Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem10 45045
Description: The given if term is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem10.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
etransclem10.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
etransclem10.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ:(0...๐‘€)โŸถ(0...๐‘))
etransclem10.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
Assertion
Ref Expression
etransclem10 (๐œ‘ โ†’ if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) โˆˆ โ„ค)

Proof of Theorem etransclem10
StepHypRef Expression
1 0zd 12572 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
2 0zd 12572 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
3 etransclem10.n . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
4 nnm1nn0 12515 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
65nn0zd 12586 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
7 etransclem10.c . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ:(0...๐‘€)โŸถ(0...๐‘))
8 etransclem10.m . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
9 nn0uz 12866 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
108, 9eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
11 eluzfz1 13510 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ 0 โˆˆ (0...๐‘€))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ (0...๐‘€))
137, 12ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜0) โˆˆ (0...๐‘))
1413elfzelzd 13504 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜0) โˆˆ โ„ค)
156, 14zsubcld 12673 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„ค)
162, 6, 153jca 1128 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„ค))
1716adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (0 โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„ค))
1814zred 12668 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜0) โˆˆ โ„)
1918adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (๐ถโ€˜0) โˆˆ โ„)
205nn0red 12535 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2120adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
22 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0))
2319, 21, 22nltled 11366 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (๐ถโ€˜0) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
2421, 19subge0d 11806 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (0 โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โ†” (๐ถโ€˜0) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
2523, 24mpbird 256 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))
26 elfzle1 13506 . . . . . . . . . 10 ((๐ถโ€˜0) โˆˆ (0...๐‘) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถโ€˜0))
2713, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ถโ€˜0))
2827adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถโ€˜0))
2921, 19subge02d 11808 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (0 โ‰ค (๐ถโ€˜0) โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
3028, 29mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
3117, 25, 30jca32 516 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„ค) โˆง (0 โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))))
32 elfz2 13493 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„ค) โˆง (0 โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))))
3331, 32sylibr 233 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
34 permnn 14288 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) โˆˆ โ„•)
3533, 34syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) โˆˆ โ„•)
3635nnzd 12587 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) โˆˆ โ„ค)
37 etransclem10.j . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
3837adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
3915adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„ค)
40 elnn0z 12573 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„•0 โ†” (((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))
4139, 25, 40sylanbrc 583 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„•0)
42 zexpcl 14044 . . . 4 ((๐ฝ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))) โˆˆ โ„ค)
4338, 41, 42syl2anc 584 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))) โˆˆ โ„ค)
4436, 43zmulcld 12674 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) โˆˆ โ„ค)
451, 44ifclda 4563 1 (๐œ‘ โ†’ if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) โˆˆ โ„ค)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   โˆˆ wcel 2106  ifcif 4528   class class class wbr 5148  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  โ„•cn 12214  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560  โ„คโ‰ฅcuz 12824  ...cfz 13486  โ†‘cexp 14029  !cfa 14235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265
This theorem is referenced by:  etransclem25  45060  etransclem26  45061  etransclem35  45070  etransclem37  45072
  Copyright terms: Public domain W3C validator