Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt28 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt28 39368
 Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt28.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt28.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt28.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt28.4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt28.5 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt28.6 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt28.7 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
metakunt28.8 (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)
Assertion
Ref Expression
metakunt28 (𝜑 → (𝐵‘(𝐴𝑋)) = (𝑋𝐼))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐼   𝑥,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝑧,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑧)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt28
StepHypRef Expression
1 metakunt28.5 . . . . 5 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3 metakunt28.7 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
43adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
5 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
65eqeq1d 2803 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 = 𝐼𝑋 = 𝐼))
76notbid 321 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (¬ 𝑥 = 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼))
84, 7mpbird 260 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 = 𝐼)
98iffalsed 4439 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))
10 metakunt28.8 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)
1110adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑋 < 𝐼)
125breq1d 5043 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 < 𝐼𝑋 < 𝐼))
1312notbid 321 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (¬ 𝑥 < 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
1411, 13mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 < 𝐼)
1514iffalsed 4439 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = (𝑥 − 1))
165oveq1d 7154 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 − 1) = (𝑋 − 1))
1715, 16eqtrd 2836 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = (𝑋 − 1))
189, 17eqtrd 2836 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = (𝑋 − 1))
19 metakunt28.4 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
2019elfzelzd 12907 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
21 1zzd 12005 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2220, 21zsubcld 12084 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℤ)
232, 18, 19, 22fvmptd 6756 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑋) = (𝑋 − 1))
2423fveq2d 6653 . 2 (𝜑 → (𝐵‘(𝐴𝑋)) = (𝐵‘(𝑋 − 1)))
25 metakunt28.6 . . . 4 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
2625a1i 11 . . 3 (𝜑𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))))
2722zred 12079 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
2820zred 12079 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
29 metakunt28.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3029nnred 11644 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
31 1rp 12385 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
3328, 32ltsubrpd 12455 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 − 1) < 𝑋)
34 elfzle2 12910 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋𝑀)
3519, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑀)
3627, 28, 30, 33, 35ltletrd 10793 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 − 1) < 𝑀)
3727, 36ltned 10769 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
3837adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
3938neneqd 2995 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → ¬ (𝑋 − 1) = 𝑀)
40 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → 𝑧 = (𝑋 − 1))
4140eqeq1d 2803 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑧 = 𝑀 ↔ (𝑋 − 1) = 𝑀))
4241notbid 321 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → (¬ 𝑧 = 𝑀 ↔ ¬ (𝑋 − 1) = 𝑀))
4339, 42mpbird 260 . . . . 5 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → ¬ 𝑧 = 𝑀)
4443iffalsed 4439 . . . 4 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))
453neqned 2997 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝐼)
46 metakunt28.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
4746nnred 11644 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
4847, 28, 10nltled 10783 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼𝑋)
4947, 28, 48leltned 10786 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼 < 𝑋𝑋𝐼))
5045, 49mpbird 260 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 < 𝑋)
5146nnzd 12078 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
5251, 20zltlem1d 39259 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼 < 𝑋𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
5350, 52mpbid 235 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ≤ (𝑋 − 1))
5447, 27lenltd 10779 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 ≤ (𝑋 − 1) ↔ ¬ (𝑋 − 1) < 𝐼))
5553, 54mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝑋 − 1) < 𝐼)
5655adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → ¬ (𝑋 − 1) < 𝐼)
5740breq1d 5043 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑧 < 𝐼 ↔ (𝑋 − 1) < 𝐼))
5857notbid 321 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → (¬ 𝑧 < 𝐼 ↔ ¬ (𝑋 − 1) < 𝐼))
5956, 58mpbird 260 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → ¬ 𝑧 < 𝐼)
6059iffalsed 4439 . . . . 5 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑧 + (1 − 𝐼)))
6140oveq1d 7154 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑧 + (1 − 𝐼)) = ((𝑋 − 1) + (1 − 𝐼)))
6220zcnd 12080 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
63 1cnd 10629 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6446nncnd 11645 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
6562, 63, 64npncand 11014 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 − 1) + (1 − 𝐼)) = (𝑋𝐼))
6665adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → ((𝑋 − 1) + (1 − 𝐼)) = (𝑋𝐼))
6761, 66eqtrd 2836 . . . . 5 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑧 + (1 − 𝐼)) = (𝑋𝐼))
6860, 67eqtrd 2836 . . . 4 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑋𝐼))
6944, 68eqtrd 2836 . . 3 ((𝜑𝑧 = (𝑋 − 1)) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋𝐼))
7029nnzd 12078 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
71 1red 10635 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
7246nnge1d 11677 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
7371, 47, 28, 72, 50lelttrd 10791 . . . . 5 (𝜑 → 1 < 𝑋)
7421, 20zltlem1d 39259 . . . . 5 (𝜑 → (1 < 𝑋 ↔ 1 ≤ (𝑋 − 1)))
7573, 74mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 − 1))
7628, 71resubcld 11061 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
77 0le1 11156 . . . . . . 7 0 ≤ 1
7877a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 1)
7928, 71subge02d 11225 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ≤ 1 ↔ (𝑋 − 1) ≤ 𝑋))
8078, 79mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 − 1) ≤ 𝑋)
8176, 28, 30, 80, 35letrd 10790 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 − 1) ≤ 𝑀)
8221, 70, 22, 75, 81elfzd 12897 . . 3 (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ (1...𝑀))
8320, 51zsubcld 12084 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐼) ∈ ℤ)
8426, 69, 82, 83fvmptd 6756 . 2 (𝜑 → (𝐵‘(𝑋 − 1)) = (𝑋𝐼))
8524, 84eqtrd 2836 1 (𝜑 → (𝐵‘(𝐴𝑋)) = (𝑋𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ifcif 4428   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   < clt 10668   ≤ cle 10669   − cmin 10863  ℕcn 11629  ℤcz 11973  ℝ+crp 12381  ...cfz 12889 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890 This theorem is referenced by:  metakunt30  39370
 Copyright terms: Public domain W3C validator