Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem10 43367
Description: The given if term is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem10.n (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem10.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem10.c (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem10.j (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
etransclem10 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem etransclem10
StepHypRef Expression
1 0zd 12086 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 0 ∈ ℤ)
2 0zd 12086 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 etransclem10.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
4 nnm1nn0 12029 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
65nn0zd 12178 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
7 etransclem10.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
8 etransclem10.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
9 nn0uz 12374 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (ℤ‘0)
108, 9eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
11 eluzfz1 13017 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
137, 12ffvelrnd 6874 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ (0...𝑁))
1413elfzelzd 13011 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℤ)
156, 14zsubcld 12185 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ)
162, 6, 153jca 1129 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ))
1716adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ))
1814zred 12180 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
1918adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
205nn0red 12049 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
2120adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
22 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))
2319, 21, 22nltled 10880 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐶‘0) ≤ (𝑃 − 1))
2421, 19subge0d 11320 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ↔ (𝐶‘0) ≤ (𝑃 − 1)))
2523, 24mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))
26 elfzle1 13013 . . . . . . . . . 10 ((𝐶‘0) ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ (𝐶‘0))
2713, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝐶‘0))
2827adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 0 ≤ (𝐶‘0))
2921, 19subge02d 11322 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (0 ≤ (𝐶‘0) ↔ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1)))
3028, 29mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1))
3117, 25, 30jca32 519 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1))))
32 elfz2 13000 . . . . . 6 (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1))))
3331, 32sylibr 237 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
34 permnn 13790 . . . . 5 (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℕ)
3533, 34syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℕ)
3635nnzd 12179 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℤ)
37 etransclem10.j . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
3837adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 𝐽 ∈ ℤ)
3915adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ)
40 elnn0z 12087 . . . . 5 (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))
4139, 25, 40sylanbrc 586 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ0)
42 zexpcl 13548 . . . 4 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ0) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) ∈ ℤ)
4338, 41, 42syl2anc 587 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) ∈ ℤ)
4436, 43zmulcld 12186 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℤ)
451, 44ifclda 4459 1 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1088  wcel 2114  ifcif 4424   class class class wbr 5040  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7182  cr 10626  0cc0 10627  1c1 10628   · cmul 10632   < clt 10765  cle 10766  cmin 10960   / cdiv 11387  cn 11728  0cn0 11988  cz 12074  cuz 12336  ...cfz 12993  cexp 13533  !cfa 13737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-rp 12485  df-fz 12994  df-seq 13473  df-exp 13534  df-fac 13738  df-bc 13767
This theorem is referenced by:  etransclem25  43382  etransclem26  43383  etransclem35  43392  etransclem37  43394
  Copyright terms: Public domain W3C validator