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Theorem stoweidlem14 45540
Description: There exists a 𝑘 as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: 𝑘 is an integer and 1 < k * δ < 2. 𝐷 is used to represent δ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem14.1 𝐴 = {𝑗 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑗}
stoweidlem14.2 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem14.3 (𝜑𝐷 < 1)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem14 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐷   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑗)

Proof of Theorem stoweidlem14
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem14.1 . . . . . 6 𝐴 = {𝑗 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑗}
2 ssrab2 4073 . . . . . . 7 {𝑗 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑗} ⊆ ℕ
32a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑗 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑗} ⊆ ℕ)
41, 3eqsstrid 4025 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
5 stoweidlem14.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
65rprecred 13062 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
7 arch 12502 . . . . . 6 ((1 / 𝐷) ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐷) < 𝑘)
8 breq2 5153 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → ((1 / 𝐷) < 𝑗 ↔ (1 / 𝐷) < 𝑘))
98elrab 3679 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑗} ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < 𝑘))
109biimpri 227 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < 𝑘) → 𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑗})
1110, 1eleqtrrdi 2836 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < 𝑘) → 𝑘𝐴)
12 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < 𝑘) → (1 / 𝐷) < 𝑘)
1311, 12jca 510 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < 𝑘) → (𝑘𝐴 ∧ (1 / 𝐷) < 𝑘))
1413reximi2 3068 . . . . . 6 (∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐷) < 𝑘 → ∃𝑘𝐴 (1 / 𝐷) < 𝑘)
15 rexn0 4512 . . . . . 6 (∃𝑘𝐴 (1 / 𝐷) < 𝑘𝐴 ≠ ∅)
166, 7, 14, 154syl 19 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
17 nnwo 12930 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑘𝐴𝑧𝐴 𝑘𝑧)
184, 16, 17syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑘𝐴𝑧𝐴 𝑘𝑧)
19 df-rex 3060 . . . 4 (∃𝑘𝐴𝑧𝐴 𝑘𝑧 ↔ ∃𝑘(𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧))
2018, 19sylib 217 . . 3 (𝜑 → ∃𝑘(𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧))
218, 1elrab2 3682 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < 𝑘))
2221simplbi 496 . . . . . . 7 (𝑘𝐴𝑘 ∈ ℕ)
2322ad2antrl 726 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) → 𝑘 ∈ ℕ)
24 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) → 𝜑)
25 simprl 769 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) → 𝑘𝐴)
26 simprr 771 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) → ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)
27 nfcv 2891 . . . . . . . . 9 𝑧𝐴
28 nfrab1 3438 . . . . . . . . . 10 𝑗{𝑗 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑗}
291, 28nfcxfr 2889 . . . . . . . . 9 𝑗𝐴
30 nfv 1909 . . . . . . . . 9 𝑗 𝑘𝑧
31 nfv 1909 . . . . . . . . 9 𝑧 𝑘𝑗
32 breq2 5153 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑗 → (𝑘𝑧𝑘𝑗))
3327, 29, 30, 31, 32cbvralfw 3291 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝐴 𝑘𝑧 ↔ ∀𝑗𝐴 𝑘𝑗)
3426, 33sylib 217 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) → ∀𝑗𝐴 𝑘𝑗)
3521simprbi 495 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐴 → (1 / 𝐷) < 𝑘)
3635ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑗𝐴 𝑘𝑗)) → (1 / 𝐷) < 𝑘)
3722ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑗𝐴 𝑘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
38 1red 11247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
39 nnre 12252 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
4039adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
415rpregt0d 13057 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))
4241adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))
43 ltdivmul2 12124 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → ((1 / 𝐷) < 𝑘 ↔ 1 < (𝑘 · 𝐷)))
4438, 40, 42, 43syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐷) < 𝑘 ↔ 1 < (𝑘 · 𝐷)))
4537, 44syldan 589 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑗𝐴 𝑘𝑗)) → ((1 / 𝐷) < 𝑘 ↔ 1 < (𝑘 · 𝐷)))
4636, 45mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑗𝐴 𝑘𝑗)) → 1 < (𝑘 · 𝐷))
4724, 25, 34, 46syl12anc 835 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) → 1 < (𝑘 · 𝐷))
48 oveq1 7426 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (𝑘 · 𝐷) = (1 · 𝐷))
4948adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = 1) → (𝑘 · 𝐷) = (1 · 𝐷))
505rpcnd 13053 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5150adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 = 1) → 𝐷 ∈ ℂ)
5251mullidd 11264 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = 1) → (1 · 𝐷) = 𝐷)
5349, 52eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 1) → (𝑘 · 𝐷) = 𝐷)
5453oveq1d 7434 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 1) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) = (𝐷 / 2))
555rpred 13051 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
5655rehalfcld 12492 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
57 halfre 12459 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℝ
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
59 1red 11247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
60 stoweidlem14.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 < 1)
61 2re 12319 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
63 2pos 12348 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 2
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 2)
65 ltdiv1 12111 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐷 < 1 ↔ (𝐷 / 2) < (1 / 2)))
6655, 59, 62, 64, 65syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷 < 1 ↔ (𝐷 / 2) < (1 / 2)))
6760, 66mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷 / 2) < (1 / 2))
68 halflt1 12463 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) < 1
6968a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 2) < 1)
7056, 58, 59, 67, 69lttrd 11407 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷 / 2) < 1)
7170adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 1) → (𝐷 / 2) < 1)
7254, 71eqbrtrd 5171 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 1) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)
7372adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)
74 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝜑)
75 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘𝐴)
7675, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℕ)
77 neqne 2937 . . . . . . . . . 10 𝑘 = 1 → 𝑘 ≠ 1)
7877adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≠ 1)
79 eluz2b3 12939 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≠ 1))
8076, 78, 79sylanbrc 581 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ (ℤ‘2))
81 peano2rem 11559 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
8275, 22, 39, 814syl 19 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
8355ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐷 ∈ ℝ)
845rpne0d 13056 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ≠ 0)
8584ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐷 ≠ 0)
8683, 85rereccld 12074 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
87 1zzd 12626 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
88 df-2 12308 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 = (1 + 1)
8988fveq2i 6899 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
9089eleq2i 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
91 eluzsub 12885 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ (ℤ‘1))
9290, 91syl3an3b 1402 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑘 − 1) ∈ (ℤ‘1))
93 nnuz 12898 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
9492, 93eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ)
9587, 87, 80, 94syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ)
9622, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘𝐴𝑘 ∈ ℝ)
9796adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑘 − 1) ∈ 𝐴𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℝ)
9897, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑘 − 1) ∈ 𝐴𝑘𝐴) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
99 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑘 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℝ)
10099ltm1d 12179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑘 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 − 1) < 𝑘)
101 ltnle 11325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑘 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝑘 − 1) < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ (𝑘 − 1)))
102100, 101mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑘 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ¬ 𝑘 ≤ (𝑘 − 1))
10398, 97, 102syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑘 − 1) ∈ 𝐴𝑘𝐴) → ¬ 𝑘 ≤ (𝑘 − 1))
104 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = (𝑘 − 1) → (𝑘𝑧𝑘 ≤ (𝑘 − 1)))
105104notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (𝑘 − 1) → (¬ 𝑘𝑧 ↔ ¬ 𝑘 ≤ (𝑘 − 1)))
106105rspcev 3606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑘 − 1) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ≤ (𝑘 − 1)) → ∃𝑧𝐴 ¬ 𝑘𝑧)
107103, 106syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑘 − 1) ∈ 𝐴𝑘𝐴) → ∃𝑧𝐴 ¬ 𝑘𝑧)
108 rexnal 3089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑧𝐴 ¬ 𝑘𝑧 ↔ ¬ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)
109107, 108sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 − 1) ∈ 𝐴𝑘𝐴) → ¬ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)
110109ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 − 1) ∈ 𝐴 → (𝑘𝐴 → ¬ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧))
111 imnan 398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘𝐴 → ¬ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧) ↔ ¬ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧))
112110, 111sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 − 1) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧))
113112con2i 139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧) → ¬ (𝑘 − 1) ∈ 𝐴)
114113ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ¬ (𝑘 − 1) ∈ 𝐴)
115 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((1 / 𝐷) < 𝑗 ↔ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)))
116115, 1elrab2 3682 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 − 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑘 − 1) ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)))
117114, 116sylnib 327 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ¬ ((𝑘 − 1) ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)))
118 ianor 979 . . . . . . . . . . . 12 (¬ ((𝑘 − 1) ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)) ↔ (¬ (𝑘 − 1) ∈ ℕ ∨ ¬ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)))
119117, 118sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (¬ (𝑘 − 1) ∈ ℕ ∨ ¬ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)))
120 imor 851 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 − 1) ∈ ℕ → ¬ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)) ↔ (¬ (𝑘 − 1) ∈ ℕ ∨ ¬ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)))
121119, 120sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 − 1) ∈ ℕ → ¬ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)))
12295, 121mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ¬ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1))
12382, 86, 122nltled 11396 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷))
124 eluzelre 12866 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 𝑘 ∈ ℝ)
125124adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑘 ∈ ℝ)
12655adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐷 ∈ ℝ)
127125, 126remulcld 11276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑘 · 𝐷) ∈ ℝ)
128127rehalfcld 12492 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
1291283adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
13059, 55readdcld 11275 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 + 𝐷) ∈ ℝ)
131130adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (1 + 𝐷) ∈ ℝ)
132131rehalfcld 12492 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((1 + 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
1331323adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((1 + 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
134 1red 11247 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → 1 ∈ ℝ)
135 eluzelcn 12867 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 𝑘 ∈ ℂ)
136135adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑘 ∈ ℂ)
13750adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐷 ∈ ℂ)
138136, 137mulcld 11266 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑘 · 𝐷) ∈ ℂ)
1391383adant3 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (𝑘 · 𝐷) ∈ ℂ)
140503ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℂ)
141139, 140npcand 11607 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (((𝑘 · 𝐷) − 𝐷) + 𝐷) = (𝑘 · 𝐷))
142127, 126resubcld 11674 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑘 · 𝐷) − 𝐷) ∈ ℝ)
1431423adant3 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 · 𝐷) − 𝐷) ∈ ℝ)
144553ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
145 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷))
146 1red 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
147124, 146resubcld 11674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
1481473ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
14963ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
150413ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))
151 lemul1 12099 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 − 1) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷) ↔ ((𝑘 − 1) · 𝐷) ≤ ((1 / 𝐷) · 𝐷)))
152148, 149, 150, 151syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷) ↔ ((𝑘 − 1) · 𝐷) ≤ ((1 / 𝐷) · 𝐷)))
153145, 152mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 − 1) · 𝐷) ≤ ((1 / 𝐷) · 𝐷))
154 1cnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 1 ∈ ℂ)
155136, 154, 137subdird 11703 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑘 − 1) · 𝐷) = ((𝑘 · 𝐷) − (1 · 𝐷)))
156137mullidd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (1 · 𝐷) = 𝐷)
157156oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑘 · 𝐷) − (1 · 𝐷)) = ((𝑘 · 𝐷) − 𝐷))
158155, 157eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑘 − 1) · 𝐷) = ((𝑘 · 𝐷) − 𝐷))
1591583adant3 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 − 1) · 𝐷) = ((𝑘 · 𝐷) − 𝐷))
160 1cnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
161160, 50, 843jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
1621613ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
163 divcan1 11914 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((1 / 𝐷) · 𝐷) = 1)
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((1 / 𝐷) · 𝐷) = 1)
165153, 159, 1643brtr3d 5180 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 · 𝐷) − 𝐷) ≤ 1)
166143, 134, 144, 165leadd1dd 11860 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (((𝑘 · 𝐷) − 𝐷) + 𝐷) ≤ (1 + 𝐷))
167141, 166eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (𝑘 · 𝐷) ≤ (1 + 𝐷))
1681273adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (𝑘 · 𝐷) ∈ ℝ)
1691303ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (1 + 𝐷) ∈ ℝ)
17061, 63pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
171170a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
172 lediv1 12112 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 · 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑘 · 𝐷) ≤ (1 + 𝐷) ↔ ((𝑘 · 𝐷) / 2) ≤ ((1 + 𝐷) / 2)))
173168, 169, 171, 172syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 · 𝐷) ≤ (1 + 𝐷) ↔ ((𝑘 · 𝐷) / 2) ≤ ((1 + 𝐷) / 2)))
174167, 173mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) ≤ ((1 + 𝐷) / 2))
17555, 59, 59, 60ltadd2dd 11405 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 + 𝐷) < (1 + 1))
176 1p1e2 12370 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) = 2
177175, 176breqtrdi 5190 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 + 𝐷) < 2)
178 ltdiv1 12111 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 + 𝐷) < 2 ↔ ((1 + 𝐷) / 2) < (2 / 2)))
179130, 62, 62, 64, 178syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 + 𝐷) < 2 ↔ ((1 + 𝐷) / 2) < (2 / 2)))
180177, 179mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 + 𝐷) / 2) < (2 / 2))
181 2div2e1 12386 . . . . . . . . . . 11 (2 / 2) = 1
182180, 181breqtrdi 5190 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 + 𝐷) / 2) < 1)
1831823ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((1 + 𝐷) / 2) < 1)
184129, 133, 134, 174, 183lelttrd 11404 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)
18574, 80, 123, 184syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)
18673, 185pm2.61dan 811 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)
18723, 47, 186jca32 514 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) → (𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)))
188187ex 411 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧) → (𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1))))
189188eximdv 1912 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘(𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧) → ∃𝑘(𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1))))
19020, 189mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑘(𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)))
191 df-rex 3060 . 2 (∃𝑘 ∈ ℕ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1) ↔ ∃𝑘(𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)))
192190, 191sylibr 233 1 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  {crab 3418  wss 3944  c0 4322   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476   / cdiv 11903  cn 12245  2c2 12300  cz 12591  cuz 12855  +crp 13009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010
This theorem is referenced by:  stoweidlem49  45575
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