Theorem etransclem10 46430

Description: The given if term is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem10.n	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem10.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem10.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem10.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
etransclem10	⊢ (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem etransclem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12498	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 0 ∈ ℤ)
2		0zd 12498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		etransclem10.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4		nnm1nn0 12440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6	5	nn0zd 12511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
7		etransclem10.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
8		etransclem10.m	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
9		nn0uz 12787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
10	8, 9	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
11		eluzfz1 13445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
13	7, 12	ffvelcdmd 7028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ (0...𝑁))
14	13	elfzelzd 13439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℤ)
15	6, 14	zsubcld 12599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ)
16	2, 6, 15	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ))
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ))
18	14	zred 12594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
20	5	nn0red 12461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
22		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0))
23	19, 21, 22	nltled 11281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐶‘0) ≤ (𝑃 − 1))
24	21, 19	subge0d 11725	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ↔ (𝐶‘0) ≤ (𝑃 − 1)))
25	23, 24	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))
26		elfzle1 13441	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶‘0) ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ (𝐶‘0))
27	13, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐶‘0))
28	27	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 0 ≤ (𝐶‘0))
29	21, 19	subge02d 11727	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (0 ≤ (𝐶‘0) ↔ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1)))
30	28, 29	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1))
31	17, 25, 30	jca32 515	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1))))
32		elfz2 13428	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ≤ (𝑃 − 1))))
33	31, 32	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
34		permnn 14247	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℕ)
35	33, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℕ)
36	35	nnzd 12512	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℤ)
37		etransclem10.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
38	37	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → 𝐽 ∈ ℤ)
39	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ)
40		elnn0z 12499	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))
41	39, 25, 40	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ0)
42		zexpcl 13997	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)) ∈ ℕ0) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) ∈ ℤ)
43	38, 41, 42	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))) ∈ ℤ)
44	36, 43	zmulcld 12600	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐶‘0)) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) ∈ ℤ)
45	1, 44	ifclda 4513	1 ⊢ (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐶‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐶‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐶‘0))))) ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113  ifcif 4477   class class class wbr 5096  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   · cmul 11029   < clt 11164   ≤ cle 11165   − cmin 11362   / cdiv 11792  ℕcn 12143  ℕ₀cn0 12399  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749  ...cfz 13421  ↑cexp 13982  !cfa 14194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-seq 13923  df-exp 13983  df-fac 14195  df-bc 14224

This theorem is referenced by:  etransclem25  46445  etransclem26  46446  etransclem35  46455  etransclem37  46457