| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | reconnlem2.9 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝑆 = sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) |
| 2 | | inss2 4238 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ (𝐵[,]𝐶) |
| 3 | | reconnlem2.5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑈 ∩ 𝐴)) |
| 4 | 3 | elin2d 4205 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴) |
| 5 | | reconnlem2.6 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴)) |
| 6 | 5 | elin2d 4205 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴) |
| 7 | | reconnlem2.4 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) |
| 8 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥[,]𝑦) = (𝐵[,]𝑦)) |
| 9 | 8 | sseq1d 4015 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵[,]𝑦) ⊆ 𝐴)) |
| 10 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝐵[,]𝑦) = (𝐵[,]𝐶)) |
| 11 | 10 | sseq1d 4015 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑦 = 𝐶 → ((𝐵[,]𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴)) |
| 12 | 9, 11 | rspc2va 3634 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴) |
| 13 | 4, 6, 7, 12 | syl21anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴) |
| 14 | | reconnlem2.1 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ) |
| 15 | 13, 14 | sstrd 3994 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ) |
| 16 | 2, 15 | sstrid 3995 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ) |
| 17 | 3 | elin1d 4204 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈) |
| 18 | 14, 4 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 19 | 18 | rexrd 11311 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈
ℝ*) |
| 20 | 14, 6 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 21 | 20 | rexrd 11311 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈
ℝ*) |
| 22 | | reconnlem2.8 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶) |
| 23 | | lbicc2 13504 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 ∈
ℝ* ∧ 𝐵
≤ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶)) |
| 24 | 19, 21, 22, 23 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶)) |
| 25 | 17, 24 | elind 4200 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) |
| 26 | 25 | ne0d 4342 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅) |
| 27 | | elinel2 4202 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶)) |
| 28 | | elicc2 13452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝐶))) |
| 29 | 18, 20, 28 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝐶))) |
| 30 | | simp3 1139 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝐶) → 𝑤 ≤ 𝐶) |
| 31 | 29, 30 | biimtrdi 253 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝑤 ≤ 𝐶)) |
| 32 | 27, 31 | syl5 34 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑤 ≤ 𝐶)) |
| 33 | 32 | ralrimiv 3145 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝐶) |
| 34 | | brralrspcev 5203 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧
∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝐶) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧) |
| 35 | 20, 33, 34 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧) |
| 36 | 16, 26, 35 | suprcld 12231 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ∈
ℝ) |
| 37 | 1, 36 | eqeltrid 2845 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ) |
| 38 | | rphalfcl 13062 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑟 ∈ ℝ+
→ (𝑟 / 2) ∈
ℝ+) |
| 39 | | ltaddrp 13072 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑟 / 2) ∈
ℝ+) → 𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2))) |
| 40 | 37, 38, 39 | syl2an 596 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2))) |
| 41 | 37 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈
ℝ) |
| 42 | 38 | rpred 13077 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑟 ∈ ℝ+
→ (𝑟 / 2) ∈
ℝ) |
| 43 | | readdcl 11238 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ) →
(𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ) |
| 44 | 37, 42, 43 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ) |
| 45 | 41, 44 | ltnled 11408 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2)) ↔ ¬ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝑆)) |
| 46 | 40, 45 | mpbid 232 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ¬
(𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝑆) |
| 47 | 16 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ) |
| 48 | 26 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅) |
| 49 | 35 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧) |
| 50 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) |
| 51 | 50 | elin1d 4204 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑈) |
| 52 | 44 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ) |
| 53 | 18 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 54 | 37 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝑆 ∈ ℝ) |
| 55 | 16, 26, 35, 25 | suprubd 12230 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < )) |
| 56 | 55, 1 | breqtrrdi 5185 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝑆) |
| 57 | 56 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐵 ≤ 𝑆) |
| 58 | 40 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2))) |
| 59 | 54, 52, 58 | ltled 11409 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝑆 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2))) |
| 60 | 53, 54, 52, 57, 59 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐵 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2))) |
| 61 | 20 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 62 | 50 | elin2d 4205 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (-∞(,)𝐶)) |
| 63 | | eliooord 13446 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (-∞(,)𝐶) → (-∞ < (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) < 𝐶)) |
| 64 | 63 | simprd 495 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (-∞(,)𝐶) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) < 𝐶) |
| 65 | 62, 64 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) < 𝐶) |
| 66 | 52, 61, 65 | ltled 11409 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝐶) |
| 67 | | elicc2 13452 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝐶))) |
| 68 | 53, 61, 67 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝐶))) |
| 69 | 52, 60, 66, 68 | mpbir3and 1343 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵[,]𝐶)) |
| 70 | 51, 69 | elind 4200 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) |
| 71 | 47, 48, 49, 70 | suprubd 12230 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < )) |
| 72 | 71, 1 | breqtrrdi 5185 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝑆) |
| 73 | 46, 72 | mtand 816 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ¬
(𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) |
| 74 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − )
↾ (ℝ × ℝ)) |
| 75 | 74 | remetdval 24810 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾
(ℝ × ℝ))𝑆) = (abs‘((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆))) |
| 76 | 44, 41, 75 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾
(ℝ × ℝ))𝑆) = (abs‘((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆))) |
| 77 | 41 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈
ℂ) |
| 78 | 42 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈
ℝ) |
| 79 | 78 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈
ℂ) |
| 80 | 77, 79 | pncan2d 11622 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆) = (𝑟 / 2)) |
| 81 | 80 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
(abs‘((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆)) = (abs‘(𝑟 / 2))) |
| 82 | 38 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈
ℝ+) |
| 83 | | rpre 13043 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑟 / 2) ∈ ℝ+
→ (𝑟 / 2) ∈
ℝ) |
| 84 | | rpge0 13048 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑟 / 2) ∈ ℝ+
→ 0 ≤ (𝑟 /
2)) |
| 85 | 83, 84 | absidd 15461 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑟 / 2) ∈ ℝ+
→ (abs‘(𝑟 / 2))
= (𝑟 / 2)) |
| 86 | 82, 85 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
(abs‘(𝑟 / 2)) =
(𝑟 / 2)) |
| 87 | 76, 81, 86 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾
(ℝ × ℝ))𝑆) = (𝑟 / 2)) |
| 88 | | rphalflt 13064 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑟 ∈ ℝ+
→ (𝑟 / 2) < 𝑟) |
| 89 | 88 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) < 𝑟) |
| 90 | 87, 89 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾
(ℝ × ℝ))𝑆) < 𝑟) |
| 91 | 74 | rexmet 24812 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈
(∞Met‘ℝ) |
| 92 | 91 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈
(∞Met‘ℝ)) |
| 93 | | rpxr 13044 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑟 ∈ ℝ+
→ 𝑟 ∈
ℝ*) |
| 94 | 93 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈
ℝ*) |
| 95 | | elbl3 24402 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈
(∞Met‘ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾
(ℝ × ℝ)))𝑟) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾
(ℝ × ℝ))𝑆) < 𝑟)) |
| 96 | 92, 94, 41, 44, 95 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾
(ℝ × ℝ)))𝑟) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾
(ℝ × ℝ))𝑆) < 𝑟)) |
| 97 | 90, 96 | mpbird 257 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾
(ℝ × ℝ)))𝑟)) |
| 98 | | ssel 3977 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑆(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾
(ℝ × ℝ)))𝑟) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))) |
| 99 | 97, 98 | syl5com 31 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))) |
| 100 | 73, 99 | mtod 198 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ¬
(𝑆(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) |
| 101 | 100 | nrexdv 3149 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ+
(𝑆(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) |
| 102 | 37 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑈) → 𝑆 ∈ ℝ) |
| 103 | 102 | mnfltd 13166 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑈) → -∞ < 𝑆) |
| 104 | | suprleub 12234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝐶)) |
| 105 | 16, 26, 35, 20, 104 | syl31anc 1375 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝐶)) |
| 106 | 33, 105 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ 𝐶) |
| 107 | 1, 106 | eqbrtrid 5178 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ 𝐶) |
| 108 | 37, 20 | leloed 11404 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑆 ≤ 𝐶 ↔ (𝑆 < 𝐶 ∨ 𝑆 = 𝐶))) |
| 109 | 107, 108 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑆 < 𝐶 ∨ 𝑆 = 𝐶)) |
| 110 | 109 | ord 865 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (¬ 𝑆 < 𝐶 → 𝑆 = 𝐶)) |
| 111 | | elndif 4133 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) |
| 112 | 6, 111 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) |
| 113 | 5 | elin1d 4204 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉) |
| 114 | | elin 3967 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐶 ∈ (𝑈 ∩ 𝑉) ↔ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) |
| 115 | | reconnlem2.7 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) |
| 116 | 115 | sseld 3982 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑈 ∩ 𝑉) → 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))) |
| 117 | 114, 116 | biimtrrid 243 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))) |
| 118 | 113, 117 | mpan2d 694 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝑈 → 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))) |
| 119 | 112, 118 | mtod 198 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝑈) |
| 120 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑆 = 𝐶 → (𝑆 ∈ 𝑈 ↔ 𝐶 ∈ 𝑈)) |
| 121 | 120 | notbid 318 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑆 = 𝐶 → (¬ 𝑆 ∈ 𝑈 ↔ ¬ 𝐶 ∈ 𝑈)) |
| 122 | 119, 121 | syl5ibrcom 247 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑆 = 𝐶 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑈)) |
| 123 | 110, 122 | syld 47 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (¬ 𝑆 < 𝐶 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑈)) |
| 124 | 123 | con4d 115 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑈 → 𝑆 < 𝐶)) |
| 125 | 124 | imp 406 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑈) → 𝑆 < 𝐶) |
| 126 | | mnfxr 11318 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ -∞
∈ ℝ* |
| 127 | | elioo2 13428 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐶))) |
| 128 | 126, 21, 127 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐶))) |
| 129 | 128 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑈) → (𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐶))) |
| 130 | 102, 103,
125, 129 | mpbir3and 1343 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑈) → 𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶)) |
| 131 | 130 | ex 412 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑈 → 𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶))) |
| 132 | 131 | ancld 550 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑈 → (𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶)))) |
| 133 | | elin 3967 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ↔ (𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶))) |
| 134 | | reconnlem2.2 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (topGen‘ran
(,))) |
| 135 | | retop 24782 |
. . . . . . . . 9
⊢
(topGen‘ran (,)) ∈ Top |
| 136 | | iooretop 24786 |
. . . . . . . . 9
⊢
(-∞(,)𝐶)
∈ (topGen‘ran (,)) |
| 137 | | inopn 22905 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑈 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧
(-∞(,)𝐶) ∈
(topGen‘ran (,))) → (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran
(,))) |
| 138 | 135, 136,
137 | mp3an13 1454 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑈 ∈ (topGen‘ran (,))
→ (𝑈 ∩
(-∞(,)𝐶)) ∈
(topGen‘ran (,))) |
| 139 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ ×
ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ ×
ℝ))) |
| 140 | 74, 139 | tgioo 24817 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾
(ℝ × ℝ))) |
| 141 | 140 | mopni2 24506 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈
(∞Met‘ℝ) ∧ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) |
| 142 | 91, 141 | mp3an1 1450 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,))
∧ 𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+
(𝑆(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) |
| 143 | 142 | ex 412 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,))
→ (𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+
(𝑆(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))) |
| 144 | 134, 138,
143 | 3syl 18 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))) |
| 145 | 133, 144 | biimtrrid 243 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))) |
| 146 | 132, 145 | syld 47 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑈 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))) |
| 147 | 101, 146 | mtod 198 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑈) |
| 148 | | ltsubrp 13071 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)
→ (𝑆 − 𝑟) < 𝑆) |
| 149 | 37, 148 | sylan 580 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆 − 𝑟) < 𝑆) |
| 150 | | rpre 13043 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑟 ∈ ℝ+
→ 𝑟 ∈
ℝ) |
| 151 | | resubcl 11573 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ) |
| 152 | 37, 150, 151 | syl2an 596 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ) |
| 153 | 152, 41 | ltnled 11408 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆 − 𝑟) < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 𝑟))) |
| 154 | 149, 153 | mpbid 232 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ¬
𝑆 ≤ (𝑆 − 𝑟)) |
| 155 | 74 | bl2ioo 24813 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑆(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟))) |
| 156 | 37, 150, 155 | syl2an 596 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟))) |
| 157 | 156 | sseq1d 4015 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉 ↔ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉)) |
| 158 | 16 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ) |
| 159 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) |
| 160 | 158, 159 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ∈ ℝ) |
| 161 | 152 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ) |
| 162 | 13 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴) |
| 163 | 2, 162 | sstrid 3995 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ 𝐴) |
| 164 | 163 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ∈ 𝐴) |
| 165 | | elndif 4133 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) |
| 166 | 164, 165 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → ¬ 𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) |
| 167 | 115 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) |
| 168 | | simprl 771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) |
| 169 | 168 | elin1d 4204 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝑈) |
| 170 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) |
| 171 | 160 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ) |
| 172 | | simprr 773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑆 − 𝑟) < 𝑤) |
| 173 | 41 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑆 ∈ ℝ) |
| 174 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑟 ∈ ℝ+) |
| 175 | 174 | rpred 13077 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑟 ∈ ℝ) |
| 176 | 173, 175 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ) |
| 177 | 158 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ) |
| 178 | 26 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅) |
| 179 | 35 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧) |
| 180 | 177, 178,
179, 168 | suprubd 12230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < )) |
| 181 | 180, 1 | breqtrrdi 5185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ≤ 𝑆) |
| 182 | 173, 174 | ltaddrpd 13110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑆 < (𝑆 + 𝑟)) |
| 183 | 171, 173,
176, 181, 182 | lelttrd 11419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 < (𝑆 + 𝑟)) |
| 184 | 152 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ) |
| 185 | | rexr 11307 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ → (𝑆 − 𝑟) ∈
ℝ*) |
| 186 | | rexr 11307 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ → (𝑆 + 𝑟) ∈
ℝ*) |
| 187 | | elioo2 13428 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑆 + 𝑟)))) |
| 188 | 185, 186,
187 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑆 + 𝑟)))) |
| 189 | 184, 176,
188 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑤 ∈ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑆 + 𝑟)))) |
| 190 | 171, 172,
183, 189 | mpbir3and 1343 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟))) |
| 191 | 170, 190 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝑉) |
| 192 | 169, 191 | elind 4200 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ 𝑉)) |
| 193 | 167, 192 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) |
| 194 | 193 | expr 456 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → ((𝑆 − 𝑟) < 𝑤 → 𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))) |
| 195 | 166, 194 | mtod 198 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → ¬ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤) |
| 196 | 160, 161,
195 | nltled 11411 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ≤ (𝑆 − 𝑟)) |
| 197 | 196 | ralrimiva 3146 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ (𝑆 − 𝑟)) |
| 198 | 16 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ) |
| 199 | 26 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅) |
| 200 | 35 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧) |
| 201 | 152 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ) |
| 202 | | suprleub 12234 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧) ∧ (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ) → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 𝑟) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ (𝑆 − 𝑟))) |
| 203 | 198, 199,
200, 201, 202 | syl31anc 1375 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 𝑟) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ (𝑆 − 𝑟))) |
| 204 | 197, 203 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 𝑟)) |
| 205 | 1, 204 | eqbrtrid 5178 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → 𝑆 ≤ (𝑆 − 𝑟)) |
| 206 | 205 | ex 412 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉 → 𝑆 ≤ (𝑆 − 𝑟))) |
| 207 | 157, 206 | sylbid 240 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉 → 𝑆 ≤ (𝑆 − 𝑟))) |
| 208 | 154, 207 | mtod 198 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ¬
(𝑆(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉) |
| 209 | 208 | nrexdv 3149 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ+
(𝑆(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉) |
| 210 | | reconnlem2.3 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (topGen‘ran
(,))) |
| 211 | 140 | mopni2 24506 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈
(∞Met‘ℝ) ∧ 𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉) |
| 212 | 91, 211 | mp3an1 1450 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑉 ∈ (topGen‘ran (,))
∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+
(𝑆(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉) |
| 213 | 212 | ex 412 |
. . . . . 6
⊢ (𝑉 ∈ (topGen‘ran (,))
→ (𝑆 ∈ 𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ+
(𝑆(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)) |
| 214 | 210, 213 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)) |
| 215 | 209, 214 | mtod 198 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑉) |
| 216 | | ioran 986 |
. . . 4
⊢ (¬
(𝑆 ∈ 𝑈 ∨ 𝑆 ∈ 𝑉) ↔ (¬ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑆 ∈ 𝑉)) |
| 217 | 147, 215,
216 | sylanbrc 583 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ¬ (𝑆 ∈ 𝑈 ∨ 𝑆 ∈ 𝑉)) |
| 218 | | elun 4153 |
. . 3
⊢ (𝑆 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉) ↔ (𝑆 ∈ 𝑈 ∨ 𝑆 ∈ 𝑉)) |
| 219 | 217, 218 | sylnibr 329 |
. 2
⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)) |
| 220 | | elicc2 13452 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑆 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 𝐶))) |
| 221 | 18, 20, 220 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 𝐶))) |
| 222 | 37, 56, 107, 221 | mpbir3and 1343 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐵[,]𝐶)) |
| 223 | 13, 222 | sseldd 3984 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴) |
| 224 | | ssel 3977 |
. . 3
⊢ (𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉) → (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉))) |
| 225 | 223, 224 | syl5com 31 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉) → 𝑆 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉))) |
| 226 | 219, 225 | mtod 198 |
1
⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉)) |