fourierdlem50 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem50 42434

Description: Continuity of 𝑂 and its limits with respect to the 𝑆 partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem50.xre	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem50.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem50.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem50.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem50.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem50.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem50.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem50.ab	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (-π[,]π))
fourierdlem50.q	⊢ 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
fourierdlem50.t	⊢ 𝑇 = ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
fourierdlem50.n	⊢ 𝑁 = ((♯‘𝑇) − 1)
fourierdlem50.s	⊢ 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
fourierdlem50.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^𝑁))
fourierdlem50.u	⊢ 𝑈 = (℩𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem50.ch	⊢ (𝜒 ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem50	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (0..^𝑀) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑈)(,)(𝑄‘(𝑈 + 1)))))

Distinct variable groups: 𝑖,𝐽,𝑘 𝑖,𝑀,𝑘 𝑚,𝑀,𝑝,𝑖 𝑓,𝑁 𝑄,𝑖,𝑘 𝑆,𝑓 𝑆,𝑖,𝑘 𝑇,𝑓 𝑈,𝑖 𝑖,𝑉,𝑘 𝑉,𝑝 𝑖,𝑋,𝑘 𝑚,𝑋,𝑝 𝜑,𝑓 𝜑,𝑖,𝑘 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑚,𝑝) 𝜒(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝) 𝐴(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝) 𝐵(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝) 𝑃(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝) 𝑄(𝑓,𝑚,𝑝) 𝑆(𝑚,𝑝) 𝑇(𝑖,𝑘,𝑚,𝑝) 𝑈(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝) 𝐽(𝑓,𝑚,𝑝) 𝑀(𝑓) 𝑁(𝑖,𝑘,𝑚,𝑝) 𝑉(𝑓,𝑚) 𝑋(𝑓)

Proof of Theorem fourierdlem50 Dummy variables 𝑥 ℎ 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem50.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (℩𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
2		fourierdlem50.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		fourierdlem50.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		fourierdlem50.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		fourierdlem50.altb	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
6	3, 4, 5	ltled 10782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		fourierdlem50.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
8		fourierdlem50.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
9	7, 2, 8	fourierdlem15 42400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0...𝑀)⟶((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
10		pire 25038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ π ∈ ℝ
11	10	renegcli 10941	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -π ∈ ℝ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ)
13		fourierdlem50.xre	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
14	12, 13	readdcld 10664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
15	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
16	15, 13	readdcld 10664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
17	14, 16	iccssred 41772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ)
18	9, 17	fssd 6523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
19	18	ffvelrnda 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑉‘𝑖) ∈ ℝ)
20	13	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
21	19, 20	resubcld 11062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
22		fourierdlem50.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
23	21, 22	fmptd 6873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
24	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋)))
25		fveq2 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑉‘𝑖) = (𝑉‘0))
26	25	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘0) − 𝑋))
27	26	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘0) − 𝑋))
28		nnssnn0 11894	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ ⊆ ℕ₀
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ℕ ⊆ ℕ₀)
30		nn0uz 12274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
31	29, 30	sseqtrdi 4017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℕ ⊆ (ℤ_≥‘0))
32	31, 2	sseldd 3968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘0))
33		eluzfz1 12908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
35	18, 34	ffvelrnd 6847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘0) ∈ ℝ)
36	35, 13	resubcld 11062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘0) − 𝑋) ∈ ℝ)
37	24, 27, 34, 36	fvmptd 6770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = ((𝑉‘0) − 𝑋))
38	7	fourierdlem2 42387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
39	2, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
40	8, 39	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
41	40	simprd 498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))
42	41	simpld 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (π + 𝑋)))
43	42	simpld 497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘0) = (-π + 𝑋))
44	43	oveq1d 7165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘0) − 𝑋) = ((-π + 𝑋) − 𝑋))
45	12	recnd 10663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℂ)
46	13	recnd 10663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
47	45, 46	pncand 10992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((-π + 𝑋) − 𝑋) = -π)
48	37, 44, 47	3eqtrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = -π)
49	12	rexrd 10685	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ^*)
50	15	rexrd 10685	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ^*)
51		fourierdlem50.ab	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (-π[,]π))
52	3	leidd 11200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
53	3, 4, 3, 52, 6	eliccd 41771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
54	51, 53	sseldd 3968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
55		iccgelb 12787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ π ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ 𝐴)
56	49, 50, 54, 55	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -π ≤ 𝐴)
57	48, 56	eqbrtrd 5081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
58	4	leidd 11200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐵)
59	3, 4, 4, 6, 58	eliccd 41771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
60	51, 59	sseldd 3968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (-π[,]π))
61		iccleub 12786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ π ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ (-π[,]π)) → 𝐵 ≤ π)
62	49, 50, 60, 61	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ π)
63		fveq2 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑉‘𝑖) = (𝑉‘𝑀))
64	63	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘𝑀) − 𝑋))
65	64	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝑀) → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘𝑀) − 𝑋))
66		eluzfz2 12909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘0) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
67	32, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
68	18, 67	ffvelrnd 6847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑀) ∈ ℝ)
69	68, 13	resubcld 11062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝑀) − 𝑋) ∈ ℝ)
70	24, 65, 67, 69	fvmptd 6770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = ((𝑉‘𝑀) − 𝑋))
71	42	simprd 498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑀) = (π + 𝑋))
72	71	oveq1d 7165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝑀) − 𝑋) = ((π + 𝑋) − 𝑋))
73	15	recnd 10663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
74	73, 46	pncand 10992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((π + 𝑋) − 𝑋) = π)
75	70, 72, 74	3eqtrrd 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → π = (𝑄‘𝑀))
76	62, 75	breqtrd 5085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝑄‘𝑀))
77		fourierdlem50.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^𝑁))
78		fourierdlem50.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
79		prfi 8787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
81		fzfid 13335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
82	22	rnmptfi 41419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0...𝑀) ∈ Fin → ran 𝑄 ∈ Fin)
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ran 𝑄 ∈ Fin)
84		infi 8736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran 𝑄 ∈ Fin → (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ Fin)
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ Fin)
86		unfi 8779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ Fin) → ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ∈ Fin)
87	80, 85, 86	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ∈ Fin)
88	78, 87	eqeltrid 2917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Fin)
89	3, 4	jca 514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
90		prssg 4746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ))
91	3, 4, 90	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ))
92	89, 91	mpbid 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
93		inss2 4206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
94		ioossre 12792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
95	93, 94	sstri 3976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ ℝ
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ ℝ)
97	92, 96	unssd 4162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ ℝ)
98	78, 97	eqsstrid 4015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ℝ)
99		fourierdlem50.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
100		fourierdlem50.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = ((♯‘𝑇) − 1)
101	88, 98, 99, 100	fourierdlem36 42421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
102		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ sup({𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑥) ≤ (𝑆‘𝐽)}, ℝ, < ) = sup({𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑥) ≤ (𝑆‘𝐽)}, ℝ, < )
103	2, 3, 4, 6, 23, 57, 76, 77, 78, 101, 102	fourierdlem20 42405	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
104		fourierdlem50.ch	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))))
105	104	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))))
106		simp-4l 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))) → 𝜑)
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → 𝜑)
108		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀))
109	105, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → 𝑘 ∈ (0..^𝑀))
110	107, 109	jca 514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
111		simp-4r 782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
112	105, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
113		elfzofz 13047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑀) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
114	113	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
115	105, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
116	107, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜒 → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
117	116, 115	ffvelrnd 6847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘𝑘) ∈ ℝ)
118	107, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈ ℝ)
119	117, 118	resubcld 11062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → ((𝑉‘𝑘) − 𝑋) ∈ ℝ)
120		fveq2 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑉‘𝑖) = (𝑉‘𝑘))
121	120	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘𝑘) − 𝑋))
122	121, 22	fvmptg 6761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉‘𝑘) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑄‘𝑘) = ((𝑉‘𝑘) − 𝑋))
123	115, 119, 122	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑘) = ((𝑉‘𝑘) − 𝑋))
124	123, 119	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑘) ∈ ℝ)
125	23	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
126		fzofzp1 13128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
127	126	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
128	125, 127	ffvelrnd 6847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
129	107, 112, 128	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
130		isof1o 7070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) → 𝑆:(0...𝑁)–1-1-onto→𝑇)
131	101, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑆:(0...𝑁)–1-1-onto→𝑇)
132		f1of 6610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑆:(0...𝑁)–1-1-onto→𝑇 → 𝑆:(0...𝑁)⟶𝑇)
133	131, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑆:(0...𝑁)⟶𝑇)
134		fzofzp1 13128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
135	77, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
136	133, 135	ffvelrnd 6847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ 𝑇)
137	98, 136	sseldd 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
138	107, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
139		elfzofz 13047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
140	77, 139	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
141	133, 140	ffvelrnd 6847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐽) ∈ 𝑇)
142	98, 141	sseldd 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐽) ∈ ℝ)
143	107, 142	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → (𝑆‘𝐽) ∈ ℝ)
144	105	simprd 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜒 → ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))))
145	124	rexrd 10685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑘) ∈ ℝ^*)
146	23	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
147		fzofzp1 13128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑀) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑀))
148	147	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑀))
149	146, 148	ffvelrnd 6847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
150	149	rexrd 10685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ^*)
151	110, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ^*)
152	143	rexrd 10685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜒 → (𝑆‘𝐽) ∈ ℝ^*)
153	138	rexrd 10685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜒 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ^*)
154		elfzoelz 13032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
155	154	zred 12081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
156	155	ltp1d 11564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 < (𝐽 + 1))
157	77, 156	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐽 < (𝐽 + 1))
158		isoeq5 7068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑇 = ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ↔ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵))))))
159	78, 158	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ↔ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)))))
160	101, 159	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)))))
161		isorel 7073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) ∧ (𝐽 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))) → (𝐽 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆‘𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
162	160, 140, 135, 161	syl12anc 834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (𝐽 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆‘𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
163	157, 162	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
164	107, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜒 → (𝑆‘𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
165	145, 151, 152, 153, 164	ioossioobi 41785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜒 → (((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))) ↔ ((𝑄‘𝑘) ≤ (𝑆‘𝐽) ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑘 + 1)))))
166	144, 165	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → ((𝑄‘𝑘) ≤ (𝑆‘𝐽) ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑘 + 1))))
167	166	simpld 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑘) ≤ (𝑆‘𝐽))
168	124, 143, 138, 167, 164	lelttrd 10792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑘) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
169		elfzofz 13047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
170	169	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
171	170	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
172	105, 171	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜒 → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
173	107, 172, 21	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜒 → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
174	22	fvmpt2 6774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑄‘𝑖) = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
175	172, 173, 174	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
176	175, 173	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
177		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
178	105, 177	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
179	176, 129, 143, 138, 164, 178	fourierdlem10 42395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → ((𝑄‘𝑖) ≤ (𝑆‘𝐽) ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
180	179	simprd 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
181	124, 138, 129, 168, 180	ltletrd 10794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑘) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
182	124, 129, 118, 181	ltadd2dd 10793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (𝑋 + (𝑄‘𝑘)) < (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))))
183	123	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑋 + (𝑄‘𝑘)) = (𝑋 + ((𝑉‘𝑘) − 𝑋)))
184	107, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈ ℂ)
185	117	recnd 10663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘𝑘) ∈ ℂ)
186	184, 185	pncan3d 10994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑋 + ((𝑉‘𝑘) − 𝑋)) = (𝑉‘𝑘))
187	183, 186	eqtr2d 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘𝑘) = (𝑋 + (𝑄‘𝑘)))
188	112, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
189	18	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
190	189, 127	ffvelrnd 6847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
191	107, 112, 190	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
192	191, 118	resubcld 11062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
193	188, 192	jca 514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ))
194		eleq1 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)))
195		fveq2 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑉‘𝑘) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
196	195	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑉‘𝑘) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
197	196	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (((𝑉‘𝑘) − 𝑋) ∈ ℝ ↔ ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ))
198	194, 197	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑘 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉‘𝑘) − 𝑋) ∈ ℝ) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)))
199		fveq2 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
200	199, 196	eqeq12d 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑄‘𝑘) = ((𝑉‘𝑘) − 𝑋) ↔ (𝑄‘(𝑖 + 1)) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)))
201	198, 200	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (((𝑘 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉‘𝑘) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑄‘𝑘) = ((𝑉‘𝑘) − 𝑋)) ↔ (((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))))
202	201, 122	vtoclg 3568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) → (((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)))
203	188, 193, 202	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
204	203	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))) = (𝑋 + ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)))
205	191	recnd 10663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
206	184, 205	pncan3d 10994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑋 + ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
207	204, 206	eqtr2d 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘(𝑖 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))))
208	182, 187, 207	3brtr4d 5091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘𝑘) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))
209		eleq1w 2895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑙 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
210	209	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))))
211		oveq1 7157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑙 + 1) = (𝑖 + 1))
212	211	fveq2d 6669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑉‘(𝑙 + 1)) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
213	212	breq2d 5071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → ((𝑉‘𝑘) < (𝑉‘(𝑙 + 1)) ↔ (𝑉‘𝑘) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))
214	210, 213	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑘) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑘) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
215		fveq2 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑉‘𝑙) = (𝑉‘𝑖))
216	215	breq2d 5071	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → ((𝑉‘𝑘) ≤ (𝑉‘𝑙) ↔ (𝑉‘𝑘) ≤ (𝑉‘𝑖)))
217	214, 216	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑘) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → (𝑉‘𝑘) ≤ (𝑉‘𝑙)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑘) < (𝑉‘(𝑖 + 1))) → (𝑉‘𝑘) ≤ (𝑉‘𝑖))))
218		eleq1w 2895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℎ = 𝑘 → (ℎ ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
219	218	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = 𝑘 → ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀))))
220	219	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = 𝑘 → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀))))
221		fveq2 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = 𝑘 → (𝑉‘ℎ) = (𝑉‘𝑘))
222	221	breq1d 5069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = 𝑘 → ((𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1)) ↔ (𝑉‘𝑘) < (𝑉‘(𝑙 + 1))))
223	220, 222	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℎ = 𝑘 → ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑘) < (𝑉‘(𝑙 + 1)))))
224	221	breq1d 5069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℎ = 𝑘 → ((𝑉‘ℎ) ≤ (𝑉‘𝑙) ↔ (𝑉‘𝑘) ≤ (𝑉‘𝑙)))
225	223, 224	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ = 𝑘 → (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → (𝑉‘ℎ) ≤ (𝑉‘𝑙)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑘) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → (𝑉‘𝑘) ≤ (𝑉‘𝑙))))
226		elfzoelz 13032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ ∈ (0..^𝑀) → ℎ ∈ ℤ)
227	226	ad3antlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → ℎ ∈ ℤ)
228		elfzoelz 13032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 ∈ (0..^𝑀) → 𝑙 ∈ ℤ)
229	228	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → 𝑙 ∈ ℤ)
230		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ∧ ¬ ℎ < (𝑙 + 1)) → (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1)))
231	18	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
232		fzofzp1 13128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑙 ∈ (0..^𝑀) → (𝑙 + 1) ∈ (0...𝑀))
233	232	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑙 + 1) ∈ (0...𝑀))
234	231, 233	ffvelrnd 6847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑙 + 1)) ∈ ℝ)
235	234	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑙 + 1)) ∈ ℝ)
236	235	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ ℎ < (𝑙 + 1)) → (𝑉‘(𝑙 + 1)) ∈ ℝ)
237	18	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
238		elfzofz 13047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (ℎ ∈ (0..^𝑀) → ℎ ∈ (0...𝑀))
239	238	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) → ℎ ∈ (0...𝑀))
240	237, 239	ffvelrnd 6847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘ℎ) ∈ ℝ)
241	240	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ ℎ < (𝑙 + 1)) → (𝑉‘ℎ) ∈ ℝ)
242	228	zred 12081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑙 ∈ (0..^𝑀) → 𝑙 ∈ ℝ)
243		peano2re 10807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑙 ∈ ℝ → (𝑙 + 1) ∈ ℝ)
244	242, 243	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑙 ∈ (0..^𝑀) → (𝑙 + 1) ∈ ℝ)
245	244	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ ℎ < (𝑙 + 1)) → (𝑙 + 1) ∈ ℝ)
246	226	zred 12081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (ℎ ∈ (0..^𝑀) → ℎ ∈ ℝ)
247	246	ad3antlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ ℎ < (𝑙 + 1)) → ℎ ∈ ℝ)
248		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ ℎ < (𝑙 + 1)) → ¬ ℎ < (𝑙 + 1))
249	245, 247, 248	nltled 10784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ ℎ < (𝑙 + 1)) → (𝑙 + 1) ≤ ℎ)
250	228	peano2zd 12084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑙 ∈ (0..^𝑀) → (𝑙 + 1) ∈ ℤ)
251	250	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑙 + 1) ≤ ℎ) → (𝑙 + 1) ∈ ℤ)
252	226	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑙 + 1) ≤ ℎ) → ℎ ∈ ℤ)
253		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑙 + 1) ≤ ℎ) → (𝑙 + 1) ≤ ℎ)
254		eluz2 12243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (ℎ ∈ (ℤ_≥‘(𝑙 + 1)) ↔ ((𝑙 + 1) ∈ ℤ ∧ ℎ ∈ ℤ ∧ (𝑙 + 1) ≤ ℎ))
255	251, 252, 253, 254	syl3anbrc 1339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑙 + 1) ≤ ℎ) → ℎ ∈ (ℤ_≥‘(𝑙 + 1)))
256	255	adantlll 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑙 + 1) ≤ ℎ) → ℎ ∈ (ℤ_≥‘(𝑙 + 1)))
257		simplll 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝜑)
258		0zd 11987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 0 ∈ ℤ)
259		elfzoel2 13031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (ℎ ∈ (0..^𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
260	259	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
261		elfzelz 12902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ) → 𝑖 ∈ ℤ)
262	261	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑖 ∈ ℤ)
263	258, 260, 262	3jca 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
264		0red 10638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 0 ∈ ℝ)
265	261	zred 12081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ) → 𝑖 ∈ ℝ)
266	265	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑖 ∈ ℝ)
267	242	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑙 ∈ ℝ)
268		elfzole1 13040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑙 ∈ (0..^𝑀) → 0 ≤ 𝑙)
269	268	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 0 ≤ 𝑙)
270	267, 243	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → (𝑙 + 1) ∈ ℝ)
271	267	ltp1d 11564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑙 < (𝑙 + 1))
272		elfzle1 12904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ) → (𝑙 + 1) ≤ 𝑖)
273	272	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → (𝑙 + 1) ≤ 𝑖)
274	267, 270, 266, 271, 273	ltletrd 10794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑙 < 𝑖)
275	264, 267, 266, 269, 274	lelttrd 10792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 0 < 𝑖)
276	264, 266, 275	ltled 10782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 0 ≤ 𝑖)
277	276	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 0 ≤ 𝑖)
278	265	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑖 ∈ ℝ)
279	259	zred 12081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (ℎ ∈ (0..^𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
280	279	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
281	246	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → ℎ ∈ ℝ)
282		elfzle2 12905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ) → 𝑖 ≤ ℎ)
283	282	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑖 ≤ ℎ)
284		elfzolt2 13041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (ℎ ∈ (0..^𝑀) → ℎ < 𝑀)
285	284	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → ℎ < 𝑀)
286	278, 281, 280, 283, 285	lelttrd 10792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑖 < 𝑀)
287	278, 280, 286	ltled 10782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑖 ≤ 𝑀)
288	287	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑖 ≤ 𝑀)
289	263, 277, 288	jca32 518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑀)))
290		elfz2 12893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑀)))
291	289, 290	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
292	291	adantlll 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
293	257, 292, 19	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → (𝑉‘𝑖) ∈ ℝ)
294	293	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑙 + 1) ≤ ℎ) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → (𝑉‘𝑖) ∈ ℝ)
295		simplll 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝜑)
296		0zd 11987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 0 ∈ ℤ)
297		elfzelz 12902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
298	297	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
299		0red 10638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 0 ∈ ℝ)
300	298	zred 12081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
301	242	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑙 ∈ ℝ)
302	268	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 0 ≤ 𝑙)
303	301, 243	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → (𝑙 + 1) ∈ ℝ)
304	301	ltp1d 11564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑙 < (𝑙 + 1))
305		elfzle1 12904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1)) → (𝑙 + 1) ≤ 𝑖)
306	305	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → (𝑙 + 1) ≤ 𝑖)
307	301, 303, 300, 304, 306	ltletrd 10794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑙 < 𝑖)
308	299, 301, 300, 302, 307	lelttrd 10792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 0 < 𝑖)
309	299, 300, 308	ltled 10782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 0 ≤ 𝑖)
310		eluz2 12243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ_≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑖))
311	296, 298, 309, 310	syl3anbrc 1339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘0))
312	311	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘0))
313		elfzoel2 13031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑙 ∈ (0..^𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
314	313	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
315	297	zred 12081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1)) → 𝑖 ∈ ℝ)
316	315	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
317		peano2rem 10947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (ℎ ∈ ℝ → (ℎ − 1) ∈ ℝ)
318	246, 317	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (ℎ ∈ (0..^𝑀) → (ℎ − 1) ∈ ℝ)
319	318	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → (ℎ − 1) ∈ ℝ)
320	279	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
321		elfzle2 12905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1)) → 𝑖 ≤ (ℎ − 1))
322	321	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑖 ≤ (ℎ − 1))
323	246	ltm1d 11566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (ℎ ∈ (0..^𝑀) → (ℎ − 1) < ℎ)
324	318, 246, 279, 323, 284	lttrd 10795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (ℎ ∈ (0..^𝑀) → (ℎ − 1) < 𝑀)
325	324	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → (ℎ − 1) < 𝑀)
326	316, 319, 320, 322, 325	lelttrd 10792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑖 < 𝑀)
327	326	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑖 < 𝑀)
328	327	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑖 < 𝑀)
329		elfzo2 13035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑖 ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀))
330	312, 314, 328, 329	syl3anbrc 1339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
331	169, 19	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘𝑖) ∈ ℝ)
332	41	simprd 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))
333	332	r19.21bi 3208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))
334	331, 190, 333	ltled 10782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘(𝑖 + 1)))
335	295, 330, 334	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘(𝑖 + 1)))
336	335	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑙 + 1) ≤ ℎ) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘(𝑖 + 1)))
337	256, 294, 336	monoord 13394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑙 + 1) ≤ ℎ) → (𝑉‘(𝑙 + 1)) ≤ (𝑉‘ℎ))
338	249, 337	syldan 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ ℎ < (𝑙 + 1)) → (𝑉‘(𝑙 + 1)) ≤ (𝑉‘ℎ))
339	236, 241, 338	lensymd 10785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ ℎ < (𝑙 + 1)) → ¬ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1)))
340	339	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ∧ ¬ ℎ < (𝑙 + 1)) → ¬ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1)))
341	230, 340	condan 816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → ℎ < (𝑙 + 1))
342		zleltp1 12027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((ℎ ∈ ℤ ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → (ℎ ≤ 𝑙 ↔ ℎ < (𝑙 + 1)))
343	227, 229, 342	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → (ℎ ≤ 𝑙 ↔ ℎ < (𝑙 + 1)))
344	341, 343	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → ℎ ≤ 𝑙)
345		eluz2 12243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 ∈ (ℤ_≥‘ℎ) ↔ (ℎ ∈ ℤ ∧ 𝑙 ∈ ℤ ∧ ℎ ≤ 𝑙))
346	227, 229, 344, 345	syl3anbrc 1339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → 𝑙 ∈ (ℤ_≥‘ℎ))
347	18	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
348		0zd 11987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 0 ∈ ℤ)
349	259	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑀 ∈ ℤ)
350		elfzelz 12902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 ∈ (ℎ...𝑙) → 𝑖 ∈ ℤ)
351	350	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑖 ∈ ℤ)
352	348, 349, 351	3jca 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
353		0red 10638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 0 ∈ ℝ)
354	246	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → ℎ ∈ ℝ)
355	350	zred 12081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑖 ∈ (ℎ...𝑙) → 𝑖 ∈ ℝ)
356	355	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑖 ∈ ℝ)
357		elfzole1 13040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (ℎ ∈ (0..^𝑀) → 0 ≤ ℎ)
358	357	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 0 ≤ ℎ)
359		elfzle1 12904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑖 ∈ (ℎ...𝑙) → ℎ ≤ 𝑖)
360	359	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → ℎ ≤ 𝑖)
361	353, 354, 356, 358, 360	letrd 10791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 0 ≤ 𝑖)
362	361	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 0 ≤ 𝑖)
363	355	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑖 ∈ ℝ)
364	313	zred 12081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑙 ∈ (0..^𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
365	364	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑀 ∈ ℝ)
366	242	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑙 ∈ ℝ)
367		elfzle2 12905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑖 ∈ (ℎ...𝑙) → 𝑖 ≤ 𝑙)
368	367	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑖 ≤ 𝑙)
369		elfzolt2 13041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑙 ∈ (0..^𝑀) → 𝑙 < 𝑀)
370	369	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑙 < 𝑀)
371	363, 366, 365, 368, 370	lelttrd 10792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑖 < 𝑀)
372	363, 365, 371	ltled 10782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑖 ≤ 𝑀)
373	372	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑖 ≤ 𝑀)
374	352, 362, 373	jca32 518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑀)))
375	374, 290	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
376	375	adantlll 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
377	347, 376	ffvelrnd 6847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → (𝑉‘𝑖) ∈ ℝ)
378	377	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → (𝑉‘𝑖) ∈ ℝ)
379		simp-4l 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝜑)
380		0zd 11987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 0 ∈ ℤ)
381		elfzelz 12902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
382	381	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
383		0red 10638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 0 ∈ ℝ)
384	246	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → ℎ ∈ ℝ)
385	382	zred 12081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
386	357	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 0 ≤ ℎ)
387		elfzle1 12904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1)) → ℎ ≤ 𝑖)
388	387	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → ℎ ≤ 𝑖)
389	383, 384, 385, 386, 388	letrd 10791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 0 ≤ 𝑖)
390	380, 382, 389, 310	syl3anbrc 1339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘0))
391	390	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘0))
392	391	ad4ant14 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘0))
393	313	ad3antlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
394	381	zred 12081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1)) → 𝑖 ∈ ℝ)
395	394	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
396	242	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑙 ∈ ℝ)
397	364	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
398		elfzle2 12905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1)) → 𝑖 ≤ (𝑙 − 1))
399	398	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑖 ≤ (𝑙 − 1))
400		zltlem1 12029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → (𝑖 < 𝑙 ↔ 𝑖 ≤ (𝑙 − 1)))
401	381, 228, 400	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → (𝑖 < 𝑙 ↔ 𝑖 ≤ (𝑙 − 1)))
402	399, 401	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑖 < 𝑙)
403	369	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑙 < 𝑀)
404	395, 396, 397, 402, 403	lttrd 10795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑖 < 𝑀)
405	404	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑖 < 𝑀)
406	405	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑖 < 𝑀)
407	392, 393, 406, 329	syl3anbrc 1339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
408	379, 407, 334	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘(𝑖 + 1)))
409	346, 378, 408	monoord 13394	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → (𝑉‘ℎ) ≤ (𝑉‘𝑙))
410	225, 409	chvarvv 2001	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑘) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → (𝑉‘𝑘) ≤ (𝑉‘𝑙))
411	217, 410	chvarvv 2001	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑘) < (𝑉‘(𝑖 + 1))) → (𝑉‘𝑘) ≤ (𝑉‘𝑖))
412	110, 112, 208, 411	syl21anc 835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘𝑘) ≤ (𝑉‘𝑖))
413	107, 112	jca 514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
414	110, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
415	179	simpld 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑆‘𝐽))
416	176, 143, 138, 415, 164	lelttrd 10792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
417	166	simprd 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑘 + 1)))
418	176, 138, 414, 416, 417	ltletrd 10794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑘 + 1)))
419	176, 414, 118, 418	ltadd2dd 10793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (𝑋 + (𝑄‘𝑖)) < (𝑋 + (𝑄‘(𝑘 + 1))))
420	175	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑋 + (𝑄‘𝑖)) = (𝑋 + ((𝑉‘𝑖) − 𝑋)))
421	107, 172, 19	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘𝑖) ∈ ℝ)
422	421	recnd 10663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘𝑖) ∈ ℂ)
423	184, 422	pncan3d 10994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑋 + ((𝑉‘𝑖) − 𝑋)) = (𝑉‘𝑖))
424	420, 423	eqtr2d 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘𝑖) = (𝑋 + (𝑄‘𝑖)))
425	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋)))
426		fveq2 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑉‘𝑖) = (𝑉‘(𝑘 + 1)))
427	426	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑘 + 1)) − 𝑋))
428	427	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 = (𝑘 + 1)) → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑘 + 1)) − 𝑋))
429	18	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
430	429, 148	ffvelrnd 6847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
431	13	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
432	430, 431	resubcld 11062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉‘(𝑘 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
433	425, 428, 148, 432	fvmptd 6770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑘 + 1)) = ((𝑉‘(𝑘 + 1)) − 𝑋))
434	107, 109, 433	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑘 + 1)) = ((𝑉‘(𝑘 + 1)) − 𝑋))
435	434	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑋 + (𝑄‘(𝑘 + 1))) = (𝑋 + ((𝑉‘(𝑘 + 1)) − 𝑋)))
436	110, 430	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
437	436	recnd 10663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
438	184, 437	pncan3d 10994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑋 + ((𝑉‘(𝑘 + 1)) − 𝑋)) = (𝑉‘(𝑘 + 1)))
439	435, 438	eqtr2d 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘(𝑘 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝑘 + 1))))
440	419, 424, 439	3brtr4d 5091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑘 + 1)))
441		eleq1w 2895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑙 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
442	441	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀))))
443		oveq1 7157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑙 + 1) = (𝑘 + 1))
444	443	fveq2d 6669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑉‘(𝑙 + 1)) = (𝑉‘(𝑘 + 1)))
445	444	breq2d 5071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑙 + 1)) ↔ (𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑘 + 1))))
446	442, 445	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑘 + 1)))))
447		fveq2 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑉‘𝑙) = (𝑉‘𝑘))
448	447	breq2d 5071	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘𝑙) ↔ (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘𝑘)))
449	446, 448	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘𝑙)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑘 + 1))) → (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘𝑘))))
450		eleq1w 2895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (ℎ ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
451	450	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = 𝑖 → ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))))
452	451	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀))))
453		fveq2 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (𝑉‘ℎ) = (𝑉‘𝑖))
454	453	breq1d 5069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = 𝑖 → ((𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1)) ↔ (𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑙 + 1))))
455	452, 454	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℎ = 𝑖 → ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑙 + 1)))))
456	453	breq1d 5069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℎ = 𝑖 → ((𝑉‘ℎ) ≤ (𝑉‘𝑙) ↔ (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘𝑙)))
457	455, 456	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → (𝑉‘ℎ) ≤ (𝑉‘𝑙)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘𝑙))))
458	457, 409	chvarvv 2001	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘𝑙))
459	449, 458	chvarvv 2001	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑘 + 1))) → (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘𝑘))
460	413, 109, 440, 459	syl21anc 835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘𝑘))
461	117, 421	letri3d 10776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → ((𝑉‘𝑘) = (𝑉‘𝑖) ↔ ((𝑉‘𝑘) ≤ (𝑉‘𝑖) ∧ (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘𝑘))))
462	412, 460, 461	mpbir2and 711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘𝑘) = (𝑉‘𝑖))
463	7, 2, 8	fourierdlem34 42419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0...𝑀)–1-1→ℝ)
464	107, 463	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 𝑉:(0...𝑀)–1-1→ℝ)
465		f1fveq 7014	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑉:(0...𝑀)–1-1→ℝ ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀))) → ((𝑉‘𝑘) = (𝑉‘𝑖) ↔ 𝑘 = 𝑖))
466	464, 115, 172, 465	syl12anc 834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → ((𝑉‘𝑘) = (𝑉‘𝑖) ↔ 𝑘 = 𝑖))
467	462, 466	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → 𝑘 = 𝑖)
468	104, 467	sylbir 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))) → 𝑘 = 𝑖)
469	468	ex 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))) → 𝑘 = 𝑖))
470		simpl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
471		fveq2 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘𝑖))
472		oveq1 7157	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 + 1) = (𝑖 + 1))
473	472	fveq2d 6669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
474	471, 473	oveq12d 7168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
475	474	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))))
476	475	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))))
477	470, 476	sseqtrd 4007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))))
478	477	ex 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑘 = 𝑖 → ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))))
479	478	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑘 = 𝑖 → ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))))
480	469, 479	impbid 214	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))) ↔ 𝑘 = 𝑖))
481	480	ralrimiva 3182	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑀)(((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))) ↔ 𝑘 = 𝑖))
482	481	ex 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑀)(((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))) ↔ 𝑘 = 𝑖)))
483	482	reximdva 3274	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∀𝑘 ∈ (0..^𝑀)(((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))) ↔ 𝑘 = 𝑖)))
484	103, 483	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∀𝑘 ∈ (0..^𝑀)(((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))) ↔ 𝑘 = 𝑖))
485		reu6 3717	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑘 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∀𝑘 ∈ (0..^𝑀)(((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))) ↔ 𝑘 = 𝑖))
486	484, 485	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑘 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))))
487		fveq2 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘𝑘))
488		oveq1 7157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 + 1) = (𝑘 + 1))
489	488	fveq2d 6669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑘 + 1)))
490	487, 489	oveq12d 7168	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))))
491	490	sseq2d 3999	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))))
492	491	cbvreuvw 3452	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ∃!𝑘 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))))
493	486, 492	sylibr 236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
494		riotacl 7125	. . . 4 ⊢ (∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (℩𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (0..^𝑀))
495	493, 494	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (0..^𝑀))
496	1, 495	eqeltrid 2917	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (0..^𝑀))
497	1	eqcomi 2830	. . . 4 ⊢ (℩𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = 𝑈
498	497	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = 𝑈)
499		fveq2 6665	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑈 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘𝑈))
500		oveq1 7157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑈 → (𝑖 + 1) = (𝑈 + 1))
501	500	fveq2d 6669	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑈 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑈 + 1)))
502	499, 501	oveq12d 7168	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑈 → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑈)(,)(𝑄‘(𝑈 + 1))))
503	502	sseq2d 3999	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑈 → (((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑈)(,)(𝑄‘(𝑈 + 1)))))
504	503	riota2 7133	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (0..^𝑀) ∧ ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑈)(,)(𝑄‘(𝑈 + 1))) ↔ (℩𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = 𝑈))
505	496, 493, 504	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑈)(,)(𝑄‘(𝑈 + 1))) ↔ (℩𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = 𝑈))
506	498, 505	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑈)(,)(𝑄‘(𝑈 + 1))))
507	496, 506	jca 514	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (0..^𝑀) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑈)(,)(𝑄‘(𝑈 + 1)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∧ w3a 1083 = wceq 1533 ∈ wcel 2110 ∀wral 3138 ∃wrex 3139 ∃!wreu 3140 {crab 3142 ∪ cun 3934 ∩ cin 3935 ⊆ wss 3936 {cpr 4563 class class class wbr 5059 ↦ cmpt 5139 ran crn 5551 ℩cio 6307 ⟶wf 6346 –1-1→wf1 6347 –1-1-onto→wf1o 6349 ‘cfv 6350 Isom wiso 6351 ℩crio 7107 (class class class)co 7150 ↑_m cmap 8400 Fincfn 8503 supcsup 8898 ℂcc 10529 ℝcr 10530 0cc0 10531 1c1 10532 + caddc 10534 ℝ^*cxr 10668 < clt 10669 ≤ cle 10670 − cmin 10864 -cneg 10865 ℕcn 11632 ℕ₀cn0 11891 ℤcz 11975 ℤ_≥cuz 12237 (,)cioo 12732 [,]cicc 12735 ...cfz 12886 ..^cfzo 13027 ♯chash 13684 πcpi 15414

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1792 ax-4 1806 ax-5 1907 ax-6 1966 ax-7 2011 ax-8 2112 ax-9 2120 ax-10 2141 ax-11 2156 ax-12 2172 ax-ext 2793 ax-rep 5183 ax-sep 5196 ax-nul 5203 ax-pow 5259 ax-pr 5322 ax-un 7455 ax-inf2 9098 ax-cnex 10587 ax-resscn 10588 ax-1cn 10589 ax-icn 10590 ax-addcl 10591 ax-addrcl 10592 ax-mulcl 10593 ax-mulrcl 10594 ax-mulcom 10595 ax-addass 10596 ax-mulass 10597 ax-distr 10598 ax-i2m1 10599 ax-1ne0 10600 ax-1rid 10601 ax-rnegex 10602 ax-rrecex 10603 ax-cnre 10604 ax-pre-lttri 10605 ax-pre-lttrn 10606 ax-pre-ltadd 10607 ax-pre-mulgt0 10608 ax-pre-sup 10609 ax-addf 10610 ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1777 df-nf 1781 df-sb 2066 df-mo 2618 df-eu 2650 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-nel 3124 df-ral 3143 df-rex 3144 df-reu 3145 df-rmo 3146 df-rab 3147 df-v 3497 df-sbc 3773 df-csb 3884 df-dif 3939 df-un 3941 df-in 3943 df-ss 3952 df-pss 3954 df-nul 4292 df-if 4468 df-pw 4541 df-sn 4562 df-pr 4564 df-tp 4566 df-op 4568 df-uni 4833 df-int 4870 df-iun 4914 df-iin 4915 df-br 5060 df-opab 5122 df-mpt 5140 df-tr 5166 df-id 5455 df-eprel 5460 df-po 5469 df-so 5470 df-fr 5509 df-se 5510 df-we 5511 df-xp 5556 df-rel 5557 df-cnv 5558 df-co 5559 df-dm 5560 df-rn 5561 df-res 5562 df-ima 5563 df-pred 6143 df-ord 6189 df-on 6190 df-lim 6191 df-suc 6192 df-iota 6309 df-fun 6352 df-fn 6353 df-f 6354 df-f1 6355 df-fo 6356 df-f1o 6357 df-fv 6358 df-isom 6359 df-riota 7108 df-ov 7153 df-oprab 7154 df-mpo 7155 df-of 7403 df-om 7575 df-1st 7683 df-2nd 7684 df-supp 7825 df-wrecs 7941 df-recs 8002 df-rdg 8040 df-1o 8096 df-2o 8097 df-oadd 8100 df-er 8283 df-map 8402 df-pm 8403 df-ixp 8456 df-en 8504 df-dom 8505 df-sdom 8506 df-fin 8507 df-fsupp 8828 df-fi 8869 df-sup 8900 df-inf 8901 df-oi 8968 df-card 9362 df-pnf 10671 df-mnf 10672 df-xr 10673 df-ltxr 10674 df-le 10675 df-sub 10866 df-neg 10867 df-div 11292 df-nn 11633 df-2 11694 df-3 11695 df-4 11696 df-5 11697 df-6 11698 df-7 11699 df-8 11700 df-9 11701 df-n0 11892 df-z 11976 df-dec 12093 df-uz 12238 df-q 12343 df-rp 12384 df-xneg 12501 df-xadd 12502 df-xmul 12503 df-ioo 12736 df-ioc 12737 df-ico 12738 df-icc 12739 df-fz 12887 df-fzo 13028 df-fl 13156 df-seq 13364 df-exp 13424 df-fac 13628 df-bc 13657 df-hash 13685 df-shft 14420 df-cj 14452 df-re 14453 df-im 14454 df-sqrt 14588 df-abs 14589 df-limsup 14822 df-clim 14839 df-rlim 14840 df-sum 15037 df-ef 15415 df-sin 15417 df-cos 15418 df-pi 15420 df-struct 16479 df-ndx 16480 df-slot 16481 df-base 16483 df-sets 16484 df-ress 16485 df-plusg 16572 df-mulr 16573 df-starv 16574 df-sca 16575 df-vsca 16576 df-ip 16577 df-tset 16578 df-ple 16579 df-ds 16581 df-unif 16582 df-hom 16583 df-cco 16584 df-rest 16690 df-topn 16691 df-0g 16709 df-gsum 16710 df-topgen 16711 df-pt 16712 df-prds 16715 df-xrs 16769 df-qtop 16774 df-imas 16775 df-xps 16777 df-mre 16851 df-mrc 16852 df-acs 16854 df-mgm 17846 df-sgrp 17895 df-mnd 17906 df-submnd 17951 df-mulg 18219 df-cntz 18441 df-cmn 18902 df-psmet 20531 df-xmet 20532 df-met 20533 df-bl 20534 df-mopn 20535 df-fbas 20536 df-fg 20537 df-cnfld 20540 df-top 21496 df-topon 21513 df-topsp 21535 df-bases 21548 df-cld 21621 df-ntr 21622 df-cls 21623 df-nei 21700 df-lp 21738 df-perf 21739 df-cn 21829 df-cnp 21830 df-haus 21917 df-tx 22164 df-hmeo 22357 df-fil 22448 df-fm 22540 df-flim 22541 df-flf 22542 df-xms 22924 df-ms 22925 df-tms 22926 df-cncf 23480 df-limc 24458 df-dv 24459

This theorem is referenced by: fourierdlem86 42470 fourierdlem103 42487 fourierdlem104 42488

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