Theorem nltled 11366

Description: 'Not less than ' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
nltled.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
nltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem nltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	lenltd 11362	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	1, 4	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  ℝcr 11105   < clt 11249   ≤ cle 11250

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-opab 5173  df-xp 5666  df-cnv 5668  df-xr 11253  df-le 11255

This theorem is used by:  dedekind  11379  suprub  12182  infrelb  12206  suprzub  12969  prodge0rd  13131  seqf1olem1  14084  bitsfzolem  16498  bitsmod  16500  reconnlem2  24996  ioombl1lem4  25731  dgrub  26402  dgrlb  26404  suppssnn0  33161  constrsqrtcl  34178  1smat1  34203  sn-suprubd  43296  imo72b2  44926  dvbdfbdioolem2  46671  stoweidlem14  46756  fourierdlem10  46859  fourierdlem12  46861  fourierdlem20  46869  fourierdlem24  46873  fourierdlem50  46898  fourierdlem54  46902  fourierdlem63  46911  fourierdlem65  46913  fourierdlem75  46923  fourierdlem79  46927  fouriersw  46973  etransclem3  46979  etransclem7  46983  etransclem10  46986  etransclem15  46991  etransclem20  46996  etransclem21  46997  etransclem22  46998  etransclem24  47000  etransclem25  47001  etransclem27  47003  etransclem32  47008