fourierdlem50 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem50 45357

Description: Continuity of 𝑂 and its limits with respect to the 𝑆 partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem50.xre	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem50.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem50.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem50.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem50.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem50.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem50.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem50.ab	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (-π[,]π))
fourierdlem50.q	⊢ 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
fourierdlem50.t	⊢ 𝑇 = ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
fourierdlem50.n	⊢ 𝑁 = ((♯‘𝑇) − 1)
fourierdlem50.s	⊢ 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
fourierdlem50.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^𝑁))
fourierdlem50.u	⊢ 𝑈 = (℩𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem50.ch	⊢ (𝜒 ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem50	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (0..^𝑀) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑈)(,)(𝑄‘(𝑈 + 1)))))

Distinct variable groups: 𝑖,𝐽,𝑘 𝑖,𝑀,𝑘 𝑚,𝑀,𝑝,𝑖 𝑓,𝑁 𝑄,𝑖,𝑘 𝑆,𝑓 𝑆,𝑖,𝑘 𝑇,𝑓 𝑈,𝑖 𝑖,𝑉,𝑘 𝑉,𝑝 𝑖,𝑋,𝑘 𝑚,𝑋,𝑝 𝜑,𝑓 𝜑,𝑖,𝑘 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑚,𝑝) 𝜒(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝) 𝐴(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝) 𝐵(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝) 𝑃(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝) 𝑄(𝑓,𝑚,𝑝) 𝑆(𝑚,𝑝) 𝑇(𝑖,𝑘,𝑚,𝑝) 𝑈(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝) 𝐽(𝑓,𝑚,𝑝) 𝑀(𝑓) 𝑁(𝑖,𝑘,𝑚,𝑝) 𝑉(𝑓,𝑚) 𝑋(𝑓)

Proof of Theorem fourierdlem50 Dummy variables 𝑥 ℎ 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem50.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (℩𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
2		fourierdlem50.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		fourierdlem50.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		fourierdlem50.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		fourierdlem50.altb	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
6	3, 4, 5	ltled 11359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		fourierdlem50.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
8		fourierdlem50.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
9	7, 2, 8	fourierdlem15 45323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0...𝑀)⟶((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
10		pire 26310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ π ∈ ℝ
11	10	renegcli 11518	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -π ∈ ℝ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ)
13		fourierdlem50.xre	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
14	12, 13	readdcld 11240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
15	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
16	15, 13	readdcld 11240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
17	14, 16	iccssred 13408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ)
18	9, 17	fssd 6725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
19	18	ffvelcdmda 7076	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑉‘𝑖) ∈ ℝ)
20	13	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
21	19, 20	resubcld 11639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
22		fourierdlem50.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
23	21, 22	fmptd 7105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
24	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋)))
25		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑉‘𝑖) = (𝑉‘0))
26	25	oveq1d 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘0) − 𝑋))
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘0) − 𝑋))
28		nnssnn0 12472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ ⊆ ℕ₀
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ℕ ⊆ ℕ₀)
30		nn0uz 12861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
31	29, 30	sseqtrdi 4024	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℕ ⊆ (ℤ_≥‘0))
32	31, 2	sseldd 3975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘0))
33		eluzfz1 13505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
35	18, 34	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘0) ∈ ℝ)
36	35, 13	resubcld 11639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘0) − 𝑋) ∈ ℝ)
37	24, 27, 34, 36	fvmptd 6995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = ((𝑉‘0) − 𝑋))
38	7	fourierdlem2 45310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
39	2, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
40	8, 39	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ (ℝ ↑_m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
41	40	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))
42	41	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (π + 𝑋)))
43	42	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘0) = (-π + 𝑋))
44	43	oveq1d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘0) − 𝑋) = ((-π + 𝑋) − 𝑋))
45	12	recnd 11239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℂ)
46	13	recnd 11239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
47	45, 46	pncand 11569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((-π + 𝑋) − 𝑋) = -π)
48	37, 44, 47	3eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = -π)
49	12	rexrd 11261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ^*)
50	15	rexrd 11261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ^*)
51		fourierdlem50.ab	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (-π[,]π))
52	3	leidd 11777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
53	3, 4, 3, 52, 6	eliccd 44702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
54	51, 53	sseldd 3975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
55		iccgelb 13377	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ π ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ 𝐴)
56	49, 50, 54, 55	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -π ≤ 𝐴)
57	48, 56	eqbrtrd 5160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
58	4	leidd 11777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐵)
59	3, 4, 4, 6, 58	eliccd 44702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
60	51, 59	sseldd 3975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (-π[,]π))
61		iccleub 13376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-π ∈ ℝ^* ∧ π ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ (-π[,]π)) → 𝐵 ≤ π)
62	49, 50, 60, 61	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ π)
63		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑉‘𝑖) = (𝑉‘𝑀))
64	63	oveq1d 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘𝑀) − 𝑋))
65	64	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝑀) → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘𝑀) − 𝑋))
66		eluzfz2 13506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘0) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
67	32, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
68	18, 67	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑀) ∈ ℝ)
69	68, 13	resubcld 11639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝑀) − 𝑋) ∈ ℝ)
70	24, 65, 67, 69	fvmptd 6995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = ((𝑉‘𝑀) − 𝑋))
71	42	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑀) = (π + 𝑋))
72	71	oveq1d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝑀) − 𝑋) = ((π + 𝑋) − 𝑋))
73	15	recnd 11239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
74	73, 46	pncand 11569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((π + 𝑋) − 𝑋) = π)
75	70, 72, 74	3eqtrrd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → π = (𝑄‘𝑀))
76	62, 75	breqtrd 5164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝑄‘𝑀))
77		fourierdlem50.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^𝑁))
78		fourierdlem50.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
79		prfi 9318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
81		fzfid 13935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
82	22	rnmptfi 44355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0...𝑀) ∈ Fin → ran 𝑄 ∈ Fin)
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ran 𝑄 ∈ Fin)
84		infi 9264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran 𝑄 ∈ Fin → (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ Fin)
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ Fin)
86		unfi 9168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ∈ Fin) → ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ∈ Fin)
87	80, 85, 86	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ∈ Fin)
88	78, 87	eqeltrid 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Fin)
89	3, 4	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
90		prssg 4814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ))
91	3, 4, 90	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ))
92	89, 91	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
93		inss2 4221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
94		ioossre 13382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
95	93, 94	sstri 3983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ ℝ
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ ℝ)
97	92, 96	unssd 4178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ ℝ)
98	78, 97	eqsstrid 4022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ℝ)
99		fourierdlem50.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
100		fourierdlem50.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = ((♯‘𝑇) − 1)
101	88, 98, 99, 100	fourierdlem36 45344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
102		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ sup({𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑥) ≤ (𝑆‘𝐽)}, ℝ, < ) = sup({𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑥) ≤ (𝑆‘𝐽)}, ℝ, < )
103	2, 3, 4, 6, 23, 57, 76, 77, 78, 101, 102	fourierdlem20 45328	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
104		fourierdlem50.ch	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))))
105	104	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))))
106		simp-4l 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))) → 𝜑)
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → 𝜑)
108		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀))
109	105, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → 𝑘 ∈ (0..^𝑀))
110	107, 109	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
111		simp-4r 781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
112	105, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
113		elfzofz 13645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑀) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
114	113	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
115	105, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
116	107, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜒 → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
117	116, 115	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘𝑘) ∈ ℝ)
118	107, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈ ℝ)
119	117, 118	resubcld 11639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → ((𝑉‘𝑘) − 𝑋) ∈ ℝ)
120		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑉‘𝑖) = (𝑉‘𝑘))
121	120	oveq1d 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘𝑘) − 𝑋))
122	121, 22	fvmptg 6986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉‘𝑘) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑄‘𝑘) = ((𝑉‘𝑘) − 𝑋))
123	115, 119, 122	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑘) = ((𝑉‘𝑘) − 𝑋))
124	123, 119	eqeltrd 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑘) ∈ ℝ)
125	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
126		fzofzp1 13726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
127	126	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
128	125, 127	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
129	107, 112, 128	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
130		isof1o 7312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) → 𝑆:(0...𝑁)–1-1-onto→𝑇)
131	101, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑆:(0...𝑁)–1-1-onto→𝑇)
132		f1of 6823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑆:(0...𝑁)–1-1-onto→𝑇 → 𝑆:(0...𝑁)⟶𝑇)
133	131, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑆:(0...𝑁)⟶𝑇)
134		fzofzp1 13726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
135	77, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
136	133, 135	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ 𝑇)
137	98, 136	sseldd 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
138	107, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
139		elfzofz 13645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
140	77, 139	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
141	133, 140	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐽) ∈ 𝑇)
142	98, 141	sseldd 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐽) ∈ ℝ)
143	107, 142	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → (𝑆‘𝐽) ∈ ℝ)
144	105	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜒 → ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))))
145	124	rexrd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑘) ∈ ℝ^*)
146	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
147		fzofzp1 13726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑀) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑀))
148	147	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑀))
149	146, 148	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
150	149	rexrd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ^*)
151	110, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ^*)
152	143	rexrd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜒 → (𝑆‘𝐽) ∈ ℝ^*)
153	138	rexrd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜒 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ^*)
154		elfzoelz 13629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
155	154	zred 12663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
156	155	ltp1d 12141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 < (𝐽 + 1))
157	77, 156	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐽 < (𝐽 + 1))
158		isoeq5 7310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑇 = ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ↔ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵))))))
159	78, 158	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ↔ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)))))
160	101, 159	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)))))
161		isorel 7315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)))) ∧ (𝐽 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))) → (𝐽 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆‘𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
162	160, 140, 135, 161	syl12anc 834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (𝐽 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆‘𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
163	157, 162	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
164	107, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜒 → (𝑆‘𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
165	145, 151, 152, 153, 164	ioossioobi 44715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜒 → (((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))) ↔ ((𝑄‘𝑘) ≤ (𝑆‘𝐽) ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑘 + 1)))))
166	144, 165	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → ((𝑄‘𝑘) ≤ (𝑆‘𝐽) ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑘 + 1))))
167	166	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑘) ≤ (𝑆‘𝐽))
168	124, 143, 138, 167, 164	lelttrd 11369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑘) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
169		elfzofz 13645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
170	169	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
171	170	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
172	105, 171	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜒 → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
173	107, 172, 21	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜒 → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
174	22	fvmpt2 6999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑄‘𝑖) = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
175	172, 173, 174	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) = ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
176	175, 173	eqeltrd 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
177		simpllr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
178	105, 177	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
179	176, 129, 143, 138, 164, 178	fourierdlem10 45318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → ((𝑄‘𝑖) ≤ (𝑆‘𝐽) ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
180	179	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
181	124, 138, 129, 168, 180	ltletrd 11371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑘) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
182	124, 129, 118, 181	ltadd2dd 11370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (𝑋 + (𝑄‘𝑘)) < (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))))
183	123	oveq2d 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑋 + (𝑄‘𝑘)) = (𝑋 + ((𝑉‘𝑘) − 𝑋)))
184	107, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈ ℂ)
185	117	recnd 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘𝑘) ∈ ℂ)
186	184, 185	pncan3d 11571	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑋 + ((𝑉‘𝑘) − 𝑋)) = (𝑉‘𝑘))
187	183, 186	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘𝑘) = (𝑋 + (𝑄‘𝑘)))
188	112, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
189	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
190	189, 127	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
191	107, 112, 190	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
192	191, 118	resubcld 11639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜒 → ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
193	188, 192	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ))
194		eleq1 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀)))
195		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑉‘𝑘) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
196	195	oveq1d 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑉‘𝑘) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
197	196	eleq1d 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (((𝑉‘𝑘) − 𝑋) ∈ ℝ ↔ ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ))
198	194, 197	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑘 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉‘𝑘) − 𝑋) ∈ ℝ) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)))
199		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
200	199, 196	eqeq12d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑄‘𝑘) = ((𝑉‘𝑘) − 𝑋) ↔ (𝑄‘(𝑖 + 1)) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)))
201	198, 200	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (((𝑘 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉‘𝑘) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑄‘𝑘) = ((𝑉‘𝑘) − 𝑋)) ↔ (((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))))
202	201, 122	vtoclg 3535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) → (((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)))
203	188, 193, 202	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
204	203	oveq2d 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))) = (𝑋 + ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)))
205	191	recnd 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
206	184, 205	pncan3d 11571	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑋 + ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
207	204, 206	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘(𝑖 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))))
208	182, 187, 207	3brtr4d 5170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘𝑘) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))
209		eleq1w 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑙 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
210	209	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))))
211		oveq1 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑙 + 1) = (𝑖 + 1))
212	211	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑉‘(𝑙 + 1)) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
213	212	breq2d 5150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → ((𝑉‘𝑘) < (𝑉‘(𝑙 + 1)) ↔ (𝑉‘𝑘) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))
214	210, 213	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑘) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑘) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
215		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑉‘𝑙) = (𝑉‘𝑖))
216	215	breq2d 5150	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → ((𝑉‘𝑘) ≤ (𝑉‘𝑙) ↔ (𝑉‘𝑘) ≤ (𝑉‘𝑖)))
217	214, 216	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑘) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → (𝑉‘𝑘) ≤ (𝑉‘𝑙)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑘) < (𝑉‘(𝑖 + 1))) → (𝑉‘𝑘) ≤ (𝑉‘𝑖))))
218		eleq1w 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℎ = 𝑘 → (ℎ ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
219	218	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = 𝑘 → ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀))))
220	219	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = 𝑘 → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀))))
221		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = 𝑘 → (𝑉‘ℎ) = (𝑉‘𝑘))
222	221	breq1d 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = 𝑘 → ((𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1)) ↔ (𝑉‘𝑘) < (𝑉‘(𝑙 + 1))))
223	220, 222	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℎ = 𝑘 → ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑘) < (𝑉‘(𝑙 + 1)))))
224	221	breq1d 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℎ = 𝑘 → ((𝑉‘ℎ) ≤ (𝑉‘𝑙) ↔ (𝑉‘𝑘) ≤ (𝑉‘𝑙)))
225	223, 224	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ = 𝑘 → (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → (𝑉‘ℎ) ≤ (𝑉‘𝑙)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑘) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → (𝑉‘𝑘) ≤ (𝑉‘𝑙))))
226		elfzoelz 13629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ ∈ (0..^𝑀) → ℎ ∈ ℤ)
227	226	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → ℎ ∈ ℤ)
228		elfzoelz 13629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 ∈ (0..^𝑀) → 𝑙 ∈ ℤ)
229	228	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → 𝑙 ∈ ℤ)
230		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ∧ ¬ ℎ < (𝑙 + 1)) → (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1)))
231	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
232		fzofzp1 13726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑙 ∈ (0..^𝑀) → (𝑙 + 1) ∈ (0...𝑀))
233	232	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑙 + 1) ∈ (0...𝑀))
234	231, 233	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑙 + 1)) ∈ ℝ)
235	234	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑙 + 1)) ∈ ℝ)
236	235	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ ℎ < (𝑙 + 1)) → (𝑉‘(𝑙 + 1)) ∈ ℝ)
237	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
238		elfzofz 13645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (ℎ ∈ (0..^𝑀) → ℎ ∈ (0...𝑀))
239	238	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) → ℎ ∈ (0...𝑀))
240	237, 239	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘ℎ) ∈ ℝ)
241	240	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ ℎ < (𝑙 + 1)) → (𝑉‘ℎ) ∈ ℝ)
242	228	zred 12663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑙 ∈ (0..^𝑀) → 𝑙 ∈ ℝ)
243		peano2re 11384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑙 ∈ ℝ → (𝑙 + 1) ∈ ℝ)
244	242, 243	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑙 ∈ (0..^𝑀) → (𝑙 + 1) ∈ ℝ)
245	244	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ ℎ < (𝑙 + 1)) → (𝑙 + 1) ∈ ℝ)
246	226	zred 12663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (ℎ ∈ (0..^𝑀) → ℎ ∈ ℝ)
247	246	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ ℎ < (𝑙 + 1)) → ℎ ∈ ℝ)
248		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ ℎ < (𝑙 + 1)) → ¬ ℎ < (𝑙 + 1))
249	245, 247, 248	nltled 11361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ ℎ < (𝑙 + 1)) → (𝑙 + 1) ≤ ℎ)
250	228	peano2zd 12666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑙 ∈ (0..^𝑀) → (𝑙 + 1) ∈ ℤ)
251	250	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑙 + 1) ≤ ℎ) → (𝑙 + 1) ∈ ℤ)
252	226	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑙 + 1) ≤ ℎ) → ℎ ∈ ℤ)
253		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑙 + 1) ≤ ℎ) → (𝑙 + 1) ≤ ℎ)
254		eluz2 12825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (ℎ ∈ (ℤ_≥‘(𝑙 + 1)) ↔ ((𝑙 + 1) ∈ ℤ ∧ ℎ ∈ ℤ ∧ (𝑙 + 1) ≤ ℎ))
255	251, 252, 253, 254	syl3anbrc 1340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑙 + 1) ≤ ℎ) → ℎ ∈ (ℤ_≥‘(𝑙 + 1)))
256	255	adantlll 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑙 + 1) ≤ ℎ) → ℎ ∈ (ℤ_≥‘(𝑙 + 1)))
257		simplll 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝜑)
258		0zd 12567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 0 ∈ ℤ)
259		elfzoel2 13628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (ℎ ∈ (0..^𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
260	259	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
261		elfzelz 13498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ) → 𝑖 ∈ ℤ)
262	261	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑖 ∈ ℤ)
263		0red 11214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 0 ∈ ℝ)
264	261	zred 12663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ) → 𝑖 ∈ ℝ)
265	264	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑖 ∈ ℝ)
266	242	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑙 ∈ ℝ)
267		elfzole1 13637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑙 ∈ (0..^𝑀) → 0 ≤ 𝑙)
268	267	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 0 ≤ 𝑙)
269	266, 243	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → (𝑙 + 1) ∈ ℝ)
270	266	ltp1d 12141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑙 < (𝑙 + 1))
271		elfzle1 13501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ) → (𝑙 + 1) ≤ 𝑖)
272	271	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → (𝑙 + 1) ≤ 𝑖)
273	266, 269, 265, 270, 272	ltletrd 11371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑙 < 𝑖)
274	263, 266, 265, 268, 273	lelttrd 11369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 0 < 𝑖)
275	263, 265, 274	ltled 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 0 ≤ 𝑖)
276	275	adantll 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 0 ≤ 𝑖)
277	264	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑖 ∈ ℝ)
278	259	zred 12663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (ℎ ∈ (0..^𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
279	278	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
280	246	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → ℎ ∈ ℝ)
281		elfzle2 13502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ) → 𝑖 ≤ ℎ)
282	281	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑖 ≤ ℎ)
283		elfzolt2 13638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (ℎ ∈ (0..^𝑀) → ℎ < 𝑀)
284	283	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → ℎ < 𝑀)
285	277, 280, 279, 282, 284	lelttrd 11369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑖 < 𝑀)
286	277, 279, 285	ltled 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑖 ≤ 𝑀)
287	286	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑖 ≤ 𝑀)
288	258, 260, 262, 276, 287	elfzd 13489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
289	288	adantlll 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
290	257, 289, 19	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → (𝑉‘𝑖) ∈ ℝ)
291	290	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑙 + 1) ≤ ℎ) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...ℎ)) → (𝑉‘𝑖) ∈ ℝ)
292		simplll 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝜑)
293		0zd 12567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 0 ∈ ℤ)
294		elfzelz 13498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
295	294	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
296		0red 11214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 0 ∈ ℝ)
297	295	zred 12663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
298	242	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑙 ∈ ℝ)
299	267	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 0 ≤ 𝑙)
300	298, 243	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → (𝑙 + 1) ∈ ℝ)
301	298	ltp1d 12141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑙 < (𝑙 + 1))
302		elfzle1 13501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1)) → (𝑙 + 1) ≤ 𝑖)
303	302	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → (𝑙 + 1) ≤ 𝑖)
304	298, 300, 297, 301, 303	ltletrd 11371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑙 < 𝑖)
305	296, 298, 297, 299, 304	lelttrd 11369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 0 < 𝑖)
306	296, 297, 305	ltled 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 0 ≤ 𝑖)
307		eluz2 12825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ_≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑖))
308	293, 295, 306, 307	syl3anbrc 1340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘0))
309	308	adantll 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘0))
310		elfzoel2 13628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑙 ∈ (0..^𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
311	310	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
312	294	zred 12663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1)) → 𝑖 ∈ ℝ)
313	312	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
314		peano2rem 11524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (ℎ ∈ ℝ → (ℎ − 1) ∈ ℝ)
315	246, 314	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (ℎ ∈ (0..^𝑀) → (ℎ − 1) ∈ ℝ)
316	315	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → (ℎ − 1) ∈ ℝ)
317	278	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
318		elfzle2 13502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1)) → 𝑖 ≤ (ℎ − 1))
319	318	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑖 ≤ (ℎ − 1))
320	246	ltm1d 12143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (ℎ ∈ (0..^𝑀) → (ℎ − 1) < ℎ)
321	315, 246, 278, 320, 283	lttrd 11372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (ℎ ∈ (0..^𝑀) → (ℎ − 1) < 𝑀)
322	321	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → (ℎ − 1) < 𝑀)
323	313, 316, 317, 319, 322	lelttrd 11369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑖 < 𝑀)
324	323	adantll 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑖 < 𝑀)
325	324	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑖 < 𝑀)
326		elfzo2 13632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑖 ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀))
327	309, 311, 325, 326	syl3anbrc 1340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
328	169, 19	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘𝑖) ∈ ℝ)
329	41	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))
330	329	r19.21bi 3240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))
331	328, 190, 330	ltled 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘(𝑖 + 1)))
332	292, 327, 331	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘(𝑖 + 1)))
333	332	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑙 + 1) ≤ ℎ) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑙 + 1)...(ℎ − 1))) → (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘(𝑖 + 1)))
334	256, 291, 333	monoord 13995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑙 + 1) ≤ ℎ) → (𝑉‘(𝑙 + 1)) ≤ (𝑉‘ℎ))
335	249, 334	syldan 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ ℎ < (𝑙 + 1)) → (𝑉‘(𝑙 + 1)) ≤ (𝑉‘ℎ))
336	236, 241, 335	lensymd 11362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ ℎ < (𝑙 + 1)) → ¬ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1)))
337	336	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ∧ ¬ ℎ < (𝑙 + 1)) → ¬ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1)))
338	230, 337	condan 815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → ℎ < (𝑙 + 1))
339		zleltp1 12610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((ℎ ∈ ℤ ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → (ℎ ≤ 𝑙 ↔ ℎ < (𝑙 + 1)))
340	227, 229, 339	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → (ℎ ≤ 𝑙 ↔ ℎ < (𝑙 + 1)))
341	338, 340	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → ℎ ≤ 𝑙)
342		eluz2 12825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 ∈ (ℤ_≥‘ℎ) ↔ (ℎ ∈ ℤ ∧ 𝑙 ∈ ℤ ∧ ℎ ≤ 𝑙))
343	227, 229, 341, 342	syl3anbrc 1340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → 𝑙 ∈ (ℤ_≥‘ℎ))
344	18	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
345		0zd 12567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 0 ∈ ℤ)
346	259	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑀 ∈ ℤ)
347		elfzelz 13498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 ∈ (ℎ...𝑙) → 𝑖 ∈ ℤ)
348	347	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑖 ∈ ℤ)
349		0red 11214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 0 ∈ ℝ)
350	246	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → ℎ ∈ ℝ)
351	347	zred 12663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 ∈ (ℎ...𝑙) → 𝑖 ∈ ℝ)
352	351	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑖 ∈ ℝ)
353		elfzole1 13637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (ℎ ∈ (0..^𝑀) → 0 ≤ ℎ)
354	353	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 0 ≤ ℎ)
355		elfzle1 13501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 ∈ (ℎ...𝑙) → ℎ ≤ 𝑖)
356	355	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → ℎ ≤ 𝑖)
357	349, 350, 352, 354, 356	letrd 11368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 0 ≤ 𝑖)
358	357	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 0 ≤ 𝑖)
359	351	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑖 ∈ ℝ)
360	310	zred 12663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑙 ∈ (0..^𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
361	360	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑀 ∈ ℝ)
362	242	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑙 ∈ ℝ)
363		elfzle2 13502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑖 ∈ (ℎ...𝑙) → 𝑖 ≤ 𝑙)
364	363	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑖 ≤ 𝑙)
365		elfzolt2 13638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑙 ∈ (0..^𝑀) → 𝑙 < 𝑀)
366	365	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑙 < 𝑀)
367	359, 362, 361, 364, 366	lelttrd 11369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑖 < 𝑀)
368	359, 361, 367	ltled 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑖 ≤ 𝑀)
369	368	adantll 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑖 ≤ 𝑀)
370	345, 346, 348, 358, 369	elfzd 13489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
371	370	adantlll 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
372	344, 371	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → (𝑉‘𝑖) ∈ ℝ)
373	372	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...𝑙)) → (𝑉‘𝑖) ∈ ℝ)
374		simp-4l 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝜑)
375		0zd 12567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 0 ∈ ℤ)
376		elfzelz 13498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
377	376	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
378		0red 11214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 0 ∈ ℝ)
379	246	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → ℎ ∈ ℝ)
380	377	zred 12663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
381	353	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 0 ≤ ℎ)
382		elfzle1 13501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1)) → ℎ ≤ 𝑖)
383	382	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → ℎ ≤ 𝑖)
384	378, 379, 380, 381, 383	letrd 11368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 0 ≤ 𝑖)
385	375, 377, 384, 307	syl3anbrc 1340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((ℎ ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘0))
386	385	adantll 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘0))
387	386	ad4ant14 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘0))
388	310	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
389	376	zred 12663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1)) → 𝑖 ∈ ℝ)
390	389	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
391	242	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑙 ∈ ℝ)
392	360	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
393		elfzle2 13502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1)) → 𝑖 ≤ (𝑙 − 1))
394	393	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑖 ≤ (𝑙 − 1))
395		zltlem1 12612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → (𝑖 < 𝑙 ↔ 𝑖 ≤ (𝑙 − 1)))
396	376, 228, 395	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → (𝑖 < 𝑙 ↔ 𝑖 ≤ (𝑙 − 1)))
397	394, 396	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑖 < 𝑙)
398	365	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑙 < 𝑀)
399	390, 391, 392, 397, 398	lttrd 11372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑙 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑖 < 𝑀)
400	399	adantll 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑖 < 𝑀)
401	400	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑖 < 𝑀)
402	387, 388, 401, 326	syl3anbrc 1340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
403	374, 402, 331	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (ℎ...(𝑙 − 1))) → (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘(𝑖 + 1)))
404	343, 373, 403	monoord 13995	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → (𝑉‘ℎ) ≤ (𝑉‘𝑙))
405	225, 404	chvarvv 1994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑘) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → (𝑉‘𝑘) ≤ (𝑉‘𝑙))
406	217, 405	chvarvv 1994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑘) < (𝑉‘(𝑖 + 1))) → (𝑉‘𝑘) ≤ (𝑉‘𝑖))
407	110, 112, 208, 406	syl21anc 835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘𝑘) ≤ (𝑉‘𝑖))
408	107, 112	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
409	110, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
410	179	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑆‘𝐽))
411	176, 143, 138, 410, 164	lelttrd 11369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
412	166	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑘 + 1)))
413	176, 138, 409, 411, 412	ltletrd 11371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑘 + 1)))
414	176, 409, 118, 413	ltadd2dd 11370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (𝑋 + (𝑄‘𝑖)) < (𝑋 + (𝑄‘(𝑘 + 1))))
415	175	oveq2d 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑋 + (𝑄‘𝑖)) = (𝑋 + ((𝑉‘𝑖) − 𝑋)))
416	107, 172, 19	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘𝑖) ∈ ℝ)
417	416	recnd 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘𝑖) ∈ ℂ)
418	184, 417	pncan3d 11571	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑋 + ((𝑉‘𝑖) − 𝑋)) = (𝑉‘𝑖))
419	415, 418	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘𝑖) = (𝑋 + (𝑄‘𝑖)))
420	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋)))
421		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑉‘𝑖) = (𝑉‘(𝑘 + 1)))
422	421	oveq1d 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑘 + 1)) − 𝑋))
423	422	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑖 = (𝑘 + 1)) → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑘 + 1)) − 𝑋))
424	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
425	424, 148	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
426	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
427	425, 426	resubcld 11639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉‘(𝑘 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
428	420, 423, 148, 427	fvmptd 6995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑘 + 1)) = ((𝑉‘(𝑘 + 1)) − 𝑋))
429	107, 109, 428	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑄‘(𝑘 + 1)) = ((𝑉‘(𝑘 + 1)) − 𝑋))
430	429	oveq2d 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑋 + (𝑄‘(𝑘 + 1))) = (𝑋 + ((𝑉‘(𝑘 + 1)) − 𝑋)))
431	110, 425	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
432	431	recnd 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
433	184, 432	pncan3d 11571	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → (𝑋 + ((𝑉‘(𝑘 + 1)) − 𝑋)) = (𝑉‘(𝑘 + 1)))
434	430, 433	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘(𝑘 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝑘 + 1))))
435	414, 419, 434	3brtr4d 5170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑘 + 1)))
436		eleq1w 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑙 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
437	436	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀))))
438		oveq1 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑙 + 1) = (𝑘 + 1))
439	438	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑉‘(𝑙 + 1)) = (𝑉‘(𝑘 + 1)))
440	439	breq2d 5150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑙 + 1)) ↔ (𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑘 + 1))))
441	437, 440	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑘 + 1)))))
442		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑉‘𝑙) = (𝑉‘𝑘))
443	442	breq2d 5150	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘𝑙) ↔ (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘𝑘)))
444	441, 443	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘𝑙)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑘 + 1))) → (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘𝑘))))
445		eleq1w 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (ℎ ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
446	445	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = 𝑖 → ((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))))
447	446	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀))))
448		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (𝑉‘ℎ) = (𝑉‘𝑖))
449	448	breq1d 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = 𝑖 → ((𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1)) ↔ (𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑙 + 1))))
450	447, 449	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℎ = 𝑖 → ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑙 + 1)))))
451	448	breq1d 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℎ = 𝑖 → ((𝑉‘ℎ) ≤ (𝑉‘𝑙) ↔ (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘𝑙)))
452	450, 451	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘ℎ) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → (𝑉‘ℎ) ≤ (𝑉‘𝑙)) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘𝑙))))
453	452, 404	chvarvv 1994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑙 + 1))) → (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘𝑙))
454	444, 453	chvarvv 1994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑘 + 1))) → (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘𝑘))
455	408, 109, 435, 454	syl21anc 835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘𝑘))
456	117, 416	letri3d 11353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → ((𝑉‘𝑘) = (𝑉‘𝑖) ↔ ((𝑉‘𝑘) ≤ (𝑉‘𝑖) ∧ (𝑉‘𝑖) ≤ (𝑉‘𝑘))))
457	407, 455, 456	mpbir2and 710	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (𝑉‘𝑘) = (𝑉‘𝑖))
458	7, 2, 8	fourierdlem34 45342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0...𝑀)–1-1→ℝ)
459	107, 458	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 𝑉:(0...𝑀)–1-1→ℝ)
460		f1fveq 7253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑉:(0...𝑀)–1-1→ℝ ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀))) → ((𝑉‘𝑘) = (𝑉‘𝑖) ↔ 𝑘 = 𝑖))
461	459, 115, 172, 460	syl12anc 834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → ((𝑉‘𝑘) = (𝑉‘𝑖) ↔ 𝑘 = 𝑖))
462	457, 461	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → 𝑘 = 𝑖)
463	104, 462	sylbir 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))) → 𝑘 = 𝑖)
464	463	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))) → 𝑘 = 𝑖))
465		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
466		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘𝑖))
467		oveq1 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 + 1) = (𝑖 + 1))
468	467	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
469	466, 468	oveq12d 7419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))) = ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
470	469	eqcomd 2730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))))
471	470	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))))
472	465, 471	sseqtrd 4014	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))))
473	472	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑘 = 𝑖 → ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))))
474	473	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑘 = 𝑖 → ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))))
475	464, 474	impbid 211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))) ↔ 𝑘 = 𝑖))
476	475	ralrimiva 3138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑀)(((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))) ↔ 𝑘 = 𝑖))
477	476	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑀)(((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))) ↔ 𝑘 = 𝑖)))
478	477	reximdva 3160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∀𝑘 ∈ (0..^𝑀)(((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))) ↔ 𝑘 = 𝑖)))
479	103, 478	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∀𝑘 ∈ (0..^𝑀)(((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))) ↔ 𝑘 = 𝑖))
480		reu6 3714	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑘 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∀𝑘 ∈ (0..^𝑀)(((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))) ↔ 𝑘 = 𝑖))
481	479, 480	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑘 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))))
482		fveq2 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘𝑘))
483		oveq1 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 + 1) = (𝑘 + 1))
484	483	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑘 + 1)))
485	482, 484	oveq12d 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))))
486	485	sseq2d 4006	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1)))))
487	486	cbvreuvw 3392	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ∃!𝑘 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑘)(,)(𝑄‘(𝑘 + 1))))
488	481, 487	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
489		riotacl 7375	. . . 4 ⊢ (∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (℩𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (0..^𝑀))
490	488, 489	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (0..^𝑀))
491	1, 490	eqeltrid 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (0..^𝑀))
492	1	eqcomi 2733	. . . 4 ⊢ (℩𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = 𝑈
493	492	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = 𝑈)
494		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑈 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘𝑈))
495		oveq1 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑈 → (𝑖 + 1) = (𝑈 + 1))
496	495	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑈 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑈 + 1)))
497	494, 496	oveq12d 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑈 → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘𝑈)(,)(𝑄‘(𝑈 + 1))))
498	497	sseq2d 4006	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑈 → (((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑈)(,)(𝑄‘(𝑈 + 1)))))
499	498	riota2 7383	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (0..^𝑀) ∧ ∃!𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑈)(,)(𝑄‘(𝑈 + 1))) ↔ (℩𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = 𝑈))
500	491, 488, 499	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑈)(,)(𝑄‘(𝑈 + 1))) ↔ (℩𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = 𝑈))
501	493, 500	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑈)(,)(𝑄‘(𝑈 + 1))))
502	491, 501	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (0..^𝑀) ∧ ((𝑆‘𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑈)(,)(𝑄‘(𝑈 + 1)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ∀wral 3053 ∃wrex 3062 ∃!wreu 3366 {crab 3424 ∪ cun 3938 ∩ cin 3939 ⊆ wss 3940 {cpr 4622 class class class wbr 5138 ↦ cmpt 5221 ran crn 5667 ℩cio 6483 ⟶wf 6529 –1-1→wf1 6530 –1-1-onto→wf1o 6532 ‘cfv 6533 Isom wiso 6534 ℩crio 7356 (class class class)co 7401 ↑_m cmap 8816 Fincfn 8935 supcsup 9431 ℂcc 11104 ℝcr 11105 0cc0 11106 1c1 11107 + caddc 11109 ℝ^*cxr 11244 < clt 11245 ≤ cle 11246 − cmin 11441 -cneg 11442 ℕcn 12209 ℕ₀cn0 12469 ℤcz 12555 ℤ_≥cuz 12819 (,)cioo 13321 [,]cicc 13324 ...cfz 13481 ..^cfzo 13624 ♯chash 14287 πcpi 16007

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5275 ax-sep 5289 ax-nul 5296 ax-pow 5353 ax-pr 5417 ax-un 7718 ax-inf2 9632 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184 ax-addf 11185

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-pss 3959 df-nul 4315 df-if 4521 df-pw 4596 df-sn 4621 df-pr 4623 df-tp 4625 df-op 4627 df-uni 4900 df-int 4941 df-iun 4989 df-iin 4990 df-br 5139 df-opab 5201 df-mpt 5222 df-tr 5256 df-id 5564 df-eprel 5570 df-po 5578 df-so 5579 df-fr 5621 df-se 5622 df-we 5623 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-pred 6290 df-ord 6357 df-on 6358 df-lim 6359 df-suc 6360 df-iota 6485 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-isom 6542 df-riota 7357 df-ov 7404 df-oprab 7405 df-mpo 7406 df-of 7663 df-om 7849 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-supp 8141 df-frecs 8261 df-wrecs 8292 df-recs 8366 df-rdg 8405 df-1o 8461 df-2o 8462 df-er 8699 df-map 8818 df-pm 8819 df-ixp 8888 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-fsupp 9358 df-fi 9402 df-sup 9433 df-inf 9434 df-oi 9501 df-card 9930 df-pnf 11247 df-mnf 11248 df-xr 11249 df-ltxr 11250 df-le 11251 df-sub 11443 df-neg 11444 df-div 11869 df-nn 12210 df-2 12272 df-3 12273 df-4 12274 df-5 12275 df-6 12276 df-7 12277 df-8 12278 df-9 12279 df-n0 12470 df-z 12556 df-dec 12675 df-uz 12820 df-q 12930 df-rp 12972 df-xneg 13089 df-xadd 13090 df-xmul 13091 df-ioo 13325 df-ioc 13326 df-ico 13327 df-icc 13328 df-fz 13482 df-fzo 13625 df-fl 13754 df-seq 13964 df-exp 14025 df-fac 14231 df-bc 14260 df-hash 14288 df-shft 15011 df-cj 15043 df-re 15044 df-im 15045 df-sqrt 15179 df-abs 15180 df-limsup 15412 df-clim 15429 df-rlim 15430 df-sum 15630 df-ef 16008 df-sin 16010 df-cos 16011 df-pi 16013 df-struct 17079 df-sets 17096 df-slot 17114 df-ndx 17126 df-base 17144 df-ress 17173 df-plusg 17209 df-mulr 17210 df-starv 17211 df-sca 17212 df-vsca 17213 df-ip 17214 df-tset 17215 df-ple 17216 df-ds 17218 df-unif 17219 df-hom 17220 df-cco 17221 df-rest 17367 df-topn 17368 df-0g 17386 df-gsum 17387 df-topgen 17388 df-pt 17389 df-prds 17392 df-xrs 17447 df-qtop 17452 df-imas 17453 df-xps 17455 df-mre 17529 df-mrc 17530 df-acs 17532 df-mgm 18563 df-sgrp 18642 df-mnd 18658 df-submnd 18704 df-mulg 18986 df-cntz 19223 df-cmn 19692 df-psmet 21220 df-xmet 21221 df-met 21222 df-bl 21223 df-mopn 21224 df-fbas 21225 df-fg 21226 df-cnfld 21229 df-top 22718 df-topon 22735 df-topsp 22757 df-bases 22771 df-cld 22845 df-ntr 22846 df-cls 22847 df-nei 22924 df-lp 22962 df-perf 22963 df-cn 23053 df-cnp 23054 df-haus 23141 df-tx 23388 df-hmeo 23581 df-fil 23672 df-fm 23764 df-flim 23765 df-flf 23766 df-xms 24148 df-ms 24149 df-tms 24150 df-cncf 24720 df-limc 25717 df-dv 25718

This theorem is referenced by: fourierdlem86 45393 fourierdlem103 45410 fourierdlem104 45411

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