reconnlem2 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > reconnlem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem reconnlem2 22909

Description: Lemma for reconn 22910. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
reconnlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
reconnlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (topGen‘ran (,)))
reconnlem2.3	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)))
reconnlem2.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
reconnlem2.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑈 ∩ 𝐴))
reconnlem2.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴))
reconnlem2.7	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
reconnlem2.8	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
reconnlem2.9	⊢ 𝑆 = sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < )

**Assertion**
Ref	Expression
reconnlem2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦,𝐴 𝑥,𝐵,𝑦 𝑦,𝐶 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑦) 𝐶(𝑥) 𝑆(𝑥,𝑦) 𝑈(𝑥,𝑦) 𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem reconnlem2 Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reconnlem2.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < )
2		inss2 3993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ (𝐵[,]𝐶)
3		inss2 3993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑈 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴
4		reconnlem2.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑈 ∩ 𝐴))
5	3, 4	sseldi 3759	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
6		inss2 3993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑉 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴
7		reconnlem2.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴))
8	6, 7	sseldi 3759	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
9		reconnlem2.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
10		oveq1 6849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥[,]𝑦) = (𝐵[,]𝑦))
11	10	sseq1d 3792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
12		oveq2 6850	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝐵[,]𝑦) = (𝐵[,]𝐶))
13	12	sseq1d 3792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → ((𝐵[,]𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴))
14	11, 13	rspc2va 3475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴)
15	5, 8, 9, 14	syl21anc 866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴)
16		reconnlem2.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
17	15, 16	sstrd 3771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
18	2, 17	syl5ss 3772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
19		inss1 3992	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑈 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑈
20	19, 4	sseldi 3759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
21	16, 5	sseldd 3762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
22	21	rexrd 10343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
23	16, 8	sseldd 3762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
24	23	rexrd 10343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ^*)
25		reconnlem2.8	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
26		lbicc2 12492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
27	22, 24, 25, 26	syl3anc 1490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
28	20, 27	elind 3960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)))
29	28	ne0d 4086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
30	2	sseli 3757	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶))
31		elicc2 12440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝐶)))
32	21, 23, 31	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝐶)))
33		simp3 1168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝐶) → 𝑤 ≤ 𝐶)
34	32, 33	syl6bi 244	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝑤 ≤ 𝐶))
35	30, 34	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑤 ≤ 𝐶))
36	35	ralrimiv 3112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝐶)
37		brralrspcev 4869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝐶) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧)
38	23, 36, 37	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧)
39		suprcl 11237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧) → sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
40	18, 29, 38, 39	syl3anc 1490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
41	1, 40	syl5eqel 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
42		rphalfcl 12056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ⁺)
43		ltaddrp 12065	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ⁺) → 𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2)))
44	41, 42, 43	syl2an 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2)))
45	41	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑆 ∈ ℝ)
46	42	rpred 12070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
47		readdcl 10272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
48	41, 46, 47	syl2an 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
49	45, 48	ltnled 10438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2)) ↔ ¬ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝑆))
50	44, 49	mpbid 223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ¬ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝑆)
51	18	ad2antrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
52	29	ad2antrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
53	38	ad2antrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧)
54		inss1 3992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ⊆ 𝑈
55		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
56	54, 55	sseldi 3759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑈)
57	48	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
58	21	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ)
59	41	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝑆 ∈ ℝ)
60		suprub 11238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧) ∧ 𝐵 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝐵 ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
61	18, 29, 38, 28, 60	syl31anc 1492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
62	61, 1	syl6breqr 4851	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝑆)
63	62	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐵 ≤ 𝑆)
64	44	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2)))
65	59, 57, 64	ltled 10439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝑆 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)))
66	58, 59, 57, 63, 65	letrd 10448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐵 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)))
67	23	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
68		inss2 3993	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ⊆ (-∞(,)𝐶)
69	68, 55	sseldi 3759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (-∞(,)𝐶))
70		eliooord 12435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (-∞(,)𝐶) → (-∞ < (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) < 𝐶))
71	70	simprd 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (-∞(,)𝐶) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) < 𝐶)
72	69, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) < 𝐶)
73	57, 67, 72	ltled 10439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝐶)
74		elicc2 12440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝐶)))
75	58, 67, 74	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝐶)))
76	57, 66, 73, 75	mpbir3and 1442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
77	56, 76	elind 3960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)))
78		suprub 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
79	51, 52, 53, 77, 78	syl31anc 1492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
80	79, 1	syl6breqr 4851	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝑆)
81	50, 80	mtand 850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ¬ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
82		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
83	82	remetdval 22871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) = (abs‘((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆)))
84	48, 45, 83	syl2anc 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) = (abs‘((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆)))
85	45	recnd 10322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑆 ∈ ℂ)
86	46	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
87	86	recnd 10322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑟 / 2) ∈ ℂ)
88	85, 87	pncan2d 10648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆) = (𝑟 / 2))
89	88	fveq2d 6379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (abs‘((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆)) = (abs‘(𝑟 / 2)))
90	42	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ⁺)
91		rpre 12036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 / 2) ∈ ℝ⁺ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
92		rpge0 12043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 / 2) ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ (𝑟 / 2))
93	91, 92	absidd 14448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 / 2) ∈ ℝ⁺ → (abs‘(𝑟 / 2)) = (𝑟 / 2))
94	90, 93	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (abs‘(𝑟 / 2)) = (𝑟 / 2))
95	84, 89, 94	3eqtrd 2803	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) = (𝑟 / 2))
96		rphalflt 12058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → (𝑟 / 2) < 𝑟)
97	96	adantl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑟 / 2) < 𝑟)
98	95, 97	eqbrtrd 4831	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) < 𝑟)
99	82	rexmet 22873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
100	99	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ))
101		rpxr 12039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → 𝑟 ∈ ℝ^*)
102	101	adantl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑟 ∈ ℝ^*)
103		elbl3 22476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ^*) ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) < 𝑟))
104	100, 102, 45, 48, 103	syl22anc 867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) < 𝑟))
105	98, 104	mpbird 248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟))
106		ssel 3755	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
107	105, 106	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
108	81, 107	mtod 189	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ¬ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
109	108	nrexdv 3147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
110	41	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑈) → 𝑆 ∈ ℝ)
111		mnflt 12157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ → -∞ < 𝑆)
112	110, 111	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑈) → -∞ < 𝑆)
113		suprleub 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝐶))
114	18, 29, 38, 23, 113	syl31anc 1492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝐶))
115	36, 114	mpbird 248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ 𝐶)
116	1, 115	syl5eqbr 4844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ 𝐶)
117	41, 23	leloed 10434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ≤ 𝐶 ↔ (𝑆 < 𝐶 ∨ 𝑆 = 𝐶)))
118	116, 117	mpbid 223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < 𝐶 ∨ 𝑆 = 𝐶))
119	118	ord 890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑆 < 𝐶 → 𝑆 = 𝐶))
120		elndif 3896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
121	8, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
122		inss1 3992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑉 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑉
123	122, 7	sseldi 3759	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
124		elin 3958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑈 ∩ 𝑉) ↔ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
125		reconnlem2.7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
126	125	sseld 3760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑈 ∩ 𝑉) → 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
127	124, 126	syl5bir 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
128	123, 127	mpan2d 685	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝑈 → 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
129	121, 128	mtod 189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝑈)
130		eleq1 2832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 = 𝐶 → (𝑆 ∈ 𝑈 ↔ 𝐶 ∈ 𝑈))
131	130	notbid 309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 = 𝐶 → (¬ 𝑆 ∈ 𝑈 ↔ ¬ 𝐶 ∈ 𝑈))
132	129, 131	syl5ibrcom 238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = 𝐶 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑈))
133	119, 132	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑆 < 𝐶 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑈))
134	133	con4d 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑈 → 𝑆 < 𝐶))
135	134	imp 395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑈) → 𝑆 < 𝐶)
136		mnfxr 10350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
137		elioo2 12418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → (𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐶)))
138	136, 24, 137	sylancr 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐶)))
139	138	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑈) → (𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐶)))
140	110, 112, 135, 139	mpbir3and 1442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑈) → 𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶))
141	140	ex 401	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑈 → 𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶)))
142	141	ancld 546	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑈 → (𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶))))
143		elin 3958	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ↔ (𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶)))
144		reconnlem2.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (topGen‘ran (,)))
145		retop 22844	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
146		iooretop 22848	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
147		inopn 20983	. . . . . . . . 9 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑈 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))) → (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)))
148	145, 146, 147	mp3an13 1576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)))
149		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
150	82, 149	tgioo 22878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
151	150	mopni2 22577	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
152	99, 151	mp3an1 1572	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
153	152	ex 401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
154	144, 148, 153	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
155	143, 154	syl5bir 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶)) → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
156	142, 155	syld 47	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑈 → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
157	109, 156	mtod 189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑈)
158		ltsubrp 12064	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑆 − 𝑟) < 𝑆)
159	41, 158	sylan 575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑆 − 𝑟) < 𝑆)
160		rpre 12036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → 𝑟 ∈ ℝ)
161		resubcl 10599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ)
162	41, 160, 161	syl2an 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ)
163	162, 45	ltnled 10438	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆 − 𝑟) < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 𝑟)))
164	159, 163	mpbid 223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 𝑟))
165	82	bl2ioo 22874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)))
166	41, 160, 165	syl2an 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)))
167	166	sseq1d 3792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉 ↔ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉))
168	15	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴)
169	2, 168	syl5ss 3772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ 𝐴)
170	169	sselda 3761	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ∈ 𝐴)
171		elndif 3896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
172	170, 171	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → ¬ 𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
173	125	ad3antrrr 721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
174		inss1 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ 𝑈
175		simprl 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)))
176	174, 175	sseldi 3759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝑈)
177		simplr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉)
178	18	ad3antrrr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
179		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)))
180	178, 179	sseldd 3762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ∈ ℝ)
181	180	adantrr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ)
182		simprr 789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)
183	45	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑆 ∈ ℝ)
184		simpllr 793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
185	184	rpred 12070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑟 ∈ ℝ)
186	183, 185	readdcld 10323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ)
187	178	adantrr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
188	29	ad3antrrr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
189	38	ad3antrrr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧)
190		suprub 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
191	187, 188, 189, 175, 190	syl31anc 1492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
192	191, 1	syl6breqr 4851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ≤ 𝑆)
193	183, 184	ltaddrpd 12103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑆 < (𝑆 + 𝑟))
194	181, 183, 186, 192, 193	lelttrd 10449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 < (𝑆 + 𝑟))
195	162	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ)
196		rexr 10339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ → (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ^*)
197		rexr 10339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ → (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ^*)
198		elioo2 12418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ^* ∧ (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ^*) → (𝑤 ∈ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑆 + 𝑟))))
199	196, 197, 198	syl2an 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑆 + 𝑟))))
200	195, 186, 199	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑤 ∈ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑆 + 𝑟))))
201	181, 182, 194, 200	mpbir3and 1442	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)))
202	177, 201	sseldd 3762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝑉)
203	176, 202	elind 3960	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ 𝑉))
204	173, 203	sseldd 3762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
205	204	expr 448	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → ((𝑆 − 𝑟) < 𝑤 → 𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
206	172, 205	mtod 189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → ¬ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)
207	162	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ)
208	180, 207	lenltd 10437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑤 ≤ (𝑆 − 𝑟) ↔ ¬ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤))
209	206, 208	mpbird 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ≤ (𝑆 − 𝑟))
210	209	ralrimiva 3113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ (𝑆 − 𝑟))
211	18	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
212	29	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
213	38	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧)
214	162	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ)
215		suprleub 11243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧) ∧ (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ) → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 𝑟) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ (𝑆 − 𝑟)))
216	211, 212, 213, 214, 215	syl31anc 1492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 𝑟) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ (𝑆 − 𝑟)))
217	210, 216	mpbird 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 𝑟))
218	1, 217	syl5eqbr 4844	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → 𝑆 ≤ (𝑆 − 𝑟))
219	218	ex 401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉 → 𝑆 ≤ (𝑆 − 𝑟)))
220	167, 219	sylbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉 → 𝑆 ≤ (𝑆 − 𝑟)))
221	164, 220	mtod 189	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ¬ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)
222	221	nrexdv 3147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)
223		reconnlem2.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)))
224	150	mopni2 22577	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)
225	99, 224	mp3an1 1572	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)
226	225	ex 401	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝑆 ∈ 𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉))
227	223, 226	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉))
228	222, 227	mtod 189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑉)
229		ioran 1006	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ 𝑈 ∨ 𝑆 ∈ 𝑉) ↔ (¬ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑆 ∈ 𝑉))
230	157, 228, 229	sylanbrc 578	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑆 ∈ 𝑈 ∨ 𝑆 ∈ 𝑉))
231		elun 3915	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉) ↔ (𝑆 ∈ 𝑈 ∨ 𝑆 ∈ 𝑉))
232	230, 231	sylnibr 320	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉))
233		elicc2 12440	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑆 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 𝐶)))
234	21, 23, 233	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 𝐶)))
235	41, 62, 116, 234	mpbir3and 1442	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐵[,]𝐶))
236	15, 235	sseldd 3762	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
237		ssel 3755	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉) → (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)))
238	236, 237	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉) → 𝑆 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)))
239	232, 238	mtod 189	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 197 ∧ wa 384 ∨ wo 873 ∧ w3a 1107 = wceq 1652 ∈ wcel 2155 ≠ wne 2937 ∀wral 3055 ∃wrex 3056 ∖ cdif 3729 ∪ cun 3730 ∩ cin 3731 ⊆ wss 3732 ∅c0 4079 class class class wbr 4809 × cxp 5275 ran crn 5278 ↾ cres 5279 ∘ ccom 5281 ‘cfv 6068 (class class class)co 6842 supcsup 8553 ℝcr 10188 + caddc 10192 -∞cmnf 10326 ℝ^*cxr 10327 < clt 10328 ≤ cle 10329 − cmin 10520 / cdiv 10938 2c2 11327 ℝ⁺crp 12028 (,)cioo 12377 [,]cicc 12380 abscabs 14261 topGenctg 16366 ∞Metcxmet 20004 ballcbl 20006 MetOpencmopn 20009 Topctop 20977

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1890 ax-4 1904 ax-5 2005 ax-6 2070 ax-7 2105 ax-8 2157 ax-9 2164 ax-10 2183 ax-11 2198 ax-12 2211 ax-13 2352 ax-ext 2743 ax-sep 4941 ax-nul 4949 ax-pow 5001 ax-pr 5062 ax-un 7147 ax-cnex 10245 ax-resscn 10246 ax-1cn 10247 ax-icn 10248 ax-addcl 10249 ax-addrcl 10250 ax-mulcl 10251 ax-mulrcl 10252 ax-mulcom 10253 ax-addass 10254 ax-mulass 10255 ax-distr 10256 ax-i2m1 10257 ax-1ne0 10258 ax-1rid 10259 ax-rnegex 10260 ax-rrecex 10261 ax-cnre 10262 ax-pre-lttri 10263 ax-pre-lttrn 10264 ax-pre-ltadd 10265 ax-pre-mulgt0 10266 ax-pre-sup 10267

This theorem depends on definitions: df-bi 198 df-an 385 df-or 874 df-3or 1108 df-3an 1109 df-tru 1656 df-ex 1875 df-nf 1879 df-sb 2063 df-mo 2565 df-eu 2582 df-clab 2752 df-cleq 2758 df-clel 2761 df-nfc 2896 df-ne 2938 df-nel 3041 df-ral 3060 df-rex 3061 df-reu 3062 df-rmo 3063 df-rab 3064 df-v 3352 df-sbc 3597 df-csb 3692 df-dif 3735 df-un 3737 df-in 3739 df-ss 3746 df-pss 3748 df-nul 4080 df-if 4244 df-pw 4317 df-sn 4335 df-pr 4337 df-tp 4339 df-op 4341 df-uni 4595 df-iun 4678 df-br 4810 df-opab 4872 df-mpt 4889 df-tr 4912 df-id 5185 df-eprel 5190 df-po 5198 df-so 5199 df-fr 5236 df-we 5238 df-xp 5283 df-rel 5284 df-cnv 5285 df-co 5286 df-dm 5287 df-rn 5288 df-res 5289 df-ima 5290 df-pred 5865 df-ord 5911 df-on 5912 df-lim 5913 df-suc 5914 df-iota 6031 df-fun 6070 df-fn 6071 df-f 6072 df-f1 6073 df-fo 6074 df-f1o 6075 df-fv 6076 df-riota 6803 df-ov 6845 df-oprab 6846 df-mpt2 6847 df-om 7264 df-1st 7366 df-2nd 7367 df-wrecs 7610 df-recs 7672 df-rdg 7710 df-er 7947 df-map 8062 df-en 8161 df-dom 8162 df-sdom 8163 df-sup 8555 df-inf 8556 df-pnf 10330 df-mnf 10331 df-xr 10332 df-ltxr 10333 df-le 10334 df-sub 10522 df-neg 10523 df-div 10939 df-nn 11275 df-2 11335 df-3 11336 df-n0 11539 df-z 11625 df-uz 11887 df-q 11990 df-rp 12029 df-xneg 12146 df-xadd 12147 df-xmul 12148 df-ioo 12381 df-icc 12384 df-seq 13009 df-exp 13068 df-cj 14126 df-re 14127 df-im 14128 df-sqrt 14262 df-abs 14263 df-topgen 16372 df-psmet 20011 df-xmet 20012 df-met 20013 df-bl 20014 df-mopn 20015 df-top 20978 df-topon 20995 df-bases 21030

This theorem is referenced by: reconn 22910

W3C validator