Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt28 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt28 40650
Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt28.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt28.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt28.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt28.4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt28.5 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt28.6 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt28.7 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
metakunt28.8 (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)
Assertion
Ref Expression
metakunt28 (𝜑 → (𝐵‘(𝐴𝑋)) = (𝑋𝐼))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐼   𝑥,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝑧,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑧)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt28
StepHypRef Expression
1 metakunt28.5 . . . . 5 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3 metakunt28.7 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
43adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
5 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
65eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 = 𝐼𝑋 = 𝐼))
76notbid 318 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (¬ 𝑥 = 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼))
84, 7mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 = 𝐼)
98iffalsed 4498 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))
10 metakunt28.8 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)
1110adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑋 < 𝐼)
125breq1d 5116 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 < 𝐼𝑋 < 𝐼))
1312notbid 318 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (¬ 𝑥 < 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
1411, 13mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 < 𝐼)
1514iffalsed 4498 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = (𝑥 − 1))
165oveq1d 7373 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 − 1) = (𝑋 − 1))
1715, 16eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = (𝑋 − 1))
189, 17eqtrd 2773 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = (𝑋 − 1))
19 metakunt28.4 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
2019elfzelzd 13448 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
21 1zzd 12539 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2220, 21zsubcld 12617 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℤ)
232, 18, 19, 22fvmptd 6956 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑋) = (𝑋 − 1))
2423fveq2d 6847 . 2 (𝜑 → (𝐵‘(𝐴𝑋)) = (𝐵‘(𝑋 − 1)))
25 metakunt28.6 . . . 4 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
2625a1i 11 . . 3 (𝜑𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))))
2722zred 12612 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
2820zred 12612 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
29 metakunt28.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3029nnred 12173 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
31 1rp 12924 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
3328, 32ltsubrpd 12994 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 − 1) < 𝑋)
34 elfzle2 13451 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋𝑀)
3519, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑀)
3627, 28, 30, 33, 35ltletrd 11320 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 − 1) < 𝑀)
3727, 36ltned 11296 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
3837adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
3938neneqd 2945 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → ¬ (𝑋 − 1) = 𝑀)
40 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → 𝑧 = (𝑋 − 1))
4140eqeq1d 2735 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑧 = 𝑀 ↔ (𝑋 − 1) = 𝑀))
4241notbid 318 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → (¬ 𝑧 = 𝑀 ↔ ¬ (𝑋 − 1) = 𝑀))
4339, 42mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → ¬ 𝑧 = 𝑀)
4443iffalsed 4498 . . . 4 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))
453neqned 2947 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝐼)
46 metakunt28.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
4746nnred 12173 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
4847, 28, 10nltled 11310 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼𝑋)
4947, 28, 48leltned 11313 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼 < 𝑋𝑋𝐼))
5045, 49mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 < 𝑋)
5146nnzd 12531 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
5251, 20zltlem1d 40482 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼 < 𝑋𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
5350, 52mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ≤ (𝑋 − 1))
5447, 27lenltd 11306 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 ≤ (𝑋 − 1) ↔ ¬ (𝑋 − 1) < 𝐼))
5553, 54mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝑋 − 1) < 𝐼)
5655adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → ¬ (𝑋 − 1) < 𝐼)
5740breq1d 5116 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑧 < 𝐼 ↔ (𝑋 − 1) < 𝐼))
5857notbid 318 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → (¬ 𝑧 < 𝐼 ↔ ¬ (𝑋 − 1) < 𝐼))
5956, 58mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → ¬ 𝑧 < 𝐼)
6059iffalsed 4498 . . . . 5 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑧 + (1 − 𝐼)))
6140oveq1d 7373 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑧 + (1 − 𝐼)) = ((𝑋 − 1) + (1 − 𝐼)))
6220zcnd 12613 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
63 1cnd 11155 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6446nncnd 12174 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
6562, 63, 64npncand 11541 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 − 1) + (1 − 𝐼)) = (𝑋𝐼))
6665adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → ((𝑋 − 1) + (1 − 𝐼)) = (𝑋𝐼))
6761, 66eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑧 + (1 − 𝐼)) = (𝑋𝐼))
6860, 67eqtrd 2773 . . . 4 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑋𝐼))
6944, 68eqtrd 2773 . . 3 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋𝐼))
7029nnzd 12531 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
71 1red 11161 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
7246nnge1d 12206 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
7371, 47, 28, 72, 50lelttrd 11318 . . . . 5 (𝜑 → 1 < 𝑋)
7421, 20zltlem1d 40482 . . . . 5 (𝜑 → (1 < 𝑋 ↔ 1 ≤ (𝑋 − 1)))
7573, 74mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 − 1))
7628, 71resubcld 11588 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
77 0le1 11683 . . . . . . 7 0 ≤ 1
7877a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 1)
7928, 71subge02d 11752 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ≤ 1 ↔ (𝑋 − 1) ≤ 𝑋))
8078, 79mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 − 1) ≤ 𝑋)
8176, 28, 30, 80, 35letrd 11317 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 − 1) ≤ 𝑀)
8221, 70, 22, 75, 81elfzd 13438 . . 3 (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ (1...𝑀))
8320, 51zsubcld 12617 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐼) ∈ ℤ)
8426, 69, 82, 83fvmptd 6956 . 2 (𝜑 → (𝐵‘(𝑋 − 1)) = (𝑋𝐼))
8524, 84eqtrd 2773 1 (𝜑 → (𝐵‘(𝐴𝑋)) = (𝑋𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  ifcif 4487   class class class wbr 5106  cmpt 5189  cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194  cle 11195  cmin 11390  cn 12158  cz 12504  +crp 12920  ...cfz 13430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431
This theorem is referenced by:  metakunt30  40652
  Copyright terms: Public domain W3C validator