Theorem etransclem10 46229

Description: The given if term is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem10.n	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem10.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem10.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem10.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
etransclem10	⊢ (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem etransclem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12483	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 0 ∈ ℤ)
2		0zd 12483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		etransclem10.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4		nnm1nn0 12425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6	5	nn0zd 12497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
7		etransclem10.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
8		etransclem10.m	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
9		nn0uz 12777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
10	8, 9	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
11		eluzfz1 13434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
13	7, 12	ffvelcdmd 7019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ (0...𝑁))
14	13	elfzelzd 13428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℤ)
15	6, 14	zsubcld 12585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ)
16	2, 6, 15	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ))
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ))
18	14	zred 12580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
20	5	nn0red 12446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
22		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))
23	19, 21, 22	nltled 11266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐶‘0) ≤ (𝑃 − 1))
24	21, 19	subge0d 11710	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ↔ (𝐶‘0) ≤ (𝑃 − 1)))
25	23, 24	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))
26		elfzle1 13430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶‘0) ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ (𝐶‘0))
27	13, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐶‘0))
28	27	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 0 ≤ (𝐶‘0))
29	21, 19	subge02d 11712	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (0 ≤ (𝐶‘0) ↔ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1)))
30	28, 29	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1))
31	17, 25, 30	jca32 515	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1))))
32		elfz2 13417	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1))))
33	31, 32	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
34		permnn 14233	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℕ)
35	33, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℕ)
36	35	nnzd 12498	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℤ)
37		etransclem10.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
38	37	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 𝐽 ∈ ℤ)
39	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ)
40		elnn0z 12484	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))
41	39, 25, 40	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ0)
42		zexpcl 13983	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ0) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) ∈ ℤ)
43	38, 41, 42	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) ∈ ℤ)
44	36, 43	zmulcld 12586	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℤ)
45	1, 44	ifclda 4512	1 ⊢ (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ifcif 4476   class class class wbr 5092  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   · cmul 11014   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347   / cdiv 11777  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410  ↑cexp 13968  !cfa 14180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210

This theorem is referenced by:  etransclem25  46244  etransclem26  46245  etransclem35  46254  etransclem37  46256