Theorem nltled 11388

Description: 'Not less than ' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
nltled.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
nltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem nltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	lenltd 11384	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	1, 4	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ℝcr 11127   < clt 11271   ≤ cle 11272

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-cnv 5667  df-xr 11275  df-le 11277

This theorem is used by:  dedekind  11401  suprub  12204  infrelb  12228  suprzub  12992  prodge0rd  13155  seqf1olem1  14109  bitsfzolem  16530  bitsmod  16532  reconnlem2  25060  ioombl1lem4  25795  dgrub  26467  dgrlb  26469  suppssnn0  33284  constrsqrtcl  34297  1smat1  34322  sn-suprubd  43390  imo72b2  45020  dvbdfbdioolem2  46765  stoweidlem14  46850  fourierdlem10  46953  fourierdlem12  46955  fourierdlem20  46963  fourierdlem24  46967  fourierdlem50  46992  fourierdlem54  46996  fourierdlem63  47005  fourierdlem65  47007  fourierdlem75  47017  fourierdlem79  47021  fouriersw  47067  etransclem3  47073  etransclem7  47077  etransclem10  47080  etransclem15  47085  etransclem20  47090  etransclem21  47091  etransclem22  47092  etransclem24  47094  etransclem25  47095  etransclem27  47097  etransclem32  47102