Theorem suppssnn0 33091

Description: Show that the support of a function is contained in an half-open nonnegative integer range. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppssnn0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℕ0)
suppssnn0.n	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
suppssnn0.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
suppssnn0	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (0..^𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘

Proof of Theorem suppssnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppssnn0.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℕ0)
2		dffn3 6719	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn ℕ0 ↔ 𝐹:ℕ0⟶ran 𝐹)
3	1, 2	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶ran 𝐹)
4		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝜑)
5		eldifi 4093	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6	5	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7		suppssnn0.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	zred 12700	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
9	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ)
10	6	nn0red 12566	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑘 ∈ ℝ)
11	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁)))
13	11, 12	nn0difffzod 33090	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → ¬ 𝑘 < 𝑁)
14	9, 10, 13	nltled 11360	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑁 ≤ 𝑘)
15		suppssnn0.n	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
16	4, 6, 14, 15	syl21anc 850	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
17	3, 16	suppss 8190	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (0..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113  ran crn 5663   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   supp csupp 8156  ℝcr 11099  0cc0 11100   ≤ cle 11244  ℕ₀cn0 12504  ℤcz 12591  ..^cfzo 13682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683

This theorem is referenced by:  ply1degltdimlem  33957