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Theorem stoweidlem14 46029
Description: There exists a 𝑘 as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: 𝑘 is an integer and 1 < k * δ < 2. 𝐷 is used to represent δ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem14.1 𝐴 = {𝑗 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑗}
stoweidlem14.2 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem14.3 (𝜑𝐷 < 1)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem14 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐷   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑗)

Proof of Theorem stoweidlem14
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem14.1 . . . . . 6 𝐴 = {𝑗 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑗}
2 ssrab2 4080 . . . . . . 7 {𝑗 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑗} ⊆ ℕ
32a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑗 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑗} ⊆ ℕ)
41, 3eqsstrid 4022 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
5 stoweidlem14.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
65rprecred 13088 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
7 arch 12523 . . . . . 6 ((1 / 𝐷) ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐷) < 𝑘)
8 breq2 5147 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → ((1 / 𝐷) < 𝑗 ↔ (1 / 𝐷) < 𝑘))
98elrab 3692 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑗} ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < 𝑘))
109biimpri 228 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < 𝑘) → 𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑗})
1110, 1eleqtrrdi 2852 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < 𝑘) → 𝑘𝐴)
12 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < 𝑘) → (1 / 𝐷) < 𝑘)
1311, 12jca 511 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < 𝑘) → (𝑘𝐴 ∧ (1 / 𝐷) < 𝑘))
1413reximi2 3079 . . . . . 6 (∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐷) < 𝑘 → ∃𝑘𝐴 (1 / 𝐷) < 𝑘)
15 rexn0 4511 . . . . . 6 (∃𝑘𝐴 (1 / 𝐷) < 𝑘𝐴 ≠ ∅)
166, 7, 14, 154syl 19 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
17 nnwo 12955 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑘𝐴𝑧𝐴 𝑘𝑧)
184, 16, 17syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑘𝐴𝑧𝐴 𝑘𝑧)
19 df-rex 3071 . . . 4 (∃𝑘𝐴𝑧𝐴 𝑘𝑧 ↔ ∃𝑘(𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧))
2018, 19sylib 218 . . 3 (𝜑 → ∃𝑘(𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧))
218, 1elrab2 3695 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < 𝑘))
2221simplbi 497 . . . . . . 7 (𝑘𝐴𝑘 ∈ ℕ)
2322ad2antrl 728 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) → 𝑘 ∈ ℕ)
24 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) → 𝜑)
25 simprl 771 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) → 𝑘𝐴)
26 simprr 773 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) → ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)
27 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑧𝐴
28 nfrab1 3457 . . . . . . . . . 10 𝑗{𝑗 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑗}
291, 28nfcxfr 2903 . . . . . . . . 9 𝑗𝐴
30 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑗 𝑘𝑧
31 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑧 𝑘𝑗
32 breq2 5147 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑗 → (𝑘𝑧𝑘𝑗))
3327, 29, 30, 31, 32cbvralfw 3304 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝐴 𝑘𝑧 ↔ ∀𝑗𝐴 𝑘𝑗)
3426, 33sylib 218 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) → ∀𝑗𝐴 𝑘𝑗)
3521simprbi 496 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐴 → (1 / 𝐷) < 𝑘)
3635ad2antrl 728 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑗𝐴 𝑘𝑗)) → (1 / 𝐷) < 𝑘)
3722ad2antrl 728 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑗𝐴 𝑘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
38 1red 11262 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
39 nnre 12273 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
4039adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
415rpregt0d 13083 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))
4241adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))
43 ltdivmul2 12145 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → ((1 / 𝐷) < 𝑘 ↔ 1 < (𝑘 · 𝐷)))
4438, 40, 42, 43syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐷) < 𝑘 ↔ 1 < (𝑘 · 𝐷)))
4537, 44syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑗𝐴 𝑘𝑗)) → ((1 / 𝐷) < 𝑘 ↔ 1 < (𝑘 · 𝐷)))
4636, 45mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑗𝐴 𝑘𝑗)) → 1 < (𝑘 · 𝐷))
4724, 25, 34, 46syl12anc 837 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) → 1 < (𝑘 · 𝐷))
48 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (𝑘 · 𝐷) = (1 · 𝐷))
4948adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = 1) → (𝑘 · 𝐷) = (1 · 𝐷))
505rpcnd 13079 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 = 1) → 𝐷 ∈ ℂ)
5251mullidd 11279 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = 1) → (1 · 𝐷) = 𝐷)
5349, 52eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 1) → (𝑘 · 𝐷) = 𝐷)
5453oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 1) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) = (𝐷 / 2))
555rpred 13077 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
5655rehalfcld 12513 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
57 halfre 12480 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℝ
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
59 1red 11262 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
60 stoweidlem14.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 < 1)
61 2re 12340 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
63 2pos 12369 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 2
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 2)
65 ltdiv1 12132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐷 < 1 ↔ (𝐷 / 2) < (1 / 2)))
6655, 59, 62, 64, 65syl112anc 1376 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷 < 1 ↔ (𝐷 / 2) < (1 / 2)))
6760, 66mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷 / 2) < (1 / 2))
68 halflt1 12484 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) < 1
6968a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 2) < 1)
7056, 58, 59, 67, 69lttrd 11422 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷 / 2) < 1)
7170adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 1) → (𝐷 / 2) < 1)
7254, 71eqbrtrd 5165 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 1) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)
7372adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)
74 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝜑)
75 simplrl 777 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘𝐴)
7675, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℕ)
77 neqne 2948 . . . . . . . . . 10 𝑘 = 1 → 𝑘 ≠ 1)
7877adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≠ 1)
79 eluz2b3 12964 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≠ 1))
8076, 78, 79sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ (ℤ‘2))
81 peano2rem 11576 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
8275, 22, 39, 814syl 19 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
8355ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐷 ∈ ℝ)
845rpne0d 13082 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ≠ 0)
8584ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐷 ≠ 0)
8683, 85rereccld 12094 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
87 1zzd 12648 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
88 df-2 12329 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 = (1 + 1)
8988fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
9089eleq2i 2833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
91 eluzsub 12908 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ (ℤ‘1))
9290, 91syl3an3b 1407 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑘 − 1) ∈ (ℤ‘1))
93 nnuz 12921 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
9492, 93eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ)
9587, 87, 80, 94syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ)
9622, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘𝐴𝑘 ∈ ℝ)
9796adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑘 − 1) ∈ 𝐴𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℝ)
9897, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑘 − 1) ∈ 𝐴𝑘𝐴) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
99 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑘 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℝ)
10099ltm1d 12200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑘 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 − 1) < 𝑘)
101 ltnle 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑘 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝑘 − 1) < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ (𝑘 − 1)))
102100, 101mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑘 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ¬ 𝑘 ≤ (𝑘 − 1))
10398, 97, 102syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑘 − 1) ∈ 𝐴𝑘𝐴) → ¬ 𝑘 ≤ (𝑘 − 1))
104 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = (𝑘 − 1) → (𝑘𝑧𝑘 ≤ (𝑘 − 1)))
105104notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (𝑘 − 1) → (¬ 𝑘𝑧 ↔ ¬ 𝑘 ≤ (𝑘 − 1)))
106105rspcev 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑘 − 1) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ≤ (𝑘 − 1)) → ∃𝑧𝐴 ¬ 𝑘𝑧)
107103, 106syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑘 − 1) ∈ 𝐴𝑘𝐴) → ∃𝑧𝐴 ¬ 𝑘𝑧)
108 rexnal 3100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑧𝐴 ¬ 𝑘𝑧 ↔ ¬ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)
109107, 108sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 − 1) ∈ 𝐴𝑘𝐴) → ¬ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)
110109ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 − 1) ∈ 𝐴 → (𝑘𝐴 → ¬ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧))
111 imnan 399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘𝐴 → ¬ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧) ↔ ¬ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧))
112110, 111sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 − 1) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧))
113112con2i 139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧) → ¬ (𝑘 − 1) ∈ 𝐴)
114113ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ¬ (𝑘 − 1) ∈ 𝐴)
115 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((1 / 𝐷) < 𝑗 ↔ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)))
116115, 1elrab2 3695 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 − 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑘 − 1) ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)))
117114, 116sylnib 328 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ¬ ((𝑘 − 1) ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)))
118 ianor 984 . . . . . . . . . . . 12 (¬ ((𝑘 − 1) ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)) ↔ (¬ (𝑘 − 1) ∈ ℕ ∨ ¬ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)))
119117, 118sylib 218 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (¬ (𝑘 − 1) ∈ ℕ ∨ ¬ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)))
120 imor 854 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 − 1) ∈ ℕ → ¬ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)) ↔ (¬ (𝑘 − 1) ∈ ℕ ∨ ¬ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)))
121119, 120sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 − 1) ∈ ℕ → ¬ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1)))
12295, 121mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ¬ (1 / 𝐷) < (𝑘 − 1))
12382, 86, 122nltled 11411 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷))
124 eluzelre 12889 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 𝑘 ∈ ℝ)
125124adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑘 ∈ ℝ)
12655adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐷 ∈ ℝ)
127125, 126remulcld 11291 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑘 · 𝐷) ∈ ℝ)
128127rehalfcld 12513 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
1291283adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
13059, 55readdcld 11290 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 + 𝐷) ∈ ℝ)
131130adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (1 + 𝐷) ∈ ℝ)
132131rehalfcld 12513 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((1 + 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
1331323adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((1 + 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
134 1red 11262 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → 1 ∈ ℝ)
135 eluzelcn 12890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 𝑘 ∈ ℂ)
136135adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑘 ∈ ℂ)
13750adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐷 ∈ ℂ)
138136, 137mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑘 · 𝐷) ∈ ℂ)
1391383adant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (𝑘 · 𝐷) ∈ ℂ)
140503ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℂ)
141139, 140npcand 11624 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (((𝑘 · 𝐷) − 𝐷) + 𝐷) = (𝑘 · 𝐷))
142127, 126resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑘 · 𝐷) − 𝐷) ∈ ℝ)
1431423adant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 · 𝐷) − 𝐷) ∈ ℝ)
144553ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
145 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷))
146 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
147124, 146resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
1481473ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
14963ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (1 / 𝐷) ∈ ℝ)
150413ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))
151 lemul1 12119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 − 1) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷) ↔ ((𝑘 − 1) · 𝐷) ≤ ((1 / 𝐷) · 𝐷)))
152148, 149, 150, 151syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷) ↔ ((𝑘 − 1) · 𝐷) ≤ ((1 / 𝐷) · 𝐷)))
153145, 152mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 − 1) · 𝐷) ≤ ((1 / 𝐷) · 𝐷))
154 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 1 ∈ ℂ)
155136, 154, 137subdird 11720 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑘 − 1) · 𝐷) = ((𝑘 · 𝐷) − (1 · 𝐷)))
156137mullidd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (1 · 𝐷) = 𝐷)
157156oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑘 · 𝐷) − (1 · 𝐷)) = ((𝑘 · 𝐷) − 𝐷))
158155, 157eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑘 − 1) · 𝐷) = ((𝑘 · 𝐷) − 𝐷))
1591583adant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 − 1) · 𝐷) = ((𝑘 · 𝐷) − 𝐷))
160 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
161160, 50, 843jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
1621613ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
163 divcan1 11931 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((1 / 𝐷) · 𝐷) = 1)
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((1 / 𝐷) · 𝐷) = 1)
165153, 159, 1643brtr3d 5174 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 · 𝐷) − 𝐷) ≤ 1)
166143, 134, 144, 165leadd1dd 11877 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (((𝑘 · 𝐷) − 𝐷) + 𝐷) ≤ (1 + 𝐷))
167141, 166eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (𝑘 · 𝐷) ≤ (1 + 𝐷))
1681273adant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (𝑘 · 𝐷) ∈ ℝ)
1691303ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (1 + 𝐷) ∈ ℝ)
17061, 63pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
171170a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
172 lediv1 12133 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 · 𝐷) ∈ ℝ ∧ (1 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑘 · 𝐷) ≤ (1 + 𝐷) ↔ ((𝑘 · 𝐷) / 2) ≤ ((1 + 𝐷) / 2)))
173168, 169, 171, 172syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 · 𝐷) ≤ (1 + 𝐷) ↔ ((𝑘 · 𝐷) / 2) ≤ ((1 + 𝐷) / 2)))
174167, 173mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) ≤ ((1 + 𝐷) / 2))
17555, 59, 59, 60ltadd2dd 11420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 + 𝐷) < (1 + 1))
176 1p1e2 12391 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) = 2
177175, 176breqtrdi 5184 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 + 𝐷) < 2)
178 ltdiv1 12132 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 + 𝐷) < 2 ↔ ((1 + 𝐷) / 2) < (2 / 2)))
179130, 62, 62, 64, 178syl112anc 1376 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 + 𝐷) < 2 ↔ ((1 + 𝐷) / 2) < (2 / 2)))
180177, 179mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 + 𝐷) / 2) < (2 / 2))
181 2div2e1 12407 . . . . . . . . . . 11 (2 / 2) = 1
182180, 181breqtrdi 5184 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 + 𝐷) / 2) < 1)
1831823ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((1 + 𝐷) / 2) < 1)
184129, 133, 134, 174, 183lelttrd 11419 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ≤ (1 / 𝐷)) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)
18574, 80, 123, 184syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)
18673, 185pm2.61dan 813 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)
18723, 47, 186jca32 515 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧)) → (𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)))
188187ex 412 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧) → (𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1))))
189188eximdv 1917 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘(𝑘𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝑘𝑧) → ∃𝑘(𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1))))
19020, 189mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑘(𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)))
191 df-rex 3071 . 2 (∃𝑘 ∈ ℕ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1) ↔ ∃𝑘(𝑘 ∈ ℕ ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)))
192190, 191sylibr 234 1 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035
This theorem is referenced by:  stoweidlem49  46064
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