Theorem suppssnn0 33450

Description: Show that the support of a function is contained in an half-open nonnegative integer range. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppssnn0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℕ0)
suppssnn0.n	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
suppssnn0.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
suppssnn0	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (0..^𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘

Proof of Theorem suppssnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppssnn0.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℕ0)
2		dffn3 6730	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn ℕ0 ↔ 𝐹:ℕ0⟶ran 𝐹)
3	1, 2	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶ran 𝐹)
4		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝜑)
5		eldifi 4069	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6	5	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7		suppssnn0.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	zred 12813	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ)
10	6	nn0red 12678	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑘 ∈ ℝ)
11	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁)))
13	11, 12	nn0difffzod 33449	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → ¬ 𝑘 < 𝑁)
14	9, 10, 13	nltled 11470	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → 𝑁 ≤ 𝑘)
15		suppssnn0.n	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
16	4, 6, 14, 15	syl21anc 851	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0..^𝑁))) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍)
17	3, 16	suppss 8222	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (0..^𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3899   ∖ cdif 4047   class class class wbr 5105  ran crn 5655   Fn wfn 6541  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   supp csupp 8187  ℝcr 11209  0cc0 11210   ≤ cle 11354  ℕ₀cn0 12616  ℤcz 12703  ..^cfzo 13798

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-fz 13650  df-fzo 13799

This theorem is used by:  ply1degltdimlem  34307