MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fucco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fucco 17843
Description: Value of the composition of natural transformations. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fucco.q ๐‘„ = (๐ถ FuncCat ๐ท)
fucco.n ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
fucco.a ๐ด = (Baseโ€˜๐ถ)
fucco.o ยท = (compโ€˜๐ท)
fucco.x โˆ™ = (compโ€˜๐‘„)
fucco.f (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ (๐น๐‘๐บ))
fucco.g (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ (๐บ๐‘๐ป))
Assertion
Ref Expression
fucco (๐œ‘ โ†’ (๐‘†(โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆ™ ๐ป)๐‘…) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ,๐‘†   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ฅ,๐ท   ๐‘ฅ, ยท   ๐‘ฅ,๐น   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘ฅ,๐ป
Allowed substitution hints:   ๐‘„(๐‘ฅ)   โˆ™ (๐‘ฅ)   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem fucco
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘“ ๐‘” โ„Ž ๐‘ฃ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fucco.q . . . 4 ๐‘„ = (๐ถ FuncCat ๐ท)
2 eqid 2736 . . . 4 (๐ถ Func ๐ท) = (๐ถ Func ๐ท)
3 fucco.n . . . 4 ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
4 fucco.a . . . 4 ๐ด = (Baseโ€˜๐ถ)
5 fucco.o . . . 4 ยท = (compโ€˜๐ท)
6 fucco.f . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ (๐น๐‘๐บ))
73natrcl 17829 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†’ (๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)))
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)))
98simpld 495 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
10 funcrcl 17741 . . . . . 6 (๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†’ (๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐ท โˆˆ Cat))
119, 10syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐ท โˆˆ Cat))
1211simpld 495 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
1311simprd 496 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ Cat)
14 fucco.x . . . 4 โˆ™ = (compโ€˜๐‘„)
151, 2, 3, 4, 5, 12, 13, 14fuccofval 17839 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ = (๐‘ฃ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— (๐ถ Func ๐ท)), โ„Ž โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘“โฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘”โฆŒ(๐‘ โˆˆ (๐‘”๐‘โ„Ž), ๐‘Ž โˆˆ (๐‘“๐‘๐‘”) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))))))
16 fvexd 6854 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฃ) โˆˆ V)
17 simprl 769 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ ๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ)
1817fveq2d 6843 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฃ) = (1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ))
19 op1stg 7929 . . . . . . 7 ((๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐น)
208, 19syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐น)
2120adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐น)
2218, 21eqtrd 2776 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฃ) = ๐น)
23 fvexd 6854 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฃ) โˆˆ V)
2417adantr 481 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โ†’ ๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ)
2524fveq2d 6843 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฃ) = (2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ))
26 op2ndg 7930 . . . . . . . 8 ((๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐บ)
278, 26syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐บ)
2827ad2antrr 724 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐บ)
2925, 28eqtrd 2776 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฃ) = ๐บ)
30 simpr 485 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ๐‘” = ๐บ)
31 simprr 771 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ โ„Ž = ๐ป)
3231ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ โ„Ž = ๐ป)
3330, 32oveq12d 7371 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘”๐‘โ„Ž) = (๐บ๐‘๐ป))
34 simplr 767 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ๐‘“ = ๐น)
3534, 30oveq12d 7371 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘“๐‘๐‘”) = (๐น๐‘๐บ))
3634fveq2d 6843 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (1st โ€˜๐‘“) = (1st โ€˜๐น))
3736fveq1d 6841 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ))
3830fveq2d 6843 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (1st โ€˜๐‘”) = (1st โ€˜๐บ))
3938fveq1d 6841 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))
4037, 39opeq12d 4836 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ = โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ)
4132fveq2d 6843 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (1st โ€˜โ„Ž) = (1st โ€˜๐ป))
4241fveq1d 6841 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))
4340, 42oveq12d 7371 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ)) = (โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ)))
4443oveqd 7370 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))
4544mpteq2dv 5205 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))))
4633, 35, 45mpoeq123dv 7428 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐‘”๐‘โ„Ž), ๐‘Ž โˆˆ (๐‘“๐‘๐‘”) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))) = (๐‘ โˆˆ (๐บ๐‘๐ป), ๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))))
4723, 29, 46csbied2 3893 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โ†’ โฆ‹(2nd โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘”โฆŒ(๐‘ โˆˆ (๐‘”๐‘โ„Ž), ๐‘Ž โˆˆ (๐‘“๐‘๐‘”) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))) = (๐‘ โˆˆ (๐บ๐‘๐ป), ๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))))
4816, 22, 47csbied2 3893 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘“โฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘”โฆŒ(๐‘ โˆˆ (๐‘”๐‘โ„Ž), ๐‘Ž โˆˆ (๐‘“๐‘๐‘”) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))) = (๐‘ โˆˆ (๐บ๐‘๐ป), ๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))))
49 opelxpi 5668 . . . 4 ((๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)) โ†’ โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— (๐ถ Func ๐ท)))
508, 49syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— (๐ถ Func ๐ท)))
51 fucco.g . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ (๐บ๐‘๐ป))
523natrcl 17829 . . . . 5 (๐‘† โˆˆ (๐บ๐‘๐ป) โ†’ (๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐ป โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)))
5351, 52syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐ป โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)))
5453simprd 496 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
55 ovex 7386 . . . . 5 (๐บ๐‘๐ป) โˆˆ V
56 ovex 7386 . . . . 5 (๐น๐‘๐บ) โˆˆ V
5755, 56mpoex 8008 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (๐บ๐‘๐ป), ๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ V
5857a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐บ๐‘๐ป), ๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ V)
5915, 48, 50, 54, 58ovmpod 7503 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆ™ ๐ป) = (๐‘ โˆˆ (๐บ๐‘๐ป), ๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))))
60 simprl 769 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐‘† โˆง ๐‘Ž = ๐‘…)) โ†’ ๐‘ = ๐‘†)
6160fveq1d 6841 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐‘† โˆง ๐‘Ž = ๐‘…)) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜๐‘ฅ))
62 simprr 771 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐‘† โˆง ๐‘Ž = ๐‘…)) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘…)
6362fveq1d 6841 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐‘† โˆง ๐‘Ž = ๐‘…)) โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘…โ€˜๐‘ฅ))
6461, 63oveq12d 7371 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐‘† โˆง ๐‘Ž = ๐‘…)) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ)))
6564mpteq2dv 5205 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐‘† โˆง ๐‘Ž = ๐‘…)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))))
664fvexi 6853 . . . 4 ๐ด โˆˆ V
6766mptex 7169 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ V
6867a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ V)
6959, 65, 51, 6, 68ovmpod 7503 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†(โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆ™ ๐ป)๐‘…) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3443  โฆ‹csb 3853  โŸจcop 4590   โ†ฆ cmpt 5186   ร— cxp 5629  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7353   โˆˆ cmpo 7355  1st c1st 7915  2nd c2nd 7916  Basecbs 17075  compcco 17137  Catccat 17536   Func cfunc 17732   Nat cnat 17820   FuncCat cfuc 17821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-fz 13417  df-struct 17011  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-hom 17149  df-cco 17150  df-func 17736  df-nat 17822  df-fuc 17823
This theorem is referenced by:  fuccoval  17844  fuccocl  17845  fuclid  17847  fucrid  17848  fucass  17849  fucsect  17853  curfcl  18113
  Copyright terms: Public domain W3C validator