MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodge0rd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodge0rd 13080
Description: Infer that a multiplicand is nonnegative from a positive multiplier and nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Revised by AV, 9-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
prodge0rd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
prodge0rd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
prodge0rd.3 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
Assertion
Ref Expression
prodge0rd (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)

Proof of Theorem prodge0rd
StepHypRef Expression
1 0red 11216 . 2 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2 prodge0rd.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 prodge0rd.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
43rpred 13015 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
54, 2remulcld 11243 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
6 prodge0rd.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
71, 5, 6lensymd 11364 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
84adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < -๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
92renegcld 11640 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -๐ต โˆˆ โ„)
109adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < -๐ต) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„)
113rpgt0d 13018 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)
1211adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < -๐ต) โ†’ 0 < ๐ด)
13 simpr 485 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < -๐ต) โ†’ 0 < -๐ต)
148, 10, 12, 13mulgt0d 11368 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < -๐ต) โ†’ 0 < (๐ด ยท -๐ต))
154recnd 11241 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1615adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < -๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
172recnd 11241 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1817adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < -๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1916, 18mulneg2d 11667 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < -๐ต) โ†’ (๐ด ยท -๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))
2014, 19breqtrd 5174 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < -๐ต) โ†’ 0 < -(๐ด ยท ๐ต))
2120ex 413 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0 < -๐ต โ†’ 0 < -(๐ด ยท ๐ต)))
222lt0neg1d 11782 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต < 0 โ†” 0 < -๐ต))
235lt0neg1d 11782 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†” 0 < -(๐ด ยท ๐ต)))
2421, 22, 233imtr4d 293 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต < 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0))
257, 24mtod 197 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ต < 0)
261, 2, 25nltled 11363 1 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109   ยท cmul 11114   < clt 11247   โ‰ค cle 11248  -cneg 11444  โ„+crp 12973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-rp 12974
This theorem is referenced by:  prodge0ld  13081  oexpneg  16287  evennn02n  16292  nvge0  29921  oexpnegALTV  46335
  Copyright terms: Public domain W3C validator