MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infrelb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infrelb 11474
Description: If a nonempty set of real numbers has a lower bound, its infimum is less than or equal to any of its elements. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2013.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infrelb ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦𝐴𝐵) → inf(𝐵, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infrelb
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1129 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦𝐴𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ)
2 ne0i 4220 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵 ≠ ∅)
323ad2ant3 1128 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦𝐴𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
4 simp2 1130 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦)
5 infrecl 11471 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
61, 3, 4, 5syl3anc 1364 . 2 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦𝐴𝐵) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7 ssel2 3884 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
873adant2 1124 . 2 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 ltso 10568 . . . . . . 7 < Or ℝ
109a1i 11 . . . . . 6 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝐴𝐵) → < Or ℝ)
11 simpll 763 . . . . . . 7 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ)
122adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
13 simplr 765 . . . . . . 7 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦)
14 infm3 11448 . . . . . . 7 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧 < 𝑦)))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1364 . . . . . 6 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧 < 𝑦)))
1610, 15inflb 8799 . . . . 5 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < )))
1716expcom 414 . . . 4 (𝐴𝐵 → ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < ))))
1817pm2.43b 55 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < )))
19183impia 1110 . 2 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦𝐴𝐵) → ¬ 𝐴 < inf(𝐵, ℝ, < ))
206, 8, 19nltled 10637 1 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦𝐴𝐵) → inf(𝐵, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1080  wcel 2081  wne 2984  wral 3105  wrex 3106  wss 3859  c0 4211   class class class wbr 4962   Or wor 5361  infcinf 8751  cr 10382   < clt 10521  cle 10522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-po 5362  df-so 5363  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720
This theorem is referenced by:  minveclem2  23712  minveclem4  23718  aalioulem2  24605  pilem2  24723  pilem3  24724  pntlem3  25867  minvecolem2  28343  minvecolem4  28348  taupilem2  34134  ptrecube  34423  heicant  34458  pellfundlb  38966  infrefilb  41192  climinf  41429  fourierdlem42  41976
  Copyright terms: Public domain W3C validator