Theorem natrcl 18154

Description: Reverse closure for a natural transformation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
natrcl.1	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
natrcl	⊢ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) → (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐷)))

Proof of Theorem natrcl

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑎 𝑔 ℎ 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		natrcl.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	natfval 18150	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷), 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ⦋(1st ‘𝑓) / 𝑟⦌⦋(1st ‘𝑔) / 𝑠⦌{𝑎 ∈ X𝑥 ∈ (Base‘𝐶)((𝑟‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝑠‘𝑥)) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)∀ℎ ∈ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)((𝑎‘𝑦)(⟨(𝑟‘𝑥), (𝑟‘𝑦)⟩(comp‘𝐷)(𝑠‘𝑦))((𝑥(2nd ‘𝑓)𝑦)‘ℎ)) = (((𝑥(2nd ‘𝑔)𝑦)‘ℎ)(⟨(𝑟‘𝑥), (𝑠‘𝑥)⟩(comp‘𝐷)(𝑠‘𝑦))(𝑎‘𝑥))})
7	6	elmpocl 7683	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) → (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416  ⦋csb 3851  ⟨cop 4838  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  1^st c1st 8020  2^nd c2nd 8021  Xcixp 8950  Basecbs 17413  Hom chom 17465  compcco 17466   Func cfunc 18055   Nat cnat 18145

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-ixp 8951  df-func 18059  df-nat 18147

This theorem is used by:  nat1st2nd  18155  natixp  18156  nati  18159  fucco  18166  fuccocl  18168  fuclid  18170  fucrid  18171  fucass  18172  natrcl2  50543  natrcl3  50544  natideq  50548  natoppf2  50555  natoppfb  50556  xpcfucco2  50581  fuco22nat  50671  fuco22a  50675  fucocolem1  50678  fucocolem2  50679  fucocolem3  50680  fucocolem4  50681  fucoco  50682  prcof21a  50729  fucoppcco  50747  lanup  51027  ranup  51028  islmd  51051  iscmd  51052