Theorem sinaover2ne0 40873

Description: If 𝐴 in (0, 2π) then sin(𝐴 / 2) is not 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sinaover2ne0	⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)

Proof of Theorem sinaover2ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 12492	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 10384	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		2cnd 11428	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 2 ∈ ℂ)
4		picn 24610	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → π ∈ ℂ)
6		2ne0 11461	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 2 ≠ 0)
8		pire 24609	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
9		pipos 24611	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
10	8, 9	gt0ne0ii 10887	. . . . . 6 ⊢ π ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → π ≠ 0)
12	2, 3, 5, 7, 11	divdiv1d 11157	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ((𝐴 / 2) / π) = (𝐴 / (2 · π)))
13		0zd 11715	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 0 ∈ ℤ)
14		2re 11424	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14, 8	remulcli 10372	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (2 · π) ∈ ℝ)
17		0xr 10402	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 0 ∈ ℝ*)
19	16	rexrd 10405	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (2 · π) ∈ ℝ*)
20		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
21		ioogtlb 40515	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π))) → 0 < 𝐴)
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1496	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 0 < 𝐴)
23		2pos 11460	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
24	14, 8, 23, 9	mulgt0ii 10488	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (2 · π)
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 0 < (2 · π))
26	1, 16, 22, 25	divgt0d 11288	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 0 < (𝐴 / (2 · π)))
27		1rp 12115	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 1 ∈ ℝ+)
29	16, 25	elrpd 12152	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (2 · π) ∈ ℝ+)
30	2	div1d 11118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (𝐴 / 1) = 𝐴)
31		iooltub 40531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π))) → 𝐴 < (2 · π))
32	18, 19, 20, 31	syl3anc 1496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 𝐴 < (2 · π))
33	30, 32	eqbrtrd 4894	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (𝐴 / 1) < (2 · π))
34	1, 28, 29, 33	ltdiv23d 12222	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (𝐴 / (2 · π)) < 1)
35		1e0p1 11863	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0 + 1)
36	34, 35	syl6breq 4913	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1))
37		btwnnz 11780	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / (2 · π)) ∧ (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
38	13, 26, 36, 37	syl3anc 1496	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
39	12, 38	eqneltrd 2924	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ¬ ((𝐴 / 2) / π) ∈ ℤ)
40	2	halfcld 11602	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
41		sineq0 24672	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2)) = 0 ↔ ((𝐴 / 2) / π) ∈ ℤ))
42	40, 41	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ((sin‘(𝐴 / 2)) = 0 ↔ ((𝐴 / 2) / π) ∈ ℤ))
43	39, 42	mtbird 317	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ¬ (sin‘(𝐴 / 2)) = 0)
44	43	neqned 3005	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2998   class class class wbr 4872  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904  ℂcc 10249  ℝcr 10250  0cc0 10251  1c1 10252   + caddc 10254   · cmul 10256  ℝ^*cxr 10389   < clt 10390   / cdiv 11008  2c2 11405  ℤcz 11703  ℝ⁺crp 12111  (,)cioo 12462  sincsin 15165  πcpi 15168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329  ax-addf 10330  ax-mulf 10331

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-supp 7559  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-ixp 8175  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-fsupp 8544  df-fi 8585  df-sup 8616  df-inf 8617  df-oi 8683  df-card 9077  df-cda 9304  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-q 12071  df-rp 12112  df-xneg 12231  df-xadd 12232  df-xmul 12233  df-ioo 12466  df-ioc 12467  df-ico 12468  df-icc 12469  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-fl 12887  df-mod 12963  df-seq 13095  df-exp 13154  df-fac 13353  df-bc 13382  df-hash 13410  df-shft 14183  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-limsup 14578  df-clim 14595  df-rlim 14596  df-sum 14793  df-ef 15169  df-sin 15171  df-cos 15172  df-pi 15174  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-starv 16319  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-ip 16322  df-tset 16323  df-ple 16324  df-ds 16326  df-unif 16327  df-hom 16328  df-cco 16329  df-rest 16435  df-topn 16436  df-0g 16454  df-gsum 16455  df-topgen 16456  df-pt 16457  df-prds 16460  df-xrs 16514  df-qtop 16519  df-imas 16520  df-xps 16522  df-mre 16598  df-mrc 16599  df-acs 16601  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-submnd 17688  df-mulg 17894  df-cntz 18099  df-cmn 18547  df-psmet 20097  df-xmet 20098  df-met 20099  df-bl 20100  df-mopn 20101  df-fbas 20102  df-fg 20103  df-cnfld 20106  df-top 21068  df-topon 21085  df-topsp 21107  df-bases 21120  df-cld 21193  df-ntr 21194  df-cls 21195  df-nei 21272  df-lp 21310  df-perf 21311  df-cn 21401  df-cnp 21402  df-haus 21489  df-tx 21735  df-hmeo 21928  df-fil 22019  df-fm 22111  df-flim 22112  df-flf 22113  df-xms 22494  df-ms 22495  df-tms 22496  df-cncf 23050  df-limc 24028  df-dv 24029

This theorem is referenced by:  fourierdlem43  41160  fourierdlem44  41161