etransclem24 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem etransclem24 46249

Description: 𝑃 divides the I -th derivative of 𝐹 applied to 𝐽. when 𝐽 = 0 and 𝐼 is not equal to 𝑃 − 1. This is the second part of case 2 proven in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
etransclem24.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem24.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
etransclem24.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ₀)
etransclem24.ip	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ (𝑃 − 1))
etransclem24.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 = 0)
etransclem24.c	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
etransclem24.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶‘𝐼))

**Assertion**
Ref	Expression
etransclem24	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))

Distinct variable groups: 𝐷,𝑐,𝑗 𝐼,𝑐,𝑛 𝑗,𝐽 𝑀,𝑐,𝑗,𝑛 𝑃,𝑗 𝜑,𝑗,𝑛 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑐) 𝐶(𝑗,𝑛,𝑐) 𝐷(𝑛) 𝑃(𝑛,𝑐) 𝐼(𝑗) 𝐽(𝑛,𝑐)

Proof of Theorem etransclem24 Dummy variables 𝐴 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem24.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶‘𝐼))
2		etransclem24.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
3		etransclem24.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ₀)
4	2, 3	etransclem12 46237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) = {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝐼})
5	1, 4	eleqtrd 2830	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝐼})
6		fveq1 6821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (𝑐‘𝑗) = (𝐷‘𝑗))
7	6	sumeq2sdv 15610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗))
8	7	eqeq1d 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝐼 ↔ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝐼))
9	8	elrab 3648	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝐼} ↔ (𝐷 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝐼))
10	5, 9	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝐼))
11	10	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝐼)
12	11	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ¬ ∃𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝐼)
13		ralnex 3055	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑘) ∈ ℕ)
14		etransclem24.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
15		nn0uz 12777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
16	14, 15	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘0))
17	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘0))
18		fzsscn 45303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0...𝐼) ⊆ ℂ
19		ssrab2 4031	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑐 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝐼} ⊆ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀))
20	4, 19	eqsstrdi 3980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) ⊆ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)))
21	20, 1	sseldd 3936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)))
22		elmapi 8776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
24	23	ffvelcdmda 7018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) ∈ (0...𝐼))
25	18, 24	sselid 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) ∈ ℂ)
26	25	ad4ant14 752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) ∈ ℂ)
27		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐷‘𝑗) = (𝐷‘0))
28	17, 26, 27	fsum1p 15660	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = ((𝐷‘0) + Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷‘𝑗)))
29		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (𝐷‘0) = (𝑃 − 1))
30		0p1e1 12245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 1) = 1
31	30	oveq1i 7359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀)
32	31	sumeq1i 15604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑗)
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑗))
34		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐷‘𝑘) = (𝐷‘𝑗))
35	34	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐷‘𝑘) ∈ ℕ ↔ (𝐷‘𝑗) ∈ ℕ))
36	35	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ ↔ ¬ (𝐷‘𝑗) ∈ ℕ))
37	36	rspccva 3576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ¬ (𝐷‘𝑗) ∈ ℕ)
38	37	adantll 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ¬ (𝐷‘𝑗) ∈ ℕ)
39		fzssnn0 45308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0...𝐼) ⊆ ℕ₀
40		fz1ssfz0 13526	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀)
41	40	sseli 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
42	41, 24	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) ∈ (0...𝐼))
43	39, 42	sselid 3933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) ∈ ℕ₀)
44		elnn0 12386	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷‘𝑗) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝐷‘𝑗) ∈ ℕ ∨ (𝐷‘𝑗) = 0))
45	43, 44	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐷‘𝑗) ∈ ℕ ∨ (𝐷‘𝑗) = 0))
46	45	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐷‘𝑗) ∈ ℕ ∨ (𝐷‘𝑗) = 0))
47		orel1 888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ (𝐷‘𝑗) ∈ ℕ → (((𝐷‘𝑗) ∈ ℕ ∨ (𝐷‘𝑗) = 0) → (𝐷‘𝑗) = 0))
48	38, 46, 47	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) = 0)
49	48	sumeq2dv 15609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0)
50		fzfi 13879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑀) ∈ Fin
51	50	olci 866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1...𝑀) ⊆ (ℤ_≥‘𝐴) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin)
52		sumz 15629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1...𝑀) ⊆ (ℤ_≥‘𝐴) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
53	51, 52	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
54	33, 49, 53	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 0)
55	54	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 0)
56	29, 55	oveq12d 7367	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → ((𝐷‘0) + Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷‘𝑗)) = ((𝑃 − 1) + 0))
57		etransclem24.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
58		nnm1nn0 12425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ₀)
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ₀)
60	59	nn0red 12446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
61	60	recnd 11143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
62	61	addridd 11316	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 0) = (𝑃 − 1))
63	62	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) + 0) = (𝑃 − 1))
64	28, 56, 63	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = (𝑃 − 1))
65		etransclem24.ip	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ (𝑃 − 1))
66	65	necomd 2980	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ≠ 𝐼)
67	66	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (𝑃 − 1) ≠ 𝐼)
68	64, 67	eqnetrd 2992	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) ≠ 𝐼)
69	68	neneqd 2930	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑀) ¬ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → ¬ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝐼)
70	13, 69	sylan2br 595	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ ¬ ∃𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → ¬ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝐼)
71	12, 70	condan 817	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ∃𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑘) ∈ ℕ)
72	57	nnzd 12498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
73	11	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗))
74	73	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐼) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗)))
75	74	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))))
76		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗𝐷
77		fzfid 13880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
78		nn0ex 12390	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ₀ ∈ V
79		mapss 8816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℕ₀ ∈ V ∧ (0...𝐼) ⊆ ℕ₀) → ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ₀ ↑_m (0...𝑀)))
80	78, 39, 79	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0...𝐼) ↑_m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ₀ ↑_m (0...𝑀))
81	80, 21	sselid 3933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℕ₀ ↑_m (0...𝑀)))
82	76, 77, 81	mccl 45589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℕ)
83	75, 82	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℕ)
84	83	nnzd 12498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℤ)
85		fzfid 13880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
86	57	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
87	23	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
88	41	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
89		etransclem24.j	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = 0)
90		0zd 12483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
91	89, 90	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
92	91	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
93	86, 87, 88, 92	etransclem3 46228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ)
94	85, 93	fprodzcl 15861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ)
95	72, 84, 94	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ))
96	95	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ))
97	72	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ)
98	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
99	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
100	40	sseli 3931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
101	100	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
102	91	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
103	98, 99, 101, 102	etransclem3 46228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) ∈ ℤ)
104		difss 4087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ⊆ (1...𝑀)
105		ssfi 9087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ⊆ (1...𝑀)) → ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ∈ Fin)
106	50, 104, 105	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ∈ Fin
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ∈ Fin)
108	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})) → 𝑃 ∈ ℕ)
109	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝐼))
110	104, 40	sstri 3945	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) ⊆ (0...𝑀)
111	110	sseli 3931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘}) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
112	111	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
113	91	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})) → 𝐽 ∈ ℤ)
114	108, 109, 112, 113	etransclem3 46228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ)
115	107, 114	fprodzcl 15861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ)
116	115	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ)
117	97, 103, 116	3jca 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ))
118	117	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ))
119		dvds0 16182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∥ 0)
120	72, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 0)
121	120	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∥ 0)
122	121	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∥ 0)
123		iftrue 4482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 < (𝐷‘𝑘) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) = 0)
124	123	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 < (𝐷‘𝑘) → 0 = if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
125	124	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 0 = if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
126	122, 125	breqtrd 5118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∥ if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
127	97	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∈ ℤ)
128		0zd 12483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 ∈ ℤ)
129	99, 101	ffvelcdmd 7019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑘) ∈ (0...𝐼))
130	129	elfzelzd 13428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑘) ∈ ℤ)
131	97, 130	zsubcld 12585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ)
132	128, 97, 131	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ))
133	132	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ))
134		fzssre 45306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0...𝐼) ⊆ ℝ
135	134, 129	sselid 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑘) ∈ ℝ)
136	135	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝐷‘𝑘) ∈ ℝ)
137	127	zred 12580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∈ ℝ)
138		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘))
139	136, 137, 138	nltled 11266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝐷‘𝑘) ≤ 𝑃)
140	137, 136	subge0d 11710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (0 ≤ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ↔ (𝐷‘𝑘) ≤ 𝑃))
141	139, 140	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 0 ≤ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)))
142		elfzle1 13430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐷‘𝑘) ∈ (0...𝐼) → 0 ≤ (𝐷‘𝑘))
143	129, 142	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐷‘𝑘))
144	143	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 0 ≤ (𝐷‘𝑘))
145	137, 136	subge02d 11712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (0 ≤ (𝐷‘𝑘) ↔ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ 𝑃))
146	144, 145	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ 𝑃)
147	133, 141, 146	jca32 515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ 𝑃)))
148		elfz2 13417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ (0...𝑃) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ 𝑃)))
149	147, 148	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ (0...𝑃))
150		permnn 14233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ (0...𝑃) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℕ)
151	149, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℕ)
152	151	nnzd 12498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℤ)
153	101	elfzelzd 13428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
154	102, 153	zsubcld 12585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝐽 − 𝑘) ∈ ℤ)
155	154	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝐽 − 𝑘) ∈ ℤ)
156	131	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ)
157		elnn0z 12484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑃 − (𝐷‘𝑘))))
158	156, 141, 157	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℕ₀)
159		zexpcl 13983	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐽 − 𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℕ₀) → ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℤ)
160	155, 158, 159	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℤ)
161	127, 152, 160	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℤ ∧ ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℤ))
162	161	3adantl3 1169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℤ ∧ ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℤ))
163	127	3adantl3 1169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∈ ℤ)
164	59	nn0zd 12497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
165	164	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
166	128, 165, 131	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ))
167	166	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ))
168	167	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ))
169	141	3adantl3 1169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 0 ≤ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)))
170		1red 11116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
171		nnre 12135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐷‘𝑘) ∈ ℕ → (𝐷‘𝑘) ∈ ℝ)
172	171	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑘) ∈ ℝ)
173	57	nnred 12143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
174	173	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℝ)
175		nnge1 12156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐷‘𝑘) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝐷‘𝑘))
176	175	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐷‘𝑘))
177	170, 172, 174, 176	lesub2dd 11737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ (𝑃 − 1))
178	177	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ (𝑃 − 1))
179	178	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ (𝑃 − 1))
180	168, 169, 179	jca32 515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ (𝑃 − 1))))
181		elfz2 13417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∧ (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ≤ (𝑃 − 1))))
182	180, 181	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
183		permnn 14233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 − (𝐷‘𝑘)) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℕ)
184	182, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℕ)
185	184	nnzd 12498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℤ)
186		dvdsmul1 16188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
187	163, 185, 186	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
188	57	nncnd 12144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
189		1cnd 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
190	188, 189	npcand 11479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
191	190	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑃 − 1) + 1))
192	191	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑃) = (!‘((𝑃 − 1) + 1)))
193		facp1 14185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 − 1) ∈ ℕ₀ → (!‘((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)))
194	59, 193	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)))
195	190	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃))
196	59	faccld 14191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
197	196	nncnd 12144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
198	197, 188	mulcomd 11136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 𝑃) = (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))))
199	195, 198	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ((𝑃 − 1) + 1)) = (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))))
200	192, 194, 199	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑃) = (𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))))
201	200	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) = ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
202	201	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) = ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
203	202	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) = ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
204	188	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∈ ℂ)
205	197	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
206	158	faccld 14191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℕ)
207	206	nncnd 12144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℂ)
208	206	nnne0d 12178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))) ≠ 0)
209	204, 205, 207, 208	divassd 11935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) = (𝑃 · ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
210	209	3adantl3 1169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → ((𝑃 · (!‘(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) = (𝑃 · ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
211	203, 210	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → (𝑃 · ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
212	187, 211	breqtrd 5118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∥ ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
213		dvdsmultr1 16207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) ∈ ℤ ∧ ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) → 𝑃 ∥ (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
214	162, 212, 213	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∥ (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
215		iffalse 4485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
216	215	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
217	214, 216	breqtrrd 5120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)) → 𝑃 ∥ if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
218	126, 217	pm2.61dan 812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
219		dvdsmultr1 16207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) → 𝑃 ∥ (if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) · ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))))
220	118, 218, 219	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) · ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
221		fzfid 13880	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → (1...𝑀) ∈ Fin)
222	93	zcnd 12581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℂ)
223	222	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℂ)
224		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (1...𝑀))
225		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐷‘𝑗) = (𝐷‘𝑘))
226	225	breq2d 5104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑃 < (𝐷‘𝑗) ↔ 𝑃 < (𝐷‘𝑘)))
227	225	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑃 − (𝐷‘𝑗)) = (𝑃 − (𝐷‘𝑘)))
228	227	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗))) = (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))
229	228	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
230		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐽 − 𝑗) = (𝐽 − 𝑘))
231	230, 227	oveq12d 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))) = ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))
232	229, 231	oveq12d 7367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))))
233	226, 232	ifbieq2d 4503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
234	233	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 = 𝑘) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))))
235	221, 223, 224, 234	fprodsplit1 45584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) = (if(𝑃 < (𝐷‘𝑘), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑘)))) · ((𝐽 − 𝑘)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑘))))) · ∏𝑗 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑘})if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
236	220, 235	breqtrrd 5120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))
237		dvdsmultr2 16209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) → 𝑃 ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))))
238	96, 236, 237	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
239	238	3adant1r 1178	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
240		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) = (𝑃 − 1))
241		eluzfz1 13434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
242	16, 241	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
243	23, 242	ffvelcdmd 7019	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ (0...𝐼))
244	134, 243	sselid 3933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ ℝ)
245	244	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) ∈ ℝ)
246	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
247	245, 246	lttri3d 11256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((𝐷‘0) = (𝑃 − 1) ↔ (¬ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))))
248	240, 247	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (¬ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)))
249	248	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))
250	249	iffalsed 4487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))))
251		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷‘0) = (𝑃 − 1) → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) = ((𝑃 − 1) − (𝑃 − 1)))
252	61	subidd 11463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝑃 − 1)) = 0)
253	251, 252	sylan9eqr 2786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) = 0)
254	253	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (!‘0))
255		fac0 14183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (!‘0) = 1
256	254, 255	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 1)
257	256	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / 1))
258	197	div1d 11892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
259	258	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
260	257, 259	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = (!‘(𝑃 − 1)))
261	253	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (𝐽↑0))
262	91	zcnd 12581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
263	262	exp0d 14047	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐽↑0) = 1)
264	263	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐽↑0) = 1)
265	261, 264	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 1)
266	260, 265	oveq12d 7367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 1))
267	197	mulridd 11132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
268	267	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) · 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
269	250, 266, 268	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = (!‘(𝑃 − 1)))
270	269	oveq1d 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
271	270	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))))
272	271	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
273	83	nncnd 12144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℂ)
274	94	zcnd 12581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℂ)
275	197, 274	mulcld 11135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) ∈ ℂ)
276	196	nnne0d 12178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
277	273, 275, 197, 276	divassd 11935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
278	277	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
279	274, 197, 276	divcan3d 11905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))
280	279	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) / (!‘(𝑃 − 1)))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
281	280	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) / (!‘(𝑃 − 1)))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
282	272, 278, 281	3eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
283	282	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
284	239, 283	breqtrrd 5120	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝐷‘𝑘) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
285	284	rexlimdv3a 3134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → (∃𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑘) ∈ ℕ → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
286	71, 285	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) = (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
287	120	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∥ 0)
288		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))
289	288	iftrued 4484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = 0)
290		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))
291	290	iffalsed 4487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))))
292		simpll 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → 𝜑)
293	244	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝐷‘0) ∈ ℝ)
294	60	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
295	293, 294, 290	nltled 11266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝐷‘0) ≤ (𝑃 − 1))
296		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1) → (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1))
297	296	necomd 2980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1) → (𝑃 − 1) ≠ (𝐷‘0))
298	297	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝑃 − 1) ≠ (𝐷‘0))
299	293, 294, 295, 298	leneltd 11270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (𝐷‘0) < (𝑃 − 1))
300	89	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
301	300	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
302	243	elfzelzd 13428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ ℤ)
303	164, 302	zsubcld 12585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℤ)
304	303	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℤ)
305		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) < (𝑃 − 1))
306	244	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (𝐷‘0) ∈ ℝ)
307	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
308	306, 307	posdifd 11707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → ((𝐷‘0) < (𝑃 − 1) ↔ 0 < ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
309	305, 308	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → 0 < ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))
310		elnnz 12481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℕ ↔ (((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
311	304, 309, 310	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℕ)
312	311	0expd 14046	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 0)
313	301, 312	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 0)
314	313	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · 0))
315	197	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
316	311	nnnn0d 12445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) ∈ ℕ₀)
317	316	faccld 14191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) ∈ ℕ)
318	317	nncnd 12144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) ∈ ℂ)
319	317	nnne0d 12178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) ≠ 0)
320	315, 318, 319	divcld 11900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) ∈ ℂ)
321	320	mul01d 11315	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · 0) = 0)
322	314, 321	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = 0)
323	292, 299, 322	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = 0)
324	291, 323	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = 0)
325	289, 324	pm2.61dan 812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = 0)
326	325	oveq1d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) = (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
327	274	mul02d 11314	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) = 0)
328	327	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) = 0)
329	326, 328	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) = 0)
330	329	oveq2d 7365	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) = (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · 0))
331	273	mul01d 11315	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · 0) = 0)
332	331	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · 0) = 0)
333	330, 332	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) = 0)
334	333	oveq1d 7364	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (0 / (!‘(𝑃 − 1))))
335	197, 276	div0d 11899	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 / (!‘(𝑃 − 1))) = 0)
336	335	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → (0 / (!‘(𝑃 − 1))) = 0)
337	334, 336	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))) = 0)
338	287, 337	breqtrrd 5120	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘0) ≠ (𝑃 − 1)) → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))
339	286, 338	pm2.61dane 3012	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((((!‘𝐼) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) / (!‘(𝑃 − 1))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∀wral 3044 ∃wrex 3053 {crab 3394 Vcvv 3436 ∖ cdif 3900 ⊆ wss 3903 ifcif 4476 {csn 4577 class class class wbr 5092 ↦ cmpt 5173 ⟶wf 6478 ‘cfv 6482 (class class class)co 7349 ↑_m cmap 8753 Fincfn 8872 ℂcc 11007 ℝcr 11008 0cc0 11009 1c1 11010 + caddc 11012 · cmul 11014 < clt 11149 ≤ cle 11150 − cmin 11347 / cdiv 11777 ℕcn 12128 ℕ₀cn0 12384 ℤcz 12471 ℤ_≥cuz 12735 ...cfz 13410 ↑cexp 13968 !cfa 14180 Σcsu 15593 ∏cprod 15810 ∥ cdvds 16163

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5218 ax-sep 5235 ax-nul 5245 ax-pow 5304 ax-pr 5371 ax-un 7671 ax-inf2 9537 ax-cnex 11065 ax-resscn 11066 ax-1cn 11067 ax-icn 11068 ax-addcl 11069 ax-addrcl 11070 ax-mulcl 11071 ax-mulrcl 11072 ax-mulcom 11073 ax-addass 11074 ax-mulass 11075 ax-distr 11076 ax-i2m1 11077 ax-1ne0 11078 ax-1rid 11079 ax-rnegex 11080 ax-rrecex 11081 ax-cnre 11082 ax-pre-lttri 11083 ax-pre-lttrn 11084 ax-pre-ltadd 11085 ax-pre-mulgt0 11086 ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3395 df-v 3438 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-nul 4285 df-if 4477 df-pw 4553 df-sn 4578 df-pr 4580 df-op 4584 df-uni 4859 df-int 4897 df-iun 4943 df-br 5093 df-opab 5155 df-mpt 5174 df-tr 5200 df-id 5514 df-eprel 5519 df-po 5527 df-so 5528 df-fr 5572 df-se 5573 df-we 5574 df-xp 5625 df-rel 5626 df-cnv 5627 df-co 5628 df-dm 5629 df-rn 5630 df-res 5631 df-ima 5632 df-pred 6249 df-ord 6310 df-on 6311 df-lim 6312 df-suc 6313 df-iota 6438 df-fun 6484 df-fn 6485 df-f 6486 df-f1 6487 df-fo 6488 df-f1o 6489 df-fv 6490 df-isom 6491 df-riota 7306 df-ov 7352 df-oprab 7353 df-mpo 7354 df-om 7800 df-1st 7924 df-2nd 7925 df-frecs 8214 df-wrecs 8245 df-recs 8294 df-rdg 8332 df-1o 8388 df-er 8625 df-map 8755 df-en 8873 df-dom 8874 df-sdom 8875 df-fin 8876 df-sup 9332 df-oi 9402 df-card 9835 df-pnf 11151 df-mnf 11152 df-xr 11153 df-ltxr 11154 df-le 11155 df-sub 11349 df-neg 11350 df-div 11778 df-nn 12129 df-2 12191 df-3 12192 df-n0 12385 df-z 12472 df-uz 12736 df-rp 12894 df-fz 13411 df-fzo 13558 df-seq 13909 df-exp 13969 df-fac 14181 df-bc 14210 df-hash 14238 df-cj 15006 df-re 15007 df-im 15008 df-sqrt 15142 df-abs 15143 df-clim 15395 df-sum 15594 df-prod 15811 df-dvds 16164

This theorem is referenced by: etransclem38 46263

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