Theorem prodge0rd 13143

Description: Infer that a multiplicand is nonnegative from a positive multiplier and nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Revised by AV, 9-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodge0rd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
prodge0rd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
prodge0rd.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
prodge0rd	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem prodge0rd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11265	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2		prodge0rd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		prodge0rd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
4	3	rpred 13078	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4, 2	remulcld 11292	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
6		prodge0rd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
7	1, 5, 6	lensymd 11413	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0)
8	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	2	renegcld 11691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → -𝐵 ∈ ℝ)
11	3	rpgt0d 13081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 0 < 𝐴)
13		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 0 < -𝐵)
14	8, 10, 12, 13	mulgt0d 11417	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 0 < (𝐴 · -𝐵))
15	4	recnd 11290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	2	recnd 11290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	16, 18	mulneg2d 11718	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
20	14, 19	breqtrd 5168	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 0 < -(𝐴 · 𝐵))
21	20	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝐵 → 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
22	2	lt0neg1d 11833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
23	5	lt0neg1d 11833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
24	21, 22, 23	3imtr4d 294	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 → (𝐴 · 𝐵) < 0))
25	7, 24	mtod 198	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 0)
26	1, 2, 25	nltled 11412	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155  0cc0 11156   · cmul 11161   < clt 11296   ≤ cle 11297  -cneg 11494  ℝ⁺crp 13035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-rp 13036

This theorem is referenced by:  prodge0ld  13144  oexpneg  16383  evennn02n  16388  nvge0  30693  oexpnegALTV  47669