Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem7 44957
Description: The given product is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem7.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
etransclem7.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ:(0...๐‘€)โŸถ(0...๐‘))
etransclem7.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ (0...๐‘€))
Assertion
Ref Expression
etransclem7 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))) โˆˆ โ„ค)
Distinct variable groups:   ๐‘—,๐‘€   ๐œ‘,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ถ(๐‘—)   ๐‘ƒ(๐‘—)   ๐ฝ(๐‘—)   ๐‘(๐‘—)

Proof of Theorem etransclem7
StepHypRef Expression
1 fzfid 13938 . 2 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘€) โˆˆ Fin)
2 0zd 12570 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
3 0zd 12570 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
4 etransclem7.n . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
54nnzd 12585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
65ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
75adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
8 etransclem7.c . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ:(0...๐‘€)โŸถ(0...๐‘))
98adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐ถ:(0...๐‘€)โŸถ(0...๐‘))
10 0zd 12570 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
11 fzp1ss 13552 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ ((0 + 1)...๐‘€) โŠ† (0...๐‘€))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ((0 + 1)...๐‘€) โŠ† (0...๐‘€))
13 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€))
14 1e0p1 12719 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 = (0 + 1)
1514oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...๐‘€) = ((0 + 1)...๐‘€)
1613, 15eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...๐‘€))
1712, 16sseldd 3984 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€))
1817adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€))
199, 18ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ (0...๐‘))
2019elfzelzd 13502 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„ค)
217, 20zsubcld 12671 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„ค)
2221adantr 482 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„ค)
2320zred 12666 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
2423adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
256zred 12666 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
26 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—))
2724, 25, 26nltled 11364 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โ‰ค ๐‘ƒ)
2825, 24subge0d 11804 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ (0 โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†” (๐ถโ€˜๐‘—) โ‰ค ๐‘ƒ))
2927, 28mpbird 257 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))
30 elfzle1 13504 . . . . . . . . . 10 ((๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ (0...๐‘) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถโ€˜๐‘—))
3119, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถโ€˜๐‘—))
3231adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถโ€˜๐‘—))
3325, 24subge02d 11806 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ (0 โ‰ค (๐ถโ€˜๐‘—) โ†” (๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โ‰ค ๐‘ƒ))
3432, 33mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โ‰ค ๐‘ƒ)
353, 6, 22, 29, 34elfzd 13492 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ (0...๐‘ƒ))
36 permnn 14286 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ (0...๐‘ƒ) โ†’ ((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) โˆˆ โ„•)
3735, 36syl 17 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ ((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) โˆˆ โ„•)
3837nnzd 12585 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ ((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) โˆˆ โ„ค)
39 etransclem7.j . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ (0...๐‘€))
4039elfzelzd 13502 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
4140adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
42 elfzelz 13501 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
4342adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
4441, 43zsubcld 12671 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐ฝ โˆ’ ๐‘—) โˆˆ โ„ค)
4544adantr 482 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐ฝ โˆ’ ๐‘—) โˆˆ โ„ค)
46 elnn0z 12571 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„•0 โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))
4722, 29, 46sylanbrc 584 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„•0)
48 zexpcl 14042 . . . . 5 (((๐ฝ โˆ’ ๐‘—) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))) โˆˆ โ„ค)
4945, 47, 48syl2anc 585 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))) โˆˆ โ„ค)
5038, 49zmulcld 12672 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) โˆˆ โ„ค)
512, 50ifclda 4564 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))) โˆˆ โ„ค)
521, 51fprodzcl 15898 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))) โˆˆ โ„ค)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆˆ wcel 2107   โŠ† wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  ...cfz 13484  โ†‘cexp 14027  !cfa 14233  โˆcprod 15849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-prod 15850
This theorem is referenced by:  etransclem15  44965  etransclem28  44978
  Copyright terms: Public domain W3C validator