Theorem infrelb 12132

Description: If a nonempty set of real numbers has a lower bound, its infimum is less than or equal to any of its elements. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2013.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infrelb	⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → inf(𝐵, ℝ, < ) ≤ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infrelb

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ)
2		ne0i 4282	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
3	2	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
4		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
5		infrecl 12129	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7		ssel2 3917	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	3adant2 1132	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		ltso 11217	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → < Or ℝ)
11		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ)
12	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
13		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
14		infm3 12106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < 𝑦)))
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < 𝑦)))
16	10, 15	inflb 9396	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < )))
17	16	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < ))))
18	17	pm2.43b 55	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < )))
19	18	3impia 1118	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < ))
20	6, 8, 19	nltled 11287	1 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → inf(𝐵, ℝ, < ) ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086   Or wor 5531  infcinf 9347  ℝcr 11028   < clt 11170   ≤ cle 11171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  infrefilb  12133  minveclem2  25403  minveclem4  25409  aalioulem2  26310  pilem2  26430  pilem3  26431  pntlem3  27586  minvecolem2  30961  minvecolem4  30966  taupilem2  37652  ptrecube  37955  heicant  37990  hashscontpow1  42574  pellfundlb  43330  climinf  46054  fourierdlem42  46595