Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem7 44943
Description: The given product is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem7.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
etransclem7.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ:(0...๐‘€)โŸถ(0...๐‘))
etransclem7.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ (0...๐‘€))
Assertion
Ref Expression
etransclem7 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))) โˆˆ โ„ค)
Distinct variable groups:   ๐‘—,๐‘€   ๐œ‘,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ถ(๐‘—)   ๐‘ƒ(๐‘—)   ๐ฝ(๐‘—)   ๐‘(๐‘—)

Proof of Theorem etransclem7
StepHypRef Expression
1 fzfid 13934 . 2 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘€) โˆˆ Fin)
2 0zd 12566 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
3 0zd 12566 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
4 etransclem7.n . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
54nnzd 12581 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
65ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
75adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
8 etransclem7.c . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ:(0...๐‘€)โŸถ(0...๐‘))
98adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐ถ:(0...๐‘€)โŸถ(0...๐‘))
10 0zd 12566 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
11 fzp1ss 13548 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ ((0 + 1)...๐‘€) โŠ† (0...๐‘€))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ((0 + 1)...๐‘€) โŠ† (0...๐‘€))
13 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€))
14 1e0p1 12715 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 = (0 + 1)
1514oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...๐‘€) = ((0 + 1)...๐‘€)
1613, 15eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...๐‘€))
1712, 16sseldd 3982 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€))
1817adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€))
199, 18ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ (0...๐‘))
2019elfzelzd 13498 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„ค)
217, 20zsubcld 12667 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„ค)
2221adantr 481 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„ค)
2320zred 12662 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
2423adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
256zred 12662 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
26 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—))
2724, 25, 26nltled 11360 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘—) โ‰ค ๐‘ƒ)
2825, 24subge0d 11800 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ (0 โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†” (๐ถโ€˜๐‘—) โ‰ค ๐‘ƒ))
2927, 28mpbird 256 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))
30 elfzle1 13500 . . . . . . . . . 10 ((๐ถโ€˜๐‘—) โˆˆ (0...๐‘) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถโ€˜๐‘—))
3119, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถโ€˜๐‘—))
3231adantr 481 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถโ€˜๐‘—))
3325, 24subge02d 11802 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ (0 โ‰ค (๐ถโ€˜๐‘—) โ†” (๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โ‰ค ๐‘ƒ))
3432, 33mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โ‰ค ๐‘ƒ)
353, 6, 22, 29, 34elfzd 13488 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ (0...๐‘ƒ))
36 permnn 14282 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ (0...๐‘ƒ) โ†’ ((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) โˆˆ โ„•)
3735, 36syl 17 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ ((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) โˆˆ โ„•)
3837nnzd 12581 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ ((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) โˆˆ โ„ค)
39 etransclem7.j . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ (0...๐‘€))
4039elfzelzd 13498 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
4140adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
42 elfzelz 13497 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
4342adantl 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
4441, 43zsubcld 12667 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐ฝ โˆ’ ๐‘—) โˆˆ โ„ค)
4544adantr 481 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐ฝ โˆ’ ๐‘—) โˆˆ โ„ค)
46 elnn0z 12567 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„•0 โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))
4722, 29, 46sylanbrc 583 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„•0)
48 zexpcl 14038 . . . . 5 (((๐ฝ โˆ’ ๐‘—) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))) โˆˆ โ„ค)
4945, 47, 48syl2anc 584 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))) โˆˆ โ„ค)
5038, 49zmulcld 12668 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โˆง ยฌ ๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—)) โ†’ (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) โˆˆ โ„ค)
512, 50ifclda 4562 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))) โˆˆ โ„ค)
521, 51fprodzcl 15894 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (1...๐‘€)if(๐‘ƒ < (๐ถโ€˜๐‘—), 0, (((!โ€˜๐‘ƒ) / (!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—)))) ยท ((๐ฝ โˆ’ ๐‘—)โ†‘(๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ€˜๐‘—))))) โˆˆ โ„ค)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆˆ wcel 2106   โŠ† wss 3947  ifcif 4527   class class class wbr 5147  โŸถwf 6536  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11244   โ‰ค cle 11245   โˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  โ„•cn 12208  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  ...cfz 13480  โ†‘cexp 14023  !cfa 14229  โˆcprod 15845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-prod 15846
This theorem is referenced by:  etransclem15  44951  etransclem28  44964
  Copyright terms: Public domain W3C validator