Theorem bitsmod 16635

Description: Truncating the bit sequence after some 𝑀 is equivalent to reducing the argument mod 2↑𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsmod	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝑁 mod (2↑𝑀))) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑀)))

Proof of Theorem bitsmod

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		2nn 12443	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
4		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5	3, 4	nnexpcld 14416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
6	1, 5	zmodcld 14059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 12745	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
8	7	biantrurd 542	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))) ↔ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))))
9	1	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ0)
11		bitsval2 16624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥)))))
12	9, 10, 11	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥)))))
13		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 < 𝑀)
14	13	biantrud 541	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀)))
15		2z 12755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∈ ℤ)
17	9	zred 12830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
18	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∈ ℕ)
19	18, 10	nnexpcld 14416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∈ ℕ)
20	17, 19	nndivred 12419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 / (2↑𝑥)) ∈ ℝ)
21	20	flcld 13965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) ∈ ℤ)
22	7	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
23	22	zred 12830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℝ)
24	23, 19	nndivred 12419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) ∈ ℝ)
25	24	flcld 13965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) ∈ ℤ)
26	19	nnzd 12746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∈ ℤ)
27	26, 16	zmulcld 12836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) · 2) ∈ ℤ)
28	5	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∈ ℤ)
30	9, 22	zsubcld 12835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℤ)
31		2cnd 12448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∈ ℂ)
32	31, 10	expp1d 14317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑(𝑥 + 1)) = ((2↑𝑥) · 2))
33		1nn0 12649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℕ0
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 1 ∈ ℕ0)
35	10, 34	nn0addcld 12698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 + 1) ∈ ℕ0)
36	35	nn0zd 12745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
37		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
38	37	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ0)
39	38	nn0zd 12745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
40		nn0ltp1le 12784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 < 𝑀 ↔ (𝑥 + 1) ≤ 𝑀))
41	10, 38, 40	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 < 𝑀 ↔ (𝑥 + 1) ≤ 𝑀))
42	13, 41	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 + 1) ≤ 𝑀)
43		eluz2 12998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑥 + 1)) ↔ ((𝑥 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + 1) ≤ 𝑀))
44	36, 39, 42, 43	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑥 + 1)))
45		dvdsexp 16527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑥 + 1))) → (2↑(𝑥 + 1)) ∥ (2↑𝑀))
46	16, 35, 44, 45	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑(𝑥 + 1)) ∥ (2↑𝑀))
47	32, 46	eqbrtrrd 5132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) · 2) ∥ (2↑𝑀))
48	28	nnrpd 13189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∈ ℝ+)
49		moddifz 14050	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℝ+) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
50	17, 48, 49	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
51		2ne0 12476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ≠ 0
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 2 ≠ 0)
53	31, 52, 39	expne0d 14322	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ≠ 0)
54		dvdsval2 16454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2↑𝑀) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑀) ≠ 0 ∧ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℤ) → ((2↑𝑀) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ))
55	29, 53, 30, 54	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑀) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ))
56	50, 55	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
57	27, 29, 30, 47, 56	dvdstrd 16494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) · 2) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
58	30	zcnd 12831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℂ)
59	19	nncnd 12378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∈ ℂ)
60	10	nn0zd 12745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
61	31, 52, 60	expne0d 14322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ≠ 0)
62	58, 59, 61	divcan2d 12122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) · ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))) = (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
63	57, 62	breqtrrd 5136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) · 2) ∥ ((2↑𝑥) · ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
64	10	nn0red 12695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ)
65	38	nn0red 12695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
66	64, 65, 13	ltled 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ≤ 𝑀)
67		eluz2 12998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑀))
68	60, 39, 66, 67	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
69		dvdsexp 16527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) → (2↑𝑥) ∥ (2↑𝑀))
70	16, 10, 68, 69	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∥ (2↑𝑀))
71	26, 29, 30, 70, 56	dvdstrd 16494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
72		dvdsval2 16454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2↑𝑥) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℤ) → ((2↑𝑥) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)) ∈ ℤ))
73	26, 61, 30, 72	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)) ∈ ℤ))
74	71, 73	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)) ∈ ℤ)
75		dvdscmulr 16483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)) ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑥) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑥) ≠ 0)) → (((2↑𝑥) · 2) ∥ ((2↑𝑥) · ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))) ↔ 2 ∥ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
76	16, 74, 26, 61, 75	syl112anc 1402	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (((2↑𝑥) · 2) ∥ ((2↑𝑥) · ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))) ↔ 2 ∥ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
77	63, 76	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∥ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)))
78	25	zcnd 12831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) ∈ ℂ)
79	74	zcnd 12831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)) ∈ ℂ)
80	22	zcnd 12831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℂ)
81	9	zcnd 12831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
82	80, 81	pncan3d 11699	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) = 𝑁)
83	82	oveq1d 7458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) / (2↑𝑥)) = (𝑁 / (2↑𝑥)))
84	80, 58, 59, 61	divdird 12158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) / (2↑𝑥)) = (((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
85	83, 84	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 / (2↑𝑥)) = (((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
86	85	fveq2d 6912	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) = (⌊‘(((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)))))
87		fladdz 13992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)) ∈ ℤ) → (⌊‘(((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)))) = ((⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
88	24, 74, 87	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘(((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)))) = ((⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
89	86, 88	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) = ((⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
90	78, 79, 89	mvrladdd 11755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) − (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))) = ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)))
91	77, 90	breqtrrd 5136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∥ ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) − (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
92		dvdssub2 16500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) − (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))))) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) ↔ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
93	16, 21, 25, 91, 92	syl31anc 1401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) ↔ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
94	93	notbid 321	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
95	12, 14, 94	3bitr3d 312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
96		z0even 16566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∥ 0
97	1	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
98	97	zred 12830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
99		2rp 13152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ+
100	99	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∈ ℝ+)
101	37	nn0zd 12745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
102	101	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
103	100, 102	rpexpcld 14418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∈ ℝ+)
104	98, 103	modcld 14042	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℝ)
105		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ0)
106	105	nn0zd 12745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
107	100, 106	rpexpcld 14418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∈ ℝ+)
108	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℕ0)
109	108	nn0ge0d 12697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 0 ≤ (𝑁 mod (2↑𝑀)))
110	104, 107, 109	divge0d 13231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 0 ≤ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))
111	103	rpred 13191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∈ ℝ)
112	107	rpred 13191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∈ ℝ)
113		modlt 14047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑀))
114	98, 103, 113	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑀))
115	100	rpred 13191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∈ ℝ)
116		1le2 12581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ≤ 2
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 1 ≤ 2)
118	102	zred 12830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
119	105	nn0red 12695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ)
120		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ¬ 𝑥 < 𝑀)
121	118, 119, 120	nltled 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑥)
122		eluz2 12998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))
123	102, 106, 121, 122	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
124	115, 117, 123	leexp2ad 14425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ≤ (2↑𝑥))
125	104, 111, 112, 114, 124	ltletrd 11497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑥))
126	107	rpcnd 13193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∈ ℂ)
127	126	mulridd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) · 1) = (2↑𝑥))
128	125, 127	breqtrrd 5136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) < ((2↑𝑥) · 1))
129		1red 11336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
130	104, 129, 107	ltdivmuld 13242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) < 1 ↔ (𝑁 mod (2↑𝑀)) < ((2↑𝑥) · 1)))
131	128, 130	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) < 1)
132		1e0p1 12888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 = (0 + 1)
133	131, 132	breqtrdi 5149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) < (0 + 1))
134	104, 107	rerpdivcld 13222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) ∈ ℝ)
135		0z 12731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℤ
136		flbi 13983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) = 0 ↔ (0 ≤ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) ∧ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) < (0 + 1))))
137	134, 135, 136	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ((⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) = 0 ↔ (0 ≤ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) ∧ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) < (0 + 1))))
138	110, 133, 137	mpbir2and 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) = 0)
139	96, 138	breqtrrid 5146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))))
140	120	intnand 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ¬ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀))
141	139, 140	2thd 268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) ↔ ¬ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀)))
142	141	con2bid 357	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
143	95, 142	pm2.61dan 825	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
144	101	biantrurd 542	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀))))
145	143, 144	bitr3d 284	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀))))
146		an12 658	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀)) ↔ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀)))
147	145, 146	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) ↔ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))))
148	147	pm5.32da 590	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀)))))
149	8, 148	bitr3d 284	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))))) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀)))))
150		3anass 1111	. . . 4 ⊢ (((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))) ↔ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))))))
151		elfzo2 13823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))
152		elnn0uz 13033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0))
153	152	3anbi1i 1175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))
154		3anass 1111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀)))
155	151, 153, 154	3bitr2i 302	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀)))
156	155	anbi2i 635	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))))
157		an12 658	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))))
158	156, 157	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))))
159	149, 150, 158	3bitr4g 317	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))) ↔ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀))))
160		bitsval 16623	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (bits‘(𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
161		elin 4096	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑀)) ↔ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)))
162	159, 160, 161	3bitr4g 317	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (bits‘(𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ 𝑥 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑀))))
163	162	eqrdv 2761	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝑁 mod (2↑𝑀))) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑀)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∩ cin 4092   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   < clt 11370   ≤ cle 11371   − cmin 11568   / cdiv 12000  ℕcn 12362  2c2 12424  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  ℤ_≥cuz 12992  ℝ⁺crp 13147  ..^cfzo 13815  ⌊cfl 13957   mod cmo 14036  ↑cexp 14231   ∥ cdvds 16451  bitscbits 16618

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-dvds 16452  df-bits 16621

This theorem is used by:  sadaddlem  16665  sadadd  16666  bitsres  16672  smumul  16692