Theorem etransclem10 46766

Description: The given if term is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem10.n	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem10.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem10.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem10.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
etransclem10	⊢ (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem etransclem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12570	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 0 ∈ ℤ)
2		0zd 12570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		etransclem10.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4		nnm1nn0 12512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6	5	nn0zd 12583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
7		etransclem10.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
8		etransclem10.m	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
9		nn0uz 12867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
10	8, 9	eleqtrdi 2866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
11		eluzfz1 13526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
13	7, 12	ffvelcdmd 7055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ (0...𝑁))
14	13	elfzelzd 13520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℤ)
15	6, 14	zsubcld 12672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ)
16	2, 6, 15	3jca 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ))
17	16	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ))
18	14	zred 12667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
19	18	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
20	5	nn0red 12533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
21	20	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
22		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))
23	19, 21, 22	nltled 11323	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐶‘0) ≤ (𝑃 − 1))
24	21, 19	subge0d 11767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ↔ (𝐶‘0) ≤ (𝑃 − 1)))
25	23, 24	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))
26		elfzle1 13522	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶‘0) ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ (𝐶‘0))
27	13, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐶‘0))
28	27	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 0 ≤ (𝐶‘0))
29	21, 19	subge02d 11769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (0 ≤ (𝐶‘0) ↔ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1)))
30	28, 29	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1))
31	17, 25, 30	jca32 522	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1))))
32		elfz2 13509	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1))))
33	31, 32	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
34		permnn 14329	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℕ)
35	33, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℕ)
36	35	nnzd 12584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℤ)
37		etransclem10.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
38	37	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 𝐽 ∈ ℤ)
39	15	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ)
40		elnn0z 12571	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))
41	39, 25, 40	sylanbrc 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ0)
42		zexpcl 14079	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ0) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) ∈ ℤ)
43	38, 41, 42	syl2anc 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) ∈ ℤ)
44	36, 43	zmulcld 12673	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℤ)
45	1, 44	ifclda 4510	1 ⊢ (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   ∈ wcel 2136  ifcif 4474   class class class wbr 5094  ⟶wf 6506  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  ℝcr 11062  0cc0 11063  1c1 11064   · cmul 11068   < clt 11206   ≤ cle 11207   − cmin 11404   / cdiv 11834  ℕcn 12200  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12829  ...cfz 13502  ↑cexp 14064  !cfa 14276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-rp 12984  df-fz 13503  df-seq 14005  df-exp 14065  df-fac 14277  df-bc 14306

This theorem is referenced by:  etransclem25  46781  etransclem26  46782  etransclem35  46791  etransclem37  46793