Theorem etransclem7 46485

Description: The given product is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem7.n	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem7.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem7.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
etransclem7	⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13896	. 2 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
2		0zd 12500	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 0 ∈ ℤ)
3		0zd 12500	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 0 ∈ ℤ)
4		etransclem7.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
6	5	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 𝑃 ∈ ℤ)
7	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ)
8		etransclem7.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
10		0zd 12500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℤ)
11		fzp1ss 13491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
13		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
14		1e0p1 12649	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 = (0 + 1)
15	14	oveq1i 7368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...𝑀) = ((0 + 1)...𝑀)
16	13, 15	eleqtrdi 2846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
17	12, 16	sseldd 3934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
19	9, 18	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘𝑗) ∈ (0...𝑁))
20	19	elfzelzd 13441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℤ)
21	7, 20	zsubcld 12601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℤ)
22	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℤ)
23	20	zred 12596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℝ)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℝ)
25	6	zred 12596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 𝑃 ∈ ℝ)
26		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗))
27	24, 25, 26	nltled 11283	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝐶‘𝑗) ≤ 𝑃)
28	25, 24	subge0d 11727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ↔ (𝐶‘𝑗) ≤ 𝑃))
29	27, 28	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)))
30		elfzle1 13443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶‘𝑗) ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ (𝐶‘𝑗))
31	19, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐶‘𝑗))
32	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 0 ≤ (𝐶‘𝑗))
33	25, 24	subge02d 11729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (0 ≤ (𝐶‘𝑗) ↔ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ≤ 𝑃))
34	32, 33	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ≤ 𝑃)
35	3, 6, 22, 29, 34	elfzd 13431	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ (0...𝑃))
36		permnn 14249	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ (0...𝑃) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) ∈ ℕ)
37	35, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) ∈ ℕ)
38	37	nnzd 12514	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) ∈ ℤ)
39		etransclem7.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
40	39	elfzelzd 13441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
41	40	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
42		elfzelz 13440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
43	42	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
44	41, 43	zsubcld 12601	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐽 − 𝑗) ∈ ℤ)
45	44	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝐽 − 𝑗) ∈ ℤ)
46		elnn0z 12501	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝑗))))
47	22, 29, 46	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℕ0)
48		zexpcl 13999	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 − 𝑗) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℕ0) → ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))) ∈ ℤ)
49	45, 47, 48	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))) ∈ ℤ)
50	38, 49	zmulcld 12602	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) ∈ ℤ)
51	2, 50	ifclda 4515	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))) ∈ ℤ)
52	1, 51	fprodzcl 15877	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))) ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  ifcif 4479   class class class wbr 5098  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364   / cdiv 11794  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ...cfz 13423  ↑cexp 13984  !cfa 14196  ∏cprod 15826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-prod 15827

This theorem is referenced by:  etransclem15  46493  etransclem28  46506