Theorem infrelb 12251

Description: If a nonempty set of real numbers has a lower bound, its infimum is less than or equal to any of its elements. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2013.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infrelb	⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → inf(𝐵, ℝ, < ) ≤ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infrelb

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ)
2		ne0i 4347	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
3	2	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
4		simp2 1136	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
5		infrecl 12248	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7		ssel2 3990	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	3adant2 1130	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		ltso 11339	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → < Or ℝ)
11		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ)
12	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
13		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
14		infm3 12225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < 𝑦)))
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < 𝑦)))
16	10, 15	inflb 9527	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < )))
17	16	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < ))))
18	17	pm2.43b 55	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < )))
19	18	3impia 1116	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < ))
20	6, 8, 19	nltled 11409	1 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → inf(𝐵, ℝ, < ) ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339   class class class wbr 5148   Or wor 5596  infcinf 9479  ℝcr 11152   < clt 11293   ≤ cle 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493

This theorem is referenced by:  infrefilb  12252  minveclem2  25474  minveclem4  25480  aalioulem2  26390  pilem2  26511  pilem3  26512  pntlem3  27668  minvecolem2  30904  minvecolem4  30909  taupilem2  37305  ptrecube  37607  heicant  37642  hashscontpow1  42103  pellfundlb  42872  climinf  45562  fourierdlem42  46105