Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem10 45260
Description: The given if term is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem10.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
etransclem10.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
etransclem10.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ:(0...๐‘€)โŸถ(0...๐‘))
etransclem10.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
Assertion
Ref Expression
etransclem10 (๐œ‘ โ†’ if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) โˆˆ โ„ค)

Proof of Theorem etransclem10
StepHypRef Expression
1 0zd 12575 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
2 0zd 12575 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
3 etransclem10.n . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
4 nnm1nn0 12518 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
65nn0zd 12589 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
7 etransclem10.c . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ:(0...๐‘€)โŸถ(0...๐‘))
8 etransclem10.m . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
9 nn0uz 12869 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
108, 9eleqtrdi 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
11 eluzfz1 13513 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ 0 โˆˆ (0...๐‘€))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ (0...๐‘€))
137, 12ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜0) โˆˆ (0...๐‘))
1413elfzelzd 13507 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜0) โˆˆ โ„ค)
156, 14zsubcld 12676 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„ค)
162, 6, 153jca 1127 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„ค))
1716adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (0 โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„ค))
1814zred 12671 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ€˜0) โˆˆ โ„)
1918adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (๐ถโ€˜0) โˆˆ โ„)
205nn0red 12538 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2120adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
22 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0))
2319, 21, 22nltled 11369 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (๐ถโ€˜0) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
2421, 19subge0d 11809 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (0 โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โ†” (๐ถโ€˜0) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
2523, 24mpbird 256 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))
26 elfzle1 13509 . . . . . . . . . 10 ((๐ถโ€˜0) โˆˆ (0...๐‘) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถโ€˜0))
2713, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ถโ€˜0))
2827adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถโ€˜0))
2921, 19subge02d 11811 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (0 โ‰ค (๐ถโ€˜0) โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
3028, 29mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
3117, 25, 30jca32 515 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„ค) โˆง (0 โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))))
32 elfz2 13496 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„ค) โˆง (0 โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))))
3331, 32sylibr 233 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
34 permnn 14291 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) โˆˆ โ„•)
3533, 34syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) โˆˆ โ„•)
3635nnzd 12590 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) โˆˆ โ„ค)
37 etransclem10.j . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
3837adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
3915adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„ค)
40 elnn0z 12576 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„•0 โ†” (((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))
4139, 25, 40sylanbrc 582 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„•0)
42 zexpcl 14047 . . . 4 ((๐ฝ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))) โˆˆ โ„ค)
4338, 41, 42syl2anc 583 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))) โˆˆ โ„ค)
4436, 43zmulcld 12677 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0)) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) โˆˆ โ„ค)
451, 44ifclda 4564 1 (๐œ‘ โ†’ if((๐‘ƒ โˆ’ 1) < (๐ถโ€˜0), 0, (((!โ€˜(๐‘ƒ โˆ’ 1)) / (!โ€˜((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0)))) ยท (๐ฝโ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ (๐ถโ€˜0))))) โˆˆ โ„ค)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   โˆˆ wcel 2105  ifcif 4529   class class class wbr 5149  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  โ„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   ยท cmul 11118   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  โ„•0cn0 12477  โ„คcz 12563  โ„คโ‰ฅcuz 12827  ...cfz 13489  โ†‘cexp 14032  !cfa 14238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268
This theorem is referenced by:  etransclem25  45275  etransclem26  45276  etransclem35  45285  etransclem37  45287
  Copyright terms: Public domain W3C validator