Theorem concl 49654

Description: A natural transformation from a constant functor of an object maps to morphisms whose domain is the object. Therefore, the range of the second component of a cone are morphisms with a common domain. (Contributed by Zhi Wang, 13-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
islmd.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
islmd.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
islmd.n	⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐶)
islmd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
concl.k	⊢ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
concl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
concl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
concl.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
concl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐾𝑁𝐹))

Assertion

Ref	Expression
concl	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝑌) ∈ (𝑋𝐻((1st ‘𝐹)‘𝑌)))

Proof of Theorem concl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islmd.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐶)
2		concl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐾𝑁𝐹))
3	1, 2	nat1st2nd 17923	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (⟨(1st ‘𝐾), (2nd ‘𝐾)⟩𝑁⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩))
4		islmd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
5		concl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6		concl.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7	1, 3, 4, 5, 6	natcl 17925	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝑌) ∈ (((1st ‘𝐾)‘𝑌)𝐻((1st ‘𝐹)‘𝑌)))
8		islmd.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
9	1, 3	natrcl3 49218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐷 Func 𝐶)(2nd ‘𝐹))
10	9	funcrcl3 49073	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
11	9	funcrcl2 49072	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
12		islmd.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
13		concl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
14		concl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
15	8, 10, 11, 12, 13, 14, 4, 6	diag11 18211	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐾)‘𝑌) = 𝑋)
16	15	oveq1d 7405	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1st ‘𝐾)‘𝑌)𝐻((1st ‘𝐹)‘𝑌)) = (𝑋𝐻((1st ‘𝐹)‘𝑌)))
17	7, 16	eleqtrd 2831	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝑌) ∈ (𝑋𝐻((1st ‘𝐹)‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  1^st c1st 7969  2^nd c2nd 7970  Basecbs 17186  Hom chom 17238   Nat cnat 17913  Δ_funccdiag 18180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-hom 17251  df-cco 17252  df-cat 17636  df-cid 17637  df-func 17827  df-nat 17915  df-xpc 18140  df-1stf 18141  df-curf 18182  df-diag 18184

This theorem is referenced by:  concom  49656