Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem10 46259
Description: The given if term is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem10.n (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem10.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem10.c (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem10.j (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
etransclem10 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem etransclem10
StepHypRef Expression
1 0zd 12625 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 0 ∈ ℤ)
2 0zd 12625 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 etransclem10.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
4 nnm1nn0 12567 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
65nn0zd 12639 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
7 etransclem10.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
8 etransclem10.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
9 nn0uz 12920 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (ℤ‘0)
108, 9eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
11 eluzfz1 13571 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
137, 12ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ (0...𝑁))
1413elfzelzd 13565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℤ)
156, 14zsubcld 12727 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ)
162, 6, 153jca 1129 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ))
1716adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ))
1814zred 12722 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
1918adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
205nn0red 12588 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
2120adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
22 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))
2319, 21, 22nltled 11411 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐶‘0) ≤ (𝑃 − 1))
2421, 19subge0d 11853 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ↔ (𝐶‘0) ≤ (𝑃 − 1)))
2523, 24mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))
26 elfzle1 13567 . . . . . . . . . 10 ((𝐶‘0) ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ (𝐶‘0))
2713, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝐶‘0))
2827adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 0 ≤ (𝐶‘0))
2921, 19subge02d 11855 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (0 ≤ (𝐶‘0) ↔ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1)))
3028, 29mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1))
3117, 25, 30jca32 515 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1))))
32 elfz2 13554 . . . . . 6 (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1))))
3331, 32sylibr 234 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
34 permnn 14365 . . . . 5 (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℕ)
3533, 34syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℕ)
3635nnzd 12640 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℤ)
37 etransclem10.j . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
3837adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 𝐽 ∈ ℤ)
3915adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ)
40 elnn0z 12626 . . . . 5 (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))
4139, 25, 40sylanbrc 583 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ0)
42 zexpcl 14117 . . . 4 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ0) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) ∈ ℤ)
4338, 41, 42syl2anc 584 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) ∈ ℤ)
4436, 43zmulcld 12728 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℤ)
451, 44ifclda 4561 1 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087  wcel 2108  ifcif 4525   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  cexp 14102  !cfa 14312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342
This theorem is referenced by:  etransclem25  46274  etransclem26  46275  etransclem35  46284  etransclem37  46286
  Copyright terms: Public domain W3C validator