Theorem nltled 10779

Description: 'Not less than ' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
nltled.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
nltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem nltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	lenltd 10775	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	1, 4	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ℝcr 10525   < clt 10664   ≤ cle 10665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-cnv 5527  df-xr 10668  df-le 10670

This theorem is referenced by:  dedekind  10792  suprub  11589  infrelb  11613  suprzub  12327  prodge0rd  12484  seqf1olem1  13405  bitsfzolem  15773  bitsmod  15775  reconnlem2  23432  ioombl1lem4  24165  dgrub  24831  dgrlb  24833  1smat1  31157  metakunt28  39377  metakunt30  39379  imo72b2  40878  dvbdfbdioolem2  42571  stoweidlem14  42656  fourierdlem10  42759  fourierdlem12  42761  fourierdlem20  42769  fourierdlem24  42773  fourierdlem50  42798  fourierdlem54  42802  fourierdlem63  42811  fourierdlem65  42813  fourierdlem75  42823  fourierdlem79  42827  fouriersw  42873  etransclem3  42879  etransclem7  42883  etransclem10  42886  etransclem15  42891  etransclem20  42896  etransclem21  42897  etransclem22  42898  etransclem24  42900  etransclem25  42901  etransclem27  42903  etransclem32  42908