Theorem etransclem10 47253

Description: The given if term is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem10.n	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem10.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem10.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem10.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
etransclem10	⊢ (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem etransclem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12705	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 0 ∈ ℤ)
2		0zd 12705	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		etransclem10.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4		nnm1nn0 12647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6	5	nn0zd 12718	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
7		etransclem10.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
8		etransclem10.m	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
9		nn0uz 13003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
10	8, 9	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
11		eluzfz1 13664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
13	7, 12	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ (0...𝑁))
14	13	elfzelzd 13657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℤ)
15	6, 14	zsubcld 12808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ)
16	2, 6, 15	3jca 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ))
17	16	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ))
18	14	zred 12803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
19	18	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
20	5	nn0red 12668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
21	20	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
22		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))
23	19, 21, 22	nltled 11460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐶‘0) ≤ (𝑃 − 1))
24	21, 19	subge0d 11906	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ↔ (𝐶‘0) ≤ (𝑃 − 1)))
25	23, 24	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))
26		elfzle1 13660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶‘0) ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ (𝐶‘0))
27	13, 26	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐶‘0))
28	27	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 0 ≤ (𝐶‘0))
29	21, 19	subge02d 11908	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (0 ≤ (𝐶‘0) ↔ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1)))
30	28, 29	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1))
31	17, 25, 30	jca32 525	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1))))
32		elfz2 13646	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1))))
33	31, 32	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
34		permnn 14470	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℕ)
35	33, 34	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℕ)
36	35	nnzd 12719	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℤ)
37		etransclem10.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
38	37	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 𝐽 ∈ ℤ)
39	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ)
40		elnn0z 12706	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))
41	39, 25, 40	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ0)
42		zexpcl 14219	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ0) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) ∈ ℤ)
43	38, 41, 42	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) ∈ ℤ)
44	36, 43	zmulcld 12809	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℤ)
45	1, 44	ifclda 4518	1 ⊢ (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145  ifcif 4482   class class class wbr 5103  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   / cdiv 11973  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ...cfz 13639  ↑cexp 14204  !cfa 14417

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447

This theorem is used by:  etransclem25  47268  etransclem26  47269  etransclem35  47278  etransclem37  47280