Theorem prodge0rd 13164

Description: Infer that a multiplicand is nonnegative from a positive multiplier and nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Revised by AV, 9-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodge0rd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
prodge0rd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
prodge0rd.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
prodge0rd	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem prodge0rd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11293	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2		prodge0rd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		prodge0rd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
4	3	rpred 13099	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4, 2	remulcld 11320	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
6		prodge0rd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
7	1, 5, 6	lensymd 11441	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0)
8	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	2	renegcld 11717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → -𝐵 ∈ ℝ)
11	3	rpgt0d 13102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 0 < 𝐴)
13		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 0 < -𝐵)
14	8, 10, 12, 13	mulgt0d 11445	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 0 < (𝐴 · -𝐵))
15	4	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	2	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	16, 18	mulneg2d 11744	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
20	14, 19	breqtrd 5192	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 0 < -(𝐴 · 𝐵))
21	20	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝐵 → 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
22	2	lt0neg1d 11859	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
23	5	lt0neg1d 11859	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
24	21, 22, 23	3imtr4d 294	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 → (𝐴 · 𝐵) < 0))
25	7, 24	mtod 198	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 0)
26	1, 2, 25	nltled 11440	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325  -cneg 11521  ℝ⁺crp 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-rp 13058

This theorem is referenced by:  prodge0ld  13165  oexpneg  16393  evennn02n  16398  nvge0  30705  oexpnegALTV  47551