Theorem etransclem10 46199

Description: The given if term is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem10.n	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem10.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem10.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem10.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
etransclem10	⊢ (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem etransclem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12622	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 0 ∈ ℤ)
2		0zd 12622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		etransclem10.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4		nnm1nn0 12564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6	5	nn0zd 12636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
7		etransclem10.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
8		etransclem10.m	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
9		nn0uz 12917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
10	8, 9	eleqtrdi 2848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
11		eluzfz1 13567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
13	7, 12	ffvelcdmd 7104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ (0...𝑁))
14	13	elfzelzd 13561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℤ)
15	6, 14	zsubcld 12724	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ)
16	2, 6, 15	3jca 1127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ))
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ))
18	14	zred 12719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
20	5	nn0red 12585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
22		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))
23	19, 21, 22	nltled 11408	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐶‘0) ≤ (𝑃 − 1))
24	21, 19	subge0d 11850	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ↔ (𝐶‘0) ≤ (𝑃 − 1)))
25	23, 24	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))
26		elfzle1 13563	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶‘0) ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ (𝐶‘0))
27	13, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐶‘0))
28	27	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 0 ≤ (𝐶‘0))
29	21, 19	subge02d 11852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (0 ≤ (𝐶‘0) ↔ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1)))
30	28, 29	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1))
31	17, 25, 30	jca32 515	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1))))
32		elfz2 13550	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1))))
33	31, 32	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
34		permnn 14361	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℕ)
35	33, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℕ)
36	35	nnzd 12637	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℤ)
37		etransclem10.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
38	37	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 𝐽 ∈ ℤ)
39	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ)
40		elnn0z 12623	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))
41	39, 25, 40	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ0)
42		zexpcl 14113	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ0) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) ∈ ℤ)
43	38, 41, 42	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) ∈ ℤ)
44	36, 43	zmulcld 12725	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℤ)
45	1, 44	ifclda 4565	1 ⊢ (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105  ifcif 4530   class class class wbr 5147  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   < clt 11292   ≤ cle 11293   − cmin 11489   / cdiv 11917  ℕcn 12263  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12875  ...cfz 13543  ↑cexp 14098  !cfa 14308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338

This theorem is referenced by:  etransclem25  46214  etransclem26  46215  etransclem35  46224  etransclem37  46226