Theorem etransclem7 47220

Description: The given product is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem7.n	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem7.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem7.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
etransclem7	⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 14109	. 2 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
2		0zd 12698	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 0 ∈ ℤ)
3		0zd 12698	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 0 ∈ ℤ)
4		etransclem7.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
6	5	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 𝑃 ∈ ℤ)
7	5	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ)
8		etransclem7.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
9	8	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
10		0zd 12698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℤ)
11		fzp1ss 13702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
13		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
14		1e0p1 12854	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 = (0 + 1)
15	14	oveq1i 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...𝑀) = ((0 + 1)...𝑀)
16	13, 15	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
17	12, 16	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
18	17	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
19	9, 18	ffvelcdmd 7083	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘𝑗) ∈ (0...𝑁))
20	19	elfzelzd 13650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℤ)
21	7, 20	zsubcld 12801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℤ)
22	21	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℤ)
23	20	zred 12796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℝ)
24	23	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℝ)
25	6	zred 12796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 𝑃 ∈ ℝ)
26		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗))
27	24, 25, 26	nltled 11453	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝐶‘𝑗) ≤ 𝑃)
28	25, 24	subge0d 11899	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ↔ (𝐶‘𝑗) ≤ 𝑃))
29	27, 28	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)))
30		elfzle1 13653	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶‘𝑗) ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ (𝐶‘𝑗))
31	19, 30	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐶‘𝑗))
32	31	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 0 ≤ (𝐶‘𝑗))
33	25, 24	subge02d 11901	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (0 ≤ (𝐶‘𝑗) ↔ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ≤ 𝑃))
34	32, 33	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ≤ 𝑃)
35	3, 6, 22, 29, 34	elfzd 13640	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ (0...𝑃))
36		permnn 14463	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ (0...𝑃) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) ∈ ℕ)
37	35, 36	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) ∈ ℕ)
38	37	nnzd 12712	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) ∈ ℤ)
39		etransclem7.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
40	39	elfzelzd 13650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
41	40	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
42		elfzelz 13649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
43	42	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
44	41, 43	zsubcld 12801	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐽 − 𝑗) ∈ ℤ)
45	44	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝐽 − 𝑗) ∈ ℤ)
46		elnn0z 12699	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝑗))))
47	22, 29, 46	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℕ0)
48		zexpcl 14212	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 − 𝑗) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℕ0) → ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))) ∈ ℤ)
49	45, 47, 48	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))) ∈ ℤ)
50	38, 49	zmulcld 12802	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) ∈ ℤ)
51	2, 50	ifclda 4518	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))) ∈ ℤ)
52	1, 51	fprodzcl 16114	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ifcif 4482   class class class wbr 5103  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198   < clt 11336   ≤ cle 11337   − cmin 11534   / cdiv 11966  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  ℤcz 12686  ...cfz 13632  ↑cexp 14197  !cfa 14410  ∏cprod 16065

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-exp 14198  df-fac 14411  df-bc 14440  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648  df-prod 16066

This theorem is used by:  etransclem15  47228  etransclem28  47241