Theorem metakunt28 40080

Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt28.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt28.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt28.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt28.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt28.5	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt28.6	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt28.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
metakunt28.8	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
metakunt28	⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑋 − 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐼   𝑥,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝑧,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑧)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt28

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt28.5	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3		metakunt28.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
5		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
6	5	eqeq1d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 = 𝐼 ↔ 𝑋 = 𝐼))
7	6	notbid 317	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (¬ 𝑥 = 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼))
8	4, 7	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 = 𝐼)
9	8	iffalsed 4467	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))
10		metakunt28.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑋 < 𝐼)
12	5	breq1d 5080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
13	12	notbid 317	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (¬ 𝑥 < 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
14	11, 13	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 < 𝐼)
15	14	iffalsed 4467	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = (𝑥 − 1))
16	5	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 − 1) = (𝑋 − 1))
17	15, 16	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = (𝑋 − 1))
18	9, 17	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = (𝑋 − 1))
19		metakunt28.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
20	19	elfzelzd 13186	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
21		1zzd 12281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22	20, 21	zsubcld 12360	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℤ)
23	2, 18, 19, 22	fvmptd 6864	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋 − 1))
24	23	fveq2d 6760	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵‘(𝑋 − 1)))
25		metakunt28.6	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))))
27	22	zred 12355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
28	20	zred 12355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
29		metakunt28.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
30	29	nnred 11918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
31		1rp 12663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ+
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
33	28, 32	ltsubrpd 12733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) < 𝑋)
34		elfzle2 13189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ≤ 𝑀)
35	19, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑀)
36	27, 28, 30, 33, 35	ltletrd 11065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) < 𝑀)
37	27, 36	ltned 11041	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
38	37	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
39	38	neneqd 2947	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → ¬ (𝑋 − 1) = 𝑀)
40		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → 𝑧 = (𝑋 − 1))
41	40	eqeq1d 2740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑧 = 𝑀 ↔ (𝑋 − 1) = 𝑀))
42	41	notbid 317	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (¬ 𝑧 = 𝑀 ↔ ¬ (𝑋 − 1) = 𝑀))
43	39, 42	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → ¬ 𝑧 = 𝑀)
44	43	iffalsed 4467	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))
45	3	neqned 2949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝐼)
46		metakunt28.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
47	46	nnred 11918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
48	47, 28, 10	nltled 11055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑋)
49	47, 28, 48	leltned 11058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ 𝐼))
50	45, 49	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 < 𝑋)
51	46	nnzd 12354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
52	51, 20	zltlem1d 39915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝑋 ↔ 𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
53	50, 52	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ (𝑋 − 1))
54	47, 27	lenltd 11051	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ≤ (𝑋 − 1) ↔ ¬ (𝑋 − 1) < 𝐼))
55	53, 54	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 − 1) < 𝐼)
56	55	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → ¬ (𝑋 − 1) < 𝐼)
57	40	breq1d 5080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑧 < 𝐼 ↔ (𝑋 − 1) < 𝐼))
58	57	notbid 317	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (¬ 𝑧 < 𝐼 ↔ ¬ (𝑋 − 1) < 𝐼))
59	56, 58	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → ¬ 𝑧 < 𝐼)
60	59	iffalsed 4467	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑧 + (1 − 𝐼)))
61	40	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑧 + (1 − 𝐼)) = ((𝑋 − 1) + (1 − 𝐼)))
62	20	zcnd 12356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
63		1cnd 10901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
64	46	nncnd 11919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
65	62, 63, 64	npncand 11286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 1) + (1 − 𝐼)) = (𝑋 − 𝐼))
66	65	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → ((𝑋 − 1) + (1 − 𝐼)) = (𝑋 − 𝐼))
67	61, 66	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑧 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 − 𝐼))
68	60, 67	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 − 𝐼))
69	44, 68	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 − 𝐼))
70	29	nnzd 12354	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
71		1red 10907	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
72	46	nnge1d 11951	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
73	71, 47, 28, 72, 50	lelttrd 11063	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑋)
74	21, 20	zltlem1d 39915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝑋 ↔ 1 ≤ (𝑋 − 1)))
75	73, 74	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 − 1))
76	28, 71	resubcld 11333	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
77		0le1 11428	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
78	77	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
79	28, 71	subge02d 11497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 1 ↔ (𝑋 − 1) ≤ 𝑋))
80	78, 79	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ≤ 𝑋)
81	76, 28, 30, 80, 35	letrd 11062	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ≤ 𝑀)
82	21, 70, 22, 75, 81	elfzd 13176	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ (1...𝑀))
83	20, 51	zsubcld 12360	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐼) ∈ ℤ)
84	26, 69, 82, 83	fvmptd 6864	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝑋 − 1)) = (𝑋 − 𝐼))
85	24, 84	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑋 − 𝐼))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ifcif 4456   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ℝ⁺crp 12659  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169

This theorem is referenced by:  metakunt30  40082