Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reconnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reconnlem2 23446
 Description: Lemma for reconn 23447. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reconnlem2.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
reconnlem2.2 (𝜑𝑈 ∈ (topGen‘ran (,)))
reconnlem2.3 (𝜑𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)))
reconnlem2.4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
reconnlem2.5 (𝜑𝐵 ∈ (𝑈𝐴))
reconnlem2.6 (𝜑𝐶 ∈ (𝑉𝐴))
reconnlem2.7 (𝜑 → (𝑈𝑉) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
reconnlem2.8 (𝜑𝐵𝐶)
reconnlem2.9 𝑆 = sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
reconnlem2 (𝜑 → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈𝑉))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem reconnlem2
Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reconnlem2.9 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < )
2 inss2 4156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ (𝐵[,]𝐶)
3 reconnlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ (𝑈𝐴))
43elin2d 4126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵𝐴)
5 reconnlem2.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ (𝑉𝐴))
65elin2d 4126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶𝐴)
7 reconnlem2.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
8 oveq1 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥[,]𝑦) = (𝐵[,]𝑦))
98sseq1d 3946 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
10 oveq2 7148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝐶 → (𝐵[,]𝑦) = (𝐵[,]𝐶))
1110sseq1d 3946 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝐶 → ((𝐵[,]𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴))
129, 11rspc2va 3582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴)
134, 6, 7, 12syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴)
14 reconnlem2.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1513, 14sstrd 3925 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
162, 15sstrid 3926 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
173elin1d 4125 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵𝑈)
1814, 4sseldd 3916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1918rexrd 10687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2014, 6sseldd 3916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2120rexrd 10687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
22 reconnlem2.8 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵𝐶)
23 lbicc2 12849 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
2419, 21, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
2517, 24elind 4121 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)))
2625ne0d 4251 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
27 elinel2 4123 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶))
28 elicc2 12797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑤𝑤𝐶)))
2918, 20, 28syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑤𝑤𝐶)))
30 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑤𝑤𝐶) → 𝑤𝐶)
3129, 30syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝑤𝐶))
3227, 31syl5 34 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑤𝐶))
3332ralrimiv 3148 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝐶)
34 brralrspcev 5091 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝐶) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧)
3520, 33, 34syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧)
3616, 26, 35suprcld 11598 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
371, 36eqeltrid 2894 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
38 rphalfcl 12411 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
39 ltaddrp 12421 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ+) → 𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2)))
4037, 38, 39syl2an 598 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2)))
4137adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℝ)
4238rpred 12426 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
43 readdcl 10616 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
4437, 42, 43syl2an 598 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
4541, 44ltnled 10783 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2)) ↔ ¬ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝑆))
4640, 45mpbid 235 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝑆)
4716ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
4826ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
4935ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧)
50 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
5150elin1d 4125 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑈)
5244adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
5318ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ)
5437ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝑆 ∈ ℝ)
5516, 26, 35, 25suprubd 11597 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
5655, 1breqtrrdi 5073 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵𝑆)
5756ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐵𝑆)
5840adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2)))
5954, 52, 58ltled 10784 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝑆 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)))
6053, 54, 52, 57, 59letrd 10793 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐵 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)))
6120ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
6250elin2d 4126 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (-∞(,)𝐶))
63 eliooord 12791 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (-∞(,)𝐶) → (-∞ < (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) < 𝐶))
6463simprd 499 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (-∞(,)𝐶) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) < 𝐶)
6562, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) < 𝐶)
6652, 61, 65ltled 10784 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝐶)
67 elicc2 12797 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝐶)))
6853, 61, 67syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝐶)))
6952, 60, 66, 68mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
7051, 69elind 4121 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)))
7147, 48, 49, 70suprubd 11597 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
7271, 1breqtrrdi 5073 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝑆)
7346, 72mtand 815 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
74 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
7574remetdval 23408 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) = (abs‘((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆)))
7644, 41, 75syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) = (abs‘((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆)))
7741recnd 10665 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℂ)
7842adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
7978recnd 10665 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℂ)
8077, 79pncan2d 10995 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆) = (𝑟 / 2))
8180fveq2d 6654 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆)) = (abs‘(𝑟 / 2)))
8238adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
83 rpre 12392 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑟 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
84 rpge0 12397 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑟 / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝑟 / 2))
8583, 84absidd 14781 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟 / 2) ∈ ℝ+ → (abs‘(𝑟 / 2)) = (𝑟 / 2))
8682, 85syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝑟 / 2)) = (𝑟 / 2))
8776, 81, 863eqtrd 2837 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) = (𝑟 / 2))
88 rphalflt 12413 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) < 𝑟)
8988adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) < 𝑟)
9087, 89eqbrtrd 5053 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) < 𝑟)
9174rexmet 23410 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
9291a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ))
93 rpxr 12393 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
9493adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
95 elbl3 23013 . . . . . . . . . 10 (((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) < 𝑟))
9692, 94, 41, 44, 95syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) < 𝑟))
9790, 96mpbird 260 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟))
98 ssel 3908 . . . . . . . 8 ((𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
9997, 98syl5com 31 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
10073, 99mtod 201 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
101100nrexdv 3229 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
10237adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆𝑈) → 𝑆 ∈ ℝ)
103102mnfltd 12514 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆𝑈) → -∞ < 𝑆)
104 suprleub 11601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝐶))
10516, 26, 35, 20, 104syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝐶))
10633, 105mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ 𝐶)
1071, 106eqbrtrid 5066 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆𝐶)
10837, 20leloed 10779 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆𝐶 ↔ (𝑆 < 𝐶𝑆 = 𝐶)))
109107, 108mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 < 𝐶𝑆 = 𝐶))
110109ord 861 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (¬ 𝑆 < 𝐶𝑆 = 𝐶))
111 elndif 4056 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶𝐴 → ¬ 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
1126, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
1135elin1d 4125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶𝑉)
114 elin 3897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 ∈ (𝑈𝑉) ↔ (𝐶𝑈𝐶𝑉))
115 reconnlem2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑈𝑉) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
116115sseld 3914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑈𝑉) → 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
117114, 116syl5bir 246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐶𝑈𝐶𝑉) → 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
118113, 117mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶𝑈𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
119112, 118mtod 201 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝐶𝑈)
120 eleq1 2877 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 = 𝐶 → (𝑆𝑈𝐶𝑈))
121120notbid 321 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 = 𝐶 → (¬ 𝑆𝑈 ↔ ¬ 𝐶𝑈))
122119, 121syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 = 𝐶 → ¬ 𝑆𝑈))
123110, 122syld 47 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (¬ 𝑆 < 𝐶 → ¬ 𝑆𝑈))
124123con4d 115 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑈𝑆 < 𝐶))
125124imp 410 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆𝑈) → 𝑆 < 𝐶)
126 mnfxr 10694 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
127 elioo2 12774 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑆𝑆 < 𝐶)))
128126, 21, 127sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑆𝑆 < 𝐶)))
129128adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆𝑈) → (𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑆𝑆 < 𝐶)))
130102, 103, 125, 129mpbir3and 1339 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆𝑈) → 𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶))
131130ex 416 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝑈𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶)))
132131ancld 554 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑈 → (𝑆𝑈𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶))))
133 elin 3897 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ↔ (𝑆𝑈𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶)))
134 reconnlem2.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (topGen‘ran (,)))
135 retop 23381 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
136 iooretop 23385 . . . . . . . . 9 (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
137 inopn 21518 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑈 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))) → (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)))
138135, 136, 137mp3an13 1449 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)))
139 eqid 2798 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
14074, 139tgioo 23415 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
141140mopni2 23114 . . . . . . . . . 10 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
14291, 141mp3an1 1445 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
143142ex 416 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
144134, 138, 1433syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
145133, 144syl5bir 246 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝑈𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
146132, 145syld 47 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝑈 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
147101, 146mtod 201 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑆𝑈)
148 ltsubrp 12420 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆𝑟) < 𝑆)
14937, 148sylan 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆𝑟) < 𝑆)
150 rpre 12392 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
151 resubcl 10946 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑆𝑟) ∈ ℝ)
15237, 150, 151syl2an 598 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆𝑟) ∈ ℝ)
153152, 41ltnled 10783 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆𝑟) < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ (𝑆𝑟)))
154149, 153mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ 𝑆 ≤ (𝑆𝑟))
15574bl2ioo 23411 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)))
15637, 150, 155syl2an 598 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)))
157156sseq1d 3946 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉 ↔ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉))
15816ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
159 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)))
160158, 159sseldd 3916 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ∈ ℝ)
161152ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑆𝑟) ∈ ℝ)
16213ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴)
1632, 162sstrid 3926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ 𝐴)
164163sselda 3915 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤𝐴)
165 elndif 4056 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝐴 → ¬ 𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
166164, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → ¬ 𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
167115ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → (𝑈𝑉) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
168 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)))
169168elin1d 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤𝑈)
170 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉)
171160adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ)
172 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → (𝑆𝑟) < 𝑤)
17341ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑆 ∈ ℝ)
174 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
175174rpred 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑟 ∈ ℝ)
176173, 175readdcld 10666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ)
177158adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
17826ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
17935ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧)
180177, 178, 179, 168suprubd 11597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
181180, 1breqtrrdi 5073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤𝑆)
182173, 174ltaddrpd 12459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑆 < (𝑆 + 𝑟))
183171, 173, 176, 181, 182lelttrd 10794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 < (𝑆 + 𝑟))
184152ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → (𝑆𝑟) ∈ ℝ)
185 rexr 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑆𝑟) ∈ ℝ → (𝑆𝑟) ∈ ℝ*)
186 rexr 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ → (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ*)
187 elioo2 12774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑆𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤𝑤 < (𝑆 + 𝑟))))
188185, 186, 187syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑆𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤𝑤 < (𝑆 + 𝑟))))
189184, 176, 188syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → (𝑤 ∈ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤𝑤 < (𝑆 + 𝑟))))
190171, 172, 183, 189mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)))
191170, 190sseldd 3916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤𝑉)
192169, 191elind 4121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝑈𝑉))
193167, 192sseldd 3916 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
194193expr 460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → ((𝑆𝑟) < 𝑤𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
195166, 194mtod 201 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → ¬ (𝑆𝑟) < 𝑤)
196160, 161, 195nltled 10786 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ≤ (𝑆𝑟))
197196ralrimiva 3149 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ (𝑆𝑟))
19816ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
19926ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
20035ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧)
201152adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑆𝑟) ∈ ℝ)
202 suprleub 11601 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧) ∧ (𝑆𝑟) ∈ ℝ) → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ (𝑆𝑟) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ (𝑆𝑟)))
203198, 199, 200, 201, 202syl31anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ (𝑆𝑟) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ (𝑆𝑟)))
204197, 203mpbird 260 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ (𝑆𝑟))
2051, 204eqbrtrid 5066 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → 𝑆 ≤ (𝑆𝑟))
206205ex 416 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉𝑆 ≤ (𝑆𝑟)))
207157, 206sylbid 243 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉𝑆 ≤ (𝑆𝑟)))
208154, 207mtod 201 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)
209208nrexdv 3229 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)
210 reconnlem2.3 . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)))
211140mopni2 23114 . . . . . . . 8 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)
21291, 211mp3an1 1445 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)
213212ex 416 . . . . . 6 (𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝑆𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉))
214210, 213syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉))
215209, 214mtod 201 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑆𝑉)
216 ioran 981 . . . 4 (¬ (𝑆𝑈𝑆𝑉) ↔ (¬ 𝑆𝑈 ∧ ¬ 𝑆𝑉))
217147, 215, 216sylanbrc 586 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑆𝑈𝑆𝑉))
218 elun 4076 . . 3 (𝑆 ∈ (𝑈𝑉) ↔ (𝑆𝑈𝑆𝑉))
219217, 218sylnibr 332 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ (𝑈𝑉))
220 elicc2 12797 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑆 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑆𝑆𝐶)))
22118, 20, 220syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑆𝑆𝐶)))
22237, 56, 107, 221mpbir3and 1339 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (𝐵[,]𝐶))
22313, 222sseldd 3916 . . 3 (𝜑𝑆𝐴)
224 ssel 3908 . . 3 (𝐴 ⊆ (𝑈𝑉) → (𝑆𝐴𝑆 ∈ (𝑈𝑉)))
225223, 224syl5com 31 . 2 (𝜑 → (𝐴 ⊆ (𝑈𝑉) → 𝑆 ∈ (𝑈𝑉)))
226219, 225mtod 201 1 (𝜑 → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈𝑉))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243   class class class wbr 5031   × cxp 5518  ran crn 5521   ↾ cres 5522   ∘ ccom 5524  ‘cfv 6327  (class class class)co 7140  supcsup 8895  ℝcr 10532   + caddc 10536  -∞cmnf 10669  ℝ*cxr 10670   < clt 10671   ≤ cle 10672   − cmin 10866   / cdiv 11293  2c2 11687  ℝ+crp 12384  (,)cioo 12733  [,]cicc 12736  abscabs 14592  topGenctg 16710  ∞Metcxmet 20084  ballcbl 20086  MetOpencmopn 20089  Topctop 21512 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610  ax-pre-sup 10611 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-sup 8897  df-inf 8898  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-div 11294  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-icc 12740  df-seq 13372  df-exp 13433  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-topgen 16716  df-psmet 20091  df-xmet 20092  df-met 20093  df-bl 20094  df-mopn 20095  df-top 21513  df-topon 21530  df-bases 21565 This theorem is referenced by:  reconn  23447
 Copyright terms: Public domain W3C validator