Theorem infrelb 12099

Description: If a nonempty set of real numbers has a lower bound, its infimum is less than or equal to any of its elements. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2013.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infrelb	⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → inf(𝐵, ℝ, < ) ≤ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infrelb

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ)
2		ne0i 4289	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
3	2	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
4		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
5		infrecl 12096	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7		ssel2 3927	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		ltso 11185	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → < Or ℝ)
11		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ)
12	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
13		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
14		infm3 12073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < 𝑦)))
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < 𝑦)))
16	10, 15	inflb 9369	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < )))
17	16	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < ))))
18	17	pm2.43b 55	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < )))
19	18	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < ))
20	6, 8, 19	nltled 11255	1 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → inf(𝐵, ℝ, < ) ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   class class class wbr 5089   Or wor 5521  infcinf 9320  ℝcr 10997   < clt 11138   ≤ cle 11139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339

This theorem is referenced by:  infrefilb  12100  minveclem2  25346  minveclem4  25352  aalioulem2  26261  pilem2  26382  pilem3  26383  pntlem3  27540  minvecolem2  30845  minvecolem4  30850  taupilem2  37335  ptrecube  37639  heicant  37674  hashscontpow1  42133  pellfundlb  42896  climinf  45625  fourierdlem42  46166