sup 9404  df-inf 9405  df-oi 9474  df-card 9936  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12515  df-z 12602  df-dec 12722  df-uz 12873  df-q 12983  df-rp 13027  df-xneg 13147  df-xadd 13148  df-xmul 13149  df-ioo 13386  df-ioc 13387  df-ico 13388  df-icc 13389  df-fz 13546  df-fzo 13694  df-fl 13836  df-mod 13914  df-seq 14049  df-exp 14109  df-fac 14321  df-bc 14350  df-hash 14378  df-shft 15115  df-cj 15161  df-re 15162  df-im 15163  df-sqrt 15297  df-abs 15298  df-limsup 15533  df-clim 15550  df-rlim 15551  df-sum 15749  df-ef 16131  df-sin 16133  df-cos 16134  df-pi 16136  df-struct 17217  df-sets 17234  df-slot 17252  df-ndx 17264  df-base 17280  df-ress 17301  df-plusg 17333  df-mulr 17334  df-starv 17335  df-sca 17336  df-vsca 17337  df-ip 17338  df-tset 17339  df-ple 17340  df-ds 17342  df-unif 17343  df-hom 17344  df-cco 17345  df-rest 17485  df-topn 17486  df-0g 17504  df-gsum 17505  df-topgen 17506  df-pt 17507  df-prds 17510  df-xrs 17566  df-qtop 17571  df-imas 17572  df-xps 17574  df-mre 17648  df-mrc 17649  df-acs 17651  df-mgm 18708  df-sgrp 18787  df-mnd 18803  df-submnd 18852  df-mulg 19144  df-cntz 19397  df-cmn 19862  df-psmet 21529  df-xmet 21530  df-met 21531  df-bl 21532  df-mopn 21533  df-fbas 21534  df-fg 21535  df-cnfld 21538  df-top 23066  df-topon 23083  df-topsp 23105  df-bases 23118  df-cld 23191  df-ntr 23192  df-cls 23193  df-nei 23270  df-lp 23308  df-perf 23309  df-cn 23399  df-cnp 23400  df-haus 23487  df-tx 23734  df-hmeo 23927  df-fil 24018  df-fm 24110  df-flim 24111  df-flf 24112  df-xms 24492  df-ms 24493  df-tms 24494  df-cncf 25052  df-limc 26040  df-dv 26041

This theorem is used by:  fourierdlem43  46896  fourierdlem44  46897