Theorem suppssnn0 32730

Description: Show that the support of a function is contained in an half-open nonnegative integer range. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppssnn0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℕ0)
suppssnn0.n	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
suppssnn0.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
suppssnn0	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (0..^𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘

Proof of Theorem suppssnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppssnn0.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℕ0)
2		dffn3 6700	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn ℕ0 ↔ 𝐹:ℕ0⟶ran 𝐹)
3	1, 2	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶ran 𝐹)
4		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝜑)
5		eldifi 4094	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7		suppssnn0.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	zred 12638	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ)
10	6	nn0red 12504	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑘 ∈ ℝ)
11	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁)))
13	11, 12	nn0difffzod 32729	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → ¬ 𝑘 < 𝑁)
14	9, 10, 13	nltled 11324	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑁 ≤ 𝑘)
15		suppssnn0.n	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
16	4, 6, 14, 15	syl21anc 837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
17	3, 16	suppss 8173	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (0..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3911   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  ran crn 5639   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   supp csupp 8139  ℝcr 11067  0cc0 11068   ≤ cle 11209  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ..^cfzo 13615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616

This theorem is referenced by:  ply1degltdimlem  33618