MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodge0rd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodge0rd 13068
Description: Infer that a multiplicand is nonnegative from a positive multiplier and nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Revised by AV, 9-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
prodge0rd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
prodge0rd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
prodge0rd.3 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
Assertion
Ref Expression
prodge0rd (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem prodge0rd
StepHypRef Expression
1 0red 11204 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2 prodge0rd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 prodge0rd.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
43rpred 13003 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
54, 2remulcld 11231 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
6 prodge0rd.3 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
71, 5, 6lensymd 11352 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0)
84adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
92renegcld 11628 . . . . . . . 8 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
109adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → -𝐵 ∈ ℝ)
113rpgt0d 13006 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝐴)
1211adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 0 < 𝐴)
13 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 0 < -𝐵)
148, 10, 12, 13mulgt0d 11356 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 0 < (𝐴 · -𝐵))
154recnd 11229 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1615adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
172recnd 11229 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1817adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
1916, 18mulneg2d 11655 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
2014, 19breqtrd 5170 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 0 < -(𝐴 · 𝐵))
2120ex 414 . . . 4 (𝜑 → (0 < -𝐵 → 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
222lt0neg1d 11770 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
235lt0neg1d 11770 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
2421, 22, 233imtr4d 294 . . 3 (𝜑 → (𝐵 < 0 → (𝐴 · 𝐵) < 0))
257, 24mtod 197 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐵 < 0)
261, 2, 25nltled 11351 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107   class class class wbr 5144  (class class class)co 7396  cc 11095  cr 11096  0cc0 11097   · cmul 11102   < clt 11235  cle 11236  -cneg 11432  +crp 12961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-rp 12962
This theorem is referenced by:  prodge0ld  13069  oexpneg  16275  evennn02n  16280  nvge0  29891  oexpnegALTV  46218
  Copyright terms: Public domain W3C validator