Theorem sinaover2ne0 45318

Description: If 𝐴 in (0, 2π) then sin(𝐴 / 2) is not 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sinaover2ne0	⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)

Proof of Theorem sinaover2ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13384	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11270	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		2cnd 12318	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 2 ∈ ℂ)
4		picn 26410	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → π ∈ ℂ)
6		2ne0 12344	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 2 ≠ 0)
8		pire 26409	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
9		pipos 26411	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
10	8, 9	gt0ne0ii 11778	. . . . . 6 ⊢ π ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → π ≠ 0)
12	2, 3, 5, 7, 11	divdiv1d 12049	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ((𝐴 / 2) / π) = (𝐴 / (2 · π)))
13		0zd 12598	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 0 ∈ ℤ)
14		2re 12314	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14, 8	remulcli 11258	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (2 · π) ∈ ℝ)
17		0xr 11289	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 0 ∈ ℝ*)
19	16	rexrd 11292	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (2 · π) ∈ ℝ*)
20		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
21		ioogtlb 44942	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π))) → 0 < 𝐴)
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 0 < 𝐴)
23		2pos 12343	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
24	14, 8, 23, 9	mulgt0ii 11375	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (2 · π)
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 0 < (2 · π))
26	1, 16, 22, 25	divgt0d 12177	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 0 < (𝐴 / (2 · π)))
27		1rp 13008	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 1 ∈ ℝ+)
29	16, 25	elrpd 13043	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (2 · π) ∈ ℝ+)
30	2	div1d 12010	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (𝐴 / 1) = 𝐴)
31		iooltub 44957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π))) → 𝐴 < (2 · π))
32	18, 19, 20, 31	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → 𝐴 < (2 · π))
33	30, 32	eqbrtrd 5165	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (𝐴 / 1) < (2 · π))
34	1, 28, 29, 33	ltdiv23d 13113	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (𝐴 / (2 · π)) < 1)
35		1e0p1 12747	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0 + 1)
36	34, 35	breqtrdi 5184	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1))
37		btwnnz 12666	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / (2 · π)) ∧ (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
38	13, 26, 36, 37	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
39	12, 38	eqneltrd 2845	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ¬ ((𝐴 / 2) / π) ∈ ℤ)
40	2	halfcld 12485	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
41		sineq0 26474	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2)) = 0 ↔ ((𝐴 / 2) / π) ∈ ℤ))
42	40, 41	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ((sin‘(𝐴 / 2)) = 0 ↔ ((𝐴 / 2) / π) ∈ ℤ))
43	39, 42	mtbird 324	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → ¬ (sin‘(𝐴 / 2)) = 0)
44	43	neqned 2937	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930   class class class wbr 5143  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  ℂcc 11134  ℝcr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   · cmul 11141  ℝ^*cxr 11275   < clt 11276   / cdiv 11899  2c2 12295  ℤcz 12586  ℝ⁺crp 13004  (,)cioo 13354  sincsin 16037  πcpi 16040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-bc 14292  df-hash 14320  df-shft 15044  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-ef 16041  df-sin 16043  df-cos 16044  df-pi 16046  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-limc 25811  df-dv 25812

This theorem is referenced by:  fourierdlem43  45600  fourierdlem44  45601