MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodge0rd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodge0rd 13113
Description: Infer that a multiplicand is nonnegative from a positive multiplier and nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Revised by AV, 9-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
prodge0rd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
prodge0rd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
prodge0rd.3 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
Assertion
Ref Expression
prodge0rd (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)

Proof of Theorem prodge0rd
StepHypRef Expression
1 0red 11247 . 2 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2 prodge0rd.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 prodge0rd.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
43rpred 13048 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
54, 2remulcld 11274 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
6 prodge0rd.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
71, 5, 6lensymd 11395 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
84adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < -๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
92renegcld 11671 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -๐ต โˆˆ โ„)
109adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < -๐ต) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„)
113rpgt0d 13051 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)
1211adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < -๐ต) โ†’ 0 < ๐ด)
13 simpr 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < -๐ต) โ†’ 0 < -๐ต)
148, 10, 12, 13mulgt0d 11399 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < -๐ต) โ†’ 0 < (๐ด ยท -๐ต))
154recnd 11272 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1615adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < -๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
172recnd 11272 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1817adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < -๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1916, 18mulneg2d 11698 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < -๐ต) โ†’ (๐ด ยท -๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))
2014, 19breqtrd 5169 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < -๐ต) โ†’ 0 < -(๐ด ยท ๐ต))
2120ex 411 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0 < -๐ต โ†’ 0 < -(๐ด ยท ๐ต)))
222lt0neg1d 11813 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต < 0 โ†” 0 < -๐ต))
235lt0neg1d 11813 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†” 0 < -(๐ด ยท ๐ต)))
2421, 22, 233imtr4d 293 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต < 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0))
257, 24mtod 197 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ต < 0)
261, 2, 25nltled 11394 1 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5143  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138   ยท cmul 11143   < clt 11278   โ‰ค cle 11279  -cneg 11475  โ„+crp 13006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-rp 13007
This theorem is referenced by:  prodge0ld  13114  oexpneg  16321  evennn02n  16326  nvge0  30527  oexpnegALTV  47080
  Copyright terms: Public domain W3C validator