Theorem metakunt28 41940

Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt28.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt28.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt28.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt28.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt28.5	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt28.6	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt28.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
metakunt28.8	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
metakunt28	⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑋 − 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐼   𝑥,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝑧,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑧)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt28

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt28.5	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3		metakunt28.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
4	3	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
5		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
6	5	eqeq1d 2728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 = 𝐼 ↔ 𝑋 = 𝐼))
7	6	notbid 317	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (¬ 𝑥 = 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼))
8	4, 7	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 = 𝐼)
9	8	iffalsed 4534	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))
10		metakunt28.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)
11	10	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑋 < 𝐼)
12	5	breq1d 5155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
13	12	notbid 317	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (¬ 𝑥 < 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
14	11, 13	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 < 𝐼)
15	14	iffalsed 4534	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = (𝑥 − 1))
16	5	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 − 1) = (𝑋 − 1))
17	15, 16	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = (𝑋 − 1))
18	9, 17	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = (𝑋 − 1))
19		metakunt28.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
20	19	elfzelzd 13550	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
21		1zzd 12639	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22	20, 21	zsubcld 12717	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℤ)
23	2, 18, 19, 22	fvmptd 7008	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋 − 1))
24	23	fveq2d 6897	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵‘(𝑋 − 1)))
25		metakunt28.6	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))))
27	22	zred 12712	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
28	20	zred 12712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
29		metakunt28.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
30	29	nnred 12273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
31		1rp 13026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ+
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
33	28, 32	ltsubrpd 13096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) < 𝑋)
34		elfzle2 13553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ≤ 𝑀)
35	19, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑀)
36	27, 28, 30, 33, 35	ltletrd 11415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) < 𝑀)
37	27, 36	ltned 11391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
38	37	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
39	38	neneqd 2935	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → ¬ (𝑋 − 1) = 𝑀)
40		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → 𝑧 = (𝑋 − 1))
41	40	eqeq1d 2728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑧 = 𝑀 ↔ (𝑋 − 1) = 𝑀))
42	41	notbid 317	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (¬ 𝑧 = 𝑀 ↔ ¬ (𝑋 − 1) = 𝑀))
43	39, 42	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → ¬ 𝑧 = 𝑀)
44	43	iffalsed 4534	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))
45	3	neqned 2937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝐼)
46		metakunt28.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
47	46	nnred 12273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
48	47, 28, 10	nltled 11405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑋)
49	47, 28, 48	leltned 11408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ 𝐼))
50	45, 49	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 < 𝑋)
51	46	nnzd 12631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
52	51, 20	zltlem1d 41690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝑋 ↔ 𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
53	50, 52	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ (𝑋 − 1))
54	47, 27	lenltd 11401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ≤ (𝑋 − 1) ↔ ¬ (𝑋 − 1) < 𝐼))
55	53, 54	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 − 1) < 𝐼)
56	55	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → ¬ (𝑋 − 1) < 𝐼)
57	40	breq1d 5155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑧 < 𝐼 ↔ (𝑋 − 1) < 𝐼))
58	57	notbid 317	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (¬ 𝑧 < 𝐼 ↔ ¬ (𝑋 − 1) < 𝐼))
59	56, 58	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → ¬ 𝑧 < 𝐼)
60	59	iffalsed 4534	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑧 + (1 − 𝐼)))
61	40	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑧 + (1 − 𝐼)) = ((𝑋 − 1) + (1 − 𝐼)))
62	20	zcnd 12713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
63		1cnd 11250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
64	46	nncnd 12274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
65	62, 63, 64	npncand 11636	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 1) + (1 − 𝐼)) = (𝑋 − 𝐼))
66	65	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → ((𝑋 − 1) + (1 − 𝐼)) = (𝑋 − 𝐼))
67	61, 66	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑧 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 − 𝐼))
68	60, 67	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 − 𝐼))
69	44, 68	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 − 𝐼))
70	29	nnzd 12631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
71		1red 11256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
72	46	nnge1d 12306	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
73	71, 47, 28, 72, 50	lelttrd 11413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑋)
74	21, 20	zltlem1d 41690	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝑋 ↔ 1 ≤ (𝑋 − 1)))
75	73, 74	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 − 1))
76	28, 71	resubcld 11683	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
77		0le1 11778	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
78	77	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
79	28, 71	subge02d 11847	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 1 ↔ (𝑋 − 1) ≤ 𝑋))
80	78, 79	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ≤ 𝑋)
81	76, 28, 30, 80, 35	letrd 11412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ≤ 𝑀)
82	21, 70, 22, 75, 81	elfzd 13540	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ (1...𝑀))
83	20, 51	zsubcld 12717	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐼) ∈ ℤ)
84	26, 69, 82, 83	fvmptd 7008	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝑋 − 1)) = (𝑋 − 𝐼))
85	24, 84	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑋 − 𝐼))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ifcif 4523   class class class wbr 5145   ↦ cmpt 5228  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152   < clt 11289   ≤ cle 11290   − cmin 11485  ℕcn 12258  ℤcz 12604  ℝ⁺crp 13022  ...cfz 13532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13533

This theorem is referenced by:  metakunt30  41942