Theorem natrcl 17881

Description: Reverse closure for a natural transformation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
natrcl.1	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
natrcl	⊢ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) → (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐷)))

Proof of Theorem natrcl

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑎 𝑔 ℎ 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		natrcl.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	natfval 17877	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷), 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ⦋(1st ‘𝑓) / 𝑟⦌⦋(1st ‘𝑔) / 𝑠⦌{𝑎 ∈ X𝑥 ∈ (Base‘𝐶)((𝑟‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝑠‘𝑥)) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)∀ℎ ∈ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦)((𝑎‘𝑦)(⟨(𝑟‘𝑥), (𝑟‘𝑦)⟩(comp‘𝐷)(𝑠‘𝑦))((𝑥(2nd ‘𝑓)𝑦)‘ℎ)) = (((𝑥(2nd ‘𝑔)𝑦)‘ℎ)(⟨(𝑟‘𝑥), (𝑠‘𝑥)⟩(comp‘𝐷)(𝑠‘𝑦))(𝑎‘𝑥))})
7	6	elmpocl 7601	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) → (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3400  ⦋csb 3850  ⟨cop 4587  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  1^st c1st 7933  2^nd c2nd 7934  Xcixp 8839  Basecbs 17140  Hom chom 17192  compcco 17193   Func cfunc 17782   Nat cnat 17872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-ixp 8840  df-func 17786  df-nat 17874

This theorem is referenced by:  nat1st2nd  17882  natixp  17883  nati  17886  fucco  17893  fuccocl  17895  fuclid  17897  fucrid  17898  fucass  17899  natrcl2  49536  natrcl3  49537  natoppf2  49542  natoppfb  49543  xpcfucco2  49568  fuco22nat  49658  fuco22a  49662  fucocolem1  49665  fucocolem2  49666  fucocolem3  49667  fucocolem4  49668  fucoco  49669  prcof21a  49703  fucoppcco  49721  lanup  49953  ranup  49954  islmd  49977  iscmd  49978