Theorem etransclem7 46669

Description: The given product is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem7.n	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem7.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem7.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
etransclem7	⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13935	. 2 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
2		0zd 12536	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 0 ∈ ℤ)
3		0zd 12536	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 0 ∈ ℤ)
4		etransclem7.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
6	5	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 𝑃 ∈ ℤ)
7	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ)
8		etransclem7.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
10		0zd 12536	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℤ)
11		fzp1ss 13529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
13		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
14		1e0p1 12686	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 = (0 + 1)
15	14	oveq1i 7377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...𝑀) = ((0 + 1)...𝑀)
16	13, 15	eleqtrdi 2846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
17	12, 16	sseldd 3922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
19	9, 18	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘𝑗) ∈ (0...𝑁))
20	19	elfzelzd 13479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℤ)
21	7, 20	zsubcld 12638	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℤ)
22	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℤ)
23	20	zred 12633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℝ)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℝ)
25	6	zred 12633	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 𝑃 ∈ ℝ)
26		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗))
27	24, 25, 26	nltled 11296	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝐶‘𝑗) ≤ 𝑃)
28	25, 24	subge0d 11740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ↔ (𝐶‘𝑗) ≤ 𝑃))
29	27, 28	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)))
30		elfzle1 13481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶‘𝑗) ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ (𝐶‘𝑗))
31	19, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐶‘𝑗))
32	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 0 ≤ (𝐶‘𝑗))
33	25, 24	subge02d 11742	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (0 ≤ (𝐶‘𝑗) ↔ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ≤ 𝑃))
34	32, 33	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ≤ 𝑃)
35	3, 6, 22, 29, 34	elfzd 13469	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ (0...𝑃))
36		permnn 14288	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ (0...𝑃) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) ∈ ℕ)
37	35, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) ∈ ℕ)
38	37	nnzd 12550	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) ∈ ℤ)
39		etransclem7.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
40	39	elfzelzd 13479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
41	40	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
42		elfzelz 13478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
43	42	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
44	41, 43	zsubcld 12638	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐽 − 𝑗) ∈ ℤ)
45	44	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝐽 − 𝑗) ∈ ℤ)
46		elnn0z 12537	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝑗))))
47	22, 29, 46	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℕ0)
48		zexpcl 14038	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 − 𝑗) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℕ0) → ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))) ∈ ℤ)
49	45, 47, 48	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))) ∈ ℤ)
50	38, 49	zmulcld 12639	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) ∈ ℤ)
51	2, 50	ifclda 4502	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))) ∈ ℤ)
52	1, 51	fprodzcl 15919	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))) ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  ifcif 4466   class class class wbr 5085  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377   / cdiv 11807  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ...cfz 13461  ↑cexp 14023  !cfa 14235  ∏cprod 15868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-prod 15869

This theorem is referenced by:  etransclem15  46677  etransclem28  46690