Theorem concl 49479

Description: A natural transformation from a constant functor of an object maps to morphisms whose domain is the object. Therefore, the range of the second component of a cone are morphisms with a common domain. (Contributed by Zhi Wang, 13-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
islmd.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
islmd.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
islmd.n	⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐶)
islmd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
concl.k	⊢ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
concl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
concl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
concl.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
concl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐾𝑁𝐹))

Assertion

Ref	Expression
concl	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝑌) ∈ (𝑋𝐻((1st ‘𝐹)‘𝑌)))

Proof of Theorem concl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islmd.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐶)
2		concl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐾𝑁𝐹))
3	1, 2	nat1st2nd 17965	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (⟨(1st ‘𝐾), (2nd ‘𝐾)⟩𝑁⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩))
4		islmd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
5		concl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6		concl.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7	1, 3, 4, 5, 6	natcl 17967	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝑌) ∈ (((1st ‘𝐾)‘𝑌)𝐻((1st ‘𝐹)‘𝑌)))
8		islmd.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
9	1, 3	natrcl3 49093	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐷 Func 𝐶)(2nd ‘𝐹))
10	9	funcrcl3 48993	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
11	9	funcrcl2 48992	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
12		islmd.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
13		concl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
14		concl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
15	8, 10, 11, 12, 13, 14, 4, 6	diag11 18253	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐾)‘𝑌) = 𝑋)
16	15	oveq1d 7418	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1st ‘𝐾)‘𝑌)𝐻((1st ‘𝐹)‘𝑌)) = (𝑋𝐻((1st ‘𝐹)‘𝑌)))
17	7, 16	eleqtrd 2836	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝑌) ∈ (𝑋𝐻((1st ‘𝐹)‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  1^st c1st 7984  2^nd c2nd 7985  Basecbs 17226  Hom chom 17280   Nat cnat 17955  Δ_funccdiag 18222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-fz 13523  df-struct 17164  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-hom 17293  df-cco 17294  df-cat 17678  df-cid 17679  df-func 17869  df-nat 17957  df-xpc 18182  df-1stf 18183  df-curf 18224  df-diag 18226

This theorem is referenced by:  concom  49481