Theorem nltled 11395

Description: 'Not less than ' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
nltled.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
nltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem nltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	lenltd 11391	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5	1, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  ℝcr 11138   < clt 11279   ≤ cle 11280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5684  df-cnv 5686  df-xr 11283  df-le 11285

This theorem is referenced by:  dedekind  11408  suprub  12206  infrelb  12230  suprzub  12954  prodge0rd  13114  seqf1olem1  14039  bitsfzolem  16409  bitsmod  16411  reconnlem2  24756  ioombl1lem4  25503  dgrub  26181  dgrlb  26183  suppssnn0  32587  1smat1  33405  metakunt28  41684  metakunt30  41686  imo72b2  43602  dvbdfbdioolem2  45317  stoweidlem14  45402  fourierdlem10  45505  fourierdlem12  45507  fourierdlem20  45515  fourierdlem24  45519  fourierdlem50  45544  fourierdlem54  45548  fourierdlem63  45557  fourierdlem65  45559  fourierdlem75  45569  fourierdlem79  45573  fouriersw  45619  etransclem3  45625  etransclem7  45629  etransclem10  45632  etransclem15  45637  etransclem20  45642  etransclem21  45643  etransclem22  45644  etransclem24  45646  etransclem25  45647  etransclem27  45649  etransclem32  45654