Theorem metakunt28 39826

Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt28.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt28.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt28.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt28.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt28.5	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt28.6	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt28.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
metakunt28.8	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
metakunt28	⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑋 − 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐼   𝑥,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝑧,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑧)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt28

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt28.5	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3		metakunt28.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
4	3	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
5		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
6	5	eqeq1d 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 = 𝐼 ↔ 𝑋 = 𝐼))
7	6	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (¬ 𝑥 = 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼))
8	4, 7	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 = 𝐼)
9	8	iffalsed 4440	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))
10		metakunt28.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼)
11	10	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑋 < 𝐼)
12	5	breq1d 5053	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
13	12	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (¬ 𝑥 < 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼))
14	11, 13	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 < 𝐼)
15	14	iffalsed 4440	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = (𝑥 − 1))
16	5	oveq1d 7217	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 − 1) = (𝑋 − 1))
17	15, 16	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = (𝑋 − 1))
18	9, 17	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = (𝑋 − 1))
19		metakunt28.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
20	19	elfzelzd 13096	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
21		1zzd 12191	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22	20, 21	zsubcld 12270	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℤ)
23	2, 18, 19, 22	fvmptd 6814	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑋 − 1))
24	23	fveq2d 6710	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵‘(𝑋 − 1)))
25		metakunt28.6	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))))
27	22	zred 12265	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
28	20	zred 12265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
29		metakunt28.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
30	29	nnred 11828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
31		1rp 12573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ+
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
33	28, 32	ltsubrpd 12643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) < 𝑋)
34		elfzle2 13099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ≤ 𝑀)
35	19, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑀)
36	27, 28, 30, 33, 35	ltletrd 10975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) < 𝑀)
37	27, 36	ltned 10951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
38	37	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑋 − 1) ≠ 𝑀)
39	38	neneqd 2940	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → ¬ (𝑋 − 1) = 𝑀)
40		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → 𝑧 = (𝑋 − 1))
41	40	eqeq1d 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑧 = 𝑀 ↔ (𝑋 − 1) = 𝑀))
42	41	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (¬ 𝑧 = 𝑀 ↔ ¬ (𝑋 − 1) = 𝑀))
43	39, 42	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → ¬ 𝑧 = 𝑀)
44	43	iffalsed 4440	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))
45	3	neqned 2942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝐼)
46		metakunt28.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
47	46	nnred 11828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
48	47, 28, 10	nltled 10965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑋)
49	47, 28, 48	leltned 10968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ 𝐼))
50	45, 49	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 < 𝑋)
51	46	nnzd 12264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
52	51, 20	zltlem1d 39678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝑋 ↔ 𝐼 ≤ (𝑋 − 1)))
53	50, 52	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ (𝑋 − 1))
54	47, 27	lenltd 10961	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ≤ (𝑋 − 1) ↔ ¬ (𝑋 − 1) < 𝐼))
55	53, 54	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 − 1) < 𝐼)
56	55	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → ¬ (𝑋 − 1) < 𝐼)
57	40	breq1d 5053	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑧 < 𝐼 ↔ (𝑋 − 1) < 𝐼))
58	57	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (¬ 𝑧 < 𝐼 ↔ ¬ (𝑋 − 1) < 𝐼))
59	56, 58	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → ¬ 𝑧 < 𝐼)
60	59	iffalsed 4440	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑧 + (1 − 𝐼)))
61	40	oveq1d 7217	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑧 + (1 − 𝐼)) = ((𝑋 − 1) + (1 − 𝐼)))
62	20	zcnd 12266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
63		1cnd 10811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
64	46	nncnd 11829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
65	62, 63, 64	npncand 11196	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 1) + (1 − 𝐼)) = (𝑋 − 𝐼))
66	65	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → ((𝑋 − 1) + (1 − 𝐼)) = (𝑋 − 𝐼))
67	61, 66	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → (𝑧 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 − 𝐼))
68	60, 67	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 − 𝐼))
69	44, 68	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (𝑋 − 1)) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 − 𝐼))
70	29	nnzd 12264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
71		1red 10817	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
72	46	nnge1d 11861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
73	71, 47, 28, 72, 50	lelttrd 10973	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑋)
74	21, 20	zltlem1d 39678	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝑋 ↔ 1 ≤ (𝑋 − 1)))
75	73, 74	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 − 1))
76	28, 71	resubcld 11243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ ℝ)
77		0le1 11338	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
78	77	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
79	28, 71	subge02d 11407	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 1 ↔ (𝑋 − 1) ≤ 𝑋))
80	78, 79	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ≤ 𝑋)
81	76, 28, 30, 80, 35	letrd 10972	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ≤ 𝑀)
82	21, 70, 22, 75, 81	elfzd 13086	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 1) ∈ (1...𝑀))
83	20, 51	zsubcld 12270	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐼) ∈ ℤ)
84	26, 69, 82, 83	fvmptd 6814	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝑋 − 1)) = (𝑋 − 𝐼))
85	24, 84	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑋 − 𝐼))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2935  ifcif 4429   class class class wbr 5043   ↦ cmpt 5124  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  0cc0 10712  1c1 10713   + caddc 10715   < clt 10850   ≤ cle 10851   − cmin 11045  ℕcn 11813  ℤcz 12159  ℝ⁺crp 12569  ...cfz 13078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-n0 12074  df-z 12160  df-uz 12422  df-rp 12570  df-fz 13079

This theorem is referenced by:  metakunt30  39828