Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem7 44472
Description: The given product is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem7.n (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem7.c (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem7.j (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
Assertion
Ref Expression
etransclem7 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑃(𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem7
StepHypRef Expression
1 fzfid 13878 . 2 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
2 0zd 12511 . . 3 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → 0 ∈ ℤ)
3 0zd 12511 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → 0 ∈ ℤ)
4 etransclem7.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
54nnzd 12526 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
65ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → 𝑃 ∈ ℤ)
75adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ)
8 etransclem7.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
98adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
10 0zd 12511 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℤ)
11 fzp1ss 13492 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
13 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
14 1e0p1 12660 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 = (0 + 1)
1514oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑀) = ((0 + 1)...𝑀)
1613, 15eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
1712, 16sseldd 3945 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
1817adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
199, 18ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶𝑗) ∈ (0...𝑁))
2019elfzelzd 13442 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶𝑗) ∈ ℤ)
217, 20zsubcld 12612 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − (𝐶𝑗)) ∈ ℤ)
2221adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → (𝑃 − (𝐶𝑗)) ∈ ℤ)
2320zred 12607 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐶𝑗) ∈ ℝ)
2423adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → (𝐶𝑗) ∈ ℝ)
256zred 12607 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → 𝑃 ∈ ℝ)
26 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗))
2724, 25, 26nltled 11305 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → (𝐶𝑗) ≤ 𝑃)
2825, 24subge0d 11745 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → (0 ≤ (𝑃 − (𝐶𝑗)) ↔ (𝐶𝑗) ≤ 𝑃))
2927, 28mpbird 256 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → 0 ≤ (𝑃 − (𝐶𝑗)))
30 elfzle1 13444 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝑗) ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ (𝐶𝑗))
3119, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ (𝐶𝑗))
3231adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → 0 ≤ (𝐶𝑗))
3325, 24subge02d 11747 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → (0 ≤ (𝐶𝑗) ↔ (𝑃 − (𝐶𝑗)) ≤ 𝑃))
3432, 33mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → (𝑃 − (𝐶𝑗)) ≤ 𝑃)
353, 6, 22, 29, 34elfzd 13432 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → (𝑃 − (𝐶𝑗)) ∈ (0...𝑃))
36 permnn 14226 . . . . . 6 ((𝑃 − (𝐶𝑗)) ∈ (0...𝑃) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) ∈ ℕ)
3735, 36syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) ∈ ℕ)
3837nnzd 12526 . . . 4 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) ∈ ℤ)
39 etransclem7.j . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
4039elfzelzd 13442 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
4140adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
42 elfzelz 13441 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
4342adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
4441, 43zsubcld 12612 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐽𝑗) ∈ ℤ)
4544adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → (𝐽𝑗) ∈ ℤ)
46 elnn0z 12512 . . . . . 6 ((𝑃 − (𝐶𝑗)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 − (𝐶𝑗)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑃 − (𝐶𝑗))))
4722, 29, 46sylanbrc 583 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → (𝑃 − (𝐶𝑗)) ∈ ℕ0)
48 zexpcl 13982 . . . . 5 (((𝐽𝑗) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶𝑗)) ∈ ℕ0) → ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))) ∈ ℤ)
4945, 47, 48syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))) ∈ ℤ)
5038, 49zmulcld 12613 . . 3 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝑗)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗)))) ∈ ℤ)
512, 50ifclda 4521 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
521, 51fprodzcl 15837 1 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐶𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝑗)))) · ((𝐽𝑗)↑(𝑃 − (𝐶𝑗))))) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wcel 2106  wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  ...cfz 13424  cexp 13967  !cfa 14173  cprod 15788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-prod 15789
This theorem is referenced by:  etransclem15  44480  etransclem28  44493
  Copyright terms: Public domain W3C validator