MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reconnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reconnlem2 24862
Description: Lemma for reconn 24863. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reconnlem2.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
reconnlem2.2 (𝜑𝑈 ∈ (topGen‘ran (,)))
reconnlem2.3 (𝜑𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)))
reconnlem2.4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
reconnlem2.5 (𝜑𝐵 ∈ (𝑈𝐴))
reconnlem2.6 (𝜑𝐶 ∈ (𝑉𝐴))
reconnlem2.7 (𝜑 → (𝑈𝑉) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
reconnlem2.8 (𝜑𝐵𝐶)
reconnlem2.9 𝑆 = sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
reconnlem2 (𝜑 → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈𝑉))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem reconnlem2
Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reconnlem2.9 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < )
2 inss2 4245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ (𝐵[,]𝐶)
3 reconnlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ (𝑈𝐴))
43elin2d 4214 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵𝐴)
5 reconnlem2.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ (𝑉𝐴))
65elin2d 4214 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶𝐴)
7 reconnlem2.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
8 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥[,]𝑦) = (𝐵[,]𝑦))
98sseq1d 4026 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
10 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝐶 → (𝐵[,]𝑦) = (𝐵[,]𝐶))
1110sseq1d 4026 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝐶 → ((𝐵[,]𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴))
129, 11rspc2va 3633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴)
134, 6, 7, 12syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴)
14 reconnlem2.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1513, 14sstrd 4005 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
162, 15sstrid 4006 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
173elin1d 4213 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵𝑈)
1814, 4sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1918rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2014, 6sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2120rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
22 reconnlem2.8 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵𝐶)
23 lbicc2 13500 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
2419, 21, 22, 23syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
2517, 24elind 4209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)))
2625ne0d 4347 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
27 elinel2 4211 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶))
28 elicc2 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑤𝑤𝐶)))
2918, 20, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑤𝑤𝐶)))
30 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑤𝑤𝐶) → 𝑤𝐶)
3129, 30biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝑤𝐶))
3227, 31syl5 34 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑤𝐶))
3332ralrimiv 3142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝐶)
34 brralrspcev 5207 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝐶) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧)
3520, 33, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧)
3616, 26, 35suprcld 12228 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
371, 36eqeltrid 2842 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
38 rphalfcl 13059 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
39 ltaddrp 13069 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ+) → 𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2)))
4037, 38, 39syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2)))
4137adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℝ)
4238rpred 13074 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
43 readdcl 11235 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
4437, 42, 43syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
4541, 44ltnled 11405 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2)) ↔ ¬ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝑆))
4640, 45mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝑆)
4716ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
4826ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
4935ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧)
50 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
5150elin1d 4213 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑈)
5244adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
5318ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ)
5437ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝑆 ∈ ℝ)
5516, 26, 35, 25suprubd 12227 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
5655, 1breqtrrdi 5189 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵𝑆)
5756ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐵𝑆)
5840adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2)))
5954, 52, 58ltled 11406 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝑆 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)))
6053, 54, 52, 57, 59letrd 11415 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐵 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)))
6120ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
6250elin2d 4214 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (-∞(,)𝐶))
63 eliooord 13442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (-∞(,)𝐶) → (-∞ < (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) < 𝐶))
6463simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (-∞(,)𝐶) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) < 𝐶)
6562, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) < 𝐶)
6652, 61, 65ltled 11406 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝐶)
67 elicc2 13448 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝐶)))
6853, 61, 67syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝐶)))
6952, 60, 66, 68mpbir3and 1341 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
7051, 69elind 4209 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)))
7147, 48, 49, 70suprubd 12227 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
7271, 1breqtrrdi 5189 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝑆)
7346, 72mtand 816 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
74 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
7574remetdval 24824 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) = (abs‘((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆)))
7644, 41, 75syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) = (abs‘((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆)))
7741recnd 11286 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℂ)
7842adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
7978recnd 11286 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℂ)
8077, 79pncan2d 11619 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆) = (𝑟 / 2))
8180fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆)) = (abs‘(𝑟 / 2)))
8238adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
83 rpre 13040 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑟 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
84 rpge0 13045 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑟 / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝑟 / 2))
8583, 84absidd 15457 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟 / 2) ∈ ℝ+ → (abs‘(𝑟 / 2)) = (𝑟 / 2))
8682, 85syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝑟 / 2)) = (𝑟 / 2))
8776, 81, 863eqtrd 2778 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) = (𝑟 / 2))
88 rphalflt 13061 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) < 𝑟)
8988adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) < 𝑟)
9087, 89eqbrtrd 5169 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) < 𝑟)
9174rexmet 24826 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
9291a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ))
93 rpxr 13041 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
9493adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
95 elbl3 24417 . . . . . . . . . 10 (((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) < 𝑟))
9692, 94, 41, 44, 95syl22anc 839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) < 𝑟))
9790, 96mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟))
98 ssel 3988 . . . . . . . 8 ((𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
9997, 98syl5com 31 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
10073, 99mtod 198 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
101100nrexdv 3146 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
10237adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆𝑈) → 𝑆 ∈ ℝ)
103102mnfltd 13163 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆𝑈) → -∞ < 𝑆)
104 suprleub 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝐶))
10516, 26, 35, 20, 104syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝐶))
10633, 105mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ 𝐶)
1071, 106eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆𝐶)
10837, 20leloed 11401 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆𝐶 ↔ (𝑆 < 𝐶𝑆 = 𝐶)))
109107, 108mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 < 𝐶𝑆 = 𝐶))
110109ord 864 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (¬ 𝑆 < 𝐶𝑆 = 𝐶))
111 elndif 4142 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶𝐴 → ¬ 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
1126, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
1135elin1d 4213 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶𝑉)
114 elin 3978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 ∈ (𝑈𝑉) ↔ (𝐶𝑈𝐶𝑉))
115 reconnlem2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑈𝑉) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
116115sseld 3993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑈𝑉) → 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
117114, 116biimtrrid 243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐶𝑈𝐶𝑉) → 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
118113, 117mpan2d 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶𝑈𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
119112, 118mtod 198 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝐶𝑈)
120 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 = 𝐶 → (𝑆𝑈𝐶𝑈))
121120notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 = 𝐶 → (¬ 𝑆𝑈 ↔ ¬ 𝐶𝑈))
122119, 121syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 = 𝐶 → ¬ 𝑆𝑈))
123110, 122syld 47 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (¬ 𝑆 < 𝐶 → ¬ 𝑆𝑈))
124123con4d 115 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑈𝑆 < 𝐶))
125124imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆𝑈) → 𝑆 < 𝐶)
126 mnfxr 11315 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
127 elioo2 13424 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑆𝑆 < 𝐶)))
128126, 21, 127sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑆𝑆 < 𝐶)))
129128adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆𝑈) → (𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑆𝑆 < 𝐶)))
130102, 103, 125, 129mpbir3and 1341 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆𝑈) → 𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶))
131130ex 412 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝑈𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶)))
132131ancld 550 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑈 → (𝑆𝑈𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶))))
133 elin 3978 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ↔ (𝑆𝑈𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶)))
134 reconnlem2.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (topGen‘ran (,)))
135 retop 24797 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
136 iooretop 24801 . . . . . . . . 9 (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
137 inopn 22920 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑈 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))) → (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)))
138135, 136, 137mp3an13 1451 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)))
139 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
14074, 139tgioo 24831 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
141140mopni2 24521 . . . . . . . . . 10 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
14291, 141mp3an1 1447 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
143142ex 412 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
144134, 138, 1433syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
145133, 144biimtrrid 243 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝑈𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
146132, 145syld 47 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝑈 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
147101, 146mtod 198 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑆𝑈)
148 ltsubrp 13068 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆𝑟) < 𝑆)
14937, 148sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆𝑟) < 𝑆)
150 rpre 13040 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
151 resubcl 11570 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑆𝑟) ∈ ℝ)
15237, 150, 151syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆𝑟) ∈ ℝ)
153152, 41ltnled 11405 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆𝑟) < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ (𝑆𝑟)))
154149, 153mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ 𝑆 ≤ (𝑆𝑟))
15574bl2ioo 24827 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)))
15637, 150, 155syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)))
157156sseq1d 4026 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉 ↔ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉))
15816ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
159 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)))
160158, 159sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ∈ ℝ)
161152ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑆𝑟) ∈ ℝ)
16213ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴)
1632, 162sstrid 4006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ 𝐴)
164163sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤𝐴)
165 elndif 4142 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝐴 → ¬ 𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
166164, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → ¬ 𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
167115ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → (𝑈𝑉) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
168 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)))
169168elin1d 4213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤𝑈)
170 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉)
171160adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ)
172 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → (𝑆𝑟) < 𝑤)
17341ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑆 ∈ ℝ)
174 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
175174rpred 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑟 ∈ ℝ)
176173, 175readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ)
177158adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
17826ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
17935ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧)
180177, 178, 179, 168suprubd 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
181180, 1breqtrrdi 5189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤𝑆)
182173, 174ltaddrpd 13107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑆 < (𝑆 + 𝑟))
183171, 173, 176, 181, 182lelttrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 < (𝑆 + 𝑟))
184152ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → (𝑆𝑟) ∈ ℝ)
185 rexr 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑆𝑟) ∈ ℝ → (𝑆𝑟) ∈ ℝ*)
186 rexr 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ → (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ*)
187 elioo2 13424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑆𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤𝑤 < (𝑆 + 𝑟))))
188185, 186, 187syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑆𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤𝑤 < (𝑆 + 𝑟))))
189184, 176, 188syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → (𝑤 ∈ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤𝑤 < (𝑆 + 𝑟))))
190171, 172, 183, 189mpbir3and 1341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)))
191170, 190sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤𝑉)
192169, 191elind 4209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝑈𝑉))
193167, 192sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
194193expr 456 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → ((𝑆𝑟) < 𝑤𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
195166, 194mtod 198 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → ¬ (𝑆𝑟) < 𝑤)
196160, 161, 195nltled 11408 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ≤ (𝑆𝑟))
197196ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ (𝑆𝑟))
19816ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
19926ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
20035ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧)
201152adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑆𝑟) ∈ ℝ)
202 suprleub 12231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧) ∧ (𝑆𝑟) ∈ ℝ) → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ (𝑆𝑟) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ (𝑆𝑟)))
203198, 199, 200, 201, 202syl31anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ (𝑆𝑟) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ (𝑆𝑟)))
204197, 203mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ (𝑆𝑟))
2051, 204eqbrtrid 5182 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → 𝑆 ≤ (𝑆𝑟))
206205ex 412 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉𝑆 ≤ (𝑆𝑟)))
207157, 206sylbid 240 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉𝑆 ≤ (𝑆𝑟)))
208154, 207mtod 198 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)
209208nrexdv 3146 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)
210 reconnlem2.3 . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)))
211140mopni2 24521 . . . . . . . 8 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)
21291, 211mp3an1 1447 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)
213212ex 412 . . . . . 6 (𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝑆𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉))
214210, 213syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉))
215209, 214mtod 198 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑆𝑉)
216 ioran 985 . . . 4 (¬ (𝑆𝑈𝑆𝑉) ↔ (¬ 𝑆𝑈 ∧ ¬ 𝑆𝑉))
217147, 215, 216sylanbrc 583 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑆𝑈𝑆𝑉))
218 elun 4162 . . 3 (𝑆 ∈ (𝑈𝑉) ↔ (𝑆𝑈𝑆𝑉))
219217, 218sylnibr 329 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ (𝑈𝑉))
220 elicc2 13448 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑆 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑆𝑆𝐶)))
22118, 20, 220syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑆𝑆𝐶)))
22237, 56, 107, 221mpbir3and 1341 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (𝐵[,]𝐶))
22313, 222sseldd 3995 . . 3 (𝜑𝑆𝐴)
224 ssel 3988 . . 3 (𝐴 ⊆ (𝑈𝑉) → (𝑆𝐴𝑆 ∈ (𝑈𝑉)))
225223, 224syl5com 31 . 2 (𝜑 → (𝐴 ⊆ (𝑈𝑉) → 𝑆 ∈ (𝑈𝑉)))
226219, 225mtod 198 1 (𝜑 → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  cdif 3959  cun 3960  cin 3961  wss 3962  c0 4338   class class class wbr 5147   × cxp 5686  ran crn 5689  cres 5690  ccom 5692  cfv 6562  (class class class)co 7430  supcsup 9477  cr 11151   + caddc 11155  -∞cmnf 11290  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  2c2 12318  +crp 13031  (,)cioo 13383  [,]cicc 13386  abscabs 15269  topGenctg 17483  ∞Metcxmet 21366  ballcbl 21368  MetOpencmopn 21371  Topctop 22914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-icc 13390  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-topgen 17489  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968
This theorem is referenced by:  reconn  24863
  Copyright terms: Public domain W3C validator