Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem7 42395
Description: The given product is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem7.n (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem7.c (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem7.j (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
Assertion
Ref Expression
etransclem7 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem7
StepHypRef Expression
1 fzfid 13331 . 2 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
2 0zd 11982 . . 3 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → 0 ∈ ℤ)
3 0zd 11982 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → 0 ∈ ℤ)
4 etransclem7.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
54nnzd 12075 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
65ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → 𝑃 ∈ ℤ)
75adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ)
8 etransclem7.c . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
98adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
10 0zd 11982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℤ)
11 fzp1ss 12948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
13 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
14 1e0p1 12129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (0 + 1)
1514oveq1i 7158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...𝑀) = ((0 + 1)...𝑀)
1613, 15syl6eleq 2928 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
1712, 16sseldd 3972 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
1817adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
199, 18ffvelrnd 6848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶𝑗) ∈ (0...𝑁))
2019elfzelzd 41450 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶𝑗) ∈ ℤ)
217, 20zsubcld 12081 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − (𝐶𝑗)) ∈ ℤ)
2221adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → (𝑃 − (𝐶𝑗)) ∈ ℤ)
233, 6, 223jca 1122 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶𝑗)) ∈ ℤ))
2420zred 12076 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶𝑗) ∈ ℝ)
2524adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → (𝐶𝑗) ∈ ℝ)
266zred 12076 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → 𝑃 ∈ ℝ)
27 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗))
2825, 26, 27nltled 10779 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → (𝐶𝑗) ≤ 𝑃)
2926, 25subge0d 11219 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → (0 ≤ (𝑃 − (𝐶𝑗)) ↔ (𝐶𝑗) ≤ 𝑃))
3028, 29mpbird 258 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → 0 ≤ (𝑃 − (𝐶𝑗)))
31 elfzle1 12900 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝑗) ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ (𝐶𝑗))
3219, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐶𝑗))
3332adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → 0 ≤ (𝐶𝑗))
3426, 25subge02d 11221 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → (0 ≤ (𝐶𝑗) ↔ (𝑃 − (𝐶𝑗)) ≤ 𝑃))
3533, 34mpbid 233 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → (𝑃 − (𝐶𝑗)) ≤ 𝑃)
3623, 30, 35jca32 516 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶𝑗)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐶𝑗)) ∧ (𝑃 − (𝐶𝑗)) ≤ 𝑃)))
37 elfz2 12889 . . . . . . 7 ((𝑃 − (𝐶𝑗)) ∈ (0...𝑃) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶𝑗)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐶𝑗)) ∧ (𝑃 − (𝐶𝑗)) ≤ 𝑃)))
3836, 37sylibr 235 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → (𝑃 − (𝐶𝑗)) ∈ (0...𝑃))
39 permnn 13676 . . . . . 6 ((𝑃 − (𝐶𝑗)) ∈ (0...𝑃) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) ∈ ℕ)
4038, 39syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) ∈ ℕ)
4140nnzd 12075 . . . 4 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) ∈ ℤ)
42 etransclem7.j . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
4342elfzelzd 41450 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
4443adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
45 elfzelz 12898 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
4645adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
4744, 46zsubcld 12081 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐽𝑗) ∈ ℤ)
4847adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → (𝐽𝑗) ∈ ℤ)
49 elnn0z 11983 . . . . . 6 ((𝑃 − (𝐶𝑗)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 − (𝐶𝑗)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑃 − (𝐶𝑗))))
5022, 30, 49sylanbrc 583 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → (𝑃 − (𝐶𝑗)) ∈ ℕ0)
51 zexpcl 13434 . . . . 5 (((𝐽𝑗) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶𝑗)) ∈ ℕ0) → ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))) ∈ ℤ)
5248, 50, 51syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))) ∈ ℤ)
5341, 52zmulcld 12082 . . 3 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))) ∈ ℤ)
542, 53ifclda 4504 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
551, 54fprodzcl 15298 1 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1081  wcel 2107  wss 3940  ifcif 4470   class class class wbr 5063  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  cn 11627  0cn0 11886  cz 11970  ...cfz 12882  cexp 13419  !cfa 13623  cprod 15249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-bc 13653  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-prod 15250
This theorem is referenced by:  etransclem15  42403  etransclem28  42416
  Copyright terms: Public domain W3C validator