Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem75 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fourierdlem75 45631
Description: Given a piecewise smooth function 𝐹, the derived function 𝐻 has a limit at the lower bound of each interval of the partition 𝑄. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem75.xre (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem75.p 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem75.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem75.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem75.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem75.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ℝ)
fourierdlem75.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
fourierdlem75.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem75.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
fourierdlem75.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
fourierdlem75.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
fourierdlem75.o 𝑂 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘š) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem75.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem75.gcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
fourierdlem75.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝐺 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem75.a 𝐴 = if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐸, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem75 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝐻,𝑠   𝑖,𝑀,π‘š,𝑝   𝑀,𝑠,𝑖   𝑄,𝑖,𝑝   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠   𝑖,𝑉,𝑝   𝑉,𝑠   π‘Š,𝑠   𝑖,𝑋,π‘š,𝑝   𝑋,𝑠   π‘Œ,𝑠   πœ‘,𝑖,𝑠
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝐴(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝑃(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝑄(π‘š)   𝑅(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐸(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐹(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐺(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝐻(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑂(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝑉(π‘š)   π‘Š(𝑖,π‘š,𝑝)   π‘Œ(𝑖,π‘š,𝑝)
Proof of Theorem fourierdlem75
Dummy variables π‘₯ 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem75.xre . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
21ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
3 fourierdlem75.v . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
4 fourierdlem75.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
5 fourierdlem75.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
65fourierdlem2 45559 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘€) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))))
74, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘€) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))))
83, 7mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘€) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
98simpld 493 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
10 elmapi 8864 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑉:(0...𝑀)βŸΆβ„)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉:(0...𝑀)βŸΆβ„)
1211adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑉:(0...𝑀)βŸΆβ„)
13 fzofzp1 13759 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
1413adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
1512, 14ffvelcdmd 7089 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
1615adantr 479 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
17 eqcom 2732 . . . . . . 7 ((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (π‘‰β€˜π‘–))
1817biimpi 215 . . . . . 6 ((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ 𝑋 = (π‘‰β€˜π‘–))
1918adantl 480 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 𝑋 = (π‘‰β€˜π‘–))
208simprrd 772 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
2120r19.21bi 3239 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
2221adantr 479 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
2319, 22eqbrtrd 5165 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 𝑋 < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
24 fourierdlem75.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2524adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
26 ioossre 13415 . . . . . . 7 (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ
2726a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
2825, 27fssresd 6758 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):(𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„)
2928adantr 479 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):(𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„)
30 limcresi 25830 . . . . . . . 8 ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) βŠ† (((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ 𝑋)
31 fourierdlem75.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
3230, 31sselid 3970 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ 𝑋))
3332adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Œ ∈ (((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ 𝑋))
34 pnfxr 11296 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
3534a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
3615rexrd 11292 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
3715ltpnfd 13131 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) < +∞)
3836, 35, 37xrltled 13159 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ +∞)
39 iooss2 13390 . . . . . . . . 9 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ +∞) β†’ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (𝑋(,)+∞))
4035, 38, 39syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (𝑋(,)+∞))
4140resabs1d 6007 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
4241oveq1d 7430 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ 𝑋) = ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ 𝑋))
4333, 42eleqtrd 2827 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ 𝑋))
4443adantr 479 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ 𝑋))
45 eqid 2725 . . . 4 (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) = (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
46 ax-resscn 11193 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
4746a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
4824, 47fssd 6734 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
49 ssid 3995 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† ℝ
5049a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ)
5126a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
52 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
5352tgioo2 24735 . . . . . . . . . . 11 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
5452, 53dvres 25856 . . . . . . . . . 10 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„‚) ∧ (ℝ βŠ† ℝ ∧ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))))
5547, 48, 50, 51, 54syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))))
56 fourierdlem75.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
5756eqcomi 2734 . . . . . . . . . 10 (ℝ D 𝐹) = 𝐺
58 ioontr 44958 . . . . . . . . . 10 ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
5957, 58reseq12i 5977 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) = (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
6055, 59eqtrdi 2781 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) = (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
6160adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) = (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
6261dmeqd 5902 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) = dom (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
6362adantlr 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) = dom (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
64 fourierdlem75.gcn . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
6564adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
66 oveq1 7422 . . . . . . . . . . 11 ((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) = (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
6766reseq2d 5979 . . . . . . . . . 10 ((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
6867feq1d 6701 . . . . . . . . 9 ((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ ((𝐺 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚ ↔ (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚))
6968adantl 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ ((𝐺 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚ ↔ (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚))
7065, 69mpbid 231 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
7166adantl 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) = (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
7271feq2d 6702 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚ ↔ (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):(𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚))
7370, 72mpbid 231 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):(𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
74 fdm 6725 . . . . . 6 ((𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):(𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚ β†’ dom (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
7573, 74syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ dom (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
7663, 75eqtrd 2765 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) = (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
77 limcresi 25830 . . . . . . . 8 ((𝐺 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) βŠ† (((𝐺 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ 𝑋)
78 fourierdlem75.e . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝐺 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
7977, 78sselid 3970 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (((𝐺 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ 𝑋))
8079adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐸 ∈ (((𝐺 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ 𝑋))
8140resabs1d 6007 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
8260adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) = (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
8381, 82eqtr4d 2768 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) = (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))))
8483oveq1d 7430 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((𝐺 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ 𝑋) = ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) limβ„‚ 𝑋))
8580, 84eleqtrd 2827 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐸 ∈ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) limβ„‚ 𝑋))
8685adantr 479 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 𝐸 ∈ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) limβ„‚ 𝑋))
87 eqid 2725 . . . 4 (𝑠 ∈ (0(,)((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)) ↦ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠)) = (𝑠 ∈ (0(,)((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)) ↦ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠))
88 oveq2 7423 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (𝑋 + π‘₯) = (𝑋 + 𝑠))
8988fveq2d 6895 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑠 β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + π‘₯)) = ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)))
9089oveq1d 7430 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + π‘₯)) βˆ’ π‘Œ) = (((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
9190cbvmptv 5256 . . . 4 (π‘₯ ∈ (0(,)((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)) ↦ (((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + π‘₯)) βˆ’ π‘Œ)) = (𝑠 ∈ (0(,)((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)) ↦ (((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
92 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑠 β†’ π‘₯ = 𝑠)
9392cbvmptv 5256 . . . 4 (π‘₯ ∈ (0(,)((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)) ↦ π‘₯) = (𝑠 ∈ (0(,)((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)) ↦ 𝑠)
942, 16, 23, 29, 44, 45, 76, 86, 87, 91, 93fourierdlem61 45617 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)) ↦ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠)) limβ„‚ 0))
95 fourierdlem75.a . . . . 5 𝐴 = if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐸, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–)))
96 iftrue 4530 . . . . 5 ((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐸, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) = 𝐸)
9795, 96eqtrid 2777 . . . 4 ((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ 𝐴 = 𝐸)
9897adantl 480 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 𝐴 = 𝐸)
99 fourierdlem75.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
10099reseq1i 5975 . . . . . 6 (𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
101100a1i 11 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
102 ioossicc 13440 . . . . . . . 8 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
103 pire 26409 . . . . . . . . . . . 12 Ο€ ∈ ℝ
104103renegcli 11549 . . . . . . . . . . 11 -Ο€ ∈ ℝ
105104rexri 11300 . . . . . . . . . 10 -Ο€ ∈ ℝ*
106105a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
107103rexri 11300 . . . . . . . . . 10 Ο€ ∈ ℝ*
108107a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
109104a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
110103a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
111104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
112111, 1readdcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (-Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ)
113103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
114113, 1readdcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ)
115112, 114iccssred 13441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) βŠ† ℝ)
116115adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) βŠ† ℝ)
1175, 4, 3fourierdlem15 45572 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑉:(0...𝑀)⟢((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)))
118117ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)))
119116, 118sseldd 3973 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ)
1201adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
121119, 120resubcld 11670 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
122111recnd 11270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ β„‚)
1231recnd 11270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
124122, 123pncand 11600 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((-Ο€ + 𝑋) βˆ’ 𝑋) = -Ο€)
125124eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ -Ο€ = ((-Ο€ + 𝑋) βˆ’ 𝑋))
126125adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ -Ο€ = ((-Ο€ + 𝑋) βˆ’ 𝑋))
127112adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (-Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ)
128114adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ)
129 elicc2 13419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ ∧ (Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ↔ ((π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ (-Ο€ + 𝑋) ≀ (π‘‰β€˜π‘–) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) ≀ (Ο€ + 𝑋))))
130127, 128, 129syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ↔ ((π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ (-Ο€ + 𝑋) ≀ (π‘‰β€˜π‘–) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) ≀ (Ο€ + 𝑋))))
131118, 130mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ (-Ο€ + 𝑋) ≀ (π‘‰β€˜π‘–) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) ≀ (Ο€ + 𝑋)))
132131simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (-Ο€ + 𝑋) ≀ (π‘‰β€˜π‘–))
133127, 119, 120, 132lesub1dd 11858 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((-Ο€ + 𝑋) βˆ’ 𝑋) ≀ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
134126, 133eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ -Ο€ ≀ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
135131simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ≀ (Ο€ + 𝑋))
136119, 128, 120, 135lesub1dd 11858 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ≀ ((Ο€ + 𝑋) βˆ’ 𝑋))
137110recnd 11270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ Ο€ ∈ β„‚)
138123adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
139137, 138pncand 11600 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((Ο€ + 𝑋) βˆ’ 𝑋) = Ο€)
140136, 139breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ≀ Ο€)
141109, 110, 121, 134, 140eliccd 44951 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
142 fourierdlem75.q . . . . . . . . . . 11 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
143141, 142fmptd 7118 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
144143adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
145 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
146106, 108, 144, 145fourierdlem8 45565 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
147102, 146sstrid 3984 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
148147resmptd 6039 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))))
149148adantr 479 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))))
150 elfzofz 13678 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
151 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
152142fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
153151, 141, 152syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
154153adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
155 oveq1 7422 . . . . . . . . . 10 ((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = (𝑋 βˆ’ 𝑋))
156155adantl 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = (𝑋 βˆ’ 𝑋))
157123ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
158157subidd 11587 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑋) = 0)
159154, 156, 1583eqtrd 2769 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = 0)
160150, 159sylanl2 679 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = 0)
161 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘‰β€˜π‘–) = (π‘‰β€˜π‘—))
162161oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
163162cbvmptv 5256 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
164142, 163eqtri 2753 . . . . . . . . . 10 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
165164a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)))
166 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ (π‘‰β€˜π‘—) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
167166oveq1d 7430 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
168167adantl 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
1691adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
17015, 169resubcld 11670 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
171165, 168, 14, 170fvmptd 7006 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
172171adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
173160, 172oveq12d 7433 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = (0(,)((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)))
174 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = 0) β†’ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
175 fourierdlem75.o . . . . . . . . . . . . 13 𝑂 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘š) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
1764adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑠 = 0) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
177111, 113, 1, 5, 175, 4, 3, 142fourierdlem14 45571 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘‚β€˜π‘€))
178177adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑠 = 0) β†’ 𝑄 ∈ (π‘‚β€˜π‘€))
179 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑠 = 0) β†’ 𝑠 = 0)
180 fourierdlem75.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑉)
181 ffn 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑉:(0...𝑀)⟢((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) β†’ 𝑉 Fn (0...𝑀))
182 fvelrnb 6953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑉 Fn (0...𝑀) β†’ (𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋))
183117, 181, 1823syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋))
184180, 183mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋)
185159ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ (π‘„β€˜π‘–) = 0))
186185reximdva 3158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = 0))
187184, 186mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = 0)
188121, 142fmptd 7118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
189 ffn 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„ β†’ 𝑄 Fn (0...𝑀))
190 fvelrnb 6953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑄 Fn (0...𝑀) β†’ (0 ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = 0))
191188, 189, 1903syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (0 ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = 0))
192187, 191mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ran 𝑄)
193192adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑠 = 0) β†’ 0 ∈ ran 𝑄)
194179, 193eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑠 = 0) β†’ 𝑠 ∈ ran 𝑄)
195175, 176, 178, 194fourierdlem12 45569 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
196195an32s 650 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 = 0) β†’ Β¬ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
197196adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = 0) β†’ Β¬ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
198174, 197pm2.65da 815 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑠 = 0)
199198adantlr 713 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑠 = 0)
200199iffalsed 4535 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))
201160eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 0 = (π‘„β€˜π‘–))
202201adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 0 = (π‘„β€˜π‘–))
203 elioo3g 13383 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↔ (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘„β€˜π‘–) < 𝑠 ∧ 𝑠 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
204203biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘„β€˜π‘–) < 𝑠 ∧ 𝑠 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
205204simprld 770 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑠)
206205adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑠)
207202, 206eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 0 < 𝑠)
208207iftrued 4532 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) = π‘Œ)
209208oveq2d 7431 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
210209oveq1d 7430 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠))
2111rexrd 11292 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
212211ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
21336ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
214169ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
215 elioore 13384 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
216215adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
217214, 216readdcld 11271 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
218216, 207elrpd 13043 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ+)
219214, 218ltaddrpd 13079 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑋 < (𝑋 + 𝑠))
220215adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
221188adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
222221, 14ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
223222adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
2241ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
225204simprrd 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑠 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
226225adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
227220, 223, 224, 226ltadd2dd 11401 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
228171oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = (𝑋 + ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)))
229123adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
23015recnd 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„‚)
231229, 230pncan3d 11602 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
232228, 231eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
233232adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
234227, 233breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
235234adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
236212, 213, 217, 219, 235eliood 44945 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
237 fvres 6910 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 + 𝑠) ∈ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
238236, 237syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
239238eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) = ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)))
240239oveq1d 7430 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) = (((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
241240oveq1d 7430 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) = ((((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠))
242200, 210, 2413eqtrd 2769 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) = ((((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠))
243173, 242mpteq12dva 5232 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)) ↦ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠)))
244101, 149, 2433eqtrd 2769 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ (0(,)((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)) ↦ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠)))
245244, 160oveq12d 7433 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ (0(,)((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)) ↦ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠)) limβ„‚ 0))
24694, 98, 2453eltr4d 2840 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
247 eqid 2725 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)))
248 eqid 2725 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ 𝑠)
249 eqid 2725 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))
25024adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2511adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
252215adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
253251, 252readdcld 11271 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
254250, 253ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
255254recnd 11270 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
256255adantlr 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
2572563adantl3 1165 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
258 limccl 25820 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) βŠ† β„‚
259258, 31sselid 3970 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
260 fourierdlem75.w . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ℝ)
261260recnd 11270 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚)
262259, 261ifcld 4570 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) ∈ β„‚)
263262adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) ∈ β„‚)
2642633ad2antl1 1182 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) ∈ β„‚)
265257, 264subcld 11599 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) ∈ β„‚)
266215recnd 11270 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
267266adantl 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
268 velsn 4640 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
269198, 268sylnibr 328 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑠 ∈ {0})
2702693adantl3 1165 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑠 ∈ {0})
271267, 270eldifd 3951 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
272 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
273 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ π‘Š) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ π‘Š)
274 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š)) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š))
275261ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘Š ∈ β„‚)
276 ioossre 13415 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ
277276a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
278150, 119sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ)
279278rexrd 11292 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
280279adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
28136adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
282253adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
283 iccssre 13436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ)
284104, 103, 283mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ
285284, 46sstri 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-Ο€[,]Ο€) βŠ† β„‚
286153, 141eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
287150, 286sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
288285, 287sselid 3970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ β„‚)
289229, 288addcomd 11444 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–)) = ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋))
290150adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
291150, 121sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
292142fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
293290, 291, 292syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
294293oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋) = (((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) + 𝑋))
295278recnd 11270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ β„‚)
296295, 229npcand 11603 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) + 𝑋) = (π‘‰β€˜π‘–))
297289, 294, 2963eqtrrd 2770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) = (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–)))
298297adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) = (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–)))
299293, 291eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
300299adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
301205adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑠)
302300, 220, 224, 301ltadd2dd 11401 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–)) < (𝑋 + 𝑠))
303298, 302eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) < (𝑋 + 𝑠))
304280, 281, 282, 303, 234eliood 44945 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
305 ioossre 13415 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ
306305a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
307300, 301gtned 11377 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 β‰  (π‘„β€˜π‘–))
308 fourierdlem75.r . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
309297oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–))))
310308, 309eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–))))
31125, 169, 277, 272, 304, 306, 307, 310, 288fourierdlem53 45609 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
312 ioosscn 13416 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚
313312a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚)
314261adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Š ∈ β„‚)
315273, 313, 314, 288constlimc 45074 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Š ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ π‘Š) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
316272, 273, 274, 256, 275, 311, 315sublimc 45102 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑅 βˆ’ π‘Š) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š)) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
317316adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (𝑅 βˆ’ π‘Š) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š)) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
318 iftrue 4530 . . . . . . . . . 10 ((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋 β†’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ) = π‘Š)
319318oveq2d 7431 . . . . . . . . 9 ((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋 β†’ (𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) = (𝑅 βˆ’ π‘Š))
320319adantl 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) = (𝑅 βˆ’ π‘Š))
321215adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
322 0red 11245 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 0 ∈ ℝ)
323222ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
324225adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
325171adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
326279ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
32736ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
328169ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
329 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋)
330 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋) β†’ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋)
3311ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
33215adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
333331, 332ltnled 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ↔ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋))
334330, 333mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
335334adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
336326, 327, 328, 329, 335eliood 44945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
3375, 4, 3, 180fourierdlem12 45569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
338337ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
339336, 338condan 816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋)
34015adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
3411ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
342340, 341suble0d 11833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋) ≀ 0 ↔ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋))
343339, 342mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋) ≀ 0)
344325, 343eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 0)
345344adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 0)
346321, 323, 322, 324, 345ltletrd 11402 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 < 0)
347321, 322, 346ltnsymd 11391 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ Β¬ 0 < 𝑠)
348347iffalsed 4535 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) = π‘Š)
349348oveq2d 7431 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š))
350349mpteq2dva 5243 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š)))
351350oveq1d 7430 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š)) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
352317, 320, 3513eltr4d 2840 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
3533523adantl3 1165 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
354 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ π‘Œ) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ π‘Œ)
355 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
356259ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
357259adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
358354, 313, 357, 288constlimc 45074 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Œ ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ π‘Œ) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
359272, 354, 355, 256, 356, 311, 358sublimc 45102 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑅 βˆ’ π‘Œ) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
360359adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (𝑅 βˆ’ π‘Œ) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
361 iffalse 4533 . . . . . . . . . 10 (Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋 β†’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ) = π‘Œ)
362361oveq2d 7431 . . . . . . . . 9 (Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋 β†’ (𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) = (𝑅 βˆ’ π‘Œ))
363362adantl 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) = (𝑅 βˆ’ π‘Œ))
364 0red 11245 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 0 ∈ ℝ)
365299ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
366215adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
3671ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
368278adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ)
369 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋)
370367, 368, 369nltled 11392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ 𝑋 ≀ (π‘‰β€˜π‘–))
371368, 367subge0d 11832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (0 ≀ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ↔ 𝑋 ≀ (π‘‰β€˜π‘–)))
372370, 371mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ 0 ≀ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
373293eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = (π‘„β€˜π‘–))
374373adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = (π‘„β€˜π‘–))
375372, 374breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘„β€˜π‘–))
376375adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 0 ≀ (π‘„β€˜π‘–))
377205adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑠)
378364, 365, 366, 376, 377lelttrd 11400 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 0 < 𝑠)
379378iftrued 4532 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) = π‘Œ)
380379oveq2d 7431 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
381380mpteq2dva 5243 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)))
382381oveq1d 7430 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
383360, 363, 3823eltr4d 2840 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
3843833adantl3 1165 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
385353, 384pm2.61dan 811 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
386313, 248, 288idlimc 45076 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ 𝑠) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
3873863adant3 1129 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ 𝑠) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
3882933adant3 1129 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
3892953adant3 1129 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ β„‚)
3902293adant3 1129 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
391 neqne 2938 . . . . . . . 8 (Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ (π‘‰β€˜π‘–) β‰  𝑋)
3923913ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) β‰  𝑋)
393389, 390, 392subne0d 11608 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) β‰  0)
394388, 393eqnetrd 2998 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (π‘„β€˜π‘–) β‰  0)
3951983adantl3 1165 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑠 = 0)
396395neqned 2937 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 β‰  0)
397247, 248, 249, 265, 271, 385, 387, 394, 396divlimc 45106 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–)) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
398 iffalse 4533 . . . . . 6 (Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐸, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) = ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–)))
39995, 398eqtrid 2777 . . . . 5 (Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ 𝐴 = ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–)))
4003993ad2ant3 1132 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 𝐴 = ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–)))
401 ioossre 13415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋(,)+∞) βŠ† ℝ
402401a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)+∞) βŠ† ℝ)
40324, 402fssresd 6758 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)):(𝑋(,)+∞)βŸΆβ„)
404401, 47sstrid 3984 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)+∞) βŠ† β„‚)
40534a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
4061ltpnfd 13131 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 < +∞)
40752, 405, 1, 406lptioo1cn 45096 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝑋(,)+∞)))
408403, 404, 407, 31limcrecl 45079 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
40924, 1, 408, 260, 99fourierdlem9 45566 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐻:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
410409adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐻:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
411410, 147feqresmpt 6962 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π»β€˜π‘ )))
412147sselda 3972 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
413 0cnd 11235 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 0 ∈ β„‚)
414262ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) ∈ β„‚)
415256, 414subcld 11599 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) ∈ β„‚)
416266adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
417198neqned 2937 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 β‰  0)
418415, 416, 417divcld 12018 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠) ∈ β„‚)
419413, 418ifcld 4570 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) ∈ β„‚)
42099fvmpt2 7010 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) ∈ β„‚) β†’ (π»β€˜π‘ ) = if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
421412, 419, 420syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π»β€˜π‘ ) = if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
422198iffalsed 4535 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))
423421, 422eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π»β€˜π‘ ) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))
424423mpteq2dva 5243 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π»β€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
425411, 424eqtrd 2765 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
4264253adant3 1129 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
427426oveq1d 7430 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
428397, 400, 4273eltr4d 2840 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
4294283expa 1115 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
430246, 429pm2.61dan 811 1 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  {crab 3419   βŠ† wss 3940  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5672  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ↑m cmap 8841  β„‚cc 11134  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139  +∞cpnf 11273  β„*cxr 11275   < clt 11276   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472  -cneg 11473   / cdiv 11899  β„•cn 12240  (,)cioo 13354  [,]cicc 13357  ...cfz 13514  ..^cfzo 13657  Ο€cpi 16040  TopOpenctopn 17400  topGenctg 17416  β„‚fldccnfld 21281  intcnt 22937   limβ„‚ climc 25807   D cdv 25808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-bc 14292  df-hash 14320  df-shft 15044  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-ef 16041  df-sin 16043  df-cos 16044  df-pi 16046  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-cmp 23307  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-limc 25811  df-dv 25812
This theorem is referenced by:  fourierdlem85  45641  fourierdlem88  45644  fourierdlem103  45659  fourierdlem104  45660
  Copyright terms: Public domain W3C validator