Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem24 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem24 45784
Description: 𝑃 divides the I -th derivative of 𝐹 applied to 𝐽. when 𝐽 = 0 and 𝐼 is not equal to 𝑃 − 1. This is the second part of case 2 proven in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem24.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem24.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem24.i (𝜑𝐼 ∈ ℕ0)
etransclem24.ip (𝜑𝐼 ≠ (𝑃 − 1))
etransclem24.j (𝜑𝐽 = 0)
etransclem24.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
etransclem24.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼))
Assertion
Ref Expression
etransclem24 (𝜑𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑐,𝑗   𝐼,𝑐,𝑛   𝑗,𝐽   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛   𝑃,𝑗   𝜑,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐶(𝑗,𝑛,𝑐)   𝐷(𝑛)   𝑃(𝑛,𝑐)   𝐼(𝑗)   𝐽(𝑛,𝑐)

Proof of Theorem etransclem24
Dummy variables 𝐴 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem24.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼))
2 etransclem24.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
3 etransclem24.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ ℕ0)
42, 3etransclem12 45772 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐼) = {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼})
51, 4eleqtrd 2827 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼})
6 fveq1 6895 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐷 → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
76sumeq2sdv 15686 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐷 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗))
87eqeq1d 2727 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐷 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼 ↔ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝐼))
98elrab 3679 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼} ↔ (𝐷 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝐼))
105, 9sylib 217 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝐼))
1110simprd 494 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝐼)
1211ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ¬ ∃𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐷𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝐼)
13 ralnex 3061 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐷𝑘) ∈ ℕ)
14 etransclem24.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
15 nn0uz 12897 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
1614, 15eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
1716ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ (ℤ‘0))
18 fzsscn 44831 . . . . . . . . . . 11 (0...𝐼) ⊆ ℂ
19 ssrab2 4073 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼} ⊆ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀))
204, 19eqsstrdi 4031 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶𝐼) ⊆ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)))
2120, 1sseldd 3977 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)))
22 elmapi 8868 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
2423ffvelcdmda 7093 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷𝑗) ∈ (0...𝐼))
2518, 24sselid 3974 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷𝑗) ∈ ℂ)
2625ad4ant14 750 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷𝑗) ∈ ℂ)
27 fveq2 6896 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 0 → (𝐷𝑗) = (𝐷‘0))
2817, 26, 27fsum1p 15735 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = ((𝐷‘0) + Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗)))
29 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → (𝐷‘0) = (𝑃 − 1))
30 0p1e1 12367 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
3130oveq1i 7429 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀)
3231sumeq1i 15680 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷𝑗)
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷𝑗))
34 fveq2 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑗 → (𝐷𝑘) = (𝐷𝑗))
3534eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐷𝑘) ∈ ℕ ↔ (𝐷𝑗) ∈ ℕ))
3635notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ ↔ ¬ (𝐷𝑗) ∈ ℕ))
3736rspccva 3605 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ¬ (𝐷𝑗) ∈ ℕ)
3837adantll 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ¬ (𝐷𝑗) ∈ ℕ)
39 fzssnn0 44837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0...𝐼) ⊆ ℕ0
40 fz1ssfz0 13632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀)
4140sseli 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
4241, 24sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑗) ∈ (0...𝐼))
4339, 42sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑗) ∈ ℕ0)
44 elnn0 12507 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷𝑗) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐷𝑗) ∈ ℕ ∨ (𝐷𝑗) = 0))
4543, 44sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐷𝑗) ∈ ℕ ∨ (𝐷𝑗) = 0))
4645adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐷𝑗) ∈ ℕ ∨ (𝐷𝑗) = 0))
47 orel1 886 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝐷𝑗) ∈ ℕ → (((𝐷𝑗) ∈ ℕ ∨ (𝐷𝑗) = 0) → (𝐷𝑗) = 0))
4838, 46, 47sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑗) = 0)
4948sumeq2dv 15685 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0)
50 fzfi 13973 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑀) ∈ Fin
5150olci 864 . . . . . . . . . . . 12 ((1...𝑀) ⊆ (ℤ𝐴) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin)
52 sumz 15704 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑀) ⊆ (ℤ𝐴) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
5351, 52mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
5433, 49, 533eqtrd 2769 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗) = 0)
5554adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗) = 0)
5629, 55oveq12d 7437 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → ((𝐷‘0) + Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗)) = ((𝑃 − 1) + 0))
57 etransclem24.p . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
58 nnm1nn0 12546 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6059nn0red 12566 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
6160recnd 11274 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
6261addridd 11446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 0) = (𝑃 − 1))
6362ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) + 0) = (𝑃 − 1))
6428, 56, 633eqtrd 2769 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = (𝑃 − 1))
65 etransclem24.ip . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ≠ (𝑃 − 1))
6665necomd 2985 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 − 1) ≠ 𝐼)
6766ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → (𝑃 − 1) ≠ 𝐼)
6864, 67eqnetrd 2997 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) ≠ 𝐼)
6968neneqd 2934 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → ¬ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝐼)
7013, 69sylan2br 593 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ¬ ∃𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐷𝑘) ∈ ℕ) → ¬ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝐼)
7112, 70condan 816 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ∃𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐷𝑘) ∈ ℕ)
7257nnzd 12618 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
7311eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗))
7473fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘𝐼) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗)))
7574oveq1d 7434 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))))
76 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝐷
77 fzfid 13974 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
78 nn0ex 12511 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
79 mapss 8908 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...𝐼) ⊆ ℕ0) → ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0m (0...𝑀)))
8078, 39, 79mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0m (0...𝑀))
8180, 21sselid 3974 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ (ℕ0m (0...𝑀)))
8276, 77, 81mccl 45124 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℕ)
8375, 82eqeltrd 2825 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℕ)
8483nnzd 12618 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℤ)
85 fzfid 13974 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
8657adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
8723adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
8841adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
89 etransclem24.j . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 = 0)
90 0zd 12603 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
9189, 90eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
9291adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
9386, 87, 88, 92etransclem3 45763 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ)
9485, 93fprodzcl 15934 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ)
9572, 84, 943jca 1125 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ))
96953ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ))
9772adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ)
9857adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
9923adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
10040sseli 3972 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
101100adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
10291adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
10398, 99, 101, 102etransclem3 45763 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))) ∈ ℤ)
104 difss 4128 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ⊆ (1...𝑀)
105 ssfi 9198 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ⊆ (1...𝑀)) → ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ∈ Fin)
10650, 104, 105mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ∈ Fin
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ∈ Fin)
10857adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})) → 𝑃 ∈ ℕ)
10923adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
110104, 40sstri 3986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ⊆ (0...𝑀)
111110sseli 3972 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
112111adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
11391adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})) → 𝐽 ∈ ℤ)
114108, 109, 112, 113etransclem3 45763 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})) → if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ)
115107, 114fprodzcl 15934 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ)
116115adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ)
11797, 103, 1163jca 1125 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ))
1181173adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ))
119 dvds0 16252 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∥ 0)
12072, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∥ 0)
121120adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 < (𝐷𝑘)) → 𝑃 ∥ 0)
1221213ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 𝑃 ∥ 0)
123 iftrue 4536 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 < (𝐷𝑘) → if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))) = 0)
124123eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 < (𝐷𝑘) → 0 = if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))))
125124adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 0 = if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))))
126122, 125breqtrd 5175 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 𝑃 ∥ if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))))
12797adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 𝑃 ∈ ℤ)
128 0zd 12603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 ∈ ℤ)
12999, 101ffvelcdmd 7094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑘) ∈ (0...𝐼))
130129elfzelzd 13537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑘) ∈ ℤ)
13197, 130zsubcld 12704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℤ)
132128, 97, 1313jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℤ))
133132adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℤ))
134 fzssre 44834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0...𝐼) ⊆ ℝ
135134, 129sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ)
136135adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ)
137127zred 12699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 𝑃 ∈ ℝ)
138 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘))
139136, 137, 138nltled 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (𝐷𝑘) ≤ 𝑃)
140137, 136subge0d 11836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (0 ≤ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ↔ (𝐷𝑘) ≤ 𝑃))
141139, 140mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 0 ≤ (𝑃 − (𝐷𝑘)))
142 elfzle1 13539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐷𝑘) ∈ (0...𝐼) → 0 ≤ (𝐷𝑘))
143129, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐷𝑘))
144143adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 0 ≤ (𝐷𝑘))
145137, 136subge02d 11838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (0 ≤ (𝐷𝑘) ↔ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ≤ 𝑃))
146144, 145mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (𝑃 − (𝐷𝑘)) ≤ 𝑃)
147133, 141, 146jca32 514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ≤ 𝑃)))
148 elfz2 13526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ (0...𝑃) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ≤ 𝑃)))
149147, 148sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ (0...𝑃))
150 permnn 14321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ (0...𝑃) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) ∈ ℕ)
151149, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) ∈ ℕ)
152151nnzd 12618 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) ∈ ℤ)
153101elfzelzd 13537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
154102, 153zsubcld 12704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝐽𝑘) ∈ ℤ)
155154adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (𝐽𝑘) ∈ ℤ)
156131adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℤ)
157 elnn0z 12604 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑃 − (𝐷𝑘))))
158156, 141, 157sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℕ0)
159 zexpcl 14077 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℕ0) → ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))) ∈ ℤ)
160155, 158, 159syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))) ∈ ℤ)
161127, 152, 1603jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) ∈ ℤ ∧ ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))) ∈ ℤ))
1621613adantl3 1165 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) ∈ ℤ ∧ ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))) ∈ ℤ))
1631273adantl3 1165 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 𝑃 ∈ ℤ)
16459nn0zd 12617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
165164adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
166128, 165, 1313jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℤ))
1671663adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℤ))
168167adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℤ))
1691413adantl3 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 0 ≤ (𝑃 − (𝐷𝑘)))
170 1red 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
171 nnre 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐷𝑘) ∈ ℕ → (𝐷𝑘) ∈ ℝ)
172171adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ)
17357nnred 12260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
174173adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℝ)
175 nnge1 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐷𝑘) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝐷𝑘))
176175adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐷𝑘))
177170, 172, 174, 176lesub2dd 11863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → (𝑃 − (𝐷𝑘)) ≤ (𝑃 − 1))
1781773adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → (𝑃 − (𝐷𝑘)) ≤ (𝑃 − 1))
179178adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (𝑃 − (𝐷𝑘)) ≤ (𝑃 − 1))
180168, 169, 179jca32 514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ≤ (𝑃 − 1))))
181 elfz2 13526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ≤ (𝑃 − 1))))
182180, 181sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
183 permnn 14321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) ∈ ℕ)
184182, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) ∈ ℕ)
185184nnzd 12618 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) ∈ ℤ)
186 dvdsmul1 16258 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘))))))
187163, 185, 186syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘))))))
18857nncnd 12261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
189 1cnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
190188, 189npcand 11607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
191190eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑃 = ((𝑃 − 1) + 1))
192191fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (!‘𝑃) = (!‘((𝑃 − 1) + 1)))
193 facp1 14273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)))
19459, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)))
195190oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃))
19659faccld 14279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
197196nncnd 12261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
198197, 188mulcomd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃) = (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))))
199195, 198eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)) = (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))))
200192, 194, 1993eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (!‘𝑃) = (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))))
201200oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) = ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))))
202201adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) = ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))))
2032023ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) = ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))))
204188ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 𝑃 ∈ ℂ)
205197ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
206158faccld 14279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘))) ∈ ℕ)
207206nncnd 12261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘))) ∈ ℂ)
208206nnne0d 12295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘))) ≠ 0)
209204, 205, 207, 208divassd 12058 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) = (𝑃 · ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘))))))
2102093adantl3 1165 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) = (𝑃 · ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘))))))
211203, 210eqtr2d 2766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (𝑃 · ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘))))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))))
212187, 211breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 𝑃 ∥ ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))))
213 dvdsmultr1 16276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) ∈ ℤ ∧ ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) → 𝑃 ∥ (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))))
214162, 212, 213sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 𝑃 ∥ (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘)))))
215 iffalse 4539 . . . . . . . . . . . 12 𝑃 < (𝐷𝑘) → if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘)))))
216215adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘)))))
217214, 216breqtrrd 5177 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 𝑃 ∥ if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))))
218126, 217pm2.61dan 811 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))))
219 dvdsmultr1 16276 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))) → 𝑃 ∥ (if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))) · ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
220118, 218, 219sylc 65 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))) · ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
221 fzfid 13974 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → (1...𝑀) ∈ Fin)
22293zcnd 12700 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℂ)
2232223ad2antl1 1182 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℂ)
224 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (1...𝑀))
225 fveq2 6896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝐷𝑗) = (𝐷𝑘))
226225breq2d 5161 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝑃 < (𝐷𝑗) ↔ 𝑃 < (𝐷𝑘)))
227225oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑘 → (𝑃 − (𝐷𝑗)) = (𝑃 − (𝐷𝑘)))
228227fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑘 → (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗))) = (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘))))
229228oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))))
230 oveq2 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑘 → (𝐽𝑗) = (𝐽𝑘))
231230, 227oveq12d 7437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))) = ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))
232229, 231oveq12d 7437 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘)))))
233226, 232ifbieq2d 4556 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))))
234233adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 = 𝑘) → if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))))
235221, 223, 224, 234fprodsplit1 45119 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) = (if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))) · ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
236220, 235breqtrrd 5177 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))
237 dvdsmultr2 16278 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) → 𝑃 ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
23896, 236, 237sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
2392383adant1r 1174 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
240 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) = (𝑃 − 1))
241 eluzfz1 13543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
24216, 241syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
24323, 242ffvelcdmd 7094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ (0...𝐼))
244134, 243sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ ℝ)
245244adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) ∈ ℝ)
24660adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
247245, 246lttri3d 11386 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((𝐷‘0) = (𝑃 − 1) ↔ (¬ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))))
248240, 247mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (¬ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)))
249248simprd 494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))
250249iffalsed 4541 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))))
251 oveq2 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷‘0) = (𝑃 − 1) → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) = ((𝑃 − 1) − (𝑃 − 1)))
25261subidd 11591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝑃 − 1)) = 0)
253251, 252sylan9eqr 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) = 0)
254253fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (!‘0))
255 fac0 14271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (!‘0) = 1
256254, 255eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 1)
257256oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / 1))
258197div1d 12015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
259258adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
260257, 259eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = (!‘(𝑃 − 1)))
261253oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (𝐽↑0))
26291zcnd 12700 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
263262exp0d 14140 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐽↑0) = 1)
264263adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐽↑0) = 1)
265261, 264eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 1)
266260, 265oveq12d 7437 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 1))
267197mulridd 11263 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
268267adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) · 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
269250, 266, 2683eqtrd 2769 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = (!‘(𝑃 − 1)))
270269oveq1d 7434 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
271270oveq2d 7435 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
272271oveq1d 7434 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
27383nncnd 12261 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℂ)
27494zcnd 12700 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℂ)
275197, 274mulcld 11266 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) ∈ ℂ)
276196nnne0d 12295 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
277273, 275, 197, 276divassd 12058 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
278277adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
279274, 197, 276divcan3d 12028 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))
280279oveq2d 7435 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) / (!‘(𝑃 − 1)))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
281280adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) / (!‘(𝑃 − 1)))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
282272, 278, 2813eqtrd 2769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
2832823ad2ant1 1130 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
284239, 283breqtrrd 5177 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
285284rexlimdv3a 3148 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (∃𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐷𝑘) ∈ ℕ → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
28671, 285mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
287120adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∥ 0)
288 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))
289288iftrued 4538 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = 0)
290 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))
291290iffalsed 4541 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))))
292 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → 𝜑)
293244ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝐷‘0) ∈ ℝ)
29460ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
295293, 294, 290nltled 11396 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝐷‘0) ≤ (𝑃 − 1))
296 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1) → (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1))
297296necomd 2985 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1) → (𝑃 − 1) ≠ (𝐷‘0))
298297ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝑃 − 1) ≠ (𝐷‘0))
299293, 294, 295, 298leneltd 11400 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝐷‘0) < (𝑃 − 1))
30089oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
301300adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
302243elfzelzd 13537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ ℤ)
303164, 302zsubcld 12704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℤ)
304303adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℤ)
305 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) < (𝑃 − 1))
306244adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) ∈ ℝ)
30760adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
308306, 307posdifd 11833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → ((𝐷‘0) < (𝑃 − 1) ↔ 0 < ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
309305, 308mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → 0 < ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))
310 elnnz 12601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℕ ↔ (((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
311304, 309, 310sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℕ)
3123110expd 14139 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 0)
313301, 312eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 0)
314313oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · 0))
315197adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
316311nnnn0d 12565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℕ0)
317316faccld 14279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) ∈ ℕ)
318317nncnd 12261 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) ∈ ℂ)
319317nnne0d 12295 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) ≠ 0)
320315, 318, 319divcld 12023 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) ∈ ℂ)
321320mul01d 11445 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · 0) = 0)
322314, 321eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = 0)
323292, 299, 322syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = 0)
324291, 323eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = 0)
325289, 324pm2.61dan 811 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = 0)
326325oveq1d 7434 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) = (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
327274mul02d 11444 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) = 0)
328327adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) = 0)
329326, 328eqtrd 2765 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) = 0)
330329oveq2d 7435 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · 0))
331273mul01d 11445 . . . . . . 7 (𝜑 → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · 0) = 0)
332331adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · 0) = 0)
333330, 332eqtrd 2765 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) = 0)
334333oveq1d 7434 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (0 / (!‘(𝑃 − 1))))
335197, 276div0d 12022 . . . . 5 (𝜑 → (0 / (!‘(𝑃 − 1))) = 0)
336335adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (0 / (!‘(𝑃 − 1))) = 0)
337334, 336eqtrd 2765 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = 0)
338287, 337breqtrrd 5177 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
339286, 338pm2.61dane 3018 1 (𝜑𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  {crab 3418  Vcvv 3461  cdif 3941  wss 3944  ifcif 4530  {csn 4630   class class class wbr 5149  cmpt 5232  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  m cmap 8845  Fincfn 8964  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476   / cdiv 11903  cn 12245  0cn0 12505  cz 12591  cuz 12855  ...cfz 13519  cexp 14062  !cfa 14268  Σcsu 15668  cprod 15885  cdvds 16234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-prod 15886  df-dvds 16235
This theorem is referenced by:  etransclem38  45798
  Copyright terms: Public domain W3C validator