Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem24 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem24 42897
 Description: 𝑃 divides the I -th derivative of 𝐹 applied to 𝐽. when 𝐽 = 0 and 𝐼 is not equal to 𝑃 − 1. This is the second part of case 2 proven in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem24.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem24.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem24.i (𝜑𝐼 ∈ ℕ0)
etransclem24.ip (𝜑𝐼 ≠ (𝑃 − 1))
etransclem24.j (𝜑𝐽 = 0)
etransclem24.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
etransclem24.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼))
Assertion
Ref Expression
etransclem24 (𝜑𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑐,𝑗   𝐼,𝑐,𝑛   𝑗,𝐽   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛   𝑃,𝑗   𝜑,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐶(𝑗,𝑛,𝑐)   𝐷(𝑛)   𝑃(𝑛,𝑐)   𝐼(𝑗)   𝐽(𝑛,𝑐)

Proof of Theorem etransclem24
Dummy variables 𝐴 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem24.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶𝐼))
2 etransclem24.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
3 etransclem24.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ ℕ0)
42, 3etransclem12 42885 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐼) = {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼})
51, 4eleqtrd 2895 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼})
6 fveq1 6648 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐷 → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
76sumeq2sdv 15057 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐷 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗))
87eqeq1d 2803 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐷 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼 ↔ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝐼))
98elrab 3631 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼} ↔ (𝐷 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝐼))
105, 9sylib 221 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝐼))
1110simprd 499 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝐼)
1211ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ¬ ∃𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐷𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝐼)
13 ralnex 3202 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐷𝑘) ∈ ℕ)
14 etransclem24.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
15 nn0uz 12272 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
1614, 15eleqtrdi 2903 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ (ℤ‘0))
18 fzsscn 41940 . . . . . . . . . . 11 (0...𝐼) ⊆ ℂ
19 ssrab2 4010 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝐼} ⊆ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀))
204, 19eqsstrdi 3972 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶𝐼) ⊆ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)))
2120, 1sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)))
22 elmapi 8415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
2423ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷𝑗) ∈ (0...𝐼))
2518, 24sseldi 3916 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷𝑗) ∈ ℂ)
2625ad4ant14 751 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷𝑗) ∈ ℂ)
27 fveq2 6649 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 0 → (𝐷𝑗) = (𝐷‘0))
2817, 26, 27fsum1p 15104 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = ((𝐷‘0) + Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗)))
29 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → (𝐷‘0) = (𝑃 − 1))
30 0p1e1 11751 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
3130oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀)
3231sumeq1i 15051 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷𝑗)
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷𝑗))
34 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑗 → (𝐷𝑘) = (𝐷𝑗))
3534eleq1d 2877 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐷𝑘) ∈ ℕ ↔ (𝐷𝑗) ∈ ℕ))
3635notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ ↔ ¬ (𝐷𝑗) ∈ ℕ))
3736rspccva 3573 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ¬ (𝐷𝑗) ∈ ℕ)
3837adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ¬ (𝐷𝑗) ∈ ℕ)
39 fzssnn0 41946 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0...𝐼) ⊆ ℕ0
40 fz1ssfz0 13002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀)
4140sseli 3914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
4241, 24sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑗) ∈ (0...𝐼))
4339, 42sseldi 3916 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑗) ∈ ℕ0)
44 elnn0 11891 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷𝑗) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐷𝑗) ∈ ℕ ∨ (𝐷𝑗) = 0))
4543, 44sylib 221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐷𝑗) ∈ ℕ ∨ (𝐷𝑗) = 0))
4645adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐷𝑗) ∈ ℕ ∨ (𝐷𝑗) = 0))
47 orel1 886 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝐷𝑗) ∈ ℕ → (((𝐷𝑗) ∈ ℕ ∨ (𝐷𝑗) = 0) → (𝐷𝑗) = 0))
4838, 46, 47sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑗) = 0)
4948sumeq2dv 15056 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0)
50 fzfi 13339 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑀) ∈ Fin
5150olci 863 . . . . . . . . . . . 12 ((1...𝑀) ⊆ (ℤ𝐴) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin)
52 sumz 15075 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑀) ⊆ (ℤ𝐴) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
5351, 52mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
5433, 49, 533eqtrd 2840 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗) = 0)
5554adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗) = 0)
5629, 55oveq12d 7157 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → ((𝐷‘0) + Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗)) = ((𝑃 − 1) + 0))
57 etransclem24.p . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
58 nnm1nn0 11930 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6059nn0red 11948 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
6160recnd 10662 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
6261addid1d 10833 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 0) = (𝑃 − 1))
6362ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) + 0) = (𝑃 − 1))
6428, 56, 633eqtrd 2840 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = (𝑃 − 1))
65 etransclem24.ip . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ≠ (𝑃 − 1))
6665necomd 3045 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 − 1) ≠ 𝐼)
6766ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → (𝑃 − 1) ≠ 𝐼)
6864, 67eqnetrd 3057 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) ≠ 𝐼)
6968neneqd 2995 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → ¬ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝐼)
7013, 69sylan2br 597 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ¬ ∃𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐷𝑘) ∈ ℕ) → ¬ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = 𝐼)
7112, 70condan 817 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ∃𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐷𝑘) ∈ ℕ)
7257nnzd 12078 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
7311eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗))
7473fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘𝐼) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗)))
7574oveq1d 7154 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))))
76 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝐷
77 fzfid 13340 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
78 nn0ex 11895 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
79 mapss 8440 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...𝐼) ⊆ ℕ0) → ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0m (0...𝑀)))
8078, 39, 79mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((0...𝐼) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0m (0...𝑀))
8180, 21sseldi 3916 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ (ℕ0m (0...𝑀)))
8276, 77, 81mccl 42237 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℕ)
8375, 82eqeltrd 2893 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℕ)
8483nnzd 12078 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℤ)
85 fzfid 13340 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
8657adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
8723adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
8841adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
89 etransclem24.j . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 = 0)
90 0zd 11985 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
9189, 90eqeltrd 2893 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
9291adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
9386, 87, 88, 92etransclem3 42876 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ)
9485, 93fprodzcl 15304 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ)
9572, 84, 943jca 1125 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ))
96953ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ))
9772adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ)
9857adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
9923adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
10040sseli 3914 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
101100adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
10291adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
10398, 99, 101, 102etransclem3 42876 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))) ∈ ℤ)
104 difss 4062 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ⊆ (1...𝑀)
105 ssfi 8726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ⊆ (1...𝑀)) → ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ∈ Fin)
10650, 104, 105mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ∈ Fin
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ∈ Fin)
10857adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})) → 𝑃 ∈ ℕ)
10923adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
110104, 40sstri 3927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ⊆ (0...𝑀)
111110sseli 3914 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
112111adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
11391adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})) → 𝐽 ∈ ℤ)
114108, 109, 112, 113etransclem3 42876 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})) → if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ)
115107, 114fprodzcl 15304 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ)
116115adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ)
11797, 103, 1163jca 1125 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ))
1181173adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ))
119 dvds0 15621 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∥ 0)
12072, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∥ 0)
121120adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 < (𝐷𝑘)) → 𝑃 ∥ 0)
1221213ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 𝑃 ∥ 0)
123 iftrue 4434 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 < (𝐷𝑘) → if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))) = 0)
124123eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 < (𝐷𝑘) → 0 = if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))))
125124adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 0 = if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))))
126122, 125breqtrd 5059 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 𝑃 ∥ if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))))
12797adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 𝑃 ∈ ℤ)
128 0zd 11985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 ∈ ℤ)
12999, 101ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑘) ∈ (0...𝐼))
130129elfzelzd 12907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑘) ∈ ℤ)
13197, 130zsubcld 12084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℤ)
132128, 97, 1313jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℤ))
133132adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℤ))
134 fzssre 41943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0...𝐼) ⊆ ℝ
135134, 129sseldi 3916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ)
136135adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ)
137127zred 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 𝑃 ∈ ℝ)
138 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘))
139136, 137, 138nltled 10783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (𝐷𝑘) ≤ 𝑃)
140137, 136subge0d 11223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (0 ≤ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ↔ (𝐷𝑘) ≤ 𝑃))
141139, 140mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 0 ≤ (𝑃 − (𝐷𝑘)))
142 elfzle1 12909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐷𝑘) ∈ (0...𝐼) → 0 ≤ (𝐷𝑘))
143129, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐷𝑘))
144143adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 0 ≤ (𝐷𝑘))
145137, 136subge02d 11225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (0 ≤ (𝐷𝑘) ↔ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ≤ 𝑃))
146144, 145mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (𝑃 − (𝐷𝑘)) ≤ 𝑃)
147133, 141, 146jca32 519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ≤ 𝑃)))
148 elfz2 12896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ (0...𝑃) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ≤ 𝑃)))
149147, 148sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ (0...𝑃))
150 permnn 13686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ (0...𝑃) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) ∈ ℕ)
151149, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) ∈ ℕ)
152151nnzd 12078 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) ∈ ℤ)
153101elfzelzd 12907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
154102, 153zsubcld 12084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝐽𝑘) ∈ ℤ)
155154adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (𝐽𝑘) ∈ ℤ)
156131adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℤ)
157 elnn0z 11986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑃 − (𝐷𝑘))))
158156, 141, 157sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℕ0)
159 zexpcl 13444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℕ0) → ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))) ∈ ℤ)
160155, 158, 159syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))) ∈ ℤ)
161127, 152, 1603jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) ∈ ℤ ∧ ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))) ∈ ℤ))
1621613adantl3 1165 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) ∈ ℤ ∧ ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))) ∈ ℤ))
1631273adantl3 1165 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 𝑃 ∈ ℤ)
16459nn0zd 12077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
165164adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
166128, 165, 1313jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℤ))
1671663adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℤ))
168167adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℤ))
1691413adantl3 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 0 ≤ (𝑃 − (𝐷𝑘)))
170 1red 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
171 nnre 11636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐷𝑘) ∈ ℕ → (𝐷𝑘) ∈ ℝ)
172171adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ)
17357nnred 11644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
174173adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℝ)
175 nnge1 11657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐷𝑘) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝐷𝑘))
176175adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐷𝑘))
177170, 172, 174, 176lesub2dd 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → (𝑃 − (𝐷𝑘)) ≤ (𝑃 − 1))
1781773adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → (𝑃 − (𝐷𝑘)) ≤ (𝑃 − 1))
179178adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (𝑃 − (𝐷𝑘)) ≤ (𝑃 − 1))
180168, 169, 179jca32 519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ≤ (𝑃 − 1))))
181 elfz2 12896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∧ (𝑃 − (𝐷𝑘)) ≤ (𝑃 − 1))))
182180, 181sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
183 permnn 13686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 − (𝐷𝑘)) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) ∈ ℕ)
184182, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) ∈ ℕ)
185184nnzd 12078 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) ∈ ℤ)
186 dvdsmul1 15627 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘))))))
187163, 185, 186syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘))))))
18857nncnd 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
189 1cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
190188, 189npcand 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
191190eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑃 = ((𝑃 − 1) + 1))
192191fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (!‘𝑃) = (!‘((𝑃 − 1) + 1)))
193 facp1 13638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)))
19459, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)))
195190oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃))
19659faccld 13644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
197196nncnd 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
198197, 188mulcomd 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃) = (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))))
199195, 198eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)) = (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))))
200192, 194, 1993eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (!‘𝑃) = (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))))
201200oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) = ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))))
202201adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) = ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))))
2032023ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) = ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))))
204188ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 𝑃 ∈ ℂ)
205197ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
206158faccld 13644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘))) ∈ ℕ)
207206nncnd 11645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘))) ∈ ℂ)
208206nnne0d 11679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘))) ≠ 0)
209204, 205, 207, 208divassd 11444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) = (𝑃 · ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘))))))
2102093adantl3 1165 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) = (𝑃 · ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘))))))
211203, 210eqtr2d 2837 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → (𝑃 · ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘))))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))))
212187, 211breqtrd 5059 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 𝑃 ∥ ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))))
213 dvdsmultr1 15643 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) ∈ ℤ ∧ ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) → 𝑃 ∥ (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))))
214162, 212, 213sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 𝑃 ∥ (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘)))))
215 iffalse 4437 . . . . . . . . . . . 12 𝑃 < (𝐷𝑘) → if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘)))))
216215adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘)))))
217214, 216breqtrrd 5061 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷𝑘)) → 𝑃 ∥ if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))))
218126, 217pm2.61dan 812 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))))
219 dvdsmultr1 15643 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))) → 𝑃 ∥ (if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))) · ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
220118, 218, 219sylc 65 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))) · ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
221 fzfid 13340 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → (1...𝑀) ∈ Fin)
22293zcnd 12080 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℂ)
2232223ad2antl1 1182 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℂ)
224 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (1...𝑀))
225 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝐷𝑗) = (𝐷𝑘))
226225breq2d 5045 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝑃 < (𝐷𝑗) ↔ 𝑃 < (𝐷𝑘)))
227225oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑘 → (𝑃 − (𝐷𝑗)) = (𝑃 − (𝐷𝑘)))
228227fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑘 → (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗))) = (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘))))
229228oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))))
230 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑘 → (𝐽𝑗) = (𝐽𝑘))
231230, 227oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))) = ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))
232229, 231oveq12d 7157 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘)))))
233226, 232ifbieq2d 4453 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))))
234233adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 = 𝑘) → if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))))
235221, 223, 224, 234fprodsplit1 42232 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) = (if(𝑃 < (𝐷𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑘)))) · ((𝐽𝑘)↑(𝑃 − (𝐷𝑘))))) · ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
236220, 235breqtrrd 5061 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))
237 dvdsmultr2 15645 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) → 𝑃 ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
23896, 236, 237sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
2392383adant1r 1174 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
240 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) = (𝑃 − 1))
241 eluzfz1 12913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
24216, 241syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
24323, 242ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ (0...𝐼))
244134, 243sseldi 3916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ ℝ)
245244adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) ∈ ℝ)
24660adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
247245, 246lttri3d 10773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((𝐷‘0) = (𝑃 − 1) ↔ (¬ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))))
248240, 247mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (¬ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)))
249248simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))
250249iffalsed 4439 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))))
251 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷‘0) = (𝑃 − 1) → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) = ((𝑃 − 1) − (𝑃 − 1)))
25261subidd 10978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝑃 − 1)) = 0)
253251, 252sylan9eqr 2858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) = 0)
254253fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (!‘0))
255 fac0 13636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (!‘0) = 1
256254, 255eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 1)
257256oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / 1))
258197div1d 11401 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
259258adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
260257, 259eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = (!‘(𝑃 − 1)))
261253oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (𝐽↑0))
26291zcnd 12080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
263262exp0d 13504 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐽↑0) = 1)
264263adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐽↑0) = 1)
265261, 264eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 1)
266260, 265oveq12d 7157 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 1))
267197mulid1d 10651 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
268267adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) · 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
269250, 266, 2683eqtrd 2840 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = (!‘(𝑃 − 1)))
270269oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
271270oveq2d 7155 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
272271oveq1d 7154 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
27383nncnd 11645 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) ∈ ℂ)
27494zcnd 12080 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) ∈ ℂ)
275197, 274mulcld 10654 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) ∈ ℂ)
276196nnne0d 11679 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
277273, 275, 197, 276divassd 11444 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
278277adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
279274, 197, 276divcan3d 11414 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))
280279oveq2d 7155 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) / (!‘(𝑃 − 1)))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
281280adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) / (!‘(𝑃 − 1)))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
282272, 278, 2813eqtrd 2840 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
2832823ad2ant1 1130 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
284239, 283breqtrrd 5061 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
285284rexlimdv3a 3248 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (∃𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐷𝑘) ∈ ℕ → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
28671, 285mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
287120adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∥ 0)
288 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))
289288iftrued 4436 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = 0)
290 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))
291290iffalsed 4439 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))))
292 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → 𝜑)
293244ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝐷‘0) ∈ ℝ)
29460ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
295293, 294, 290nltled 10783 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝐷‘0) ≤ (𝑃 − 1))
296 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1) → (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1))
297296necomd 3045 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1) → (𝑃 − 1) ≠ (𝐷‘0))
298297ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝑃 − 1) ≠ (𝐷‘0))
299293, 294, 295, 298leneltd 10787 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝐷‘0) < (𝑃 − 1))
30089oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
301300adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
302243elfzelzd 12907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ ℤ)
303164, 302zsubcld 12084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℤ)
304303adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℤ)
305 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) < (𝑃 − 1))
306244adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) ∈ ℝ)
30760adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
308306, 307posdifd 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → ((𝐷‘0) < (𝑃 − 1) ↔ 0 < ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
309305, 308mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → 0 < ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))
310 elnnz 11983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℕ ↔ (((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
311304, 309, 310sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℕ)
3123110expd 13503 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 0)
313301, 312eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 0)
314313oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · 0))
315197adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
316311nnnn0d 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℕ0)
317316faccld 13644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) ∈ ℕ)
318317nncnd 11645 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) ∈ ℂ)
319317nnne0d 11679 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) ≠ 0)
320315, 318, 319divcld 11409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) ∈ ℂ)
321320mul01d 10832 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · 0) = 0)
322314, 321eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = 0)
323292, 299, 322syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = 0)
324291, 323eqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = 0)
325289, 324pm2.61dan 812 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = 0)
326325oveq1d 7154 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) = (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
327274mul02d 10831 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) = 0)
328327adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) = 0)
329326, 328eqtrd 2836 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) = 0)
330329oveq2d 7155 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · 0))
331273mul01d 10832 . . . . . . 7 (𝜑 → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · 0) = 0)
332331adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · 0) = 0)
333330, 332eqtrd 2836 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) = 0)
334333oveq1d 7154 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (0 / (!‘(𝑃 − 1))))
335197, 276div0d 11408 . . . . 5 (𝜑 → (0 / (!‘(𝑃 − 1))) = 0)
336335adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (0 / (!‘(𝑃 − 1))) = 0)
337334, 336eqtrd 2836 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = 0)
338287, 337breqtrrd 5061 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
339286, 338pm2.61dane 3077 1 (𝜑𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  {crab 3113  Vcvv 3444   ∖ cdif 3881   ⊆ wss 3884  ifcif 4428  {csn 4528   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ↑m cmap 8393  Fincfn 8496  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668   ≤ cle 10669   − cmin 10863   / cdiv 11290  ℕcn 11629  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  ...cfz 12889  ↑cexp 13429  !cfa 13633  Σcsu 15038  ∏cprod 15255   ∥ cdvds 15603 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039  df-prod 15256  df-dvds 15604 This theorem is referenced by:  etransclem38  42911
 Copyright terms: Public domain W3C validator