MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infrelb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infrelb 12232
Description: If a nonempty set of real numbers has a lower bound, its infimum is less than or equal to any of its elements. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2013.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infrelb ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦𝐴𝐵) → inf(𝐵, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infrelb
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦𝐴𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ)
2 ne0i 4334 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵 ≠ ∅)
323ad2ant3 1132 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦𝐴𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
4 simp2 1134 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦)
5 infrecl 12229 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
61, 3, 4, 5syl3anc 1368 . 2 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦𝐴𝐵) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7 ssel2 3971 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
873adant2 1128 . 2 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 ltso 11326 . . . . . . 7 < Or ℝ
109a1i 11 . . . . . 6 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝐴𝐵) → < Or ℝ)
11 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ)
122adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
13 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦)
14 infm3 12206 . . . . . . 7 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧 < 𝑦)))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧 < 𝑦)))
1610, 15inflb 9514 . . . . 5 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < )))
1716expcom 412 . . . 4 (𝐴𝐵 → ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < ))))
1817pm2.43b 55 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < )))
19183impia 1114 . 2 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦𝐴𝐵) → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < ))
206, 8, 19nltled 11396 1 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦𝐴𝐵) → inf(𝐵, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  wss 3944  c0 4322   class class class wbr 5149   Or wor 5589  infcinf 9466  cr 11139   < clt 11280  cle 11281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479
This theorem is referenced by:  infrefilb  12233  minveclem2  25398  minveclem4  25404  aalioulem2  26313  pilem2  26434  pilem3  26435  pntlem3  27587  minvecolem2  30757  minvecolem4  30762  taupilem2  36932  ptrecube  37224  heicant  37259  hashscontpow1  41724  pellfundlb  42446  climinf  45132  fourierdlem42  45675
  Copyright terms: Public domain W3C validator