Theorem prodge0rd 13005

Description: Infer that a multiplicand is nonnegative from a positive multiplier and nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Revised by AV, 9-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodge0rd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
prodge0rd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
prodge0rd.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
prodge0rd	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem prodge0rd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11126	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2		prodge0rd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		prodge0rd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
4	3	rpred 12940	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4, 2	remulcld 11153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
6		prodge0rd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
7	1, 5, 6	lensymd 11275	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0)
8	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	2	renegcld 11555	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → -𝐵 ∈ ℝ)
11	3	rpgt0d 12943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 0 < 𝐴)
13		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 0 < -𝐵)
14	8, 10, 12, 13	mulgt0d 11279	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 0 < (𝐴 · -𝐵))
15	4	recnd 11151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	2	recnd 11151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	16, 18	mulneg2d 11582	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
20	14, 19	breqtrd 5121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 0 < -(𝐴 · 𝐵))
21	20	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝐵 → 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
22	2	lt0neg1d 11697	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
23	5	lt0neg1d 11697	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
24	21, 22, 23	3imtr4d 294	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 → (𝐴 · 𝐵) < 0))
25	7, 24	mtod 198	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 0)
26	1, 2, 25	nltled 11274	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  ℝcr 11016  0cc0 11017   · cmul 11022   < clt 11157   ≤ cle 11158  -cneg 11356  ℝ⁺crp 12896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-rp 12897

This theorem is referenced by:  prodge0ld  13006  oexpneg  16263  evennn02n  16268  nvge0  30674  oexpnegALTV  47839