Theorem natrcl 17988

Description: Reverse closure for a natural transformation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
natrcl.1	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
natrcl	⊢ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) → (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐷)))

Proof of Theorem natrcl

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑎 𝑔 ℎ 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		natrcl.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
2		eqid 2764	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		eqid 2764	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
4		eqid 2764	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5		eqid 2764	. . 3 ⊢ (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	natfval 17984	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷), 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ⦋(1st ‘𝑓) / 𝑟⦌⦋(1st ‘𝑔) / 𝑠⦌{𝑎 ∈ X𝑥 ∈ (Base‘𝐶)((𝑟‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝑠‘𝑥)) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)∀ℎ ∈ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)((𝑎‘𝑦)(⟨(𝑟‘𝑥), (𝑟‘𝑦)⟩(comp‘𝐷)(𝑠‘𝑦))((𝑥(2nd ‘𝑓)𝑦)‘ℎ)) = (((𝑥(2nd ‘𝑔)𝑦)‘ℎ)(⟨(𝑟‘𝑥), (𝑠‘𝑥)⟩(comp‘𝐷)(𝑠‘𝑦))(𝑎‘𝑥))})
7	6	elmpocl 7639	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) → (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078  {crab 3416  ⦋csb 3854  ⟨cop 4590  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  1^st c1st 7970  2^nd c2nd 7971  Xcixp 8881  Basecbs 17247  Hom chom 17299  compcco 17300   Func cfunc 17889   Nat cnat 17979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-ixp 8882  df-func 17893  df-nat 17981

This theorem is referenced by:  nat1st2nd  17989  natixp  17990  nati  17993  fucco  18000  fuccocl  18002  fuclid  18004  fucrid  18005  fucass  18006  natrcl2  49850  natrcl3  49851  natoppf2  49856  natoppfb  49857  xpcfucco2  49882  fuco22nat  49972  fuco22a  49976  fucocolem1  49979  fucocolem2  49980  fucocolem3  49981  fucocolem4  49982  fucoco  49983  prcof21a  50017  fucoppcco  50035  lanup  50267  ranup  50268  islmd  50291  iscmd  50292