Theorem nltled 11314

Description: 'Not less than ' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
nltled.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
nltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem nltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	lenltd 11310	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	1, 4	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5110  ℝcr 11059   < clt 11198   ≤ cle 11199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5111  df-opab 5173  df-xp 5644  df-cnv 5646  df-xr 11202  df-le 11204

This theorem is referenced by:  dedekind  11327  suprub  12125  infrelb  12149  suprzub  12873  prodge0rd  13031  seqf1olem1  13957  bitsfzolem  16325  bitsmod  16327  reconnlem2  24227  ioombl1lem4  24962  dgrub  25632  dgrlb  25634  suppssnn0  31777  1smat1  32474  metakunt28  40677  metakunt30  40679  imo72b2  42567  dvbdfbdioolem2  44290  stoweidlem14  44375  fourierdlem10  44478  fourierdlem12  44480  fourierdlem20  44488  fourierdlem24  44492  fourierdlem50  44517  fourierdlem54  44521  fourierdlem63  44530  fourierdlem65  44532  fourierdlem75  44542  fourierdlem79  44546  fouriersw  44592  etransclem3  44598  etransclem7  44602  etransclem10  44605  etransclem15  44610  etransclem20  44615  etransclem21  44616  etransclem22  44617  etransclem24  44619  etransclem25  44620  etransclem27  44622  etransclem32  44627