Theorem etransclem7 42546

Description: The given product is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem7.n	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem7.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem7.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
etransclem7	⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13342	. 2 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
2		0zd 11994	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 0 ∈ ℤ)
3		0zd 11994	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 0 ∈ ℤ)
4		etransclem7.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
6	5	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 𝑃 ∈ ℤ)
7	5	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ)
8		etransclem7.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
9	8	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
10		0zd 11994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℤ)
11		fzp1ss 12959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
13		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
14		1e0p1 12141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 = (0 + 1)
15	14	oveq1i 7166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1...𝑀) = ((0 + 1)...𝑀)
16	13, 15	eleqtrdi 2923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
17	12, 16	sseldd 3968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
18	17	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
19	9, 18	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘𝑗) ∈ (0...𝑁))
20	19	elfzelzd 41602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℤ)
21	7, 20	zsubcld 12093	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℤ)
22	21	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℤ)
23	3, 6, 22	3jca 1124	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℤ))
24	20	zred 12088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℝ)
25	24	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℝ)
26	6	zred 12088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 𝑃 ∈ ℝ)
27		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗))
28	25, 26, 27	nltled 10790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝐶‘𝑗) ≤ 𝑃)
29	26, 25	subge0d 11230	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ↔ (𝐶‘𝑗) ≤ 𝑃))
30	28, 29	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)))
31		elfzle1 12911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶‘𝑗) ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ (𝐶‘𝑗))
32	19, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐶‘𝑗))
33	32	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 0 ≤ (𝐶‘𝑗))
34	26, 25	subge02d 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (0 ≤ (𝐶‘𝑗) ↔ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ≤ 𝑃))
35	33, 34	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ≤ 𝑃)
36	23, 30, 35	jca32 518	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ≤ 𝑃)))
37		elfz2 12900	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ (0...𝑃) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ≤ 𝑃)))
38	36, 37	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ (0...𝑃))
39		permnn 13687	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ (0...𝑃) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) ∈ ℕ)
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) ∈ ℕ)
41	40	nnzd 12087	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) ∈ ℤ)
42		etransclem7.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
43	42	elfzelzd 41602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
44	43	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
45		elfzelz 12909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
46	45	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
47	44, 46	zsubcld 12093	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐽 − 𝑗) ∈ ℤ)
48	47	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝐽 − 𝑗) ∈ ℤ)
49		elnn0z 11995	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝑗))))
50	22, 30, 49	sylanbrc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℕ0)
51		zexpcl 13445	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 − 𝑗) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℕ0) → ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))) ∈ ℤ)
52	48, 50, 51	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))) ∈ ℤ)
53	41, 52	zmulcld 12094	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) ∈ ℤ)
54	2, 53	ifclda 4501	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))) ∈ ℤ)
55	1, 54	fprodzcl 15308	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))) ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936  ifcif 4467   class class class wbr 5066  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   < clt 10675   ≤ cle 10676   − cmin 10870   / cdiv 11297  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ...cfz 12893  ↑cexp 13430  !cfa 13634  ∏cprod 15259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-prod 15260

This theorem is referenced by:  etransclem15  42554  etransclem28  42567