Theorem nltled 10784

Description: 'Not less than ' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
nltled.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
nltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem nltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	lenltd 10780	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	1, 4	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  ℝcr 10530   < clt 10669   ≤ cle 10670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-br 5059  df-opab 5121  df-xp 5555  df-cnv 5557  df-xr 10673  df-le 10675

This theorem is referenced by:  dedekind  10797  suprub  11596  infrelb  11620  suprzub  12333  prodge0rd  12490  seqf1olem1  13403  bitsfzolem  15777  bitsmod  15779  reconnlem2  23429  ioombl1lem4  24156  dgrub  24818  dgrlb  24820  1smat1  31064  imo72b2  40518  dvbdfbdioolem2  42207  stoweidlem14  42293  fourierdlem10  42396  fourierdlem12  42398  fourierdlem20  42406  fourierdlem24  42410  fourierdlem50  42435  fourierdlem54  42439  fourierdlem63  42448  fourierdlem65  42450  fourierdlem75  42460  fourierdlem79  42464  fouriersw  42510  etransclem3  42516  etransclem7  42520  etransclem10  42523  etransclem15  42528  etransclem20  42533  etransclem21  42534  etransclem22  42535  etransclem24  42537  etransclem25  42538  etransclem27  42540  etransclem32  42545