Theorem bitsmod 16143

Description: Truncating the bit sequence after some 𝑀 is equivalent to reducing the argument mod 2↑𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsmod	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝑁 mod (2↑𝑀))) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑀)))

Proof of Theorem bitsmod

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		2nn 12046	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
4		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5	3, 4	nnexpcld 13960	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
6	1, 5	zmodcld 13612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 12424	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
8	7	biantrurd 533	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))) ↔ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))))
9	1	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		simplr 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ0)
11		bitsval2 16132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥)))))
12	9, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥)))))
13		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 < 𝑀)
14	13	biantrud 532	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀)))
15		2z 12352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∈ ℤ)
17	9	zred 12426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
18	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∈ ℕ)
19	18, 10	nnexpcld 13960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∈ ℕ)
20	17, 19	nndivred 12027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 / (2↑𝑥)) ∈ ℝ)
21	20	flcld 13518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) ∈ ℤ)
22	7	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
23	22	zred 12426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℝ)
24	23, 19	nndivred 12027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) ∈ ℝ)
25	24	flcld 13518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) ∈ ℤ)
26	19	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∈ ℤ)
27	26, 16	zmulcld 12432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) · 2) ∈ ℤ)
28	5	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∈ ℤ)
30	9, 22	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℤ)
31		2cnd 12051	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∈ ℂ)
32	31, 10	expp1d 13865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑(𝑥 + 1)) = ((2↑𝑥) · 2))
33		1nn0 12249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℕ0
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 1 ∈ ℕ0)
35	10, 34	nn0addcld 12297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 + 1) ∈ ℕ0)
36	35	nn0zd 12424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
37		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ0)
39	38	nn0zd 12424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
40		nn0ltp1le 12378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 < 𝑀 ↔ (𝑥 + 1) ≤ 𝑀))
41	10, 38, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 < 𝑀 ↔ (𝑥 + 1) ≤ 𝑀))
42	13, 41	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 + 1) ≤ 𝑀)
43		eluz2 12588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑥 + 1)) ↔ ((𝑥 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + 1) ≤ 𝑀))
44	36, 39, 42, 43	syl3anbrc 1342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑥 + 1)))
45		dvdsexp 16037	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑥 + 1))) → (2↑(𝑥 + 1)) ∥ (2↑𝑀))
46	16, 35, 44, 45	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑(𝑥 + 1)) ∥ (2↑𝑀))
47	32, 46	eqbrtrrd 5098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) · 2) ∥ (2↑𝑀))
48	28	nnrpd 12770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∈ ℝ+)
49		moddifz 13603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℝ+) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
50	17, 48, 49	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
51		2ne0 12077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ≠ 0
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 2 ≠ 0)
53	31, 52, 39	expne0d 13870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ≠ 0)
54		dvdsval2 15966	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2↑𝑀) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑀) ≠ 0 ∧ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℤ) → ((2↑𝑀) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ))
55	29, 53, 30, 54	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑀) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ))
56	50, 55	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
57	27, 29, 30, 47, 56	dvdstrd 16004	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) · 2) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
58	30	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℂ)
59	19	nncnd 11989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∈ ℂ)
60	10	nn0zd 12424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
61	31, 52, 60	expne0d 13870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ≠ 0)
62	58, 59, 61	divcan2d 11753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) · ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))) = (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
63	57, 62	breqtrrd 5102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) · 2) ∥ ((2↑𝑥) · ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
64	10	nn0red 12294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ)
65	38	nn0red 12294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
66	64, 65, 13	ltled 11123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ≤ 𝑀)
67		eluz2 12588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑀))
68	60, 39, 66, 67	syl3anbrc 1342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
69		dvdsexp 16037	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) → (2↑𝑥) ∥ (2↑𝑀))
70	16, 10, 68, 69	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∥ (2↑𝑀))
71	26, 29, 30, 70, 56	dvdstrd 16004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
72		dvdsval2 15966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2↑𝑥) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℤ) → ((2↑𝑥) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)) ∈ ℤ))
73	26, 61, 30, 72	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)) ∈ ℤ))
74	71, 73	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)) ∈ ℤ)
75		dvdscmulr 15994	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)) ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑥) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑥) ≠ 0)) → (((2↑𝑥) · 2) ∥ ((2↑𝑥) · ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))) ↔ 2 ∥ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
76	16, 74, 26, 61, 75	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (((2↑𝑥) · 2) ∥ ((2↑𝑥) · ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))) ↔ 2 ∥ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
77	63, 76	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∥ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)))
78	25	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) ∈ ℂ)
79	74	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)) ∈ ℂ)
80	22	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℂ)
81	9	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
82	80, 81	pncan3d 11335	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) = 𝑁)
83	82	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) / (2↑𝑥)) = (𝑁 / (2↑𝑥)))
84	80, 58, 59, 61	divdird 11789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) / (2↑𝑥)) = (((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
85	83, 84	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 / (2↑𝑥)) = (((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
86	85	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) = (⌊‘(((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)))))
87		fladdz 13545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)) ∈ ℤ) → (⌊‘(((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)))) = ((⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
88	24, 74, 87	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘(((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)))) = ((⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
89	86, 88	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) = ((⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
90	78, 79, 89	mvrladdd 11388	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) − (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))) = ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)))
91	77, 90	breqtrrd 5102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∥ ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) − (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
92		dvdssub2 16010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) − (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))))) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) ↔ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
93	16, 21, 25, 91, 92	syl31anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) ↔ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
94	93	notbid 318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
95	12, 14, 94	3bitr3d 309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
96		z0even 16076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∥ 0
97	1	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
98	97	zred 12426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
99		2rp 12735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ+
100	99	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∈ ℝ+)
101	37	nn0zd 12424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
102	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
103	100, 102	rpexpcld 13962	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∈ ℝ+)
104	98, 103	modcld 13595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℝ)
105		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ0)
106	105	nn0zd 12424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
107	100, 106	rpexpcld 13962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∈ ℝ+)
108	6	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℕ0)
109	108	nn0ge0d 12296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 0 ≤ (𝑁 mod (2↑𝑀)))
110	104, 107, 109	divge0d 12812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 0 ≤ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))
111	103	rpred 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∈ ℝ)
112	107	rpred 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∈ ℝ)
113		modlt 13600	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑀))
114	98, 103, 113	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑀))
115	100	rpred 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∈ ℝ)
116		1le2 12182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ≤ 2
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 1 ≤ 2)
118	102	zred 12426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
119	105	nn0red 12294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ)
120		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ¬ 𝑥 < 𝑀)
121	118, 119, 120	nltled 11125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑥)
122		eluz2 12588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))
123	102, 106, 121, 122	syl3anbrc 1342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
124	115, 117, 123	leexp2ad 13971	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ≤ (2↑𝑥))
125	104, 111, 112, 114, 124	ltletrd 11135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑥))
126	107	rpcnd 12774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∈ ℂ)
127	126	mulid1d 10992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) · 1) = (2↑𝑥))
128	125, 127	breqtrrd 5102	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) < ((2↑𝑥) · 1))
129		1red 10976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
130	104, 129, 107	ltdivmuld 12823	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) < 1 ↔ (𝑁 mod (2↑𝑀)) < ((2↑𝑥) · 1)))
131	128, 130	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) < 1)
132		1e0p1 12479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 = (0 + 1)
133	131, 132	breqtrdi 5115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) < (0 + 1))
134	104, 107	rerpdivcld 12803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) ∈ ℝ)
135		0z 12330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℤ
136		flbi 13536	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) = 0 ↔ (0 ≤ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) ∧ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) < (0 + 1))))
137	134, 135, 136	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ((⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) = 0 ↔ (0 ≤ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) ∧ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) < (0 + 1))))
138	110, 133, 137	mpbir2and 710	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) = 0)
139	96, 138	breqtrrid 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))))
140	120	intnand 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ¬ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀))
141	139, 140	2thd 264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) ↔ ¬ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀)))
142	141	con2bid 355	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
143	95, 142	pm2.61dan 810	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
144	101	biantrurd 533	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀))))
145	143, 144	bitr3d 280	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀))))
146		an12 642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀)) ↔ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀)))
147	145, 146	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) ↔ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))))
148	147	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀)))))
149	8, 148	bitr3d 280	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))))) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀)))))
150		3anass 1094	. . . 4 ⊢ (((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))) ↔ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))))))
151		elfzo2 13390	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))
152		elnn0uz 12623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0))
153	152	3anbi1i 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))
154		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀)))
155	151, 153, 154	3bitr2i 299	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀)))
156	155	anbi2i 623	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))))
157		an12 642	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))))
158	156, 157	bitri 274	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))))
159	149, 150, 158	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))) ↔ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀))))
160		bitsval 16131	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (bits‘(𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
161		elin 3903	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑀)) ↔ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)))
162	159, 160, 161	3bitr4g 314	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (bits‘(𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ 𝑥 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑀))))
163	162	eqrdv 2736	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝑁 mod (2↑𝑀))) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∩ cin 3886   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ℝ⁺crp 12730  ..^cfzo 13382  ⌊cfl 13510   mod cmo 13589  ↑cexp 13782   ∥ cdvds 15963  bitscbits 16126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-dvds 15964  df-bits 16129

This theorem is referenced by:  sadaddlem  16173  sadadd  16174  bitsres  16180  smumul  16200