etransclem24 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem etransclem24 43799

Description: 𝑃 divides the I -th derivative of 𝐹 applied to 𝐽. when 𝐽 = 0 and 𝐼 is not equal to 𝑃 − 1. This is the second part of case 2 proven in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
etransclem24.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem24.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
etransclem24.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ₀)
etransclem24.ip	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ (𝑃 − 1))
etransclem24.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 = 0)
etransclem24.c	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
etransclem24.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶‘𝐼))

**Assertion**
Ref	Expression
etransclem24	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))

Distinct variable groups: 𝐷,𝑐,𝑗 𝐼,𝑐,𝑛 𝑗,𝐽 𝑀,𝑐,𝑗,𝑛 𝑃,𝑗 𝜑,𝑗,𝑛 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑐) 𝐶(𝑗,𝑛,𝑐) 𝐷(𝑛) 𝑃(𝑛,𝑐) 𝐼(𝑗) 𝐽(𝑛,𝑐)

Proof of Theorem etransclem24 Dummy variables 𝐴 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem24.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶‘𝐼))
2		etransclem24.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
3		etransclem24.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ₀)
4	2, 3	etransclem12 43787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) = {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝐼})
5	1, 4	eleqtrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝐼})
6		fveq1 6773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (𝑐‘𝑗) = (𝐷‘𝑗))
7	6	sumeq2sdv 15416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗))
8	7	eqeq1d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝐼 ↔ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝐼))
9	8	elrab 3624	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝐼} ↔ (𝐷 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝐼))
10	5, 9	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝐼))
11	10	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝐼)
12	11	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ¬ ∃𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝐼)
13		ralnex 3167	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑘) ∈ ℕ)
14		etransclem24.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
15		nn0uz 12620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
16	14, 15	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘0))
17	16	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘0))
18		fzsscn 42850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0...𝐼) ⊆ ℂ
19		ssrab2 4013	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝐼} ⊆ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀))
20	4, 19	eqsstrdi 3975	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) ⊆ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)))
21	20, 1	sseldd 3922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)))
22		elmapi 8637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
24	23	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) ∈ (0...𝐼))
25	18, 24	sselid 3919	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) ∈ ℂ)
26	25	ad4ant14 749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) ∈ ℂ)
27		fveq2 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐷‘𝑗) = (𝐷‘0))
28	17, 26, 27	fsum1p 15465	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = ((𝐷‘0) + Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷‘𝑗)))
29		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (𝐷‘0) = (𝑃 − 1))
30		0p1e1 12095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 1) = 1
31	30	oveq1i 7285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀)
32	31	sumeq1i 15410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑗)
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑗))
34		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐷‘𝑘) = (𝐷‘𝑗))
35	34	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐷‘𝑘) ∈ ℕ ↔ (𝐷‘𝑗) ∈ ℕ))
36	35	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ ↔ ¬ (𝐷‘𝑗) ∈ ℕ))
37	36	rspccva 3560	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ¬ (𝐷‘𝑗) ∈ ℕ)
38	37	adantll 711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ¬ (𝐷‘𝑗) ∈ ℕ)
39		fzssnn0 42856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0...𝐼) ⊆ ℕ₀
40		fz1ssfz0 13352	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀)
41	40	sseli 3917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
42	41, 24	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) ∈ (0...𝐼))
43	39, 42	sselid 3919	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) ∈ ℕ₀)
44		elnn0 12235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷‘𝑗) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝐷‘𝑗) ∈ ℕ ∨ (𝐷‘𝑗) = 0))
45	43, 44	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐷‘𝑗) ∈ ℕ ∨ (𝐷‘𝑗) = 0))
46	45	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐷‘𝑗) ∈ ℕ ∨ (𝐷‘𝑗) = 0))
47		orel1 886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ (𝐷‘𝑗) ∈ ℕ → (((𝐷‘𝑗) ∈ ℕ ∨ (𝐷‘𝑗) = 0) → (𝐷‘𝑗) = 0))
48	38, 46, 47	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) = 0)
49	48	sumeq2dv 15415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0)
50		fzfi 13692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑀) ∈ Fin
51	50	olci 863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1...𝑀) ⊆ (ℤ_≥‘𝐴) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin)
52		sumz 15434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1...𝑀) ⊆ (ℤ_≥‘𝐴) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
53	51, 52	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
54	33, 49, 53	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 0)
55	54	adantlr 712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 0)
56	29, 55	oveq12d 7293	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → ((𝐷‘0) + Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷‘𝑗)) = ((𝑃 − 1) + 0))
57		etransclem24.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
58		nnm1nn0 12274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ₀)
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ₀)
60	59	nn0red 12294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
61	60	recnd 11003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
62	61	addid1d 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 0) = (𝑃 − 1))
63	62	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) + 0) = (𝑃 − 1))
64	28, 56, 63	3eqtrd 2782	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = (𝑃 − 1))
65		etransclem24.ip	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ (𝑃 − 1))
66	65	necomd 2999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ≠ 𝐼)
67	66	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (𝑃 − 1) ≠ 𝐼)
68	64, 67	eqnetrd 3011	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) ≠ 𝐼)
69	68	neneqd 2948	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → ¬ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝐼)
70	13, 69	sylan2br 595	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ¬ ∃𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → ¬ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝐼)
71	12, 70	condan 815	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ∃𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑘) ∈ ℕ)
72	57	nnzd 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
73	11	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗))
74	73	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐼) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗)))
75	74	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))))
76		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗𝐷
77		fzfid 13693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
78		nn0ex 12239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ₀ ∈ V
79		mapss 8677	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℕ₀ ∈ V ∧ (0...𝐼) ⊆ ℕ₀) → ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ₀ ↑_m (0...𝑀)))
80	78, 39, 79	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ₀ ↑_m (0...𝑀))
81	80, 21	sselid 3919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℕ₀ ↑_m (0...𝑀)))
82	76, 77, 81	mccl 43139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℕ)
83	75, 82	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℕ)
84	83	nnzd 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℤ)
85		fzfid 13693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
86	57	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
87	23	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
88	41	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
89		etransclem24.j	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = 0)
90		0zd 12331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
91	89, 90	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
93	86, 87, 88, 92	etransclem3 43778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ)
94	85, 93	fprodzcl 15664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ)
95	72, 84, 94	3jca 1127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ))
96	95	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ))
97	72	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ)
98	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
99	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
100	40	sseli 3917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
101	100	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
102	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
103	98, 99, 101, 102	etransclem3 43778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) ∈ ℤ)
104		difss 4066	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ⊆ (1...𝑀)
105		ssfi 8956	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ⊆ (1...𝑀)) → ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ∈ Fin)
106	50, 104, 105	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ∈ Fin
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ∈ Fin)
108	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})) → 𝑃 ∈ ℕ)
109	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
110	104, 40	sstri 3930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ⊆ (0...𝑀)
111	110	sseli 3917	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
112	111	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
113	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})) → 𝐽 ∈ ℤ)
114	108, 109, 112, 113	etransclem3 43778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ)
115	107, 114	fprodzcl 15664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ)
116	115	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ)
117	97, 103, 116	3jca 1127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ))
118	117	3adant3 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ))
119		dvds0 15981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∥ 0)
120	72, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 0)
121	120	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∥ 0)
122	121	3ad2antl1 1184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∥ 0)
123		iftrue 4465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 < (𝐷‘𝑘) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) = 0)
124	123	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 < (𝐷‘𝑘) → 0 = if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
125	124	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 0 = if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
126	122, 125	breqtrd 5100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∥ if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
127	97	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∈ ℤ)
128		0zd 12331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 ∈ ℤ)
129	99, 101	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑘) ∈ (0...𝐼))
130	129	elfzelzd 13257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑘) ∈ ℤ)
131	97, 130	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ)
132	128, 97, 131	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ))
133	132	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ))
134		fzssre 42853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0...𝐼) ⊆ ℝ
135	134, 129	sselid 3919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑘) ∈ ℝ)
136	135	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝐷‘𝑘) ∈ ℝ)
137	127	zred 12426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∈ ℝ)
138		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘))
139	136, 137, 138	nltled 11125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝐷‘𝑘) ≤ 𝑃)
140	137, 136	subge0d 11565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (0 ≤ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ↔ (𝐷‘𝑘) ≤ 𝑃))
141	139, 140	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 0 ≤ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)))
142		elfzle1 13259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐷‘𝑘) ∈ (0...𝐼) → 0 ≤ (𝐷‘𝑘))
143	129, 142	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐷‘𝑘))
144	143	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 0 ≤ (𝐷‘𝑘))
145	137, 136	subge02d 11567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (0 ≤ (𝐷‘𝑘) ↔ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ 𝑃))
146	144, 145	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ 𝑃)
147	133, 141, 146	jca32 516	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ 𝑃)))
148		elfz2 13246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ (0...𝑃) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ 𝑃)))
149	147, 148	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ (0...𝑃))
150		permnn 14040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ (0...𝑃) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℕ)
151	149, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℕ)
152	151	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℤ)
153	101	elfzelzd 13257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
154	102, 153	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝐽 − 𝑘) ∈ ℤ)
155	154	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝐽 − 𝑘) ∈ ℤ)
156	131	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ)
157		elnn0z 12332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑃 − (𝐷‘𝑘))))
158	156, 141, 157	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℕ₀)
159		zexpcl 13797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐽 − 𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℕ₀) → ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℤ)
160	155, 158, 159	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℤ)
161	127, 152, 160	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℤ ∧ ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℤ))
162	161	3adantl3 1167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℤ ∧ ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℤ))
163	127	3adantl3 1167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∈ ℤ)
164	59	nn0zd 12424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
165	164	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
166	128, 165, 131	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ))
167	166	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ))
168	167	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ))
169	141	3adantl3 1167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 0 ≤ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)))
170		1red 10976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
171		nnre 11980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐷‘𝑘) ∈ ℕ → (𝐷‘𝑘) ∈ ℝ)
172	171	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑘) ∈ ℝ)
173	57	nnred 11988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
174	173	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℝ)
175		nnge1 12001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐷‘𝑘) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝐷‘𝑘))
176	175	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐷‘𝑘))
177	170, 172, 174, 176	lesub2dd 11592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ (𝑃 − 1))
178	177	3adant2 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ (𝑃 − 1))
179	178	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ (𝑃 − 1))
180	168, 169, 179	jca32 516	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ (𝑃 − 1))))
181		elfz2 13246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ (𝑃 − 1))))
182	180, 181	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
183		permnn 14040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℕ)
184	182, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℕ)
185	184	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℤ)
186		dvdsmul1 15987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
187	163, 185, 186	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
188	57	nncnd 11989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
189		1cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
190	188, 189	npcand 11336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
191	190	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑃 − 1) + 1))
192	191	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑃) = (!‘((𝑃 − 1) + 1)))
193		facp1 13992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 − 1) ∈ ℕ₀ → (!‘((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)))
194	59, 193	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)))
195	190	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃))
196	59	faccld 13998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
197	196	nncnd 11989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
198	197, 188	mulcomd 10996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃) = (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))))
199	195, 198	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)) = (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))))
200	192, 194, 199	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑃) = (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))))
201	200	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) = ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
202	201	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) = ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
203	202	3ad2antl1 1184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) = ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
204	188	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∈ ℂ)
205	197	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
206	158	faccld 13998	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℕ)
207	206	nncnd 11989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℂ)
208	206	nnne0d 12023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))) ≠ 0)
209	204, 205, 207, 208	divassd 11786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) = (𝑃 · ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
210	209	3adantl3 1167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) = (𝑃 · ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
211	203, 210	eqtr2d 2779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 · ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
212	187, 211	breqtrd 5100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∥ ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
213		dvdsmultr1 16005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℤ ∧ ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) → 𝑃 ∥ (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
214	162, 212, 213	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∥ (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
215		iffalse 4468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
216	215	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
217	214, 216	breqtrrd 5102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∥ if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
218	126, 217	pm2.61dan 810	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
219		dvdsmultr1 16005	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) → 𝑃 ∥ (if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) · ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))))
220	118, 218, 219	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) · ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
221		fzfid 13693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (1...𝑀) ∈ Fin)
222	93	zcnd 12427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℂ)
223	222	3ad2antl1 1184	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℂ)
224		simp2 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (1...𝑀))
225		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐷‘𝑗) = (𝐷‘𝑘))
226	225	breq2d 5086	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑃 < (𝐷‘𝑗) ↔ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)))
227	225	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑃 − (𝐷‘𝑗)) = (𝑃 − (𝐷‘𝑘)))
228	227	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗))) = (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))
229	228	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
230		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐽 − 𝑗) = (𝐽 − 𝑘))
231	230, 227	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))) = ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))
232	229, 231	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
233	226, 232	ifbieq2d 4485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
234	233	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 = 𝑘) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
235	221, 223, 224, 234	fprodsplit1 43134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) = (if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) · ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
236	220, 235	breqtrrd 5102	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))
237		dvdsmultr2 16007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) → 𝑃 ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))))
238	96, 236, 237	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
239	238	3adant1r 1176	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
240		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) = (𝑃 − 1))
241		eluzfz1 13263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
242	16, 241	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
243	23, 242	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ (0...𝐼))
244	134, 243	sselid 3919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ ℝ)
245	244	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) ∈ ℝ)
246	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
247	245, 246	lttri3d 11115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((𝐷‘0) = (𝑃 − 1) ↔ (¬ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))))
248	240, 247	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (¬ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)))
249	248	simprd 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))
250	249	iffalsed 4470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))))
251		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷‘0) = (𝑃 − 1) → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) = ((𝑃 − 1) − (𝑃 − 1)))
252	61	subidd 11320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝑃 − 1)) = 0)
253	251, 252	sylan9eqr 2800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) = 0)
254	253	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (!‘0))
255		fac0 13990	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (!‘0) = 1
256	254, 255	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 1)
257	256	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / 1))
258	197	div1d 11743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
259	258	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
260	257, 259	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = (!‘(𝑃 − 1)))
261	253	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (𝐽↑0))
262	91	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
263	262	exp0d 13858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐽↑0) = 1)
264	263	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐽↑0) = 1)
265	261, 264	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 1)
266	260, 265	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 1))
267	197	mulid1d 10992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
268	267	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) · 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
269	250, 266, 268	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = (!‘(𝑃 − 1)))
270	269	oveq1d 7290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
271	270	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))))
272	271	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
273	83	nncnd 11989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℂ)
274	94	zcnd 12427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℂ)
275	197, 274	mulcld 10995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) ∈ ℂ)
276	196	nnne0d 12023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
277	273, 275, 197, 276	divassd 11786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
278	277	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
279	274, 197, 276	divcan3d 11756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))
280	279	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) / (!‘(𝑃 − 1)))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
281	280	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) / (!‘(𝑃 − 1)))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
282	272, 278, 281	3eqtrd 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
283	282	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
284	239, 283	breqtrrd 5102	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
285	284	rexlimdv3a 3215	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (∃𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑘) ∈ ℕ → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
286	71, 285	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
287	120	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∥ 0)
288		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))
289	288	iftrued 4467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = 0)
290		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))
291	290	iffalsed 4470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))))
292		simpll 764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → 𝜑)
293	244	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝐷‘0) ∈ ℝ)
294	60	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
295	293, 294, 290	nltled 11125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝐷‘0) ≤ (𝑃 − 1))
296		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1) → (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1))
297	296	necomd 2999	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1) → (𝑃 − 1) ≠ (𝐷‘0))
298	297	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝑃 − 1) ≠ (𝐷‘0))
299	293, 294, 295, 298	leneltd 11129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝐷‘0) < (𝑃 − 1))
300	89	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
301	300	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
302	243	elfzelzd 13257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ ℤ)
303	164, 302	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℤ)
304	303	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℤ)
305		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) < (𝑃 − 1))
306	244	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) ∈ ℝ)
307	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
308	306, 307	posdifd 11562	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → ((𝐷‘0) < (𝑃 − 1) ↔ 0 < ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
309	305, 308	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → 0 < ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))
310		elnnz 12329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℕ ↔ (((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
311	304, 309, 310	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℕ)
312	311	0expd 13857	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 0)
313	301, 312	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 0)
314	313	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · 0))
315	197	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
316	311	nnnn0d 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℕ₀)
317	316	faccld 13998	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) ∈ ℕ)
318	317	nncnd 11989	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) ∈ ℂ)
319	317	nnne0d 12023	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) ≠ 0)
320	315, 318, 319	divcld 11751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) ∈ ℂ)
321	320	mul01d 11174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · 0) = 0)
322	314, 321	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = 0)
323	292, 299, 322	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = 0)
324	291, 323	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = 0)
325	289, 324	pm2.61dan 810	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = 0)
326	325	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) = (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
327	274	mul02d 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) = 0)
328	327	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) = 0)
329	326, 328	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) = 0)
330	329	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · 0))
331	273	mul01d 11174	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · 0) = 0)
332	331	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · 0) = 0)
333	330, 332	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) = 0)
334	333	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (0 / (!‘(𝑃 − 1))))
335	197, 276	div0d 11750	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 / (!‘(𝑃 − 1))) = 0)
336	335	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (0 / (!‘(𝑃 − 1))) = 0)
337	334, 336	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = 0)
338	287, 337	breqtrrd 5102	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
339	286, 338	pm2.61dane 3032	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 396 ∨ wo 844 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∀wral 3064 ∃wrex 3065 {crab 3068 Vcvv 3432 ∖ cdif 3884 ⊆ wss 3887 ifcif 4459 {csn 4561 class class class wbr 5074 ↦ cmpt 5157 ⟶wf 6429 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 ↑_m cmap 8615 Fincfn 8733 ℂcc 10869 ℝcr 10870 0cc0 10871 1c1 10872 + caddc 10874 · cmul 10876 < clt 11009 ≤ cle 11010 − cmin 11205 / cdiv 11632 ℕcn 11973 ℕ₀cn0 12233 ℤcz 12319 ℤ_≥cuz 12582 ...cfz 13239 ↑cexp 13782 !cfa 13987 Σcsu 15397 ∏cprod 15615 ∥ cdvds 15963

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-rep 5209 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-inf2 9399 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948 ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-op 4568 df-uni 4840 df-int 4880 df-iun 4926 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-se 5545 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-isom 6442 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-1o 8297 df-er 8498 df-map 8617 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-fin 8737 df-sup 9201 df-oi 9269 df-card 9697 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-n0 12234 df-z 12320 df-uz 12583 df-rp 12731 df-fz 13240 df-fzo 13383 df-seq 13722 df-exp 13783 df-fac 13988 df-bc 14017 df-hash 14045 df-cj 14810 df-re 14811 df-im 14812 df-sqrt 14946 df-abs 14947 df-clim 15197 df-sum 15398 df-prod 15616 df-dvds 15964

This theorem is referenced by: etransclem38 43813

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