Theorem metakunt28 42213

Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt28.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt28.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt28.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt28.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt28.5	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt28.6	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt28.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
metakunt28.8	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
metakunt28	⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑋 − 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐼   𝑥,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝑧,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑧)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt28

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt28.5	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3		metakunt28.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
5		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
6	5	eqeq1d 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 = 𝐼 ↔ 𝑋 = 𝐼))
7	6	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (¬ 𝑥 = 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼))
8	4, 7	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 = 𝐼)
9	8	iffalsed 4541	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))
10		metakunt28.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑋 < 𝐼)
12	5	breq1d 5157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
13	12	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (¬ 𝑥 < 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
14	11, 13	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 < 𝐼)
15	14	iffalsed 4541	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = (𝑥 − 1))
16	5	oveq1d 7445	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 − 1) = (𝑋 − 1))
17	15, 16	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = (𝑋 − 1))
18	9, 17	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = (𝑋 − 1))
19		metakunt28.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
20	19	elfzelzd 13561	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
21		1zzd 12645	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22	20, 21	zsubcld 12724	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℤ)
23	2, 18, 19, 22	fvmptd 7022	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋 − 1))
24	23	fveq2d 6910	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵‘(𝑋 − 1)))
25		metakunt28.6	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))))
27	22	zred 12719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
28	20	zred 12719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
29		metakunt28.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
30	29	nnred 12278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
31		1rp 13035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ+
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
33	28, 32	ltsubrpd 13106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) < 𝑋)
34		elfzle2 13564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ≤ 𝑀)
35	19, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑀)
36	27, 28, 30, 33, 35	ltletrd 11418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) < 𝑀)
37	27, 36	ltned 11394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
38	37	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
39	38	neneqd 2942	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → ¬ (𝑋 − 1) = 𝑀)
40		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → 𝑧 = (𝑋 − 1))
41	40	eqeq1d 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑧 = 𝑀 ↔ (𝑋 − 1) = 𝑀))
42	41	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (¬ 𝑧 = 𝑀 ↔ ¬ (𝑋 − 1) = 𝑀))
43	39, 42	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → ¬ 𝑧 = 𝑀)
44	43	iffalsed 4541	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))
45	3	neqned 2944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝐼)
46		metakunt28.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
47	46	nnred 12278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
48	47, 28, 10	nltled 11408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑋)
49	47, 28, 48	leltned 11411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ 𝐼))
50	45, 49	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 < 𝑋)
51	46	nnzd 12637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
52	51, 20	zltlem1d 12668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝑋 ↔ 𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
53	50, 52	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ (𝑋 − 1))
54	47, 27	lenltd 11404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ≤ (𝑋 − 1) ↔ ¬ (𝑋 − 1) < 𝐼))
55	53, 54	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 − 1) < 𝐼)
56	55	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → ¬ (𝑋 − 1) < 𝐼)
57	40	breq1d 5157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑧 < 𝐼 ↔ (𝑋 − 1) < 𝐼))
58	57	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (¬ 𝑧 < 𝐼 ↔ ¬ (𝑋 − 1) < 𝐼))
59	56, 58	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → ¬ 𝑧 < 𝐼)
60	59	iffalsed 4541	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑧 + (1 − 𝐼)))
61	40	oveq1d 7445	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑧 + (1 − 𝐼)) = ((𝑋 − 1) + (1 − 𝐼)))
62	20	zcnd 12720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
63		1cnd 11253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
64	46	nncnd 12279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
65	62, 63, 64	npncand 11641	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 1) + (1 − 𝐼)) = (𝑋 − 𝐼))
66	65	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → ((𝑋 − 1) + (1 − 𝐼)) = (𝑋 − 𝐼))
67	61, 66	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑧 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 − 𝐼))
68	60, 67	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 − 𝐼))
69	44, 68	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 − 𝐼))
70	29	nnzd 12637	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
71		1red 11259	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
72	46	nnge1d 12311	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
73	71, 47, 28, 72, 50	lelttrd 11416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑋)
74	21, 20	zltlem1d 12668	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝑋 ↔ 1 ≤ (𝑋 − 1)))
75	73, 74	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 − 1))
76	28, 71	resubcld 11688	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
77		0le1 11783	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
78	77	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
79	28, 71	subge02d 11852	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 1 ↔ (𝑋 − 1) ≤ 𝑋))
80	78, 79	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ≤ 𝑋)
81	76, 28, 30, 80, 35	letrd 11415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ≤ 𝑀)
82	21, 70, 22, 75, 81	elfzd 13551	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ (1...𝑀))
83	20, 51	zsubcld 12724	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐼) ∈ ℤ)
84	26, 69, 82, 83	fvmptd 7022	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝑋 − 1)) = (𝑋 − 𝐼))
85	24, 84	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑋 − 𝐼))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ifcif 4530   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   < clt 11292   ≤ cle 11293   − cmin 11489  ℕcn 12263  ℤcz 12610  ℝ⁺crp 13031  ...cfz 13543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544

This theorem is referenced by:  metakunt30  42215