Theorem infrelb 11474

Description: If a nonempty set of real numbers has a lower bound, its infimum is less than or equal to any of its elements. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2013.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infrelb	⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → inf(𝐵, ℝ, < ) ≤ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infrelb

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1129	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ)
2		ne0i 4220	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
3	2	3ad2ant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
4		simp2 1130	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
5		infrecl 11471	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1364	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7		ssel2 3884	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	3adant2 1124	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		ltso 10568	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → < Or ℝ)
11		simpll 763	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ)
12	2	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
13		simplr 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
14		infm3 11448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < 𝑦)))
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1364	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < 𝑦)))
16	10, 15	inflb 8799	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < )))
17	16	expcom 414	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < ))))
18	17	pm2.43b 55	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < )))
19	18	3impia 1110	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < ))
20	6, 8, 19	nltled 10637	1 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → inf(𝐵, ℝ, < ) ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ∀wral 3105  ∃wrex 3106   ⊆ wss 3859  ∅c0 4211   class class class wbr 4962   Or wor 5361  infcinf 8751  ℝcr 10382   < clt 10521   ≤ cle 10522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-po 5362  df-so 5363  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720

This theorem is referenced by:  minveclem2  23712  minveclem4  23718  aalioulem2  24605  pilem2  24723  pilem3  24724  pntlem3  25867  minvecolem2  28343  minvecolem4  28348  taupilem2  34134  ptrecube  34423  heicant  34458  pellfundlb  38966  infrefilb  41192  climinf  41429  fourierdlem42  41976