Theorem prodge0rd 13121

Description: Infer that a multiplicand is nonnegative from a positive multiplier and nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Revised by AV, 9-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodge0rd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
prodge0rd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
prodge0rd.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
prodge0rd	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem prodge0rd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11243	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2		prodge0rd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		prodge0rd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
4	3	rpred 13056	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4, 2	remulcld 11270	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
6		prodge0rd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
7	1, 5, 6	lensymd 11391	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0)
8	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	2	renegcld 11669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → -𝐵 ∈ ℝ)
11	3	rpgt0d 13059	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 0 < 𝐴)
13		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 0 < -𝐵)
14	8, 10, 12, 13	mulgt0d 11395	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 0 < (𝐴 · -𝐵))
15	4	recnd 11268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	2	recnd 11268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	16, 18	mulneg2d 11696	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
20	14, 19	breqtrd 5150	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 0 < -(𝐴 · 𝐵))
21	20	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝐵 → 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
22	2	lt0neg1d 11811	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
23	5	lt0neg1d 11811	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
24	21, 22, 23	3imtr4d 294	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 → (𝐴 · 𝐵) < 0))
25	7, 24	mtod 198	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 0)
26	1, 2, 25	nltled 11390	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134   · cmul 11139   < clt 11274   ≤ cle 11275  -cneg 11472  ℝ⁺crp 13013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-rp 13014

This theorem is referenced by:  prodge0ld  13122  oexpneg  16369  evennn02n  16374  nvge0  30659  oexpnegALTV  47658