Theorem natrcl 18010

Description: Reverse closure for a natural transformation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
natrcl.1	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
natrcl	⊢ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) → (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐷)))

Proof of Theorem natrcl

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑎 𝑔 ℎ 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		natrcl.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
4		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5		eqid 2769	. . 3 ⊢ (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	natfval 18006	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷), 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ⦋(1st ‘𝑓) / 𝑟⦌⦋(1st ‘𝑔) / 𝑠⦌{𝑎 ∈ X𝑥 ∈ (Base‘𝐶)((𝑟‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝑠‘𝑥)) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)∀ℎ ∈ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)((𝑎‘𝑦)(⟨(𝑟‘𝑥), (𝑟‘𝑦)⟩(comp‘𝐷)(𝑠‘𝑦))((𝑥(2nd ‘𝑓)𝑦)‘ℎ)) = (((𝑥(2nd ‘𝑔)𝑦)‘ℎ)(⟨(𝑟‘𝑥), (𝑠‘𝑥)⟩(comp‘𝐷)(𝑠‘𝑦))(𝑎‘𝑥))})
7	6	elmpocl 7652	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) → (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  {crab 3422  ⦋csb 3859  ⟨cop 4598  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1^st c1st 7984  2^nd c2nd 7985  Xcixp 8895  Basecbs 17269  Hom chom 17321  compcco 17322   Func cfunc 17911   Nat cnat 18001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-ixp 8896  df-func 17915  df-nat 18003

This theorem is referenced by:  nat1st2nd  18011  natixp  18012  nati  18015  fucco  18022  fuccocl  18024  fuclid  18026  fucrid  18027  fucass  18028  natrcl2  49922  natrcl3  49923  natoppf2  49928  natoppfb  49929  xpcfucco2  49954  fuco22nat  50044  fuco22a  50048  fucocolem1  50051  fucocolem2  50052  fucocolem3  50053  fucocolem4  50054  fucoco  50055  prcof21a  50089  fucoppcco  50107  lanup  50339  ranup  50340  islmd  50363  iscmd  50364