MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fucco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fucco 17923
Description: Value of the composition of natural transformations. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fucco.q ๐‘„ = (๐ถ FuncCat ๐ท)
fucco.n ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
fucco.a ๐ด = (Baseโ€˜๐ถ)
fucco.o ยท = (compโ€˜๐ท)
fucco.x โˆ™ = (compโ€˜๐‘„)
fucco.f (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ (๐น๐‘๐บ))
fucco.g (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ (๐บ๐‘๐ป))
Assertion
Ref Expression
fucco (๐œ‘ โ†’ (๐‘†(โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆ™ ๐ป)๐‘…) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ,๐‘†   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ฅ,๐ท   ๐‘ฅ, ยท   ๐‘ฅ,๐น   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘ฅ,๐ป
Allowed substitution hints:   ๐‘„(๐‘ฅ)   โˆ™ (๐‘ฅ)   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem fucco
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘“ ๐‘” โ„Ž ๐‘ฃ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fucco.q . . . 4 ๐‘„ = (๐ถ FuncCat ๐ท)
2 eqid 2724 . . . 4 (๐ถ Func ๐ท) = (๐ถ Func ๐ท)
3 fucco.n . . . 4 ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
4 fucco.a . . . 4 ๐ด = (Baseโ€˜๐ถ)
5 fucco.o . . . 4 ยท = (compโ€˜๐ท)
6 fucco.f . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ (๐น๐‘๐บ))
73natrcl 17909 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†’ (๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)))
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)))
98simpld 494 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
10 funcrcl 17818 . . . . . 6 (๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†’ (๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐ท โˆˆ Cat))
119, 10syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐ท โˆˆ Cat))
1211simpld 494 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
1311simprd 495 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ Cat)
14 fucco.x . . . 4 โˆ™ = (compโ€˜๐‘„)
151, 2, 3, 4, 5, 12, 13, 14fuccofval 17919 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ = (๐‘ฃ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— (๐ถ Func ๐ท)), โ„Ž โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘“โฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘”โฆŒ(๐‘ โˆˆ (๐‘”๐‘โ„Ž), ๐‘Ž โˆˆ (๐‘“๐‘๐‘”) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))))))
16 fvexd 6897 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฃ) โˆˆ V)
17 simprl 768 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ ๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ)
1817fveq2d 6886 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฃ) = (1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ))
19 op1stg 7981 . . . . . . 7 ((๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐น)
208, 19syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐น)
2120adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐น)
2218, 21eqtrd 2764 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฃ) = ๐น)
23 fvexd 6897 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฃ) โˆˆ V)
2417adantr 480 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โ†’ ๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ)
2524fveq2d 6886 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฃ) = (2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ))
26 op2ndg 7982 . . . . . . . 8 ((๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐บ)
278, 26syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐บ)
2827ad2antrr 723 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐บ)
2925, 28eqtrd 2764 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฃ) = ๐บ)
30 simpr 484 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ๐‘” = ๐บ)
31 simprr 770 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ โ„Ž = ๐ป)
3231ad2antrr 723 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ โ„Ž = ๐ป)
3330, 32oveq12d 7420 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘”๐‘โ„Ž) = (๐บ๐‘๐ป))
34 simplr 766 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ๐‘“ = ๐น)
3534, 30oveq12d 7420 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘“๐‘๐‘”) = (๐น๐‘๐บ))
3634fveq2d 6886 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (1st โ€˜๐‘“) = (1st โ€˜๐น))
3736fveq1d 6884 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ))
3830fveq2d 6886 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (1st โ€˜๐‘”) = (1st โ€˜๐บ))
3938fveq1d 6884 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ))
4037, 39opeq12d 4874 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ = โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ)
4132fveq2d 6886 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (1st โ€˜โ„Ž) = (1st โ€˜๐ป))
4241fveq1d 6884 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))
4340, 42oveq12d 7420 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ)) = (โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ)))
4443oveqd 7419 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))
4544mpteq2dv 5241 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))))
4633, 35, 45mpoeq123dv 7477 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐‘”๐‘โ„Ž), ๐‘Ž โˆˆ (๐‘“๐‘๐‘”) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))) = (๐‘ โˆˆ (๐บ๐‘๐ป), ๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))))
4723, 29, 46csbied2 3926 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โˆง ๐‘“ = ๐น) โ†’ โฆ‹(2nd โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘”โฆŒ(๐‘ โˆˆ (๐‘”๐‘โ„Ž), ๐‘Ž โˆˆ (๐‘“๐‘๐‘”) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))) = (๐‘ โˆˆ (๐บ๐‘๐ป), ๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))))
4816, 22, 47csbied2 3926 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ = โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆง โ„Ž = ๐ป)) โ†’ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘“โฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘”โฆŒ(๐‘ โˆˆ (๐‘”๐‘โ„Ž), ๐‘Ž โˆˆ (๐‘“๐‘๐‘”) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐‘”)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜โ„Ž)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))) = (๐‘ โˆˆ (๐บ๐‘๐ป), ๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))))
49 opelxpi 5704 . . . 4 ((๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)) โ†’ โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— (๐ถ Func ๐ท)))
508, 49syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— (๐ถ Func ๐ท)))
51 fucco.g . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ (๐บ๐‘๐ป))
523natrcl 17909 . . . . 5 (๐‘† โˆˆ (๐บ๐‘๐ป) โ†’ (๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐ป โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)))
5351, 52syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐ป โˆˆ (๐ถ Func ๐ท)))
5453simprd 495 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
55 ovex 7435 . . . . 5 (๐บ๐‘๐ป) โˆˆ V
56 ovex 7435 . . . . 5 (๐น๐‘๐บ) โˆˆ V
5755, 56mpoex 8060 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (๐บ๐‘๐ป), ๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ V
5857a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐บ๐‘๐ป), ๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ V)
5915, 48, 50, 54, 58ovmpod 7553 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆ™ ๐ป) = (๐‘ โˆˆ (๐บ๐‘๐ป), ๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)))))
60 simprl 768 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐‘† โˆง ๐‘Ž = ๐‘…)) โ†’ ๐‘ = ๐‘†)
6160fveq1d 6884 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐‘† โˆง ๐‘Ž = ๐‘…)) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜๐‘ฅ))
62 simprr 770 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐‘† โˆง ๐‘Ž = ๐‘…)) โ†’ ๐‘Ž = ๐‘…)
6362fveq1d 6884 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐‘† โˆง ๐‘Ž = ๐‘…)) โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘…โ€˜๐‘ฅ))
6461, 63oveq12d 7420 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐‘† โˆง ๐‘Ž = ๐‘…)) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ)))
6564mpteq2dv 5241 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐‘† โˆง ๐‘Ž = ๐‘…)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘Žโ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))))
664fvexi 6896 . . . 4 ๐ด โˆˆ V
6766mptex 7217 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ V
6867a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ V)
6959, 65, 51, 6, 68ovmpod 7553 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†(โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆ™ ๐ป)๐‘…) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3466  โฆ‹csb 3886  โŸจcop 4627   โ†ฆ cmpt 5222   ร— cxp 5665  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   โˆˆ cmpo 7404  1st c1st 7967  2nd c2nd 7968  Basecbs 17149  compcco 17214  Catccat 17613   Func cfunc 17809   Nat cnat 17900   FuncCat cfuc 17901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-hom 17226  df-cco 17227  df-func 17813  df-nat 17902  df-fuc 17903
This theorem is referenced by:  fuccoval  17924  fuccocl  17925  fuclid  17927  fucrid  17928  fucass  17929  fucsect  17933  curfcl  18193
  Copyright terms: Public domain W3C validator