Theorem nltled 11463

Description: 'Not less than ' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
nltled.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
nltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem nltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	lenltd 11459	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	1, 4	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ℝcr 11202   < clt 11346   ≤ cle 11347

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-cnv 5658  df-xr 11350  df-le 11352

This theorem is used by:  dedekind  11476  suprub  12281  infrelb  12305  suprzub  13069  prodge0rd  13232  seqf1olem1  14187  bitsfzolem  16609  bitsmod  16611  reconnlem2  25152  ioombl1lem4  25887  dgrub  26558  dgrlb  26560  suppssnn0  33443  constrsqrtcl  34457  1smat1  34482  sn-suprubd  43651  imo72b2  45265  dvbdfbdioolem2  47032  stoweidlem14  47117  fourierdlem10  47220  fourierdlem12  47222  fourierdlem20  47230  fourierdlem24  47234  fourierdlem50  47259  fourierdlem54  47263  fourierdlem63  47272  fourierdlem65  47274  fourierdlem75  47284  fourierdlem79  47288  fouriersw  47334  etransclem3  47340  etransclem7  47344  etransclem10  47347  etransclem15  47352  etransclem20  47357  etransclem21  47358  etransclem22  47359  etransclem24  47361  etransclem25  47362  etransclem27  47364  etransclem32  47369