MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fucco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fucco 17954
Description: Value of the composition of natural transformations. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fucco.q ๐‘„ = (๐ถ FuncCat ๐ท)
fucco.n ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
fucco.a ๐ด = (Baseโ€˜๐ถ)
fucco.o ยท = (compโ€˜๐ท)
fucco.x โˆ™ = (compโ€˜๐‘„)
fucco.f (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ (๐น๐‘๐บ))
fucco.g (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ (๐บ๐‘๐ป))
Assertion
Ref Expression
fucco (๐œ‘ โ†’ (๐‘†(โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆ™ ๐ป)๐‘…) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ,๐‘†   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ฅ,๐ท   ๐‘ฅ, ยท   ๐‘ฅ,๐น   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘ฅ,๐ป
Allowed substitution hints:   ๐‘„(๐‘ฅ)   โˆ™ (๐‘ฅ)   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem fucco
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘“ ๐‘” โ„Ž ๐‘ฃ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fucco.q . . . 4 ๐‘„ = (๐ถ FuncCat ๐ท)
2 eqid 2728 . . . 4 (๐ถ Func ๐ท) = (๐ถ Func ๐ท)
3 fucco.n . . . 4 ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
4 fucco.a . . . 4 ๐ด = (Baseโ€˜๐ถ)
5 fucco.o . . . 4 ยท = (compโ€˜๐ท)
6 fucco.f . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ (๐น๐‘๐บ))
73natrcl 17940 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†’ (๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)))
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)))
98simpld 494 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
10 funcrcl 17849 . . . . . 6 (๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†’ (๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐ท โˆˆ Cat))
119, 10syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐ท โˆˆ Cat))
1211simpld 494 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
1311simprd 495 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ Cat)
14 fucco.x . . . 4 โˆ™ = (compโ€˜๐‘„)
151, 2, 3, 4, 5, 12, 13, 14fuccofval 17950 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ = (๐‘ฃ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— (๐ถ Func ๐ท)), โ„Ž โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘“โฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘”โฆŒ(๐‘ โˆˆ (๐‘”๐‘โ„Ž), ๐‘Ž โˆˆ (๐‘“๐‘๐‘”) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))))))
16 fvexd 6912 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฃ) โˆˆ V)
17 simprl 770 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ ๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ)
1817fveq2d 6901 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฃ) = (1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ))
19 op1stg 8005 . . . . . . 7 ((๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐น)
208, 19syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐น)
2120adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐น)
2218, 21eqtrd 2768 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฃ) = ๐น)
23 fvexd 6912 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฃ) โˆˆ V)
2417adantr 480 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โ†’ ๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ)
2524fveq2d 6901 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฃ) = (2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ))
26 op2ndg 8006 . . . . . . . 8 ((๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐บ)
278, 26syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐บ)
2827ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐บ)
2925, 28eqtrd 2768 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฃ) = ๐บ)
30 simpr 484 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ๐‘” = ๐บ)
31 simprr 772 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ โ„Ž = ๐ป)
3231ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ โ„Ž = ๐ป)
3330, 32oveq12d 7438 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘”๐‘โ„Ž) = (๐บ๐‘๐ป))
34 simplr 768 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ๐‘“ = ๐น)
3534, 30oveq12d 7438 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘“๐‘๐‘”) = (๐น๐‘๐บ))
3634fveq2d 6901 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (1st โ€˜๐‘“) = (1st โ€˜๐น))
3736fveq1d 6899 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ))
3830fveq2d 6901 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (1st โ€˜๐‘”) = (1st โ€˜๐บ))
3938fveq1d 6899 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))
4037, 39opeq12d 4882 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ = โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ)
4132fveq2d 6901 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (1st โ€˜โ„Ž) = (1st โ€˜๐ป))
4241fveq1d 6899 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))
4340, 42oveq12d 7438 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ)) = (โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ)))
4443oveqd 7437 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))
4544mpteq2dv 5250 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))))
4633, 35, 45mpoeq123dv 7495 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐‘”๐‘โ„Ž), ๐‘Ž โˆˆ (๐‘“๐‘๐‘”) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))) = (๐‘ โˆˆ (๐บ๐‘๐ป), ๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))))
4723, 29, 46csbied2 3932 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โ†’ โฆ‹(2nd โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘”โฆŒ(๐‘ โˆˆ (๐‘”๐‘โ„Ž), ๐‘Ž โˆˆ (๐‘“๐‘๐‘”) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))) = (๐‘ โˆˆ (๐บ๐‘๐ป), ๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))))
4816, 22, 47csbied2 3932 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘“โฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘”โฆŒ(๐‘ โˆˆ (๐‘”๐‘โ„Ž), ๐‘Ž โˆˆ (๐‘“๐‘๐‘”) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))) = (๐‘ โˆˆ (๐บ๐‘๐ป), ๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))))
49 opelxpi 5715 . . . 4 ((๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)) โ†’ โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— (๐ถ Func ๐ท)))
508, 49syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— (๐ถ Func ๐ท)))
51 fucco.g . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ (๐บ๐‘๐ป))
523natrcl 17940 . . . . 5 (๐‘† โˆˆ (๐บ๐‘๐ป) โ†’ (๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐ป โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)))
5351, 52syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐ป โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)))
5453simprd 495 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
55 ovex 7453 . . . . 5 (๐บ๐‘๐ป) โˆˆ V
56 ovex 7453 . . . . 5 (๐น๐‘๐บ) โˆˆ V
5755, 56mpoex 8084 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (๐บ๐‘๐ป), ๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ V
5857a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐บ๐‘๐ป), ๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ V)
5915, 48, 50, 54, 58ovmpod 7573 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆ™ ๐ป) = (๐‘ โˆˆ (๐บ๐‘๐ป), ๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))))
60 simprl 770 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐‘† โˆง ๐‘Ž = ๐‘…)) โ†’ ๐‘ = ๐‘†)
6160fveq1d 6899 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐‘† โˆง ๐‘Ž = ๐‘…)) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜๐‘ฅ))
62 simprr 772 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐‘† โˆง ๐‘Ž = ๐‘…)) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘…)
6362fveq1d 6899 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐‘† โˆง ๐‘Ž = ๐‘…)) โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘…โ€˜๐‘ฅ))
6461, 63oveq12d 7438 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐‘† โˆง ๐‘Ž = ๐‘…)) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ)))
6564mpteq2dv 5250 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐‘† โˆง ๐‘Ž = ๐‘…)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))))
664fvexi 6911 . . . 4 ๐ด โˆˆ V
6766mptex 7235 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ V
6867a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ V)
6959, 65, 51, 6, 68ovmpod 7573 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†(โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆ™ ๐ป)๐‘…) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  Vcvv 3471  โฆ‹csb 3892  โŸจcop 4635   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5676  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   โˆˆ cmpo 7422  1st c1st 7991  2nd c2nd 7992  Basecbs 17180  compcco 17245  Catccat 17644   Func cfunc 17840   Nat cnat 17931   FuncCat cfuc 17932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-hom 17257  df-cco 17258  df-func 17844  df-nat 17933  df-fuc 17934
This theorem is referenced by:  fuccoval  17955  fuccocl  17956  fuclid  17958  fucrid  17959  fucass  17960  fucsect  17964  curfcl  18224
  Copyright terms: Public domain W3C validator