MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fucco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fucco 17811
Description: Value of the composition of natural transformations. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fucco.q ๐‘„ = (๐ถ FuncCat ๐ท)
fucco.n ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
fucco.a ๐ด = (Baseโ€˜๐ถ)
fucco.o ยท = (compโ€˜๐ท)
fucco.x โˆ™ = (compโ€˜๐‘„)
fucco.f (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ (๐น๐‘๐บ))
fucco.g (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ (๐บ๐‘๐ป))
Assertion
Ref Expression
fucco (๐œ‘ โ†’ (๐‘†(โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆ™ ๐ป)๐‘…) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ,๐‘†   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ฅ,๐ท   ๐‘ฅ, ยท   ๐‘ฅ,๐น   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘ฅ,๐ป
Allowed substitution hints:   ๐‘„(๐‘ฅ)   โˆ™ (๐‘ฅ)   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem fucco
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘“ ๐‘” โ„Ž ๐‘ฃ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fucco.q . . . 4 ๐‘„ = (๐ถ FuncCat ๐ท)
2 eqid 2737 . . . 4 (๐ถ Func ๐ท) = (๐ถ Func ๐ท)
3 fucco.n . . . 4 ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
4 fucco.a . . . 4 ๐ด = (Baseโ€˜๐ถ)
5 fucco.o . . . 4 ยท = (compโ€˜๐ท)
6 fucco.f . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ (๐น๐‘๐บ))
73natrcl 17797 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†’ (๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)))
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)))
98simpld 495 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
10 funcrcl 17709 . . . . . 6 (๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†’ (๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐ท โˆˆ Cat))
119, 10syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐ท โˆˆ Cat))
1211simpld 495 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
1311simprd 496 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ Cat)
14 fucco.x . . . 4 โˆ™ = (compโ€˜๐‘„)
151, 2, 3, 4, 5, 12, 13, 14fuccofval 17807 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ = (๐‘ฃ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— (๐ถ Func ๐ท)), โ„Ž โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘“โฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘”โฆŒ(๐‘ โˆˆ (๐‘”๐‘โ„Ž), ๐‘Ž โˆˆ (๐‘“๐‘๐‘”) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))))))
16 fvexd 6854 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฃ) โˆˆ V)
17 simprl 769 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ ๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ)
1817fveq2d 6843 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฃ) = (1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ))
19 op1stg 7925 . . . . . . 7 ((๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐น)
208, 19syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐น)
2120adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐น)
2218, 21eqtrd 2777 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฃ) = ๐น)
23 fvexd 6854 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฃ) โˆˆ V)
2417adantr 481 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โ†’ ๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ)
2524fveq2d 6843 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฃ) = (2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ))
26 op2ndg 7926 . . . . . . . 8 ((๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐บ)
278, 26syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐บ)
2827ad2antrr 724 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐บ)
2925, 28eqtrd 2777 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฃ) = ๐บ)
30 simpr 485 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ๐‘” = ๐บ)
31 simprr 771 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ โ„Ž = ๐ป)
3231ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ โ„Ž = ๐ป)
3330, 32oveq12d 7369 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘”๐‘โ„Ž) = (๐บ๐‘๐ป))
34 simplr 767 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ๐‘“ = ๐น)
3534, 30oveq12d 7369 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘“๐‘๐‘”) = (๐น๐‘๐บ))
3634fveq2d 6843 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (1st โ€˜๐‘“) = (1st โ€˜๐น))
3736fveq1d 6841 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ))
3830fveq2d 6843 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (1st โ€˜๐‘”) = (1st โ€˜๐บ))
3938fveq1d 6841 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))
4037, 39opeq12d 4836 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ = โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ)
4132fveq2d 6843 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (1st โ€˜โ„Ž) = (1st โ€˜๐ป))
4241fveq1d 6841 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))
4340, 42oveq12d 7369 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ)) = (โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ)))
4443oveqd 7368 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))
4544mpteq2dv 5205 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))))
4633, 35, 45mpoeq123dv 7426 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐‘”๐‘โ„Ž), ๐‘Ž โˆˆ (๐‘“๐‘๐‘”) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))) = (๐‘ โˆˆ (๐บ๐‘๐ป), ๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))))
4723, 29, 46csbied2 3893 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โ†’ โฆ‹(2nd โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘”โฆŒ(๐‘ โˆˆ (๐‘”๐‘โ„Ž), ๐‘Ž โˆˆ (๐‘“๐‘๐‘”) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))) = (๐‘ โˆˆ (๐บ๐‘๐ป), ๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))))
4816, 22, 47csbied2 3893 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘“โฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘”โฆŒ(๐‘ โˆˆ (๐‘”๐‘โ„Ž), ๐‘Ž โˆˆ (๐‘“๐‘๐‘”) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))) = (๐‘ โˆˆ (๐บ๐‘๐ป), ๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))))
49 opelxpi 5668 . . . 4 ((๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)) โ†’ โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— (๐ถ Func ๐ท)))
508, 49syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— (๐ถ Func ๐ท)))
51 fucco.g . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ (๐บ๐‘๐ป))
523natrcl 17797 . . . . 5 (๐‘† โˆˆ (๐บ๐‘๐ป) โ†’ (๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐ป โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)))
5351, 52syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐ป โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)))
5453simprd 496 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
55 ovex 7384 . . . . 5 (๐บ๐‘๐ป) โˆˆ V
56 ovex 7384 . . . . 5 (๐น๐‘๐บ) โˆˆ V
5755, 56mpoex 8004 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (๐บ๐‘๐ป), ๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ V
5857a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐บ๐‘๐ป), ๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ V)
5915, 48, 50, 54, 58ovmpod 7501 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆ™ ๐ป) = (๐‘ โˆˆ (๐บ๐‘๐ป), ๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))))
60 simprl 769 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐‘† โˆง ๐‘Ž = ๐‘…)) โ†’ ๐‘ = ๐‘†)
6160fveq1d 6841 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐‘† โˆง ๐‘Ž = ๐‘…)) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜๐‘ฅ))
62 simprr 771 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐‘† โˆง ๐‘Ž = ๐‘…)) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘…)
6362fveq1d 6841 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐‘† โˆง ๐‘Ž = ๐‘…)) โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘…โ€˜๐‘ฅ))
6461, 63oveq12d 7369 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐‘† โˆง ๐‘Ž = ๐‘…)) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ)))
6564mpteq2dv 5205 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐‘† โˆง ๐‘Ž = ๐‘…)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))))
664fvexi 6853 . . . 4 ๐ด โˆˆ V
6766mptex 7169 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ V
6867a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ V)
6959, 65, 51, 6, 68ovmpod 7501 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†(โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆ™ ๐ป)๐‘…) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3443  โฆ‹csb 3853  โŸจcop 4590   โ†ฆ cmpt 5186   ร— cxp 5629  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   โˆˆ cmpo 7353  1st c1st 7911  2nd c2nd 7912  Basecbs 17043  compcco 17105  Catccat 17504   Func cfunc 17700   Nat cnat 17788   FuncCat cfuc 17789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-fz 13379  df-struct 16979  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-hom 17117  df-cco 17118  df-func 17704  df-nat 17790  df-fuc 17791
This theorem is referenced by:  fuccoval  17812  fuccocl  17813  fuclid  17815  fucrid  17816  fucass  17817  fucsect  17821  curfcl  18081
  Copyright terms: Public domain W3C validator