Theorem nltled 11490

Description: 'Not less than ' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
nltled.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
nltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem nltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	lenltd 11486	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	1, 4	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ℝcr 11229   < clt 11373   ≤ cle 11374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5172  df-xp 5662  df-cnv 5664  df-xr 11377  df-le 11379

This theorem is used by:  dedekind  11503  suprub  12308  infrelb  12332  suprzub  13096  prodge0rd  13259  seqf1olem1  14214  bitsfzolem  16636  bitsmod  16638  reconnlem2  25180  ioombl1lem4  25915  dgrub  26586  dgrlb  26588  suppssnn0  33470  constrsqrtcl  34494  1smat1  34519  sn-suprubd  43762  imo72b2  45375  dvbdfbdioolem2  47154  stoweidlem14  47239  fourierdlem10  47342  fourierdlem12  47344  fourierdlem20  47352  fourierdlem24  47356  fourierdlem50  47381  fourierdlem54  47385  fourierdlem63  47394  fourierdlem65  47396  fourierdlem75  47406  fourierdlem79  47410  fouriersw  47456  etransclem3  47462  etransclem7  47466  etransclem10  47469  etransclem15  47474  etransclem20  47479  etransclem21  47480  etransclem22  47481  etransclem24  47483  etransclem25  47484  etransclem27  47486  etransclem32  47491