Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem75 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fourierdlem75 44897
Description: Given a piecewise smooth function 𝐹, the derived function 𝐻 has a limit at the lower bound of each interval of the partition 𝑄. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem75.xre (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem75.p 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem75.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem75.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem75.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem75.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ℝ)
fourierdlem75.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
fourierdlem75.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem75.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
fourierdlem75.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
fourierdlem75.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
fourierdlem75.o 𝑂 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘š) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem75.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem75.gcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
fourierdlem75.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝐺 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem75.a 𝐴 = if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐸, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem75 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝐻,𝑠   𝑖,𝑀,π‘š,𝑝   𝑀,𝑠,𝑖   𝑄,𝑖,𝑝   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠   𝑖,𝑉,𝑝   𝑉,𝑠   π‘Š,𝑠   𝑖,𝑋,π‘š,𝑝   𝑋,𝑠   π‘Œ,𝑠   πœ‘,𝑖,𝑠
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝐴(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝑃(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝑄(π‘š)   𝑅(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐸(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐹(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐺(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝐻(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑂(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝑉(π‘š)   π‘Š(𝑖,π‘š,𝑝)   π‘Œ(𝑖,π‘š,𝑝)
Proof of Theorem fourierdlem75
Dummy variables π‘₯ 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem75.xre . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
21ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
3 fourierdlem75.v . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
4 fourierdlem75.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
5 fourierdlem75.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
65fourierdlem2 44825 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘€) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))))
74, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘€) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))))
83, 7mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘€) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
98simpld 496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
10 elmapi 8843 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑉:(0...𝑀)βŸΆβ„)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉:(0...𝑀)βŸΆβ„)
1211adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑉:(0...𝑀)βŸΆβ„)
13 fzofzp1 13729 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
1413adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
1512, 14ffvelcdmd 7088 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
1615adantr 482 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
17 eqcom 2740 . . . . . . 7 ((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (π‘‰β€˜π‘–))
1817biimpi 215 . . . . . 6 ((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ 𝑋 = (π‘‰β€˜π‘–))
1918adantl 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 𝑋 = (π‘‰β€˜π‘–))
208simprrd 773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
2120r19.21bi 3249 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
2221adantr 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
2319, 22eqbrtrd 5171 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 𝑋 < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
24 fourierdlem75.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2524adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
26 ioossre 13385 . . . . . . 7 (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ
2726a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
2825, 27fssresd 6759 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):(𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„)
2928adantr 482 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):(𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„)
30 limcresi 25402 . . . . . . . 8 ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) βŠ† (((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ 𝑋)
31 fourierdlem75.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
3230, 31sselid 3981 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ 𝑋))
3332adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Œ ∈ (((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ 𝑋))
34 pnfxr 11268 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
3534a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
3615rexrd 11264 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
3715ltpnfd 13101 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) < +∞)
3836, 35, 37xrltled 13129 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ +∞)
39 iooss2 13360 . . . . . . . . 9 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ +∞) β†’ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (𝑋(,)+∞))
4035, 38, 39syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (𝑋(,)+∞))
4140resabs1d 6013 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
4241oveq1d 7424 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ 𝑋) = ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ 𝑋))
4333, 42eleqtrd 2836 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ 𝑋))
4443adantr 482 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ 𝑋))
45 eqid 2733 . . . 4 (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) = (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
46 ax-resscn 11167 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
4746a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
4824, 47fssd 6736 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
49 ssid 4005 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† ℝ
5049a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ)
5126a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
52 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
5352tgioo2 24319 . . . . . . . . . . 11 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
5452, 53dvres 25428 . . . . . . . . . 10 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„‚) ∧ (ℝ βŠ† ℝ ∧ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))))
5547, 48, 50, 51, 54syl22anc 838 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))))
56 fourierdlem75.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
5756eqcomi 2742 . . . . . . . . . 10 (ℝ D 𝐹) = 𝐺
58 ioontr 44224 . . . . . . . . . 10 ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
5957, 58reseq12i 5980 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) = (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
6055, 59eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) = (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
6160adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) = (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
6261dmeqd 5906 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) = dom (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
6362adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) = dom (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
64 fourierdlem75.gcn . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
6564adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
66 oveq1 7416 . . . . . . . . . . 11 ((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) = (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
6766reseq2d 5982 . . . . . . . . . 10 ((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
6867feq1d 6703 . . . . . . . . 9 ((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ ((𝐺 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚ ↔ (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚))
6968adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ ((𝐺 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚ ↔ (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚))
7065, 69mpbid 231 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
7166adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) = (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
7271feq2d 6704 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚ ↔ (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):(𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚))
7370, 72mpbid 231 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):(𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
74 fdm 6727 . . . . . 6 ((𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):(𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚ β†’ dom (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
7573, 74syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ dom (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
7663, 75eqtrd 2773 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) = (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
77 limcresi 25402 . . . . . . . 8 ((𝐺 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) βŠ† (((𝐺 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ 𝑋)
78 fourierdlem75.e . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝐺 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
7977, 78sselid 3981 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (((𝐺 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ 𝑋))
8079adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐸 ∈ (((𝐺 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ 𝑋))
8140resabs1d 6013 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
8260adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) = (𝐺 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
8381, 82eqtr4d 2776 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐺 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) = (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))))
8483oveq1d 7424 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((𝐺 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ 𝑋) = ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) limβ„‚ 𝑋))
8580, 84eleqtrd 2836 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐸 ∈ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) limβ„‚ 𝑋))
8685adantr 482 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 𝐸 ∈ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))) limβ„‚ 𝑋))
87 eqid 2733 . . . 4 (𝑠 ∈ (0(,)((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)) ↦ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠)) = (𝑠 ∈ (0(,)((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)) ↦ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠))
88 oveq2 7417 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (𝑋 + π‘₯) = (𝑋 + 𝑠))
8988fveq2d 6896 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑠 β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + π‘₯)) = ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)))
9089oveq1d 7424 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + π‘₯)) βˆ’ π‘Œ) = (((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
9190cbvmptv 5262 . . . 4 (π‘₯ ∈ (0(,)((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)) ↦ (((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + π‘₯)) βˆ’ π‘Œ)) = (𝑠 ∈ (0(,)((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)) ↦ (((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
92 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑠 β†’ π‘₯ = 𝑠)
9392cbvmptv 5262 . . . 4 (π‘₯ ∈ (0(,)((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)) ↦ π‘₯) = (𝑠 ∈ (0(,)((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)) ↦ 𝑠)
942, 16, 23, 29, 44, 45, 76, 86, 87, 91, 93fourierdlem61 44883 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)) ↦ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠)) limβ„‚ 0))
95 fourierdlem75.a . . . . 5 𝐴 = if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐸, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–)))
96 iftrue 4535 . . . . 5 ((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐸, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) = 𝐸)
9795, 96eqtrid 2785 . . . 4 ((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ 𝐴 = 𝐸)
9897adantl 483 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 𝐴 = 𝐸)
99 fourierdlem75.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
10099reseq1i 5978 . . . . . 6 (𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
101100a1i 11 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
102 ioossicc 13410 . . . . . . . 8 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
103 pire 25968 . . . . . . . . . . . 12 Ο€ ∈ ℝ
104103renegcli 11521 . . . . . . . . . . 11 -Ο€ ∈ ℝ
105104rexri 11272 . . . . . . . . . 10 -Ο€ ∈ ℝ*
106105a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
107103rexri 11272 . . . . . . . . . 10 Ο€ ∈ ℝ*
108107a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
109104a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
110103a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
111104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
112111, 1readdcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (-Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ)
113103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
114113, 1readdcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ)
115112, 114iccssred 13411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) βŠ† ℝ)
116115adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) βŠ† ℝ)
1175, 4, 3fourierdlem15 44838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑉:(0...𝑀)⟢((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)))
118117ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)))
119116, 118sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ)
1201adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
121119, 120resubcld 11642 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
122111recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ β„‚)
1231recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
124122, 123pncand 11572 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((-Ο€ + 𝑋) βˆ’ 𝑋) = -Ο€)
125124eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ -Ο€ = ((-Ο€ + 𝑋) βˆ’ 𝑋))
126125adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ -Ο€ = ((-Ο€ + 𝑋) βˆ’ 𝑋))
127112adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (-Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ)
128114adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ)
129 elicc2 13389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ ∧ (Ο€ + 𝑋) ∈ ℝ) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ↔ ((π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ (-Ο€ + 𝑋) ≀ (π‘‰β€˜π‘–) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) ≀ (Ο€ + 𝑋))))
130127, 128, 129syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) ∈ ((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) ↔ ((π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ (-Ο€ + 𝑋) ≀ (π‘‰β€˜π‘–) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) ≀ (Ο€ + 𝑋))))
131118, 130mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ (-Ο€ + 𝑋) ≀ (π‘‰β€˜π‘–) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) ≀ (Ο€ + 𝑋)))
132131simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (-Ο€ + 𝑋) ≀ (π‘‰β€˜π‘–))
133127, 119, 120, 132lesub1dd 11830 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((-Ο€ + 𝑋) βˆ’ 𝑋) ≀ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
134126, 133eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ -Ο€ ≀ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
135131simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ≀ (Ο€ + 𝑋))
136119, 128, 120, 135lesub1dd 11830 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ≀ ((Ο€ + 𝑋) βˆ’ 𝑋))
137110recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ Ο€ ∈ β„‚)
138123adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
139137, 138pncand 11572 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((Ο€ + 𝑋) βˆ’ 𝑋) = Ο€)
140136, 139breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ≀ Ο€)
141109, 110, 121, 134, 140eliccd 44217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
142 fourierdlem75.q . . . . . . . . . . 11 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
143141, 142fmptd 7114 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
144143adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
145 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
146106, 108, 144, 145fourierdlem8 44831 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
147102, 146sstrid 3994 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
148147resmptd 6041 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))))
149148adantr 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))))
150 elfzofz 13648 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
151 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
152142fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
153151, 141, 152syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
154153adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
155 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 ((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = (𝑋 βˆ’ 𝑋))
156155adantl 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = (𝑋 βˆ’ 𝑋))
157123ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
158157subidd 11559 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑋) = 0)
159154, 156, 1583eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = 0)
160150, 159sylanl2 680 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = 0)
161 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘‰β€˜π‘–) = (π‘‰β€˜π‘—))
162161oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
163162cbvmptv 5262 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
164142, 163eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
165164a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)))
166 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ (π‘‰β€˜π‘—) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
167166oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
168167adantl 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
1691adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
17015, 169resubcld 11642 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
171165, 168, 14, 170fvmptd 7006 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
172171adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
173160, 172oveq12d 7427 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = (0(,)((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)))
174 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = 0) β†’ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
175 fourierdlem75.o . . . . . . . . . . . . 13 𝑂 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘š) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
1764adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑠 = 0) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
177111, 113, 1, 5, 175, 4, 3, 142fourierdlem14 44837 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘‚β€˜π‘€))
178177adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑠 = 0) β†’ 𝑄 ∈ (π‘‚β€˜π‘€))
179 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑠 = 0) β†’ 𝑠 = 0)
180 fourierdlem75.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑉)
181 ffn 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑉:(0...𝑀)⟢((-Ο€ + 𝑋)[,](Ο€ + 𝑋)) β†’ 𝑉 Fn (0...𝑀))
182 fvelrnb 6953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑉 Fn (0...𝑀) β†’ (𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋))
183117, 181, 1823syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋))
184180, 183mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋)
185159ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ (π‘„β€˜π‘–) = 0))
186185reximdva 3169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = 0))
187184, 186mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = 0)
188121, 142fmptd 7114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
189 ffn 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„ β†’ 𝑄 Fn (0...𝑀))
190 fvelrnb 6953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑄 Fn (0...𝑀) β†’ (0 ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = 0))
191188, 189, 1903syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (0 ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0...𝑀)(π‘„β€˜π‘–) = 0))
192187, 191mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ran 𝑄)
193192adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑠 = 0) β†’ 0 ∈ ran 𝑄)
194179, 193eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑠 = 0) β†’ 𝑠 ∈ ran 𝑄)
195175, 176, 178, 194fourierdlem12 44835 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
196195an32s 651 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 = 0) β†’ Β¬ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
197196adantlr 714 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑠 = 0) β†’ Β¬ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
198174, 197pm2.65da 816 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑠 = 0)
199198adantlr 714 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑠 = 0)
200199iffalsed 4540 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))
201160eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 0 = (π‘„β€˜π‘–))
202201adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 0 = (π‘„β€˜π‘–))
203 elioo3g 13353 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↔ (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘„β€˜π‘–) < 𝑠 ∧ 𝑠 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
204203biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (((π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘„β€˜π‘–) < 𝑠 ∧ 𝑠 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
205204simprld 771 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑠)
206205adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑠)
207202, 206eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 0 < 𝑠)
208207iftrued 4537 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) = π‘Œ)
209208oveq2d 7425 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
210209oveq1d 7424 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠))
2111rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
212211ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
21336ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
214169ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
215 elioore 13354 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
216215adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
217214, 216readdcld 11243 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
218216, 207elrpd 13013 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ+)
219214, 218ltaddrpd 13049 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑋 < (𝑋 + 𝑠))
220215adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
221188adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
222221, 14ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
223222adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
2241ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
225204simprrd 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑠 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
226225adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
227220, 223, 224, 226ltadd2dd 11373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
228171oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = (𝑋 + ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)))
229123adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
23015recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„‚)
231229, 230pncan3d 11574 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
232228, 231eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
233232adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
234227, 233breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
235234adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
236212, 213, 217, 219, 235eliood 44211 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
237 fvres 6911 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 + 𝑠) ∈ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
238236, 237syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
239238eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) = ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)))
240239oveq1d 7424 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) = (((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
241240oveq1d 7424 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠) = ((((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠))
242200, 210, 2413eqtrd 2777 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) = ((((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠))
243173, 242mpteq12dva 5238 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)) ↦ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠)))
244101, 149, 2433eqtrd 2777 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ (0(,)((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)) ↦ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠)))
245244, 160oveq12d 7427 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ (0(,)((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋)) ↦ ((((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠)) limβ„‚ 0))
24694, 98, 2453eltr4d 2849 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
247 eqid 2733 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)))
248 eqid 2733 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ 𝑠)
249 eqid 2733 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))
25024adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2511adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
252215adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
253251, 252readdcld 11243 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
254250, 253ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
255254recnd 11242 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
256255adantlr 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
2572563adantl3 1169 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
258 limccl 25392 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) βŠ† β„‚
259258, 31sselid 3981 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
260 fourierdlem75.w . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ℝ)
261260recnd 11242 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚)
262259, 261ifcld 4575 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) ∈ β„‚)
263262adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) ∈ β„‚)
2642633ad2antl1 1186 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) ∈ β„‚)
265257, 264subcld 11571 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) ∈ β„‚)
266215recnd 11242 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
267266adantl 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
268 velsn 4645 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
269198, 268sylnibr 329 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑠 ∈ {0})
2702693adantl3 1169 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑠 ∈ {0})
271267, 270eldifd 3960 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
272 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
273 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ π‘Š) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ π‘Š)
274 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š)) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š))
275261ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘Š ∈ β„‚)
276 ioossre 13385 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ
277276a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
278150, 119sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ)
279278rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
280279adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
28136adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
282253adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
283 iccssre 13406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ)
284104, 103, 283mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ
285284, 46sstri 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-Ο€[,]Ο€) βŠ† β„‚
286153, 141eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
287150, 286sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
288285, 287sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ β„‚)
289229, 288addcomd 11416 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–)) = ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋))
290150adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
291150, 121sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
292142fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
293290, 291, 292syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
294293oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) + 𝑋) = (((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) + 𝑋))
295278recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ β„‚)
296295, 229npcand 11575 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) + 𝑋) = (π‘‰β€˜π‘–))
297289, 294, 2963eqtrrd 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) = (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–)))
298297adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) = (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–)))
299293, 291eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
300299adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
301205adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑠)
302300, 220, 224, 301ltadd2dd 11373 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–)) < (𝑋 + 𝑠))
303298, 302eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) < (𝑋 + 𝑠))
304280, 281, 282, 303, 234eliood 44211 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
305 ioossre 13385 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ
306305a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
307300, 301gtned 11349 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 β‰  (π‘„β€˜π‘–))
308 fourierdlem75.r . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
309297oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–))))
310308, 309eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (𝑋 + (π‘„β€˜π‘–))))
31125, 169, 277, 272, 304, 306, 307, 310, 288fourierdlem53 44875 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
312 ioosscn 13386 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚
313312a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚)
314261adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Š ∈ β„‚)
315273, 313, 314, 288constlimc 44340 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Š ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ π‘Š) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
316272, 273, 274, 256, 275, 311, 315sublimc 44368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑅 βˆ’ π‘Š) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š)) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
317316adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (𝑅 βˆ’ π‘Š) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š)) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
318 iftrue 4535 . . . . . . . . . 10 ((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋 β†’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ) = π‘Š)
319318oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 ((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋 β†’ (𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) = (𝑅 βˆ’ π‘Š))
320319adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) = (𝑅 βˆ’ π‘Š))
321215adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
322 0red 11217 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 0 ∈ ℝ)
323222ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
324225adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
325171adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
326279ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
32736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
328169ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
329 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋)
330 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋) β†’ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋)
3311ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
33215adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
333331, 332ltnled 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ↔ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋))
334330, 333mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
335334adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))
336326, 327, 328, 329, 335eliood 44211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
3375, 4, 3, 180fourierdlem12 44835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
338337ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))
339336, 338condan 817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋)
34015adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
3411ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
342340, 341suble0d 11805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋) ≀ 0 ↔ (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 𝑋))
343339, 342mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ ((π‘‰β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋) ≀ 0)
344325, 343eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 0)
345344adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ≀ 0)
346321, 323, 322, 324, 345ltletrd 11374 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 < 0)
347321, 322, 346ltnsymd 11363 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ Β¬ 0 < 𝑠)
348347iffalsed 4540 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) = π‘Š)
349348oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š))
350349mpteq2dva 5249 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š)))
351350oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Š)) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
352317, 320, 3513eltr4d 2849 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
3533523adantl3 1169 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
354 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ π‘Œ) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ π‘Œ)
355 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
356259ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
357259adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
358354, 313, 357, 288constlimc 44340 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Œ ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ π‘Œ) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
359272, 354, 355, 256, 356, 311, 358sublimc 44368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑅 βˆ’ π‘Œ) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
360359adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (𝑅 βˆ’ π‘Œ) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
361 iffalse 4538 . . . . . . . . . 10 (Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋 β†’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ) = π‘Œ)
362361oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋 β†’ (𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) = (𝑅 βˆ’ π‘Œ))
363362adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) = (𝑅 βˆ’ π‘Œ))
364 0red 11217 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 0 ∈ ℝ)
365299ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
366215adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
3671ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
368278adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ ℝ)
369 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋)
370367, 368, 369nltled 11364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ 𝑋 ≀ (π‘‰β€˜π‘–))
371368, 367subge0d 11804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (0 ≀ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ↔ 𝑋 ≀ (π‘‰β€˜π‘–)))
372370, 371mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ 0 ≀ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
373293eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = (π‘„β€˜π‘–))
374373adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = (π‘„β€˜π‘–))
375372, 374breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘„β€˜π‘–))
376375adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 0 ≀ (π‘„β€˜π‘–))
377205adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < 𝑠)
378364, 365, 366, 376, 377lelttrd 11372 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 0 < 𝑠)
379378iftrued 4537 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) = π‘Œ)
380379oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
381380mpteq2dva 5249 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)))
382381oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
383360, 363, 3823eltr4d 2849 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
3843833adantl3 1169 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋) β†’ (𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
385353, 384pm2.61dan 812 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
386313, 248, 288idlimc 44342 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ 𝑠) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
3873863adant3 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ 𝑠) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
3882933adant3 1133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
3892953adant3 1133 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) ∈ β„‚)
3902293adant3 1133 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
391 neqne 2949 . . . . . . . 8 (Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ (π‘‰β€˜π‘–) β‰  𝑋)
3923913ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (π‘‰β€˜π‘–) β‰  𝑋)
393389, 390, 392subne0d 11580 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) β‰  0)
394388, 393eqnetrd 3009 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (π‘„β€˜π‘–) β‰  0)
3951983adantl3 1169 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ Β¬ 𝑠 = 0)
396395neqned 2948 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 β‰  0)
397247, 248, 249, 265, 271, 385, 387, 394, 396divlimc 44372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–)) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
398 iffalse 4538 . . . . . 6 (Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐸, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) = ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–)))
39995, 398eqtrid 2785 . . . . 5 (Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋 β†’ 𝐴 = ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–)))
4003993ad2ant3 1136 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 𝐴 = ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–)))
401 ioossre 13385 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋(,)+∞) βŠ† ℝ
402401a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)+∞) βŠ† ℝ)
40324, 402fssresd 6759 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)):(𝑋(,)+∞)βŸΆβ„)
404401, 47sstrid 3994 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)+∞) βŠ† β„‚)
40534a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
4061ltpnfd 13101 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 < +∞)
40752, 405, 1, 406lptioo1cn 44362 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝑋(,)+∞)))
408403, 404, 407, 31limcrecl 44345 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
40924, 1, 408, 260, 99fourierdlem9 44832 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐻:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
410409adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐻:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
411410, 147feqresmpt 6962 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π»β€˜π‘ )))
412147sselda 3983 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
413 0cnd 11207 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 0 ∈ β„‚)
414262ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š) ∈ β„‚)
415256, 414subcld 11571 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) ∈ β„‚)
416266adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
417198neqned 2948 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 β‰  0)
418415, 416, 417divcld 11990 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠) ∈ β„‚)
419413, 418ifcld 4575 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) ∈ β„‚)
42099fvmpt2 7010 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) ∈ β„‚) β†’ (π»β€˜π‘ ) = if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
421412, 419, 420syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π»β€˜π‘ ) = if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
422198iffalsed 4540 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))
423421, 422eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π»β€˜π‘ ) = (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠))
424423mpteq2dva 5249 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π»β€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
425411, 424eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
4264253adant3 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ (𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
427426oveq1d 7424 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
428397, 400, 4273eltr4d 2849 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
4294283expa 1119 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ Β¬ (π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
430246, 429pm2.61dan 812 1 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  β„•cn 12212  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  Ο€cpi 16010  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944  intcnt 22521   limβ„‚ climc 25379   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  fourierdlem85  44907  fourierdlem88  44910  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926
  Copyright terms: Public domain W3C validator