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Theorem reconnlem2 24335

Description: Lemma for reconn 24336. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
reconnlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
reconnlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (topGen‘ran (,)))
reconnlem2.3	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)))
reconnlem2.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
reconnlem2.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑈 ∩ 𝐴))
reconnlem2.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴))
reconnlem2.7	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
reconnlem2.8	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
reconnlem2.9	⊢ 𝑆 = sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < )

**Assertion**
Ref	Expression
reconnlem2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦,𝐴 𝑥,𝐵,𝑦 𝑦,𝐶 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑦) 𝐶(𝑥) 𝑆(𝑥,𝑦) 𝑈(𝑥,𝑦) 𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem reconnlem2 Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reconnlem2.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < )
2		inss2 4229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ (𝐵[,]𝐶)
3		reconnlem2.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑈 ∩ 𝐴))
4	3	elin2d 4199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
5		reconnlem2.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴))
6	5	elin2d 4199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
7		reconnlem2.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
8		oveq1 7413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥[,]𝑦) = (𝐵[,]𝑦))
9	8	sseq1d 4013	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
10		oveq2 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝐵[,]𝑦) = (𝐵[,]𝐶))
11	10	sseq1d 4013	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → ((𝐵[,]𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴))
12	9, 11	rspc2va 3623	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴)
13	4, 6, 7, 12	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴)
14		reconnlem2.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
15	13, 14	sstrd 3992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
16	2, 15	sstrid 3993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
17	3	elin1d 4198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
18	14, 4	sseldd 3983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
20	14, 6	sseldd 3983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
21	20	rexrd 11261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ^*)
22		reconnlem2.8	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
23		lbicc2 13438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
24	19, 21, 22, 23	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
25	17, 24	elind 4194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)))
26	25	ne0d 4335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
27		elinel2 4196	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶))
28		elicc2 13386	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝐶)))
29	18, 20, 28	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝐶)))
30		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝐶) → 𝑤 ≤ 𝐶)
31	29, 30	syl6bi 253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝑤 ≤ 𝐶))
32	27, 31	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑤 ≤ 𝐶))
33	32	ralrimiv 3146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝐶)
34		brralrspcev 5208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝐶) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧)
35	20, 33, 34	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧)
36	16, 26, 35	suprcld 12174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
37	1, 36	eqeltrid 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
38		rphalfcl 12998	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ⁺)
39		ltaddrp 13008	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ⁺) → 𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2)))
40	37, 38, 39	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2)))
41	37	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑆 ∈ ℝ)
42	38	rpred 13013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
43		readdcl 11190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
44	37, 42, 43	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
45	41, 44	ltnled 11358	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2)) ↔ ¬ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝑆))
46	40, 45	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ¬ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝑆)
47	16	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
48	26	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
49	35	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧)
50		simpr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
51	50	elin1d 4198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑈)
52	44	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
53	18	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ)
54	37	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝑆 ∈ ℝ)
55	16, 26, 35, 25	suprubd 12173	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
56	55, 1	breqtrrdi 5190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝑆)
57	56	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐵 ≤ 𝑆)
58	40	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2)))
59	54, 52, 58	ltled 11359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝑆 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)))
60	53, 54, 52, 57, 59	letrd 11368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐵 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)))
61	20	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
62	50	elin2d 4199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (-∞(,)𝐶))
63		eliooord 13380	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (-∞(,)𝐶) → (-∞ < (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) < 𝐶))
64	63	simprd 497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (-∞(,)𝐶) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) < 𝐶)
65	62, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) < 𝐶)
66	52, 61, 65	ltled 11359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝐶)
67		elicc2 13386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝐶)))
68	53, 61, 67	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝐶)))
69	52, 60, 66, 68	mpbir3and 1343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
70	51, 69	elind 4194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)))
71	47, 48, 49, 70	suprubd 12173	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
72	71, 1	breqtrrdi 5190	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝑆)
73	46, 72	mtand 815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ¬ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
74		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
75	74	remetdval 24297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) = (abs‘((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆)))
76	44, 41, 75	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) = (abs‘((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆)))
77	41	recnd 11239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑆 ∈ ℂ)
78	42	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
79	78	recnd 11239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑟 / 2) ∈ ℂ)
80	77, 79	pncan2d 11570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆) = (𝑟 / 2))
81	80	fveq2d 6893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (abs‘((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆)) = (abs‘(𝑟 / 2)))
82	38	adantl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ⁺)
83		rpre 12979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 / 2) ∈ ℝ⁺ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
84		rpge0 12984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 / 2) ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ (𝑟 / 2))
85	83, 84	absidd 15366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 / 2) ∈ ℝ⁺ → (abs‘(𝑟 / 2)) = (𝑟 / 2))
86	82, 85	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (abs‘(𝑟 / 2)) = (𝑟 / 2))
87	76, 81, 86	3eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) = (𝑟 / 2))
88		rphalflt 13000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → (𝑟 / 2) < 𝑟)
89	88	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑟 / 2) < 𝑟)
90	87, 89	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) < 𝑟)
91	74	rexmet 24299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ))
93		rpxr 12980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → 𝑟 ∈ ℝ^*)
94	93	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑟 ∈ ℝ^*)
95		elbl3 23890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ^*) ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) < 𝑟))
96	92, 94, 41, 44, 95	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) < 𝑟))
97	90, 96	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟))
98		ssel 3975	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
99	97, 98	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
100	73, 99	mtod 197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ¬ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
101	100	nrexdv 3150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
102	37	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑈) → 𝑆 ∈ ℝ)
103	102	mnfltd 13101	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑈) → -∞ < 𝑆)
104		suprleub 12177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝐶))
105	16, 26, 35, 20, 104	syl31anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝐶))
106	33, 105	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ 𝐶)
107	1, 106	eqbrtrid 5183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ 𝐶)
108	37, 20	leloed 11354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ≤ 𝐶 ↔ (𝑆 < 𝐶 ∨ 𝑆 = 𝐶)))
109	107, 108	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < 𝐶 ∨ 𝑆 = 𝐶))
110	109	ord 863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑆 < 𝐶 → 𝑆 = 𝐶))
111		elndif 4128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
112	6, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
113	5	elin1d 4198	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
114		elin 3964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑈 ∩ 𝑉) ↔ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
115		reconnlem2.7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
116	115	sseld 3981	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑈 ∩ 𝑉) → 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
117	114, 116	biimtrrid 242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
118	113, 117	mpan2d 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝑈 → 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
119	112, 118	mtod 197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝑈)
120		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 = 𝐶 → (𝑆 ∈ 𝑈 ↔ 𝐶 ∈ 𝑈))
121	120	notbid 318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 = 𝐶 → (¬ 𝑆 ∈ 𝑈 ↔ ¬ 𝐶 ∈ 𝑈))
122	119, 121	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = 𝐶 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑈))
123	110, 122	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑆 < 𝐶 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑈))
124	123	con4d 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑈 → 𝑆 < 𝐶))
125	124	imp 408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑈) → 𝑆 < 𝐶)
126		mnfxr 11268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
127		elioo2 13362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → (𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐶)))
128	126, 21, 127	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐶)))
129	128	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑈) → (𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐶)))
130	102, 103, 125, 129	mpbir3and 1343	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑈) → 𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶))
131	130	ex 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑈 → 𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶)))
132	131	ancld 552	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑈 → (𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶))))
133		elin 3964	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ↔ (𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶)))
134		reconnlem2.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (topGen‘ran (,)))
135		retop 24270	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
136		iooretop 24274	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
137		inopn 22393	. . . . . . . . 9 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑈 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))) → (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)))
138	135, 136, 137	mp3an13 1453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)))
139		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
140	74, 139	tgioo 24304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
141	140	mopni2 23994	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
142	91, 141	mp3an1 1449	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
143	142	ex 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
144	134, 138, 143	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
145	133, 144	biimtrrid 242	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶)) → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
146	132, 145	syld 47	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑈 → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
147	101, 146	mtod 197	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑈)
148		ltsubrp 13007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑆 − 𝑟) < 𝑆)
149	37, 148	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑆 − 𝑟) < 𝑆)
150		rpre 12979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → 𝑟 ∈ ℝ)
151		resubcl 11521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ)
152	37, 150, 151	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ)
153	152, 41	ltnled 11358	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆 − 𝑟) < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 𝑟)))
154	149, 153	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 𝑟))
155	74	bl2ioo 24300	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)))
156	37, 150, 155	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)))
157	156	sseq1d 4013	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉 ↔ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉))
158	16	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
159		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)))
160	158, 159	sseldd 3983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ∈ ℝ)
161	152	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ)
162	13	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴)
163	2, 162	sstrid 3993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ 𝐴)
164	163	sselda 3982	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ∈ 𝐴)
165		elndif 4128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
166	164, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → ¬ 𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
167	115	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
168		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)))
169	168	elin1d 4198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝑈)
170		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉)
171	160	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ)
172		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)
173	41	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑆 ∈ ℝ)
174		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
175	174	rpred 13013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑟 ∈ ℝ)
176	173, 175	readdcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ)
177	158	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
178	26	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
179	35	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧)
180	177, 178, 179, 168	suprubd 12173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
181	180, 1	breqtrrdi 5190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ≤ 𝑆)
182	173, 174	ltaddrpd 13046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑆 < (𝑆 + 𝑟))
183	171, 173, 176, 181, 182	lelttrd 11369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 < (𝑆 + 𝑟))
184	152	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ)
185		rexr 11257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ → (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ^*)
186		rexr 11257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ → (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ^*)
187		elioo2 13362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ^* ∧ (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ^*) → (𝑤 ∈ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑆 + 𝑟))))
188	185, 186, 187	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑆 + 𝑟))))
189	184, 176, 188	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑤 ∈ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑆 + 𝑟))))
190	171, 172, 183, 189	mpbir3and 1343	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)))
191	170, 190	sseldd 3983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝑉)
192	169, 191	elind 4194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ 𝑉))
193	167, 192	sseldd 3983	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
194	193	expr 458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → ((𝑆 − 𝑟) < 𝑤 → 𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
195	166, 194	mtod 197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → ¬ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)
196	160, 161, 195	nltled 11361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ≤ (𝑆 − 𝑟))
197	196	ralrimiva 3147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ (𝑆 − 𝑟))
198	16	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
199	26	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
200	35	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧)
201	152	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ)
202		suprleub 12177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧) ∧ (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ) → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 𝑟) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ (𝑆 − 𝑟)))
203	198, 199, 200, 201, 202	syl31anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 𝑟) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ (𝑆 − 𝑟)))
204	197, 203	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 𝑟))
205	1, 204	eqbrtrid 5183	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → 𝑆 ≤ (𝑆 − 𝑟))
206	205	ex 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉 → 𝑆 ≤ (𝑆 − 𝑟)))
207	157, 206	sylbid 239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉 → 𝑆 ≤ (𝑆 − 𝑟)))
208	154, 207	mtod 197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ¬ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)
209	208	nrexdv 3150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)
210		reconnlem2.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)))
211	140	mopni2 23994	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)
212	91, 211	mp3an1 1449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)
213	212	ex 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝑆 ∈ 𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉))
214	210, 213	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉))
215	209, 214	mtod 197	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑉)
216		ioran 983	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ 𝑈 ∨ 𝑆 ∈ 𝑉) ↔ (¬ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑆 ∈ 𝑉))
217	147, 215, 216	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑆 ∈ 𝑈 ∨ 𝑆 ∈ 𝑉))
218		elun 4148	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉) ↔ (𝑆 ∈ 𝑈 ∨ 𝑆 ∈ 𝑉))
219	217, 218	sylnibr 329	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉))
220		elicc2 13386	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑆 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 𝐶)))
221	18, 20, 220	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 𝐶)))
222	37, 56, 107, 221	mpbir3and 1343	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐵[,]𝐶))
223	13, 222	sseldd 3983	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
224		ssel 3975	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉) → (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)))
225	223, 224	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉) → 𝑆 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)))
226	219, 225	mtod 197	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 397 ∨ wo 846 ∧ w3a 1088 = wceq 1542 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2941 ∀wral 3062 ∃wrex 3071 ∖ cdif 3945 ∪ cun 3946 ∩ cin 3947 ⊆ wss 3948 ∅c0 4322 class class class wbr 5148 × cxp 5674 ran crn 5677 ↾ cres 5678 ∘ ccom 5680 ‘cfv 6541 (class class class)co 7406 supcsup 9432 ℝcr 11106 + caddc 11110 -∞cmnf 11243 ℝ^*cxr 11244 < clt 11245 ≤ cle 11246 − cmin 11441 / cdiv 11868 2c2 12264 ℝ⁺crp 12971 (,)cioo 13321 [,]cicc 13324 abscabs 15178 topGenctg 17380 ∞Metcxmet 20922 ballcbl 20924 MetOpencmopn 20927 Topctop 22387

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7722 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6298 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6493 df-fun 6543 df-fn 6544 df-f 6545 df-f1 6546 df-fo 6547 df-f1o 6548 df-fv 6549 df-riota 7362 df-ov 7409 df-oprab 7410 df-mpo 7411 df-om 7853 df-1st 7972 df-2nd 7973 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8368 df-rdg 8407 df-er 8700 df-map 8819 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-sup 9434 df-inf 9435 df-pnf 11247 df-mnf 11248 df-xr 11249 df-ltxr 11250 df-le 11251 df-sub 11443 df-neg 11444 df-div 11869 df-nn 12210 df-2 12272 df-3 12273 df-n0 12470 df-z 12556 df-uz 12820 df-q 12930 df-rp 12972 df-xneg 13089 df-xadd 13090 df-xmul 13091 df-ioo 13325 df-icc 13328 df-seq 13964 df-exp 14025 df-cj 15043 df-re 15044 df-im 15045 df-sqrt 15179 df-abs 15180 df-topgen 17386 df-psmet 20929 df-xmet 20930 df-met 20931 df-bl 20932 df-mopn 20933 df-top 22388 df-topon 22405 df-bases 22441

This theorem is referenced by: reconn 24336

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