Theorem etransclem7 42883

Description: The given product is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem7.n	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem7.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem7.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
etransclem7	⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13336	. 2 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
2		0zd 11981	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 0 ∈ ℤ)
3		0zd 11981	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 0 ∈ ℤ)
4		etransclem7.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12074	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
6	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 𝑃 ∈ ℤ)
7	5	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ)
8		etransclem7.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
9	8	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
10		0zd 11981	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℤ)
11		fzp1ss 12953	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
13		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
14		1e0p1 12128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 = (0 + 1)
15	14	oveq1i 7145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1...𝑀) = ((0 + 1)...𝑀)
16	13, 15	eleqtrdi 2900	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
17	12, 16	sseldd 3916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
18	17	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
19	9, 18	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘𝑗) ∈ (0...𝑁))
20	19	elfzelzd 12903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℤ)
21	7, 20	zsubcld 12080	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℤ)
22	21	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℤ)
23	3, 6, 22	3jca 1125	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℤ))
24	20	zred 12075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℝ)
25	24	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℝ)
26	6	zred 12075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 𝑃 ∈ ℝ)
27		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗))
28	25, 26, 27	nltled 10779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝐶‘𝑗) ≤ 𝑃)
29	26, 25	subge0d 11219	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ↔ (𝐶‘𝑗) ≤ 𝑃))
30	28, 29	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)))
31		elfzle1 12905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶‘𝑗) ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ (𝐶‘𝑗))
32	19, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐶‘𝑗))
33	32	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → 0 ≤ (𝐶‘𝑗))
34	26, 25	subge02d 11221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (0 ≤ (𝐶‘𝑗) ↔ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ≤ 𝑃))
35	33, 34	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ≤ 𝑃)
36	23, 30, 35	jca32 519	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ≤ 𝑃)))
37		elfz2 12892	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ (0...𝑃) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ≤ 𝑃)))
38	36, 37	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ (0...𝑃))
39		permnn 13682	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ (0...𝑃) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) ∈ ℕ)
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) ∈ ℕ)
41	40	nnzd 12074	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) ∈ ℤ)
42		etransclem7.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
43	42	elfzelzd 12903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
44	43	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
45		elfzelz 12902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
46	45	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
47	44, 46	zsubcld 12080	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐽 − 𝑗) ∈ ℤ)
48	47	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝐽 − 𝑗) ∈ ℤ)
49		elnn0z 11982	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝑗))))
50	22, 30, 49	sylanbrc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℕ0)
51		zexpcl 13440	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 − 𝑗) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝑗)) ∈ ℕ0) → ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))) ∈ ℤ)
52	48, 50, 51	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))) ∈ ℤ)
53	41, 52	zmulcld 12081	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝑗)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) ∈ ℤ)
54	2, 53	ifclda 4459	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))) ∈ ℤ)
55	1, 54	fprodzcl 15300	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐶‘𝑗))))) ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  ifcif 4425   class class class wbr 5030  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859   / cdiv 11286  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ...cfz 12885  ↑cexp 13425  !cfa 13629  ∏cprod 15251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-prod 15252

This theorem is referenced by:  etransclem15  42891  etransclem28  42904