etransclem24 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem etransclem24 46898

Description: 𝑃 divides the I -th derivative of 𝐹 applied to 𝐽. when 𝐽 = 0 and 𝐼 is not equal to 𝑃 − 1. This is the second part of case 2 proven in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
etransclem24.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem24.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
etransclem24.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ₀)
etransclem24.ip	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ (𝑃 − 1))
etransclem24.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 = 0)
etransclem24.c	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
etransclem24.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶‘𝐼))

**Assertion**
Ref	Expression
etransclem24	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))

Distinct variable groups: 𝐷,𝑐,𝑗 𝐼,𝑐,𝑛 𝑗,𝐽 𝑀,𝑐,𝑗,𝑛 𝑃,𝑗 𝜑,𝑗,𝑛 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑐) 𝐶(𝑗,𝑛,𝑐) 𝐷(𝑛) 𝑃(𝑛,𝑐) 𝐼(𝑗) 𝐽(𝑛,𝑐)

Proof of Theorem etransclem24 Dummy variables 𝐴 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem24.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶‘𝐼))
2		etransclem24.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
3		etransclem24.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ₀)
4	2, 3	etransclem12 46886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) = {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝐼})
5	1, 4	eleqtrd 2871	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝐼})
6		fveq1 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (𝑐‘𝑗) = (𝐷‘𝑗))
7	6	sumeq2sdv 15754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗))
8	7	eqeq1d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝐼 ↔ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝐼))
9	8	elrab 3659	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝐼} ↔ (𝐷 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝐼))
10	5, 9	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝐼))
11	10	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝐼)
12	11	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ¬ ∃𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝐼)
13		ralnex 3097	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑘) ∈ ℕ)
14		etransclem24.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
15		nn0uz 12900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
16	14, 15	eleqtrdi 2879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘0))
17	16	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘0))
18		fzsscn 45956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0...𝐼) ⊆ ℂ
19		ssrab2 4042	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝐼} ⊆ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀))
20	4, 19	eqsstrdi 3989	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) ⊆ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)))
21	20, 1	sseldd 3946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)))
22		elmapi 8846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
23	21, 22	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
24	23	ffvelcdmda 7080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) ∈ (0...𝐼))
25	18, 24	sselid 3943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) ∈ ℂ)
26	25	ad4ant14 764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) ∈ ℂ)
27		fveq2 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐷‘𝑗) = (𝐷‘0))
28	17, 26, 27	fsum1p 15804	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = ((𝐷‘0) + Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷‘𝑗)))
29		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (𝐷‘0) = (𝑃 − 1))
30		0p1e1 12361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 1) = 1
31	30	oveq1i 7421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀)
32	31	sumeq1i 15748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑗)
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑗))
34		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐷‘𝑘) = (𝐷‘𝑗))
35	34	eleq1d 2854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐷‘𝑘) ∈ ℕ ↔ (𝐷‘𝑗) ∈ ℕ))
36	35	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ ↔ ¬ (𝐷‘𝑗) ∈ ℕ))
37	36	rspccva 3589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ¬ (𝐷‘𝑗) ∈ ℕ)
38	37	adantll 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ¬ (𝐷‘𝑗) ∈ ℕ)
39		fzssnn0 45961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0...𝐼) ⊆ ℕ₀
40		fz1ssfz0 13651	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀)
41	40	sseli 3941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
42	41, 24	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) ∈ (0...𝐼))
43	39, 42	sselid 3943	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) ∈ ℕ₀)
44		elnn0 12506	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷‘𝑗) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝐷‘𝑗) ∈ ℕ ∨ (𝐷‘𝑗) = 0))
45	43, 44	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐷‘𝑗) ∈ ℕ ∨ (𝐷‘𝑗) = 0))
46	45	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐷‘𝑗) ∈ ℕ ∨ (𝐷‘𝑗) = 0))
47		orel1 901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ (𝐷‘𝑗) ∈ ℕ → (((𝐷‘𝑗) ∈ ℕ ∨ (𝐷‘𝑗) = 0) → (𝐷‘𝑗) = 0))
48	38, 46, 47	sylc 66	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) = 0)
49	48	sumeq2dv 15753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0)
50		fzfi 14008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑀) ∈ Fin
51	50	olci 879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1...𝑀) ⊆ (ℤ_≥‘𝐴) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin)
52		sumz 15773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1...𝑀) ⊆ (ℤ_≥‘𝐴) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
53	51, 52	mp1i 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
54	33, 49, 53	3eqtrd 2808	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 0)
55	54	adantlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 0)
56	29, 55	oveq12d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → ((𝐷‘0) + Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷‘𝑗)) = ((𝑃 − 1) + 0))
57		etransclem24.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
58		nnm1nn0 12545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ₀)
59	57, 58	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ₀)
60	59	nn0red 12566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
61	60	recnd 11237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
62	61	addridd 11410	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 0) = (𝑃 − 1))
63	62	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) + 0) = (𝑃 − 1))
64	28, 56, 63	3eqtrd 2808	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = (𝑃 − 1))
65		etransclem24.ip	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ (𝑃 − 1))
66	65	necomd 3019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ≠ 𝐼)
67	66	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (𝑃 − 1) ≠ 𝐼)
68	64, 67	eqnetrd 3031	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) ≠ 𝐼)
69	68	neneqd 2969	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → ¬ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝐼)
70	13, 69	sylan2br 606	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ¬ ∃𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → ¬ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝐼)
71	12, 70	condan 829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ∃𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑘) ∈ ℕ)
72	57	nnzd 12617	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
73	11	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗))
74	73	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐼) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗)))
75	74	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))))
76		nfcv 2931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗𝐷
77		fzfid 14009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
78		nn0ex 12510	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ₀ ∈ V
79		mapss 8887	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℕ₀ ∈ V ∧ (0...𝐼) ⊆ ℕ₀) → ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ₀ ↑_m (0...𝑀)))
80	78, 39, 79	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ₀ ↑_m (0...𝑀))
81	80, 21	sselid 3943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℕ₀ ↑_m (0...𝑀)))
82	76, 77, 81	mccl 46240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℕ)
83	75, 82	eqeltrd 2869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℕ)
84	83	nnzd 12617	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℤ)
85		fzfid 14009	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
86	57	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
87	23	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
88	41	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
89		etransclem24.j	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = 0)
90		0zd 12603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
91	89, 90	eqeltrd 2869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
92	91	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
93	86, 87, 88, 92	etransclem3 46877	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ)
94	85, 93	fprodzcl 16008	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ)
95	72, 84, 94	3jca 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ))
96	95	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ))
97	72	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ)
98	57	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
99	23	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
100	40	sseli 3941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
101	100	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
102	91	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
103	98, 99, 101, 102	etransclem3 46877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) ∈ ℤ)
104		difss 4098	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ⊆ (1...𝑀)
105		ssfi 9157	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ⊆ (1...𝑀)) → ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ∈ Fin)
106	50, 104, 105	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ∈ Fin
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ∈ Fin)
108	57	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})) → 𝑃 ∈ ℕ)
109	23	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
110	104, 40	sstri 3954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ⊆ (0...𝑀)
111	110	sseli 3941	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
112	111	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
113	91	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})) → 𝐽 ∈ ℤ)
114	108, 109, 112, 113	etransclem3 46877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ)
115	107, 114	fprodzcl 16008	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ)
116	115	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ)
117	97, 103, 116	3jca 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ))
118	117	3adant3 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ))
119		dvds0 16329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∥ 0)
120	72, 119	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 0)
121	120	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∥ 0)
122	121	3ad2antl1 1202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∥ 0)
123		iftrue 4498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 < (𝐷‘𝑘) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) = 0)
124	123	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 < (𝐷‘𝑘) → 0 = if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
125	124	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 0 = if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
126	122, 125	breqtrd 5141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∥ if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
127	97	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∈ ℤ)
128		0zd 12603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 ∈ ℤ)
129	99, 101	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑘) ∈ (0...𝐼))
130	129	elfzelzd 13553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑘) ∈ ℤ)
131	97, 130	zsubcld 12705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ)
132	128, 97, 131	3jca 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ))
133	132	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ))
134		fzssre 45959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0...𝐼) ⊆ ℝ
135	134, 129	sselid 3943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑘) ∈ ℝ)
136	135	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝐷‘𝑘) ∈ ℝ)
137	127	zred 12700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∈ ℝ)
138		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘))
139	136, 137, 138	nltled 11360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝐷‘𝑘) ≤ 𝑃)
140	137, 136	subge0d 11804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (0 ≤ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ↔ (𝐷‘𝑘) ≤ 𝑃))
141	139, 140	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 0 ≤ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)))
142		elfzle1 13555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐷‘𝑘) ∈ (0...𝐼) → 0 ≤ (𝐷‘𝑘))
143	129, 142	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐷‘𝑘))
144	143	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 0 ≤ (𝐷‘𝑘))
145	137, 136	subge02d 11806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (0 ≤ (𝐷‘𝑘) ↔ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ 𝑃))
146	144, 145	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ 𝑃)
147	133, 141, 146	jca32 524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ 𝑃)))
148		elfz2 13542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ (0...𝑃) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ 𝑃)))
149	147, 148	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ (0...𝑃))
150		permnn 14362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ (0...𝑃) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℕ)
151	149, 150	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℕ)
152	151	nnzd 12617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℤ)
153	101	elfzelzd 13553	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
154	102, 153	zsubcld 12705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝐽 − 𝑘) ∈ ℤ)
155	154	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝐽 − 𝑘) ∈ ℤ)
156	131	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ)
157		elnn0z 12604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑃 − (𝐷‘𝑘))))
158	156, 141, 157	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℕ₀)
159		zexpcl 14112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐽 − 𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℕ₀) → ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℤ)
160	155, 158, 159	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℤ)
161	127, 152, 160	3jca 1144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℤ ∧ ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℤ))
162	161	3adantl3 1185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℤ ∧ ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℤ))
163	127	3adantl3 1185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∈ ℤ)
164	59	nn0zd 12616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
165	164	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
166	128, 165, 131	3jca 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ))
167	166	3adant3 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ))
168	167	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ))
169	141	3adantl3 1185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 0 ≤ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)))
170		1red 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
171		nnre 12240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐷‘𝑘) ∈ ℕ → (𝐷‘𝑘) ∈ ℝ)
172	171	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑘) ∈ ℝ)
173	57	nnred 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
174	173	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℝ)
175		nnge1 12264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐷‘𝑘) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝐷‘𝑘))
176	175	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐷‘𝑘))
177	170, 172, 174, 176	lesub2dd 11831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ (𝑃 − 1))
178	177	3adant2 1147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ (𝑃 − 1))
179	178	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ (𝑃 − 1))
180	168, 169, 179	jca32 524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ (𝑃 − 1))))
181		elfz2 13542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ (𝑃 − 1))))
182	180, 181	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
183		permnn 14362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℕ)
184	182, 183	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℕ)
185	184	nnzd 12617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℤ)
186		dvdsmul1 16335	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
187	163, 185, 186	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
188	57	nncnd 12249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
189		1cnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
190	188, 189	npcand 11573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
191	190	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑃 − 1) + 1))
192	191	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑃) = (!‘((𝑃 − 1) + 1)))
193		facp1 14314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 − 1) ∈ ℕ₀ → (!‘((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)))
194	59, 193	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)))
195	190	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃))
196	59	faccld 14320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
197	196	nncnd 12249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
198	197, 188	mulcomd 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃) = (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))))
199	195, 198	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)) = (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))))
200	192, 194, 199	3eqtrd 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑃) = (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))))
201	200	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) = ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
202	201	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) = ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
203	202	3ad2antl1 1202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) = ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
204	188	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∈ ℂ)
205	197	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
206	158	faccld 14320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℕ)
207	206	nncnd 12249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℂ)
208	206	nnne0d 12286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))) ≠ 0)
209	204, 205, 207, 208	divassd 12026	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) = (𝑃 · ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
210	209	3adantl3 1185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) = (𝑃 · ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
211	203, 210	eqtr2d 2805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 · ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
212	187, 211	breqtrd 5141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∥ ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
213		dvdsmultr1 16354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℤ ∧ ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) → 𝑃 ∥ (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
214	162, 212, 213	sylc 66	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∥ (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
215		iffalse 4501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
216	215	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
217	214, 216	breqtrrd 5143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∥ if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
218	126, 217	pm2.61dan 824	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
219		dvdsmultr1 16354	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) → 𝑃 ∥ (if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) · ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))))
220	118, 218, 219	sylc 66	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) · ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
221		fzfid 14009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (1...𝑀) ∈ Fin)
222	93	zcnd 12701	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℂ)
223	222	3ad2antl1 1202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℂ)
224		simp2 1153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (1...𝑀))
225		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐷‘𝑗) = (𝐷‘𝑘))
226	225	breq2d 5125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑃 < (𝐷‘𝑗) ↔ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)))
227	225	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑃 − (𝐷‘𝑗)) = (𝑃 − (𝐷‘𝑘)))
228	227	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗))) = (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))
229	228	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
230		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐽 − 𝑗) = (𝐽 − 𝑘))
231	230, 227	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))) = ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))
232	229, 231	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
233	226, 232	ifbieq2d 4519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
234	233	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 = 𝑘) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
235	221, 223, 224, 234	fprodsplit1 46235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) = (if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) · ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
236	220, 235	breqtrrd 5143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))
237		dvdsmultr2 16356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) → 𝑃 ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))))
238	96, 236, 237	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
239	238	3adant1r 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
240		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) = (𝑃 − 1))
241		eluzfz1 13559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
242	16, 241	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
243	23, 242	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ (0...𝐼))
244	134, 243	sselid 3943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ ℝ)
245	244	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) ∈ ℝ)
246	60	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
247	245, 246	lttri3d 11350	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((𝐷‘0) = (𝑃 − 1) ↔ (¬ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))))
248	240, 247	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (¬ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)))
249	248	simprd 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))
250	249	iffalsed 4503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))))
251		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷‘0) = (𝑃 − 1) → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) = ((𝑃 − 1) − (𝑃 − 1)))
252	61	subidd 11557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝑃 − 1)) = 0)
253	251, 252	sylan9eqr 2826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) = 0)
254	253	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (!‘0))
255		fac0 14312	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (!‘0) = 1
256	254, 255	eqtrdi 2820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 1)
257	256	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / 1))
258	197	div1d 11983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
259	258	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
260	257, 259	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = (!‘(𝑃 − 1)))
261	253	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (𝐽↑0))
262	91	zcnd 12701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
263	262	exp0d 14176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐽↑0) = 1)
264	263	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐽↑0) = 1)
265	261, 264	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 1)
266	260, 265	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 1))
267	197	mulridd 11226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
268	267	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) · 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
269	250, 266, 268	3eqtrd 2808	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = (!‘(𝑃 − 1)))
270	269	oveq1d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
271	270	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))))
272	271	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
273	83	nncnd 12249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℂ)
274	94	zcnd 12701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℂ)
275	197, 274	mulcld 11229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) ∈ ℂ)
276	196	nnne0d 12286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
277	273, 275, 197, 276	divassd 12026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
278	277	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
279	274, 197, 276	divcan3d 11996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))
280	279	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) / (!‘(𝑃 − 1)))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
281	280	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) / (!‘(𝑃 − 1)))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
282	272, 278, 281	3eqtrd 2808	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
283	282	3ad2ant1 1149	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
284	239, 283	breqtrrd 5143	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
285	284	rexlimdv3a 3176	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (∃𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑘) ∈ ℕ → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
286	71, 285	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
287	120	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∥ 0)
288		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))
289	288	iftrued 4500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = 0)
290		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))
291	290	iffalsed 4503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))))
292		simpll 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → 𝜑)
293	244	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝐷‘0) ∈ ℝ)
294	60	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
295	293, 294, 290	nltled 11360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝐷‘0) ≤ (𝑃 − 1))
296		id 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1) → (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1))
297	296	necomd 3019	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1) → (𝑃 − 1) ≠ (𝐷‘0))
298	297	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝑃 − 1) ≠ (𝐷‘0))
299	293, 294, 295, 298	leneltd 11364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝐷‘0) < (𝑃 − 1))
300	89	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
301	300	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
302	243	elfzelzd 13553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ ℤ)
303	164, 302	zsubcld 12705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℤ)
304	303	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℤ)
305		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) < (𝑃 − 1))
306	244	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) ∈ ℝ)
307	60	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
308	306, 307	posdifd 11801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → ((𝐷‘0) < (𝑃 − 1) ↔ 0 < ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
309	305, 308	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → 0 < ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))
310		elnnz 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℕ ↔ (((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
311	304, 309, 310	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℕ)
312	311	0expd 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 0)
313	301, 312	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 0)
314	313	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · 0))
315	197	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
316	311	nnnn0d 12565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℕ₀)
317	316	faccld 14320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) ∈ ℕ)
318	317	nncnd 12249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) ∈ ℂ)
319	317	nnne0d 12286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) ≠ 0)
320	315, 318, 319	divcld 11991	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) ∈ ℂ)
321	320	mul01d 11409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · 0) = 0)
322	314, 321	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = 0)
323	292, 299, 322	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = 0)
324	291, 323	eqtrd 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = 0)
325	289, 324	pm2.61dan 824	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = 0)
326	325	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) = (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
327	274	mul02d 11408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) = 0)
328	327	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) = 0)
329	326, 328	eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) = 0)
330	329	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · 0))
331	273	mul01d 11409	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · 0) = 0)
332	331	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · 0) = 0)
333	330, 332	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) = 0)
334	333	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (0 / (!‘(𝑃 − 1))))
335	197, 276	div0d 11990	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 / (!‘(𝑃 − 1))) = 0)
336	335	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (0 / (!‘(𝑃 − 1))) = 0)
337	334, 336	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = 0)
338	287, 337	breqtrrd 5143	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
339	286, 338	pm2.61dane 3051	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 400 ∨ wo 860 ∧ w3a 1101 = wceq 1567 ∈ wcel 2149 ≠ wne 2964 ∀wral 3085 ∃wrex 3095 {crab 3423 Vcvv 3463 ∖ cdif 3910 ⊆ wss 3913 ifcif 4492 {csn 4594 class class class wbr 5113 ↦ cmpt 5196 ⟶wf 6533 ‘cfv 6537 (class class class)co 7411 ↑_m cmap 8824 Fincfn 8943 ℂcc 11098 ℝcr 11099 0cc0 11100 1c1 11101 + caddc 11103 · cmul 11105 < clt 11243 ≤ cle 11244 − cmin 11441 / cdiv 11871 ℕcn 12233 ℕ₀cn0 12504 ℤcz 12591 ℤ_≥cuz 12862 ...cfz 13535 ↑cexp 14097 !cfa 14309 Σcsu 15737 ∏cprod 15957 ∥ cdvds 16310

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1822 ax-4 1836 ax-5 1937 ax-6 1994 ax-7 2035 ax-8 2151 ax-9 2159 ax-10 2182 ax-11 2198 ax-12 2219 ax-ext 2741 ax-rep 5242 ax-sep 5261 ax-nul 5271 ax-pow 5337 ax-pr 5405 ax-un 7733 ax-inf2 9610 ax-cnex 11156 ax-resscn 11157 ax-1cn 11158 ax-icn 11159 ax-addcl 11160 ax-addrcl 11161 ax-mulcl 11162 ax-mulrcl 11163 ax-mulcom 11164 ax-addass 11165 ax-mulass 11166 ax-distr 11167 ax-i2m1 11168 ax-1ne0 11169 ax-1rid 11170 ax-rnegex 11171 ax-rrecex 11172 ax-cnre 11173 ax-pre-lttri 11174 ax-pre-lttrn 11175 ax-pre-ltadd 11176 ax-pre-mulgt0 11177 ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1102 df-3an 1103 df-tru 1570 df-fal 1580 df-ex 1807 df-nf 1811 df-sb 2098 df-mo 2573 df-eu 2603 df-clab 2748 df-cleq 2761 df-clel 2844 df-nfc 2918 df-ne 2965 df-nel 3071 df-ral 3086 df-rex 3096 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3424 df-v 3465 df-sbc 3754 df-csb 3862 df-dif 3916 df-un 3918 df-in 3920 df-ss 3930 df-pss 3933 df-nul 4295 df-if 4493 df-pw 4569 df-sn 4595 df-pr 4597 df-op 4601 df-uni 4877 df-int 4917 df-iun 4962 df-br 5114 df-opab 5178 df-mpt 5197 df-tr 5223 df-id 5557 df-eprel 5562 df-po 5570 df-so 5571 df-fr 5615 df-se 5616 df-we 5617 df-xp 5668 df-rel 5669 df-cnv 5670 df-co 5671 df-dm 5672 df-rn 5673 df-res 5674 df-ima 5675 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7368 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7863 df-1st 7986 df-2nd 7987 df-frecs 8278 df-wrecs 8309 df-recs 8358 df-rdg 8397 df-1o 8453 df-er 8694 df-map 8826 df-en 8944 df-dom 8945 df-sdom 8946 df-fin 8947 df-sup 9402 df-oi 9472 df-card 9925 df-pnf 11245 df-mnf 11246 df-xr 11247 df-ltxr 11248 df-le 11249 df-sub 11443 df-neg 11444 df-div 11872 df-nn 12234 df-2 12303 df-3 12304 df-n0 12505 df-z 12592 df-uz 12863 df-rp 13017 df-fz 13536 df-fzo 13683 df-seq 14038 df-exp 14098 df-fac 14310 df-bc 14339 df-hash 14367 df-cj 15150 df-re 15151 df-im 15152 df-sqrt 15286 df-abs 15287 df-clim 15539 df-sum 15738 df-prod 15958 df-dvds 16311

This theorem is referenced by: etransclem38 46912

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