bitsmod - Metamath Proof Explorer

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Theorem bitsmod 16384

Description: Truncating the bit sequence after some 𝑀 is equivalent to reducing the argument mod 2↑𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
bitsmod	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (bits‘(𝑁 mod (2↑𝑀))) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑀)))

Proof of Theorem bitsmod Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		2nn 12292	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → 2 ∈ ℕ)
4		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → 𝑀 ∈ ℕ₀)
5	3, 4	nnexpcld 14215	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
6	1, 5	zmodcld 13864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℕ₀)
7	6	nn0zd 12591	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
8	7	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))) ↔ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))))
9	1	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		simplr 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ₀)
11		bitsval2 16373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) → (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥)))))
12	9, 10, 11	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥)))))
13		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 < 𝑀)
14	13	biantrud 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀)))
15		2z 12601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∈ ℤ)
17	9	zred 12673	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
18	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∈ ℕ)
19	18, 10	nnexpcld 14215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∈ ℕ)
20	17, 19	nndivred 12273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 / (2↑𝑥)) ∈ ℝ)
21	20	flcld 13770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) ∈ ℤ)
22	7	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
23	22	zred 12673	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℝ)
24	23, 19	nndivred 12273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) ∈ ℝ)
25	24	flcld 13770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) ∈ ℤ)
26	19	nnzd 12592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∈ ℤ)
27	26, 16	zmulcld 12679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) · 2) ∈ ℤ)
28	5	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∈ ℤ)
30	9, 22	zsubcld 12678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℤ)
31		2cnd 12297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∈ ℂ)
32	31, 10	expp1d 14119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑(𝑥 + 1)) = ((2↑𝑥) · 2))
33		1nn0 12495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 1 ∈ ℕ₀)
35	10, 34	nn0addcld 12543	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 + 1) ∈ ℕ₀)
36	35	nn0zd 12591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
37		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) → 𝑀 ∈ ℕ₀)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ₀)
39	38	nn0zd 12591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
40		nn0ltp1le 12627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝑥 < 𝑀 ↔ (𝑥 + 1) ≤ 𝑀))
41	10, 38, 40	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 < 𝑀 ↔ (𝑥 + 1) ≤ 𝑀))
42	13, 41	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 + 1) ≤ 𝑀)
43		eluz2 12835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘(𝑥 + 1)) ↔ ((𝑥 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + 1) ≤ 𝑀))
44	36, 39, 42, 43	syl3anbrc 1342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘(𝑥 + 1)))
45		dvdsexp 16278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘(𝑥 + 1))) → (2↑(𝑥 + 1)) ∥ (2↑𝑀))
46	16, 35, 44, 45	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑(𝑥 + 1)) ∥ (2↑𝑀))
47	32, 46	eqbrtrrd 5172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) · 2) ∥ (2↑𝑀))
48	28	nnrpd 13021	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∈ ℝ⁺)
49		moddifz 13855	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℝ⁺) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
50	17, 48, 49	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
51		2ne0 12323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ≠ 0
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 2 ≠ 0)
53	31, 52, 39	expne0d 14124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ≠ 0)
54		dvdsval2 16207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2↑𝑀) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑀) ≠ 0 ∧ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℤ) → ((2↑𝑀) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ))
55	29, 53, 30, 54	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑀) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ))
56	50, 55	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
57	27, 29, 30, 47, 56	dvdstrd 16245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) · 2) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
58	30	zcnd 12674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℂ)
59	19	nncnd 12235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∈ ℂ)
60	10	nn0zd 12591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
61	31, 52, 60	expne0d 14124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ≠ 0)
62	58, 59, 61	divcan2d 11999	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) · ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))) = (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
63	57, 62	breqtrrd 5176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) · 2) ∥ ((2↑𝑥) · ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
64	10	nn0red 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ)
65	38	nn0red 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
66	64, 65, 13	ltled 11369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ≤ 𝑀)
67		eluz2 12835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑀))
68	60, 39, 66, 67	syl3anbrc 1342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘𝑥))
69		dvdsexp 16278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘𝑥)) → (2↑𝑥) ∥ (2↑𝑀))
70	16, 10, 68, 69	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∥ (2↑𝑀))
71	26, 29, 30, 70, 56	dvdstrd 16245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
72		dvdsval2 16207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2↑𝑥) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℤ) → ((2↑𝑥) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)) ∈ ℤ))
73	26, 61, 30, 72	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)) ∈ ℤ))
74	71, 73	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)) ∈ ℤ)
75		dvdscmulr 16235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)) ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑥) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑥) ≠ 0)) → (((2↑𝑥) · 2) ∥ ((2↑𝑥) · ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))) ↔ 2 ∥ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
76	16, 74, 26, 61, 75	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (((2↑𝑥) · 2) ∥ ((2↑𝑥) · ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))) ↔ 2 ∥ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
77	63, 76	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∥ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)))
78	25	zcnd 12674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) ∈ ℂ)
79	74	zcnd 12674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)) ∈ ℂ)
80	22	zcnd 12674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℂ)
81	9	zcnd 12674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
82	80, 81	pncan3d 11581	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) = 𝑁)
83	82	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) / (2↑𝑥)) = (𝑁 / (2↑𝑥)))
84	80, 58, 59, 61	divdird 12035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) / (2↑𝑥)) = (((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
85	83, 84	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 / (2↑𝑥)) = (((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
86	85	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) = (⌊‘(((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)))))
87		fladdz 13797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)) ∈ ℤ) → (⌊‘(((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)))) = ((⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
88	24, 74, 87	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘(((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)))) = ((⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
89	86, 88	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) = ((⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
90	78, 79, 89	mvrladdd 11634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) − (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))) = ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)))
91	77, 90	breqtrrd 5176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∥ ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) − (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
92		dvdssub2 16251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) − (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))))) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) ↔ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
93	16, 21, 25, 91, 92	syl31anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) ↔ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
94	93	notbid 318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
95	12, 14, 94	3bitr3d 309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
96		z0even 16317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∥ 0
97	1	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
98	97	zred 12673	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
99		2rp 12986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
100	99	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∈ ℝ⁺)
101	37	nn0zd 12591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) → 𝑀 ∈ ℤ)
102	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
103	100, 102	rpexpcld 14217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∈ ℝ⁺)
104	98, 103	modcld 13847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℝ)
105		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ₀)
106	105	nn0zd 12591	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
107	100, 106	rpexpcld 14217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∈ ℝ⁺)
108	6	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℕ₀)
109	108	nn0ge0d 12542	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 0 ≤ (𝑁 mod (2↑𝑀)))
110	104, 107, 109	divge0d 13063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 0 ≤ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))
111	103	rpred 13023	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∈ ℝ)
112	107	rpred 13023	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∈ ℝ)
113		modlt 13852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℝ⁺) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑀))
114	98, 103, 113	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑀))
115	100	rpred 13023	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∈ ℝ)
116		1le2 12428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ≤ 2
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 1 ≤ 2)
118	102	zred 12673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
119	105	nn0red 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ)
120		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ¬ 𝑥 < 𝑀)
121	118, 119, 120	nltled 11371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑥)
122		eluz2 12835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))
123	102, 106, 121, 122	syl3anbrc 1342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
124	115, 117, 123	leexp2ad 14224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ≤ (2↑𝑥))
125	104, 111, 112, 114, 124	ltletrd 11381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑥))
126	107	rpcnd 13025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∈ ℂ)
127	126	mulridd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) · 1) = (2↑𝑥))
128	125, 127	breqtrrd 5176	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) < ((2↑𝑥) · 1))
129		1red 11222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
130	104, 129, 107	ltdivmuld 13074	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) < 1 ↔ (𝑁 mod (2↑𝑀)) < ((2↑𝑥) · 1)))
131	128, 130	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) < 1)
132		1e0p1 12726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 = (0 + 1)
133	131, 132	breqtrdi 5189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) < (0 + 1))
134	104, 107	rerpdivcld 13054	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) ∈ ℝ)
135		0z 12576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℤ
136		flbi 13788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) = 0 ↔ (0 ≤ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) ∧ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) < (0 + 1))))
137	134, 135, 136	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ((⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) = 0 ↔ (0 ≤ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) ∧ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) < (0 + 1))))
138	110, 133, 137	mpbir2and 710	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) = 0)
139	96, 138	breqtrrid 5186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))))
140	120	intnand 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ¬ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀))
141	139, 140	2thd 265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) ↔ ¬ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀)))
142	141	con2bid 354	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
143	95, 142	pm2.61dan 810	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) → ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
144	101	biantrurd 532	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) → ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀))))
145	143, 144	bitr3d 281	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) → (¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀))))
146		an12 642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀)) ↔ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀)))
147	145, 146	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) → (¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) ↔ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))))
148	147	pm5.32da 578	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))) ↔ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀)))))
149	8, 148	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))))) ↔ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀)))))
150		3anass 1094	. . . 4 ⊢ (((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))) ↔ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))))))
151		elfzo2 13642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))
152		elnn0uz 12874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ₀ ↔ 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘0))
153	152	3anbi1i 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))
154		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀)))
155	151, 153, 154	3bitr2i 299	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀)))
156	155	anbi2i 622	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))))
157		an12 642	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))) ↔ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))))
158	156, 157	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))))
159	149, 150, 158	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))) ↔ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀))))
160		bitsval 16372	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (bits‘(𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
161		elin 3964	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑀)) ↔ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)))
162	159, 160, 161	3bitr4g 314	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝑥 ∈ (bits‘(𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ 𝑥 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑀))))
163	162	eqrdv 2729	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (bits‘(𝑁 mod (2↑𝑀))) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑀)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2105 ≠ wne 2939 ∩ cin 3947 class class class wbr 5148 ‘cfv 6543 (class class class)co 7412 ℝcr 11115 0cc0 11116 1c1 11117 + caddc 11119 · cmul 11121 < clt 11255 ≤ cle 11256 − cmin 11451 / cdiv 11878 ℕcn 12219 2c2 12274 ℕ₀cn0 12479 ℤcz 12565 ℤ_≥cuz 12829 ℝ⁺crp 12981 ..^cfzo 13634 ⌊cfl 13762 mod cmo 13841 ↑cexp 14034 ∥ cdvds 16204 bitscbits 16367

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7729 ax-cnex 11172 ax-resscn 11173 ax-1cn 11174 ax-icn 11175 ax-addcl 11176 ax-addrcl 11177 ax-mulcl 11178 ax-mulrcl 11179 ax-mulcom 11180 ax-addass 11181 ax-mulass 11182 ax-distr 11183 ax-i2m1 11184 ax-1ne0 11185 ax-1rid 11186 ax-rnegex 11187 ax-rrecex 11188 ax-cnre 11189 ax-pre-lttri 11190 ax-pre-lttrn 11191 ax-pre-ltadd 11192 ax-pre-mulgt0 11193 ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3375 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7368 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7860 df-1st 7979 df-2nd 7980 df-frecs 8272 df-wrecs 8303 df-recs 8377 df-rdg 8416 df-er 8709 df-en 8946 df-dom 8947 df-sdom 8948 df-sup 9443 df-inf 9444 df-pnf 11257 df-mnf 11258 df-xr 11259 df-ltxr 11260 df-le 11261 df-sub 11453 df-neg 11454 df-div 11879 df-nn 12220 df-2 12282 df-n0 12480 df-z 12566 df-uz 12830 df-rp 12982 df-fz 13492 df-fzo 13635 df-fl 13764 df-mod 13842 df-seq 13974 df-exp 14035 df-dvds 16205 df-bits 16370

This theorem is referenced by: sadaddlem 16414 sadadd 16415 bitsres 16421 smumul 16441

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